一阶微分方程在经济学中的4个应用_王伟珠
一阶微分方程应用
将W (0) = W0代入，得方程通解
W = 6000+ (W0 6000)e0.05t
（3）由通解表达式知，当W0 = 5000百万时，净资产额 单调减少，公司将在第36年破产；当W0 = 6000百万时，
公司将收支平衡，净资产保持在600百万元不变；当
W0 = 7000百万时，公司净资产将按指数不断增长。
解：V = 4 R 3 , V'(t) = kS = 4kR 2 3
dV = dV dR = 4R2 dR dR = k
dt dR dt
dt dt
QD
Qs
例4 已知某商品的需求量Q对价格P的弹性
为 3 p3 ,而市场对该商品的最大需求量为1万
件,求需求函数.
例5 设f (x)可微，且f (x) +
W(t)变化特点。
解:（1）利用平衡法，即
净资产增长速度=资产本身增长速度
职工工资增长速度
得到方程
dW = 0.05W 300 dt
dW = 0.05W 300
dt
（2）分离变量，得
W
dW = 0.05dt 6000
积分得 ln|W 6000|= 0.05t + c1
于是 W 6000 = ce0.05t (c = ec1为任意常数)
第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用
微分方程的应用举例
例1 设某企业t时刻产值y(t)的增长率与产值y(t) 及 新增投资2bt有关,并有y = -2aty + 2bt,(常数a,b > 0, y(0) = y0 < b, )求y(t)
例2 一个半径为R的雪球,融化时体积V的变化率正比于 雪球的表面积S,比例系数k > 0,若开始时雪球半径为r0 , 问全部融化完需多少时间? (W 2000513)
一阶微分方程在经济学中的综合应用
1．某商品的需求函数与供给函数分别为d Q a bP =-,s Q c dP =-+（其中,,,a b c d 均为正常数）。
假设商品价格P 是时间t 的函数，已知初始价格0(0)P P =，且在任一时刻t ，价格()P t 的变化率与这一时刻的超额需求d s Q Q -成正比（比例常数为0k >）。
⑴求供需相等时的价格e P （均衡价格）；⑵求价格()P t 的表达式；⑶分析价格()P t 随时间的变化情况。
【解】⑴供需相等时的价格，即为满足d s Q Q =的P 值，即由已知得a bP c dP -=-+，解出P 得：e a c P b d+=+。
⑵求价格()P t 的表达式； 由题设得关系式()d s dP k Q Q dt =-，即为[()()]dP k a bP c dP dt=---+， 整理得一阶线性微分方程()()dP k b d P k a c dt++=+， 其齐次部份()0dP k b d P dt ++=的解为1ln ()P k b d t C =-++，整理得()k b d t P Ce -+=， 即设方程()dP b d P a c dt++=+的解为()()k b d t P C t e -+=， 将()()k b d t P C t e -+=代入方程()()dP k b d P k a c dt ++=+， 得()()()'()()()()()()k b d t k b d t k b d t C t e k b d C t e k b d C t e k a c -+-+-+-+++=+，即为()'()()k b d t C t k a c e+=+，积分得()()k b d t a c C t e C b d ++=++， 即得通解()()[]k b d t k b d ta c P e C eb d +-++=++()k b d t ac Ce b d-++=++， 由于初始价格0(0)P P =， 即有00a c P Ce b d +=++，即0a c C P b d+=-+0e P P =-， 即知价格()P t 的表达式为()0()()k b d t e e P t P P P e -+=+-。
微分方程在经济学模型中的应用
微分方程在经济学模型中的应用在经济学领域中，微分方程是一种重要的数学工具，被广泛应用于各种经济学模型中。
微分方程的使用可以帮助经济学家对经济系统的变化进行建模和预测，从而帮助他们做出合理的决策。
本文将探讨微分方程在经济学模型中的应用，以及它对经济学研究的影响。
一、微分方程在宏观经济模型中的应用宏观经济模型用于描述国家或地区整体经济的运行状况和变化趋势。
这些模型通常包括多个变量，如国内生产总值（GDP）、通货膨胀率、失业率等。
微分方程提供了一种描述这些变量之间关系的数学方法。
以经济增长模型为例，我们可以用一个微分方程来描述GDP的增长速度。
假设GDP的增长率与人口增长率、资本投资率以及技术进步率相关，我们可以得到如下微分方程：\[ \frac{dGDP}{dt}=sGDP-kN \]其中，\( s \) 表示资本投资率，\( k \) 表示技术进步率，\( N \) 表示人口增长率。
通过解这个微分方程，我们可以得到GDP随时间的变化趋势，帮助决策者制定经济政策。
除了经济增长模型，微分方程还可以应用于宏观经济中的其他领域，如通货膨胀模型、货币政策模型等。
这些模型的建立离不开微分方程的支持，使经济学家能够更好地理解和解释经济现象。
二、微分方程在微观经济模型中的应用微观经济模型用于研究个体经济主体的决策与行为。
这些模型通常包括供给与需求、市场均衡以及消费者行为等变量。
微分方程在微观经济模型中同样发挥着重要的作用。
以供给与需求模型为例，我们可以通过微分方程描述市场价格随着时间的变化。
假设市场价格的变化率与供给量和需求量之间的差异有关，我们可以得到如下微分方程：\[ \frac{dp}{dt}=a(Q_s-Q_d) \]其中，\( p \)表示价格，\( Q_s \)表示供给量，\( Q_d \)表示需求量，\( a \)表示价格调整的速度。
通过解这个微分方程，我们可以推导出价格的变化轨迹，帮助市场参与者做出决策。
一阶微分方程的应用
正交，故满足方程 dy x dx 2 y
