课标要求 (1)

课标要求

1.知识与技能认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函

数等概念, 认识和理解它们的有关性质和运算具备一定的把函数应用于实际的能力。

2. 过程与方法通过背景的给出, 以及经历、体验和实践探索过程的展

现, 通过数学思想方法的渗透, 让学生体会过程的重要, 并在过程中学习知识,

同时领会一定的数学思想和方法.

3 , 情感、态度与价值观教育的根本目的是

育人, 通过对本模块内容的教学, 使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣, 并在初中函数的学习基础上, 对数学有更深刻的感受, 提高说理

、批判和质疑的精神, 形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯, 树立良好的情感态度和价值观.

内容概述

本模块共三章:

第一章集合与函数概念;

第二章基本初等函数( 1 ) : 第三章函数

的应用. 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念, 首先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等; 然后从函数实例出发深化函数概念及

其表示, 并研究映射概念; 进而又给出了函数的性质: 单调性、最值, 奇偶性,

这也是对函数的深化; 接下来再回到特殊的函数- 几个基本初等函数, 继续认识

函数, 本模块重点学习了指数函数、对数函数、幂函数; 最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例, 使函数的价值得到体现, 也进一步巩固函数的概念, 更加强了数学的应用.

教学建议

1 抓住核心, 重点突破由于函数是本模块的重点和核心, 因此教师要重视函数的教学, 向学生贯彻函数的数学思想, 逐步让学生掌握函数, 更会用函数的思想

去解决数学和实际问题, 函数概念的教学要从实际背景和足义两个方面帮助学生理解函数的本质, 教学中可引导学生联系生活常识, 尝试列举具体函数,

构建

数的一般定义, 要注意: ①构成函数的要素和相同函数的含义; ②函数的三种表示法的联系, 区别与适用性; ③分段函数的意义: @ 映射的概念和判断,

教学中应强调对函数概念本质的理解, 在求函数定义域, 值域时, 要控制难度

2.用教材教, 而非教教材《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改

革纲要( 试行) 》的指导下编写的, 是数学学科教育标的具体化, 是数学教学的主要依据。《普通高中数学课程标准》的目标是包含“ 双基" 在内的三维

发展目知识与技能, 过程与方法, 情感、态度与价值观教材是课程标准的具体化, 但教材内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体, 并不要求学生将教材内容全部掌握, 在教学过程中, 要把教材当作指导教学的素材和蓝本, 创

造性地使用、改造教材, 变“ 教教材" 为" 用教材教” , 树立“ 用教材教" 的教

材观.

3 .把学生当成学习的主人独立自主地思考是学习数学的需要, 但是合作

交流更不能少, 在课堂上, 教师不要大包大揽, 把结论告诉学生, 而是推理判断

, 引导学生独立思考, 并在此基础上进行合作和交流, 努力实现师生的互动。

4.强调应用, 突出提出、分析和解决问题的能力数学是美的, 这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处, 数学的美, 有两个方面: 一是其中的思维美, 内在的逻辑和运用逻辑的机智, 外在的形式, 莫不充满着思维之美; 另一方面则是在

方方面面的应用. 新课标要求强化数学应用, 在应用中, 应该特别重视实践能力

和创造能力的培养; 在教学中要重视动手和一題多解的能力 1

本章教材分析

本章的学习, 使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象, 并能在自然语言、图形语言。集会语言之间进行转换, 体会用集合语言表达数学内容

的简洁性。准确性, 帮助学生学会用集语言描述数学对象发展学生运用数学语言进行交流的能力。通过本章的学习, 使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系, 同时还会用集合与对应的语言刻画函数, 为后续学习奠定基础。函数是高中数学的核心概念, 本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型

来学习, 强调结合实际问题, 使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,

从而发展学生对变量数学的认识, 培养学生的抽象概括能力, 增强学生应用数学的意识. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有的数学知识, 通过列举丰富的实例, 让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础, 再用集合与对应语言抽象出函数概念, 教材突出了集合和函数念的背景教学, 这样比较符合学生的认识规律, 教学中要高度重视数学概念的背景教学, 教材尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会, 并注意运用Venn 图表达集合的关系及运算, 用图象表示函数, 帮助学生借助直观图示认识抽象概念, 教材在例題、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学

问题, 这一观点, 一直贯穿到以后的数学学习中. 在例題和习题的编排中, 渗透

了分类讨论思想, 让学生体会到分类讨论思想在生活和数学中的广泛运用, 这是学生在初中阶段所缺少的, 函数的表示是本章的主要内容之一, 教材重视采用不同的表示法( 列表法- 图象法解析法, 目的是丰富学生对函数的认识, 帮助

理解抽象的函数概念, 在教学中, 既要充分发挥图象的直观作用, 又要适当地引

导学生从代数的角度研究图象, 使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法。教材将函数推广到了映射, 体现了由特殊到一般的思维规律, 有利于学生对函数概念学习的连续性. 在教学中, 要坚持循序渐进, 逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练, 对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解, 而对于定义域, 值域的计算, 不提倡人为的过于技巧化的训练, 防止拔高教学, 重視函数

与信息技术整合的要求, 通过电脑绘制简单函数的图象, 使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用, 为了体现教材的选择性, 在练习题安排上加大了弹性, 教师应根据学生实际情况合理地取舍

本章教学时间约需14 课时, 具体分配如下( 仅供参考 1.1 集合约 4 课时1.2 函

数及其表示约5 课时 1.3 函数的基本性质约 3 课时实习作业约1 课时本章复习

约1 课时

1.1 集合

1.1.1 集合的含义与表示

教材分析....

