圆周角(1)
《圆周角(1)》参考课件
A C
●
O
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD
1 = 2∠AOD,∠CBD
B
A
C
B
●
= 1∠COD,
2
O
∴
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
圆周角等于它所对弧上的圆 心角的一半.
圆周角定理
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
O
= 2 5° .
例.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB=
1 ∠AOB 2 ⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= 1 ∠BOC 2
⌒
证明： ∠ACB= 1∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC 2 ∠AOB=2∠BOC
∵∠AOC是△ABO的外角，
A
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
即
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
期望:你 可要理解 并掌握这 个模型.
·
●
C
O
· B
你能写出这个命题吗?
圆周角等于它所对弧上的圆心 角的一半.
• 第二种情况：如果圆心不在圆周角的 一边上,结果会怎样? • 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关 系会怎样?
A O
C
●
提示:能否转化为1的情况?
1 ∠AOD, 2 1 ∠COD, 2
圆周角定理.2.2圆周角(1)
圆周角第1课时圆周角(1)【教学目标】1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.【教学重点】理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系,能进行有关圆周角问题的简单推理和计算.【教学难点】分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用.【教学过程】一、导1.圆心角的定义?顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?相等.3、判断题：(1)相等的圆心角所对的弧相等。
×(2)等弦对等弧。
×(3)等弧对等弦。
√二、学（一）学习目标：1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.（二）自学指导：阅读教材P49-50，回答下列问题：问题1 AB所对的圆周角有几个？问题2 度量下这些圆周角的关系.问题3 这些圆周角与圆心角∠AOB的关系.①AB所对的圆周角的个数有无数个.②通过度量,这些圆周角相等.③通过度量,同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半. 完成下列问题：1.如图所示的角中，哪些是圆周角？2.顶点在______上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.3.在同圆或等圆中,_____或_______所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的______的一半.4.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也_______. 三、教、1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交.2还可以得出下面推论:同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等;四、练1.如图，在⊙O 中，AD=DC ，则图中相等的圆周角的对数是（） A.5对B.6对C.7对D.8对2.如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A=65°,求∠D 的度数.第2题图第3题图3.如图所示,已知圆心角∠BOC=100°,点A 为优弧BC 上一点，求圆周角∠BAC 的度数.4.如图所示,在⊙O 中，∠AOB=100°,C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数.【分析】在圆中利用同弧所对的圆周角相等推得角相等是灵活对角进行等量转换的关键,要特别注意等弧所对的圆心角也相等.五、师生互动，课堂小结1 、这节课主要学习了两个知识点： （1）圆周角定义。
圆周角(1)教案
课题：圆周角（1）教学目标（一）知识目标1、掌握圆周角的概念.2、体会圆周角与圆心角关系的探索过程，发现、验证圆周角与圆心角的关系.3、能用圆周角与圆心角的关系进行简单的说理，培养学生合情的推理意识，逐步掌握说理的基本方法，从而提高数学素养.（二）能力目标1、通过学生的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索与合作交流的能力.2、培养学生的表达能力，让学生的个性得到充分的展示.（三）情感目标通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的团队精神，培养学生学习数学的兴趣.教学重点、难点重点：探索圆周角与圆心角的关系.难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”. （“分类”、“化归”也是九年级学生的思维难点）.教学课型新授课教学方法为了体现教师为主导，学生为主体，知识为主线，育人为主旨的教学原则，本节课主要采用探究式教学法为主线，多媒体直观演示、启发式设疑诱导为辅的教学方法.学法指导知识是通过学生自己动口、动手、动脑，积极思考、主动探索获得．我将课堂交给学生，让学生自己去探索，发现验证知识.自主探索，研讨发现，得出结论是本节课主要的学习方法.教具准备教师：多媒体、课件、圆规、三角板等学生：圆形硬纸片若干、直尺、圆规、量角器等教学过程教学流程设计创设情境呈现问题合作探究验证猜想简单应用一．情境创设导入新课问题：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图（1），甲、乙两名运动员分别在C 、D 两处，他们争论不休，都说在自己所在位置对球门AB 的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB 的张角大？图（1）设计意图：联系生活中喜闻乐见的足球射门，创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中.二、呈现问题 合作探究问题1、图中的∠C 、∠D 与我们前面所学的圆心角有什么区别？(角的顶点在圆上).问题2、你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? 设计意图：1.选择新旧知识的切入点，既复习上节课的内容，又激发学生学习新知识的兴趣，加强各知识点之间的联系.2.让学生给圆周角下定义，提高学生的概括能力.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交. 随堂练习：判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.问题3、画弧BC 所对的圆心角，然后再画 同弧BC 所对的圆周角，你能画多少个同一条弧 所对的圆心角？多少个圆周角？三、合作探究 小组讨论交流ABCD四人一小组，根据下面的四个问题互相交流。
圆周角(1)
O A B A
∠ACD =
1 ∴ ∠ACD +∠BCD = 2
1 2
∠AOB.