这是一个变量可分离方程求解得 y C x 2的正交
曲线族为
x2 2y2 k2
y
这是一个椭圆，如右图
放大此图
•第一章一阶微分方程的应用
x
图2.16
y
x
•第一章一阶微分方程的应用
应用二： 雨滴的下落
考虑雨滴在高空形成后下落的过程中速 度的变化
三种不同的假设 (1) 自由落体运动 (2) 小阻力的情况 (3) 大阻力的情况
Solution: exponential growth):
•第一章一阶微分方程的应用
Model 3: Population dynamics Logistic Growth
• An exponential model y' = ry, with solution y = e^{rt}, predicts unlimited growth, with rate r > 0 independent of population.
•第一章一阶微分方程的应用
Qualitative analysis of the logistic equation
• To better understand the nature of solutions to autonomous equations y’= f(y), we start by graphing f (y) vs. y. • In the case of logistic growth, that means graphing the following function and analyzing its graph using calculus.
一阶微分方程的解法及应用
方法 2 化为微分形式
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
9. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
(2) 将方程改写为
d y 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
6. 求解
(5x4 3xy2 y3) dx (3x2 y 3xy2 y2 ) dy 0
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
微分方程在经济学中的应用
第四节 微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型,即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策,下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．一、 供需均衡的价格调整模型在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定,或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关,为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为S =a 1+b 1P ， D =a -bP ,其中a 1，b 1，a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0;P 为实际价格．供需均衡的静态模型为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D显然，静态模型的均衡价格为P e =11b b a a +-． 对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D （P ）-S (P )］为正时,未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价,因而价格上涨；反之,价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 tP d d =k (D -S ），于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=)].()([),(),(11P S P D k tP t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得tP d d =λ（P e -P )， 其中λ=k （b +b 1)＞0，这个方程的通解为P （t ）=P e +C e -λt ．假设初始价格为P (0）=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ，于是动态价格调整模型的解为P (t )=P e +(P 0-P e ）·e -λt ，由于λ＞0,故lim ()t P t →+∞=P e ．这表明,随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ．二、 索洛（Solow ）新古典经济增长模型设Y (t )表示时刻t 的国民收入，K (t )表示时刻t 的资本存量，L (t ）表示时刻t 的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.),(),1,(),(0t L L t sY t K r Lf L K f Y λe d d 其中s 为储蓄率（s ＞0），λ为劳动力增长率（λ＞0)，L 0表示初始劳动力(L 0＞0),r =LK 称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将K =rL 两边对t 求导，并利用t L d d =λL ，有rL tr L t L r t r L t K λ+=+=d d d d d d d d ． 又由模型中的方程可得tK d d =sLf (r ，1）， 于是有tr d d +λr =sf (r ,1)． (10-4-1) 取生产函数为柯布-道格拉斯（Cobb -Douglas)函数，即f (K ，L ）=A 0K αL 1-α＝A 0Lr α,其中A 0＞0,0＜α＜1均为常数．