集合论是现代数学的一个重要的基础. 在高中数学中, 集合的初步知识与其他内容有着密切的联系, 是学习、掌握和使用数学语言的基础, 教材从学生熟悉的集合( 自然数的集合、有理数的集合等) 出发, 结合实例给出元素、集合

的含义, 教材注重体现逻辑思考的方法, 如抽象、概括等值得注意的问题: 由于本节的新概念、新符号较多, 建议教学时先引导学生阅读教材, 然后进行2交流, 让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用, 在信息技术条件较好的学校, 可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识; 也可以先由教师给出问题, 让学生读后回答问题, 再由教师给出评价, 这样做的目的是培养学生主动学习的习惯, 提高阅读与理解、合作与交流的能力, 在处理集合问题时,

根据需要, 及时提示学生运用集合语言进行表述。

学情分析....

学生在初中阶段的学习中, 已经有了对集合的初步认知, 有了对周围事物的发现总结能力, 对部分粗心大意的学生, 需要培养其细致的观察力, 在本节的学习

中学生可能会对集合的表示方法: 列举法和描述法有所混淆, 通过不断的练习巩固来达到标准要求, 学生可能会用初中熟知的记忆学习方法来学习, 鼓励学生理解学习, 则达到事半功倍的效果.

课时安排....

1 课时

教学目标

1 , 通过实例, 了解集合的含义, 体会元素与集合的属于关系;

2 , 知道常用数集

及其记法; 3 , 了解集合中元素的确定性、互异性、无序性; 4 , 会用集合语言表示有关数学对象; 5 , 培养学生抽象概括的能力

教学重难点

●重点集合的含义与表示方法.

●难点: 表示法的恰当选择。

教学过程設計

一、设计问题, 创设情境在初中代数不等式的解法一节中提到: 一般地, 一个含有未知数的不等式的所有的解, 组成这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集. 不等式解集的定义中涉及了“ 集合" , 那么, 集合的含义是什么呢? 这

就是我们这一堂课所要学习的内容问题 1 : 下面这 5 个实例的共同特征是什么? ( 1 ) 1 ~ 20 以内的所有质数; ( 2 ) 我国古代的四大发明; ( 3 ) 所有的安理会常任理事国; ( 4 ) 所有的正方形; ( 5 ) 北京大学2014 年9 月入学的全体学生.

( 设计意图: 通过初中学过的不等式解的集合, 让学生初步感受集合的含义, 设

计问题1 让学生进一步体会集合的含义. )

二、学生探索, 尝试解决教师组织学生分小组讨论, 讨论后每个小组选出一位同学代表本组宣布讨论结果, 在此基础上师生共同概括出 5 个实例的特征, 都

是由某些对象组成的全体. ( 设计意图: 让学生进行探究, 相互交流, 能够更深

刻的理解集合的含义。)

三、信息交流, 揭示规律根据学生讨论的结果与教师引导的实例的共同特征, 得出集合的含义: 1 , 集合的含义一般地, 把研究对象统称为元素, 把一些元素

组成的总体叫做集合( 简称为集) . 3

问题2 : 集合应当如何表示呢? 元素与集合是什么样的关系? ( 组织学生充分讨

论、交流, 使学生对集合的含义加深理解, 并进一步探讨集合的表示与性质. ) 2 , 集合的表示方法一( 字母表示法) : 集合通常用大写拉丁字母A , B.C , D. …表示, 集合中的元素通常用小写拉丁字母 a , b , c , d , … 表示, 数学中一些常用的数集及其记法: 非负整数集( 或自然数集) : N ; 正整数集: N .或N. ; 整数

集.z ; 有理数集: O : 实数集1R . 方法二( 自然语言) ; 用自然语言描述一个集

合, 例如" 所有的正方形" 组成的集合等 3 , 元素与集合的关系: “ 属于” 和“ 不

属于" 分别用“ E " 和" 6 " 表示。问题 3 : 一组对象满足什么条件才能组成集

合? ( 提出质疑, 引导学生思考, 为下面展开讨论元素的性质作铺垫。) 4 , 集合元素的性质( 1 ) 确定性: 给定的集合, 它的元素必须是确定的. 即任给一个

元素和一个集合, 那么这个元素和这个集合的关系只有两种: 这个元素要么属

于这个集合, 要么不属于这个集合 1 元素确定性的符号语言表述为: 对任意元

素a 和集合 A , 要么aEA , 要么aEA . ( 2 ) 互异性: 一个给定集合中的元素

是

互不相同的, 即集合中的元素是不重复出现的。( 3 ) 无序性: 集合中的元素是没有顺序的. ( 4 ) 集合相等: 如果两个集合中的元素完全相同, 那么这两个集合

是相等的.