1 ∠AOD,∠BCD 2
1 = 2
∠BOD
D
B
(∠AOD+∠BOD)
即∠ACB =
1
圆周角和圆心角的关系
能否也转化为第1种情况?
C O D O A B
C
过点C作直径BD.由1可得: A
B
1 ∠ACD = ∠AOD,∠BCD = 1∠BOD, 2 1 2
在射门游戏中(如图), 球员射中球门的难易程 度与他所处的位置B对 球门AC的张角(∠ABC) 有关.
A
A
C
B
●
O
B
C
圆周角
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你能仿照圆心角的定义给圆周 角下个定义吗? A
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
叫圆周角.
B O C
.
问题探讨：
4、圆内接四边形对角互补。
圆周角和圆心角的关系 1.首先考虑一种特殊情况：
∵∠AOB是△BCO的外角， ∴∠AOB=∠B+∠C. ∵OC=OB， ∴∠B=∠C. ∴∠AOB=2∠C 即∠C =
1 ∠AOB. 2
1
C O A B
圆周角和圆心角的关系
C
C
O
能否转化为第1种情况? 过点C作直径CD.由1可得:
D C
A
O1
O
B
例题欣赏
例1：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在 变式1：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点 在⊙O上，∠A＝100°，点E在BC的延长线上 ⊙O上，求证：∠B+∠D=1800 求∠DCE的度数。
5.3圆周角(1)课件
数学认识
定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
基础训练 例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC
与∠BDC的大小，并说明理由。
A F D
E O C B
拓展延伸 如图，OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
小结与反思
1.概念的引入和定理的发现：
M O M
O
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
小结与反思 2、定理的证明思路： 我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分 成三类，先解决一类特殊问题，再把其他两类 转化成特殊问题。
思考与探究
如图，你能判断出∠ ＡＣＢ ∠Ｄ的大小关 系吗？你借助的依据 是什么？
思考与探究
如图，圆上有两点Ｂ Ｃ，它们所对的圆心 角是： ；你能 再图中画出 所对 的圆周角吗？
思考与探究
பைடு நூலகம்
你所画的圆周角的和圆心有什么样的位置关系？ 你能和同伴将所画圆周角与圆心关系分类吗？
你能探究出 试看.
所对的圆心角和圆周角的关系吗？试
初中数学九年级上册 苏科版
5.3 圆周角（1）
观察与思考
请你观察并思考： 你能将图中∠C， ∠ D， ∠Ｅ， ∠Ｆ， ∠ＡＯＢ 进行分类吗？你分类的标 准是什么？
观察与思考 定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
观察与思考
2、图中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个
圆周角(1)
二、思想方法
1.从特殊到一般研究问题的方法。
2.分类、化归思想。
A A
. 转化
O
转化
O
A
B
C
BC
B
C
分类
课本习题25.4 第1、2题。
O.
A
B
下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
你能画一个圆周角吗？ 试试看！
圆心在圆周 角的一边上
圆心在圆周 角的内部
圆心在圆周 角的外部
弧BC所对的圆周角你能画出多少个？
B · ·C
A1
·O
A2 A3 ……
同一条弧所对圆周角有无数 个。
圆心在圆周 角的一边上
解 : 连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠ACD
=90°- 60° =30° ∵∠BAD=∠DCB=30° ∴∠APC=∠BAD+∠ADC =30°+70° =100°
一、知识要点
（1）顶点在圆上； 1.圆周角的定义：
（2）角的两边都与圆还各有一个交点.
2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角 的一半。
连接AO并延长交⊙O于点D. 由(1)可得:
∠DAB = 1∠DOB,∠DAC = 1∠DOC,
2
2
D
∠DAC- ∠DAB = 1 ∠DOC- 1 ∠DOB
2
2
∴ ∠BAC = 1 ∠BOC. 2
思考题：已知⊙O中弦AB等于半径,求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数.