易知f （r ，1)=A 0r α，将其代入（10-4-1)式中得tr d d +λr =sA 0r α． （10-4-2） 方程两边同除以r α，便有r -αt r d d +λr 1-α=sA 0． 令r 1-α=z ,则tz d d =(1-α）λ-α t r d d ，上述方程可变为 tz d d +(1-α)λz =sA 0（1-α）． 这是关于z 的一阶非齐次线性方程,其通解为 z =C e -λ（1-α）t +0sA λ(C 为任意常数）． 以z =r 1-α代入后整理得 r （t )=ααλλ---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(sA C t e． 当t =0时，若r （0)=r 0，则有C =r 01-α－λs A 0． 于是有r （t ）= ααλαλλ----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(010(sA A sr t )e -．因此, αλ-∞→=110)()(lim A s t r t ．事实上，我们在（10-4-2）式中，令tr d d =0,可得其均衡值r e =αλ-110)(A s . 三、 新产品的推广模型设有某种新产品要推向市场,t 时刻的销量为x (t ），由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率t x d d 与x （t ）成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ,统计表明tx d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N -x (t ）也成正比，于是有 tx d d =kx (N -x )， （10-4-3） 其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x (t ）=kNtC N -+e 1 （10-4-4) 方程（10-4-3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10-4-4)也称为逻辑斯谛曲线． 由t x d d =()221kNt kNtC k CN --+e e 以及22t x d d =()3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e e e ， 当x (t ＊)＜N 时,则有t x d d ＞0，即销量x （t )单调增加．当x (t *）=2N 时，22t x d d =0；当x （t ＊）＞2N 时，22t x d d ＜0；当x （t *)＜2N 时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时,产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大,当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10-4-4）的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传,而在产品用户达到20%到80％期间,产品应大批量生产,在产品用户超过80%时，应适时转产,可以达到最大的经济效益．习题10-41． 某公司办公用品的月平均成本C 与公司雇员人数x 有如下关系：C ′=C 2e -x -2C且C （0）=1,求C （x )．2． 设R =R （t ）为小汽车的运行成本，S =S （t ）为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：R ′=Sa ， S ′=-bS ， 其中a ,b 为正的已知常数,若R （0）=0,S （0)=S 0（购买成本），求R (t ）与S （t ）．3． 设D =D (t ）为国民债务,Y =Y （t ）为国民收入，它们满足如下的关系：D ′=αY +β， Y ′=γY其中α,β,γ为正已知常数．（1) 若D (0)=D 0,Y (0）=Y 0,求D （t )和Y （t );(2） 求极限)()(lim t Y t D t +∞→． 4． 设C =C (t )为t 时刻的消费水平,I =I （t )为t 时刻的投资水平,Y =Y (t ）为t 时刻的国民收入，它们满足下列方程⎪⎩⎪⎨⎧>'=><<+=+=.0,,,,0,10,,为常数均为常数k C k I b a b a b aY C I C Y（1） 设Y (0)=Y 0，求Y (t ）,C (t )，I (t ）;(2) 求极限)()(lim t I t Y t +∞→ 5． 某养殖场在一池塘内养鱼,该池塘最多能养鱼5000条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数y 是时间t 的函数y =y (t ），实验表明，其变化率与池内鱼数y 和池内还能容纳的鱼数(5000-y ）的乘积成正比，若开始放养的鱼为400条,两个月后池塘内鱼的数量为550条，求放养半年 后池塘内鱼的条数．。
一阶微分方程在经济学中的综合应用
五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题
例7 在宏观经济研究中 , 发现某地区的国民收入 y ,
国民储蓄 S 和投资 I 均是时间 t 的函数 . 且在任一时刻
t , 储蓄额 S( t ) 为国民收入 y( t ) 的1/10 倍 , 投资额 I( t )是
国民收入增长率 dy/dt 的 1/3 倍 . t = 0 时 , 国民收入为 5
由 P (0) = P0 , 得
Cຫໍສະໝຸດ P0a b
c d
P0
Pe
则特解为
P(t ) (P0 Pe )ek(bd )t Pe .