问题4 ( 1 ) 请列举出“ 小于 5 的所有自然数组成的集合 A " . ( 2 ) 你能写出不等

式2_.r > 3 的所有解吗? 怎样表示这个不等式的解集? ( 由前面得出的集合的

表示方法, 考虑除了字母表示法和自然语言表示之外, 还有其他表示方法

吗? )

学生发言, 教师总结, 得出如下结论: 列举法: 把集合中的元素一一列举出来,

并用花括号" [ ] " 括起来表示集合的方法叫做列举法描述法: 在花括号内先写上

表示这个集合元素的一般符号及取值( 或变化) 范围, 再画一条竖线. 在竖线后

写出这个集合中元素所具有的共同特征这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法1 叫做描述法。注: 在不致混淆的情况下, 也可以去掉竖线和元素代表符号, 例如: 所有直角三角形的集合可以表示为( .rla 是直角三角形) , 也可

以写成《直角三角形》

教师总结: 集合的表示: 字母表示法、自然语言, 列举法, 描述法。( 设计意

图: 通过探究, 得出集合的含义、表示方法和性质, 不仅让学生理解什么是集合, 而且要让学生掌握好集合的相关知识. )

四、运用规律解决问題【例 1 】下列各组对象不能组成集合的是《 A. 大于

6 的所有整数B. 高中数学的所有难题C. 被3 除余2 的所有整数D , 函数y 图

象上所有的点活动: 学生先思考、讨论集合元素的性质, 教师指导学生此类选择題要逐项判断, 判断一组对象能否构成集合, 关键是看是否满足集合元素的确定性A , C , D 三项中的元素符合集合的确定性; 而 B 项中, 难题没有标准,

不符合集合元素的确定性, 不能构成集合. 答案: B 点评: 本题主要考查集合的

含义和元素的性质, 当所指的对象非常明确时就构成集合, 若元素不明确,

没有

判断的标准就不能构成集合。【例 2 】用列举法表示下列集合: ( 1 ) 小于10 的所有自然数组成的集合; ( 2 ) 方程工- 工的所有实数根组成的集合; ( 3 ) 由1

~ 20 以内的所有质数组成的集合. 4

活动: 学生先思考或讨论列举法的形式, 展示解答过程, 当学生出现错误时, 教

师及时加以纠正利用相关的知识先明确集合中的元素, 再把元素写入花括号

"

《》" 内, 并用逗号隔开提示学生注意以下方面: ( 1 ) 自然数中包含零; ( 2 )

解一元二次方程有公式法和分解因式法, 方程r - r 的根是工= 0 , -1 ; ( 3 ) 除去

1 和本身外没有其他因数的正整数是质数, 1 ~ 20 以内的所有质数是

2,3,5,7,11,13 . 17,19 , 解: ( 1 ) 设小于10 的所有自然数组成的集合为A , 那么A = 10.1,2,3,4,5,6.7.8.9 ) . ( 2 ) 设方程x ' = r 的所有实数根组成的集合为B , 那么B = ( 0,1 ) , ( 3 ) 设由 1 ~ 20 以内的所有质数组成的集合为 C , 那么 C = { 2,3,5,7,11,13,17,19 } . 点评: 本題主要考查集合表示法中的列举法, 通过本題可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性, 以后我们尽量用集合来表示数学内容。如果一个集合是有限集, 并且元素的个数较少时, 通常选择列举法表示, 其特点是非常显明地表示出了集合中的元素, 是常用的表示法。列举法表示集合的步骤: ( 1 ) 用字母表示集合; ( 2 ) 明确集合中的元素: ( 3 ) 把集合中所有元素写在花括号“ { } ” 内, 并写成A = { ****** } 的形式。【例 3 】试分别用列举法和描述法表示下列集合: ( 1 ) 方程: -2 = 0 的所有实数根组成的

集合; ( 2 ) 由大于10 小于20 的所有整数组成的集合

活动: 先让学生回顾列举法表示集合的步骤, 思考描述法的形式, 再找学生到黑

板上书写, 当学生出现错误时, 教师指导学生书写过程用描述法表示集合时要用数学符号表示集合元素的特征大于10 小于20 的所有整数用数学符号可以表

示为10 < Kao.rEZ . ( 重点引导用描述法表示集合) 用描述法表示集合时, 用一个小写拉丁字母表示集合中的元素, 作为集合中元素的一般符号, 找到集合中

元素的共同特征, 并把共同特征用数学符号表达出来, 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值( 或变化) 范围, 再画一条竖线在竖线后写出

这个集合中元素所具有的共同特征。在( 1 ) 中利用条件中现有元素代表符号

z , 集合中元素的共同特征就是满足方程z ' 2-0 .在( 2 ) 的条件中没有元素代表

符号, 故要先设出, 用一个小写拉丁字母表示即可, 集合中元素的共同特征有两

个: 一是大于10 小于20 ( 用不等式表示, 二是整数( 用元素与集合的关系符号

“E ” 来表示) 。解: ( 1 ) 设所要表示的集合为 A , 方程 f - 2-0 的实根为z , 它

满足条件工2-2 = 0 , 因此, 用描述法表示为 A = { zERx ' - : - 0 } . 方程x ' 一2-

0 的两个实数根为JZ , - / 2 , 因此, 用列举法表示为A = { E , -JZ } , ( 2 ) 设所要表示的集合为B , 大于10 小于20 的整数为z , 它满足条件rEZ , 且10 < x<

20 因此用描述法表示为B = ( zEzl 10 < x< 20 ) . 大于10 小于20 的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19 , 因此, 用列举法表示为B = ( 11,12,13,14,15 ,

16,17,18,19 ) .