圆周角课件(1)
复 习
1.什么叫圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
探 究
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?视察得到的∠ACB有什么特征？
∠AOB
大胆猜想
操作验证
P85探究
结论 (1)同弧所对的圆周角都相等,
(2)同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
为了验证这个 发现 ， 可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况:
（1） 折痕是圆周角的一条边，
（2） 折痕在圆周角的内部,
（3） 折痕在圆周角的外部。
归纳：
练习3
(1).已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角等于______°.
(2).已知一条弧的度数等于40°，则这条弧所对的圆心角和圆周角分别等于______°.
(3).如图，点A，B，C在⊙ O上，且∠ AOB=110°，则∠ ACB=_____°
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
小结:
（1） 同弧或等弧所对的圆周角相等,
（2）半圆或直径所对的圆周角等于直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
2.圆周角定理:
3.圆周角定理的推论:
1.圆周角定义:
1、分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
2、分别量出图 中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
圆周角(1)
1 BOC 2
C
从以上活动我们可以发现，同弧所对的圆周 角与圆心角存在怎样的数量关系？
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B B
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 度数的一半。
观察并思考:下列图形中∠A与∠A'相等吗?
A
A' A
A'
O
o
B'
B
B
C BC=B'C' C C'
由上，你能得出一个什么样的结论？
A
同弧所对的圆心角与
圆周角在数量有什么
特殊的关系吗?
O
B
C
同弧所对的圆心角与圆周角
活上动，同：∠B弧如O所图C对、，的∠圆B圆心A周OC角在分是圆别圆周是心角弧角∠BBC的A所一C对的半的一。圆边心 角以、上圆结周论角是，否求任出何图时候（都１成）立、？（若２圆）心、O（不３在） 中圆∠周B角AC的的一度边数上．时，能否证明它依然成立？
体会.分享
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
圆周角(1)
温故而知新
圆周角 顶点在圆周上，且角的两边与圆 相交的角叫做圆周角。
圆心角
A1 A2
顶点在圆心的角叫圆心角。
A3
O
B
C
练习：
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由。
图１ 不是 图４ 不是
图２ 不是
图３ 是
特征： ①角的顶点在圆置上有何特殊 的关系？
同弧或等弧所对的圆周角相等。
3、如图1，在⊙O中,∠BAC=30°,BC=2， 则⊙O的半径为 。
30° 60°
2
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C
特征：
O
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
A
B
探究一：
图中的∠CDE是圆周角吗?
C
D
C E D
E
C D
E
不是
是
不是
C E
D
不是
探究二：
画一个圆周角，使得它的一边通过圆心。
1.观察思考这个圆周角和与它对着 同一条弧的圆心角，两者之间有怎 样的数量关系？
2.这个数量关系在一般情况下也成 立吗？
圆周角 (1)
温故知新:
1.圆心角的定义?
O.
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
B
C
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的 关系?
答：相等.
探究一：
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
思考： 三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位
置？角的两边和圆是什么关系？
探究一：
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交
A C
●O
B
探究二：
1.圆心在圆周 角的一边上
C
2.圆心在圆周 3.圆心在圆周
角的内部
C
角的外部
C
O
OOAຫໍສະໝຸດ ABAB
B
圆周角定理：同弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半.
推论1：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
探究二：
再画出对着弧AB的几个圆周角，它们与 ACB 有什么关系？
C
C
O
O
A
B
C
C
O
B D
化 归
A
O
化
归
A
B
分类讨论
圆周角定理
C O
A DB
周末数学作业：
1.抄写课本P2——20的概念，定理一遍。 （写到一张纸上交） 2.《同步》下册：巩一，提一。
C
E
A
O
D
B
5.已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下 图. 求证：PA·PB=PC·PD．
A D
P B
C
6.如图，OA，OB，OC都是⊙0的半径，AOB 2BOC
ACB与 BAC的大小有什么关系？为什么？
O
C
A
B
1．本节课学习了哪些新知识？ 2．运用了哪些已学的知识？ 3．在学习过程中运用了什么样的方法解决问题？
A
B
推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等。
1.求圆中 的度数.
O
C 70°
A
B
α 350
D
C 120°
1
O
A
B
α 1200
2.如右图，⊙O中，∠ACB = 130º， 则∠AOB=__1_0_0_º_.
1
O
B
A
C
3.在半径为R的圆内，长为R的 弦所对的圆周角为30°或150°
D
O
A
B
︵︵ 4.如图，在⊙O中，BC=2DE，∠BOC=84°， 求∠A的度数.