3. 讨论价格 P (t) 随时间的变化情况 .
由于 P0 Pe 为常数 , k (b + d ) > 0 , 故当 t + 时,
( P0 Pe )ek(bd )t 0 ,
e
t 3
5t
C1
,
由 y t 0 0 , 得 C1 3 10 , 从而销售成本与时间 t 的函
数关系为
y
3
t
e3 5t
3
.
10
10
四、公司的净资产分析
对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简 化地看作发生两个方面的作用。一方面，它的资产可 以象银行的存款一样获得利息，另一方面，它的资产 还需用于发放职工工资。
(亿元) . 设在时刻 t 的储蓄额全部用于投资 , 试求国民
收入函数 .
解 由题意可知
S 1 y , I 1 dy ,
10
3 dt
由假设 , 时刻 t 的储蓄全部用于投资 , 那么 S = I , 于
线性代数在经济学中的应用
线性代数在经济学中的应用作者：王伟珠来源：《中外企业家·下半月》 2015年第10期王伟珠（辽宁对外经贸学院基础课教研部，辽宁大连116052）摘要：数学是科学发展的基础，线性代数又是数学的一个分支，数字化时代的我们离不开数学，更离不开数学在其中的应用。
通过介绍投入产出模型和动物种群增长模型，阐述线性代数在经济学中的应用。
关键词：线性代数；经济；应用中图分类号：F014 文献标志码：A 文章编号：1000-8772（2015）30-0270-02收稿日期：2015-09-10基金项目：辽宁省教育评价协会课题“ 民办应用型本科高校高等数学课程教学改革的研究与实践”（编号：PJHYYB15299）。
作者简介：王伟珠（1976-），女，黑龙江哈尔滨人，硕士，副教授。
研究方向：应用数学。
一、投入产出模型投入产出模型是一种经济均衡模型，它是美国经济学家里昂节夫（leontiefw）于20 世纪30 年代提出的。
1936 年，里昂节夫在“经济统计评论”上发表了“美国经济系统中的投入和产出的数量关系”，首次提出投入产出方法，并长期致力于该方法的研究。
1973 年，里昂节夫以其杰出的研究成果获诺贝尔经济学奖。
在此，仅介绍产出平衡方程。
设一个经济系统由3 个生产部门组成. 用表示第个生产部门的总产值，表示第个部门生产过程中所消耗的第个部门产品的数量，表示第的部门的最终产品（最终加工完毕，可供社会消费和使用的产品）。
将这些数据列成表格，这种表格称为投入产出表，见图1。
二、动物的种群增长模型研究动物种群的增长，对保持生态平衡具有实际意义。
莱斯利（Leslie）模型是常用的动物种群增长模型，该模型只考虑两性种群中的雌雄，将雌性按年龄分成若干类，研究种群的年龄分布规律。
故十年后，0~5 岁的雌性动物有3500 只，5~10 岁的雌性动物有5500 只，10~15 岁的雌性动物有125 只。
本文中仅列举了两类线性代数的数学模型在经济中应用的案例，实际的应用还有很多。
经济数学微积分一阶微分方程在经济学中的综合应用
而储蓄函数和投资函数为
S
I
1
3t
e10
2
４．关于国民收入与国民债务问题
例 8 某地区在一个已知的时期内国民收入 y 的增长
率为 1 ，国民债务 D 的增长率为国民收入的 1 ，若
10
20
t = 0 时，国民收入为 5(亿元)，国民债务为 0.1(亿
２．分析产量、收入、成本及利润之间的函 数关系
例4 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养1000
条.在时刻t的鱼数y是时间t的函数y=y(t)，其变化
率与鱼数y和1000-y的乘积成正比.现已知池塘内放养
鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求t月后池塘
内鱼数y(t)的公式.问6个月后池塘中有鱼多少？