点评: 描述法表示集合的步骤: ( 1 ) 用字母分别表示集合和元素; ( 2 ) 用数学符号表达集合元素的共同特征: ( 3 在花括号内先写上集合中元素的一般符号及取值( 或变化) 范围, 再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共

同特征, 并写成 A = 仁川... ) 的形式, 描述法适合表示元素个数较多或有无数

个元素的集合。注意: 当集合中的元素个数较少时, 通常用列举法表示, 否则用描述法表示. ( 设计意图: 通过习题, 让学生更好地理解集合的含义与表示,

并能够将所学内容进行应用. ) 五、变式演练, 深化提高 1 , 下列所给对象不能构成集合的是( ) A. 一个平面内的所有点 B , 所有大于零的正数 C. 某校高一( 4) 班的高个子学生 5

D. 某一天到某商场买过货物的顾客

思路分析? 本題考查集合中元素的确定性由集合的含义, 可知组成集合的元素

必须是明确的, 不能模棱两可. 在 A 项中对于任何一个点要么在这个平面内,

要么不在这个平面内, 因而它可以组成一个集合; 在 B 项中由于大于零的正数

很明确, 因此所给对象能组成一个集合项中由于“ 高个子” 没有一个确定的标

准, 因而不能判定一个学生到底是不是高个子, 故它不能组成集合: 而 D 项中

对于任何一个人在这一天是否到过该商场, 以及是否买过货物是非常明确的, 因此: 它能组成一个集合. 答案: C 2 , 用另一种形式表示下列集合: ( 1 ) 《绝对值不大于3 的整数》; ( 2 ) ( 所有能被 3 整除的数) ( 3 ) ( z / r = | c / .xEZ 且< 5 ) ; ( 4 ) ( xl ( 3r_ 5 ) ( z + 2 ) ( z ' + 3 ) == 0 , IEZ ) ; ( 5 ) ( ( z , y ) / x + y = 6

, > o , y > 0 , rEz.yEZ ) . 少思路分析》用列举法与描述法表示集合时, 一要分

清元素是什么, 二要明确元素满足的条件是什么

解: ( 1 ) ( 绝对值不大于的整数) 还可以表示为allzk3,2EZ ) , 也可表示为-3 , - 2 , -1 , ( 2 ) ( zl 372 , nez ) , ( 3 ) : x = Irl , . : 120 orE Z 且1 < 5 , ( zlz = lz /

.zEZ 且x < 5 ) 还可以表示为( 0,1,2,3,4 ) . 3 , 已知集合A = { xlar - ar + 2 = o , aEN , 若A 中至少有一个元素, 求a 的取值范围。思路分析? 对于方程aza -

3x + 2- = o , a E R 的解, 要看这个方程左边的' 的系数, a = 0 和: a # 0 方程

的根的情况是不一样的, 则集合 A 的元素也不相同, 所以首先要分类讨论. 解: 当 a = 0 时, 原方程为一3rt 2-0 3 , 符合题意; 当ayt0 时, 方程 a.rz _3rt2

= 0 为一元二次方程, 则1-0 , 解得a * 0 且a < 9-8a20 .综上所得a 的取值范

围是( alas 4 ) - 4 、用适当的方法表示下列集合: ( 1 ) 方程组/ Zr_3y = 14 , 的解集; 3x + 2y = 8 ( 2 ) 1000 以内被 3 除余2 的正整数所组成的集合( 3 ) 直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合; ( 4 ) 所有正方形; ( 5 ) 直角坐标平面上在直线, -1 右侧或-- - 1 左侧的点所组成的集合。思路分析? 本题考查集合的表示方法。所谓适当的表示方法, 就是较简单、较明了的表示方法由

于方程组{ 的解为{ y = 4,2 2x - 3y = 14 , ˋ故( 1 ) 宜用列举法; ( 2 ) 中尽管是有限集, 但由于它的; 3x + 2y = 8 元素个数较多, 所以用列举法表示是不妥当的故用描述法; ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 也宜用描述法

解: ( 1 ) { ( 4 , -2 ) } ; ( 2 ) ( z | c - 3k + 2 , kE N , 且K1000 ) ; ( 3 ) { ( x , y ) | x

< 0 , 且y > 0 ) ; ( 4 ) { 正方形} ; ( 5 ) { ( x , y ) | x < -1 或p > 1 , yER ) .6

（设计意图：通过精选练习强化学生对集合的理解与应用，特别是集合的表示方法。）六，反思小结，观点提炼请同学们想一想：（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）你认为学习集合有什么意义？（3）选择集合的表示法时应注意些什么？（经过学生短暂梳理小组发言教师总结。）囿置ITE1业] 1，教材P12习题1.1A组第4题。2，元素，集合间有何种关系？如何用符号表示？类似地，集合与集合间的关系又如何呢？如何表示？请同学们通过预习教材来解答