分 离 变 量 :x(t)(d x( t)x(t))kdt
1x1 (t)1 x(t)dx(t)kdt
lna x(xt()t)αktC1(C1为任意)常数
x(x t)(t)ek tC1C2ek(tC2为任意 ) 常
从而可得通解为
x(t)1C C 2e2ek ktt1C ekt(C为 任 意 ) 常
L A (A L 0)e kx
例6 某商场销售成本y 和存储费用s 均是时间t 的函数，随时间t 的增长,销售成本的变化率等于 存储费用的倒数与常数5 的和；而存储费用的变
化率为存储费用的1，若当t=0 时，销售成本 3
y=0，存储费用S=10.试求销售成本与时间t 的函 数关系及存储费用与时间t 的函数关系.
解：
由 已 知 d y k y ( 1 0 0 0 y ) ,y 1 0 0 ,y 2 5 0
§10.7 微分方程在经济学中的应用
(10.6.12)
a t K (t ) K 0 L0 (e 1)
机动
(10.6.13)
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Q( t ) , 有 用Z(t) 表示 t 时刻的劳动生产率, Z ( t ) L( t ) Z Q L K L (1 )( ) ZQL ZQL ZQL KL KL
三. 提高劳动生产率模型
发展经济、增加生产有两个重要因素, 一是增加投资, 二 是投入更多的劳动力. 恰当调节投资增长和劳动力增长的关 系, 使增加的产量不致被劳动力的增长抵消, 这样劳动力生 产率才能不断提高.下面建立描述生产量、劳动力和投资之 间变化规律的模型. 用Q(t), L(t) 和 K(t) 分别表示时刻 t 的产量、劳动力和资 金. 假设劳动力每年的相对增长率是常数 , 即
r ( x ) r0 (1 x ) xm
(10.6.5)
机动
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这样, Malthus模型(10.6.4)变为
x dx r0 x (1 ) xm dt x (0) x 0
(10.6.6)
它是一个可分离变量的一阶微分方程, 分离变量得,
xm dx r0dt x ( xm x )
下面我们分三种情况考虑:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 当 0 时, 有两个不同的特征根
1,2
1 m ( ) 2 n
于是, 方程(10.6.16)的通解为
P ( t ) C1e
1t
C 2e
2 t
(2) 当 0 时, 有两个相同的特征根
上式两端积分, 得
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１ 分析 商 品 的 市 场 价 格 与 需 求 量 （供 给 量） 之 间 的 函 数 关 系 ［１］
例１ 某 商 品 的 需 求 函 数 与 供 给 函 数 分 别 为
Ｑｄ ＝ａ－ｂＰ，Ｑｓ ＝－ｃ＋ｄＰ，（其中ａ，ｂ，ｃ，ｄ 均为正 常数）。假设商品价格 Ｐ 为时间ｔ 的 函 数，已 知 初 始
ｘ（ｔ）＝
Ｎ １＋３ｅ－Ｎｋｔ
（２） 由 于
ｄｘ ｄｔ
＝
３ Ｎ２ｋｅ－Ｎｋｔ ， ｄ２ ｘ （１＋３ｅ－Ｎｋｔ ）２ ｄｔ２
＝
－３ Ｎ３ｋ２ｅ－Ｎｋｔ （１－３ｅ－Ｎｋｔ ） （１＋３ｅ－Ｎｋｔ ）３
令ｄｄｔ２ ｘ２ ＝０，得 Ｔ ＝ｌＮｎｋ３。
当ｔ＜Ｔ
时
，ｄ２ ｘ ｄｔ２
＞０；ｔ＞
Ｔ
时
，ｄ２ ｘ ｄｔ２