數学反思

本节课基本上每一个学生都达到了预期的学习目标，但是其中隐藏的知识盲点还是有的。特别是集合的无序性，在以后的教学中一定要注意点明无序性是相对而言的，是相对两个含有相同元素的集合，不同的元素排列顺序而言的，通过本节课的实践，先学后教，能极大地提高学生的学习积极性，其实每个人都在说“先学后教，当堂训练”，但是每个人都做到了吗？做到的只有极少数实践证朋，这些教学任务，通过学生的自学，能够完成。备课资料[备选例题] 1.已知A =（ze R！-al + l ..lel + Leel + Label.abc，用列举法表示集合A，+ + -e + ab_ + _ + _ +。abcL，abc 0），用列举法表示集合A.思路分析?解决本題的关键是去掉绝对值符号，需分类讨论。解：题目中的取值取决于a，b，c的正负情况，可分成以下几种情况讨论：（1）a，b，c全为正时，x = 7;（2）a，b，c两正一负时，x = -1;（3）a，b，c一正两负时，x = -1;（4）a，b，c全为负时，I = -1。A =（7，-1）。7

注意：（2）（3）中又包括多种情况（a，b，c各自的正负情况），解题时应考虑2.已知集合C = {x | x = a + b，aEA，bE B），（1）若A =（0,1,2,3）B（6,7,8,9）求集合C中所有元素之和S;（2）若A =（0,1,2,3,4，…，2005），B =（5,6,7,8,9），试用代数式表示出集合C中所有元素之和S;（3）联系高斯求s = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 99 +100的方法，试求出（2）中的s沙思路分析》先用列举法写出集合C，然后解决各个小题。解：（1）列举法表示集合C =（6,7,8,9,10,11,12），进而易求得S = 6 + 7 + 849 + 10 + 11 + 1：-63。（2）列举法表示集合C = {5,6,7，…，2 013,2 014），由此可得s-5 + 6 + 7 + ... +2 013 + 2 014。（3）高斯求S = 1 +2 +3 + 4 + ... + 99 + 100时，利用1 + 100 = 2 + 99-3 + 98 =…= 50 + 51 = 101，进而得s-1 + 2 + 3 + 4 +…+ 99 + 100 = 101×50 = 5 050。本题（2）中S = 5 + 6 + 7 +…+ 2 013 + 2 014 = 2 019X1 005 = 2 029 095

- [ ] 学习目标

1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系;

2，知道常用数集及其记法;

3，了解集合中元素的确定性，互异性，无序性;

4，会用集合语言表示有关数学对象;

5，培养学生抽象概括的能力。

- [ ] 合作學習

一，设计问题创设情境

在初中代数不等式的解法一节中提到，一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集，不等式解集的定义中涉及了“集合”，那么，集合的含义是什么呢？这就是我们这一堂课所要学习的内容。

问题1：下面这5个实例的共同特征是什么？（1）1?20以内的所有质数（2）我国古代的四大发明：（3）所有的安理会常任理事国;（4）所有的正方形（5）北京大学2014年9月入学的全体学生。

二，自主探索，尝试解决分小组讨论，讨论后每个小组选出一位同学代表本组宣布讨论结果，在此基础上，共同概括出5个实例的特征：

三，信息交流，揭示规律根据讨论的结果得出集合的含义：

1.集合的含义

问题2：集合应当如何表示呢？元素与集合是什么样的关系？

2，集合的表示

方法一：8

方法二：

3，元素与集合的关系

问题3：一组对象满足什么条件才能组成集合？

4，集合元素的性质

（1）确定性：

（2）互异性;

（3）无序性：

（4）集合相等：

问题4：（1）请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A“

（2）你能写出不等式2 - > 3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？

5，集合的表示：字母表示法，自然语言，列举法，描述法。

列举法：

描述法：

四，运用规律，解决问題

【例1】下列各组对象不能组成集合的是（）

A.大于6的所有整数

B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数

D，函数y =-图象上所有的点

【例2]用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合;

（2）方程的所有实数根组成的集合;

（3）由1?20以内的所有质数组成的集合。

【例3]试分别用列举法和描述法表示下列集合

（1）方程x2-2 = 0的所有实数根组成的集合; 9

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

五，变式演练，深化提高

1·下列所给对象不能构成集合的是（）

A.一个平面内的所有点

B.所有大于零的正数

C.某校高一（4）班的高个子学生

D.某一天到商场买过货物的顾客

2，用另一种形式表示下列集合：

（1）（绝对值不大于3的整数）;

（2）《所有能被3整除的数）;

（3）（zla-irl，ze z且x <5）;

（4）（zi（3x_ 5）（r + 2）（r2 +3）= o，rez

（5）{（x，y）| x + y = 6.p> o，p> o，rEz.yEZ）

3.已知集合A =（zia.l-3x + 2 0，aER}，若A中至少有一个元素，求a的取值范围。4，用适的方法表示下列集合

（1）方程组12.r_3ys。14的解集

1r + 2y-s

（2）1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;

（3）直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合！

（4）所有正方形：

（5）直角坐标平面上在直线工1和x=-1的两侧的点所组成的集合。

六，反思小结，观点提炼

请同学们想一想

（1）本节课我们学习过哪些知识内容？

（2）你认为学习集合有什么意义？

（3）选择集合的表示法时应注意些什么？

- [ ] 布置作业

1.教材Pa习题1.1A组第4题。

2，元素，集合间有何种关系？如何用符号表示？类似地集合与集合间的关系又如何呢？如何表示？通过预习教材来解答。

- [ ] 參考答案

二，自主探索，尝试解决

都是由某些对象组成的全体10

三，信息交流，揭示规律

1，集合的含义

一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）2.集合的表示：方法一（字母表示法）：大写的拉丁字母表示集合，集合常用大写字母A，BC。D，…表示，元素常用小写拉丁字母a，b，c，d，...表示，数学一些常用的数集及其记法：非负整数集（或自然数集）：N：正整数集：N，或N.;整数集.z;有理数集：Q;实数集：R。

方法二（自然语言）：用文字语言来描述出的集合，例如所有正方形”组成集合等。

3.元素与集合的关系：“属于”和“不属于”分别用“E”和“E”表示。

4，集合元素的性质

（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，任给一个元素和一个集合，那么这个元素和这个集合的关系只有两种：这个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合：元素确定性的符号语言表述为：对任意元素a和集合A，要么aEA，要么aEA。（2）互异性：一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的;（3）无序性：集合中的元素是没有顺序的。（4）集合相等：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等的

5，列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“{\“括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法;

描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法，注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式，只是去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为（zlz是直角三角形，也可以写成{直角三角形}

四，运用规律解决问题

【例］13B

【例2】解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A.E＆A =（0 *

1,2,3,4,5,6.7-8.9）（2）设方程的所有实数根组成的集合为B.那么B_to，1）（3）设由1?20以内的所有质数组成的集合为c。那么c-n（2,3,5,7.11,1a，17.19 ［3]解：（1）设所要表示的集合为A，方程x'-2--0的实根为z，它满足条件/ -2-0，【例用描述法表示为A =（2E Rix'-2.0）方程x'一2-0的两个实数根为VE，-VE“。因此。

因此，用列举法表示为A（2）设所要表示的集合为B，大于10小于20的整数为，它满足条件aez。且1 0 <<20，因此，用描述法表示为B = {2EZl 10

点评：描述法表示集合的步骤：（1）用字母分别表示集合和元素i（2）用数学符号表达集合元素的共同特征;（3）在花括号内先写上集合中元素的代表籽及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在坚线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，并写成Am（+川...）的形式，描述法追合表示有无数个元素的集合。

注意：当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法表示五，变式演练，深化提高

1，思路分析：本题考查集合中元素的确定性，由集合的含义，可知组咸集合的元素必须是明确的不能模棱两可，在A项中对于任何一个点要么在这个平面内，要么不在这个平面內，因而它可以组成一个集合;在B项中由于大于零的正数很明确，因此所给对象能组成一个集合; C项中由于“高个子”没有一个确定的标准，因而不能判定一个学生到底是不是高个子，故它不能組成集合，而D项中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场，以及是否买过货物是非常明确的，因此它龍组成一集合

答案：C

2，思路分析：用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么

答案：（1）《绝对值不大于3的整数》还可以表示为（zllak3,2EZ），也可表示为-3。一2，11

一1,0,1,2,3）（2）{x | x-372，n EZ），（3）.. x = | xl，.ur> o。“，”rEZ且工<5，.. {xlx = lxl，rEZ且x <5）还可以表示为（0,1,2,3,4）

3.思路分析：对于方程ax2-3x + 2- = o，a E R的解，要看这个方程左边的x'的系数，

a = 0和a 0方程的根的情况是不一样的，则集合A的元素也不相同，所以首先要分类讨论

解：当，-0时，原方程为-3x + 2 = 0：n = 3，符合题意; a＃0当a 0时，方程az2-3x + 2 = 0为一元二次方程，则信一8a>，解得a＃0且a <。综上所得a的取值范围是（ala

4思路分析：本题考查集合的表示方法，所谓适当的表示方法，就是较简单，较明了的表示方法。由于方程组3x + 2y = 8 2x-3y = 14，2，故（1）宜用列举法;（2）中尽管是有限集，但由于它的元素个数较多，所以用列举法表示是不妥当的，故用描述法;（3）（4）（5）也宜用描述法。

解：（1）（（4，-2））;（2）{zl.r = 3k + 2，k EN且x5 000）;（3）{（x，y）| r 0）;（4）（正方形};（5）（（x，y）| x < - 1或x> 1，YER）

1.1.2 集合間的基本關係

教材分析……

教材從學生熟悉的集合（自然数的集合，有理数的集合等）出发，通过类比实数间的大小关系引人集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念。在安排这部分内容时，教材注重体现逻辑思考的方法，如类比等。

值得注意的问题，在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如E与的区别。

学情分析....

学生刚刚跨入高中学习，概括，抽象能力相对较低，况且本节符号较多，难于短时间内被学生接受，故而应采取多举实例，循循善诱的方式帮助学生渡过难关。课时安排....

1课时

教学目标

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系提高利用类比发现新结论的能力; 2，在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想。”教学重难点重点：理解集合间包含与相等的含义。难点：理解空集的含义12

一，设计问題，创设情境问题1：实数有相等，大小的关系，如5 = 5,5 <7,5> 3等，类比实数之间的关系，你能想到集合之间有什么关系吗？让学生自由发言，教师不要急于做出判断，而是继续引导学生1欲知谁正确，让我们一起来观察探究。（设计意图：让学生根据实数的大小关系，类比集合之间有什么关系，激发学生从已有知识探究新知识的积极性。）一，学生探索，尝试解决问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？（2）设A为国兴中学高一（3）班全体男生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合;（3）设A =（zIz 是两条边相等的三角形》，B =（zl.c是等腰三角形》;组织学生充分讨论，交流，让学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系从而给出两个集合之间的关系：包含关系与相等关系。（设计意图：从具体的实例出发，让学生直观地感受两个集合间的关系，在相互学习和教师的引导下让学生明确集合间的关系。）三，信息交流，揭示规律（投影）集合间的基本关系：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。记作：A B（或B A）读作：A含于B（或B包含A）。如果集合A B，但存在元素xEB，且reA，我们就说这两个集合有真包含关系，称集合A是集合B的真子集，记作A B（或B呈A）。②对于两个集合A，B，如果A B且BgA，那么称这两个集合相等，记作A = B。问题3：与实数中的结论“若a> b，且h3a-Mash“相类比，在集合中，你能得出什么结论？教师引导学生通过类比思考得出结论：若A = B，且B A，则A B问题4：与实数中的结论“若a> b，且b> c，则a> c“相类比，在集合中，你又能得出什么结论？类比子

集，得出子集有传递若A B，B A C; B.BSEC，则A C.（通过类比实数中的“<”和集合中的“一”的相似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。）教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，如图1和图2分别是表示问题2中（1）和（4）的Venn图。

问題5：（1）任何方程的解都能组成集合，那么+ 1 = 0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？（2）一座房子内没有任何东西，我们称这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？（学生交流，教师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）13

（1）不能，因为方程x'+ 1 = 0没有实数解（2）不含任何元素的集合叫做空集，空集记为。并规定：空集是任何集合的子集，即￠A1空集是任何非空集合的真子集，即￠SEA（A 0）。课札记（设计意图：通过本环节的设置，让学生在实例中探究出集合间的关系，掌握集合中的特殊集合- 空集，在实数与集合的类比中，加强集合符号所表示意义的理解。）四，运用规律，解决问题【例1]图中反映的是四边形，梯形，平行四边形，菱形，正方形这五种几何图形之间的关系，则A，B，C，D，E分别代表的图形的集合

活动：学生思考讨论后，结合四边形的概念可得下列关系

解析：由集合的子集概念可知，集合A. <尊边形），集合B-梯形）-集合C =《平行黵边形。集bae t菱形）*集合E-e《L方形》答·A-四边邢），B-梯形1，c--平行四边形）.D--《菱形1xEw（正方形》【例2】写出集合（a，b）的所有子集，并指出哪些是它的真子集活动：学生思考子集和子集的定义，教师提示，空集是任何集合的于集*一个集合不是其本身真子集;按集合（a，h）的子集所含元素的个数分类讨论解t集合fasb）的所有子集为https://www.360docs.net/doc/6a1933678.html,》，ib）。（a.b），真子集为d，（a）*（b）【BI 3] e知集合A㎜t一1.3 .2m - 1），集合B =（3.m！），若ESA-M实数mm活动：先让学生思考Bi-A的含义，根据B-A，如集合B中的元素都属于集合A +由集合元素的蓋舟性3列出方程求实数mth值，因为E賹A，所以3EAam'E A.对，n'的值分类讨论。解析：*。* B A ... 3EA.m'EA ..：m's-l（舍去）或m）= 2m-1，解得= 1 ..：rn = 1。答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性，本题容易出现m！n-3，是忽視了集合元素的互异性。避免此类错误的方法是解得的值后，再代入验证。讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式。（设计意图：通过例题的解答，进一步掌握集合同的基本关系，并能灵活运用。）五，变式演练，深化提高1.已知集合M = lal 2-r <0），集合N = {rlaz = 1），若NSiM *求实数a 的取值范围。思路分析?集合N是关于工的方程ar = 1的解集，集合M = {x）> 2）pt0。由于NFM.H N 0或“N * 0，要对集合N是否为空集分类讨论。解：由题意得M =（z！> 2）*￠-M N =￠或N 0。当N = 0时，关于的方程ax = 1无解，则有a = 0; N＃0时，关于的方程az 1有解，则ato，此时炉1，X'：NEM.:.LEM...a>2。0

2.（i）分别写出下列集合的子集及其个数：S。{al-Ia，b），{a，bch（2）由（1）你能发现若集合M中含有“个元素，集合M有多少个子集吗？活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集，（1）按子集中所含元素的个数分类写出子集：2）由（1）总结当n = o，n = 1，n- = 2，n = 3时于集的个数規律，归纳猜想出结论。解：（1）0的子集有：，即￠有1个子集;（a）的子集有：S。（a），即《a）有2个子集;（a，b）的子集有s3，（a），{b），（a，b），即{a，b）有4个子集;（aeb.c）的子集有sO，（a）。（b），（c），（a，b），（a，c），（b，c），（a，b.c），即（a，b，c）有8个子集（2）由（1）可得：当n = 0时，集合M有1 = 2”个子集;当n = 1

时，集合M有：-2'个子集;当n = 2时，集合M有4 22个子集：当nm3时，集合M有8 -23个子集因此含有n个元素的集合M1有2“个子集。3，已知集合AS（2,3,7），且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有（A.3个B，4个C.5个D，6个思路分析》对集合A所含元素的个数分类讨论。解析：A-￠或{2）或（3}或{7）或（2,3）或（2,7），共有6个。答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论思想，写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏。（设计意图：当堂演练，检测学生对本部分内容的掌握情况。）六，反思小结，观点

提炼请同学们互相交流一下你在本节课学习中的收获。（学生互相交流，而后由

多媒体显示如下内容）本节课学习了：①子集，真子集，空集，Venn图等概念;②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集;

②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是③清楚两个集合包含关系的确定主要靠其元素与集合的关系（设计意图：通过小结使学生加强对知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结习惯。）[布匿進1ing 教材P12习题1.1A组第5题。版围设1计] 1.1.2集合间的基本关系基本关系例1：变式演练1，包含关系：子集解;真包含关系：真子集例2：小结2，空集3，包

含关系的传递性例3：

15

圆学圆圆反备课札记本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使他们自己通过类比得到正确结论，丰富学习方式，改进学习方法是高中数学课程追求的基本出发点“数学学习活动不能仅限于对概念，结论和技能的记忆，模仿和接受，独立思考，自主探索，合作交流，阅读自学等都应成为学习数学的重要方式。▲学案设计（设计者：袁景华）[学1习圓厕1，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力2，在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想。BITE1学19]一，设计问题，创设情境问题1：实数有相等，大小的关系，如5 = 5,5 <7,5> 3等，类比实数之间的关系，你能想到集

合之间有什么关系吗？二，自主探索，尝试解决问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？一，设计问題，创设情境问题1：实数有相等，大小的关系，如5 .. 5，s <7,5> 3等，类比实数之间的关系，你能想到集合之间有什么关系吗？一，自主探索，尝试解决间題2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？（13A = 1，2，3）.B =（1,2,3,4,5）（2）设A为国兴中学高一（3）班全体男生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合;（3）设As | xlx是两条边相等的三角形》，B-（zir是等腰三角形（4）A =（2,4,6），B- {6.4.2）。三，信息交流，揭示规律集合间的基本关系：①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。读作：如果A B，但存在rEB，且reA，我们就说这两个集合有真包含关系，称集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）。

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②对于两个集合A，B，如果A B且B A，那么称这两个集合相等，记作A-B。问题3：与实数中的结论“若a> b，且b> a，则a = b“相类比，在集合中，你能得出什么结论？备课札记问题4：与实数中的结论“若a> b，且b2ec，则a >> c”

相类比，在集合中，你又能得出什么结论？为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，如图1和图2分别是表示问题2中（1）和（4）的Venn图。

问题5：（1）任何方程的解都能组成集合，那么工2 + 1 = 0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？（2）一座房子内没有任何东西，我们称这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？四，运用规律，解决问题【例1】图中反映的是四边形，梯形，平行四边形，菱形，正方形这五种几何图形之间的关系，则A，B，C，D E分别代表的图形的集合为

【例2】写出集合（a，b）的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

【例3】已知集合A = {-1,3,2m 1），集合B =（3，㎡），若B A，则实数m =五，变式演练，深化提高1，已知集合Mf = {12-r <0），集合N =（zla = 1），若N M，求实数a的取值范围2，（1）分别写出下列集合的子集及其个数：￠。（a），（a，b），（a，b，c）。17

（2）由（1）你发现集合M中含有个元素，则集合M有多少个子集？3.已知集合4G（2,3,7），且A中至多有一个奇数，则这样的集合A A，3个个C.5个D，6个六，反思小结，观点提炼请同学们互相交流一下你在本节课学习中的收获。囿BITE1业）教材P ,,习題1.1A组第5題。三，信息交流，揭示规律①ACB（或B2A）A含于B（或B包含A）问题4：类比子集，得出子集有传递性，若ASB.BSC，则A c，若雁B.BGC-MASC问题3：结论诺A B，且B A-MA-s B.问题5：（1）不能，因为方程x'+ 1 0没有实数解。（2）一个集合没有任何元素，定义为空集。空集记为g，并规定：空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集，即￠A （A * 2）四，运用规律解决问題【例1】解析：由四边形的概念可得下列关系

由集合的子集概念可知，集合A = {四边形），集合B《梯形》，集合C = {平行四边形》集合《菱形），集合E =《正方形）。答案：A- |四边形），B = {梯形），C = {平行四边形}，D =《菱形）; E = {正方形}【例2】解集合（a，b）的所有子集为￠，（a），（b}，{a，b），真子集为￠，{a）【例3】解析：“，”B-A，... 3 E A，m'E A ... m'-=-1