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａ ｌｏｔ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｆｏｒ ｄｉｆ－ ｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ，ｂｙ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎ－ ｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｆｏｕｒ ａｓ－ ｐｅｃｔｓ ａｓ：ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｍａｒｋｅｔ ｐｒｉｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｍａｎｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ，ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｌｅｓ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｏｏｄｓ，ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａ－ ｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｅｏｐｌｅｓ ｉｎｃｏｍｅ ＆ ｄｅｐｏｓｉｔ ａｎｄ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ，ａｎｄ ｃｏｓｔ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｅｃｏ－
经济学中，深入研究，能 解 决 更 多 的 实 际 问 题，有 待
于我们进一步的探讨。
参考文献
［１］吴 传 生．经 济 数 学 一 微 积 分 ［Ｍ］．北 京：高 等 教 育 出 版 社 ，２００３：４０３－４１０．
［２］吴赣昌．微积分（经管类）下册［Ｍ］．２版．北 京：中 国 人 民 大 学 出 版 社 ，２００７：１３２－１３５．
１０ｅ－ｔ３
，将 上 式 代 入 微 分 方 程 （４），得ｄｄｔｙ
＝
１ｅｔ３ １０
＋５，
从 而ｙ＝１３０ｅｔ３ ＋５ｔ＋Ｃ１，由ｙ｜ｔ＝０ ＝０，得Ｃ１ ＝－１３０。
从
而
销
售
成
本
与
时
间ｔ的
函
数
关
系
为ｙ
＝
３ｅｔ３ １０
＋５ｔ
－１３０。
微分方 程 在 各 个 领 域 中 的 应 用 很 多，尤 其 是 在
（１）的平衡解，且由于ｌｉｍＰ（ｔ）＝ Ｐｅ，故微分方程的 ｔ→＋∞
平 衡 解 是 稳 定 的 ）。
由 Ｐ０ 与 Ｐｅ 的大小还可以分为３种情况进一步 讨论：
（ａ）若 Ｐ０ ＝ Ｐｅ，则 Ｐ（ｔ）＝ Ｐｅ，即价格为 常 数， 市场无需调节达到均衡；
（ｂ）若Ｐ０ ＞Ｐｅ，因为（Ｐ０－Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ 总是大于 ０且趋于０，故 Ｐ（ｔ）总大于 Ｐｅ 而趋于Ｐｅ；
变
化率
为
存储
费用
的
－
１ ３
倍
。若 当ｔ＝０时
，销 售
成
本ｙ ＝０，存储费用Ｓ ＝１０。试求销售 成 本 与 时 间ｔ 的函数关系及存储费用与时间ｔ 的函数关系。
解
由 已 知ｄ
ｄＳ ｄｔ
＝－
１３Ｓ
（５）
解微分方程（５）得 Ｓ ＝ Ｃｅ－ｔ３ ，由ｓ｜ｔ＝０ ＝１０得
Ｃ ＝ １０，故 存 储 费 用 与 时 间ｔ 的 函 数 关 系 为Ｓ ＝
ｄｔ 售量ｘ（ｔ）及 销 售 量 接 近 于 饱 和 水 平 的 程 度 Ｎ － ｘ（ｔ）之积成 正 比 （Ｎ 为 饱 和 水 平，比 例 常 数 为ｋ ＞ ０），且当ｔ＝０时，ｘ ＝ １４Ｎ。（１）求销售量ｘ（ｔ）；（２） 求ｘ（ｔ）的增长最快的时刻 Ｔ。
王伟珠：一阶微分方程在经济学中的四个应用
１２１
解
（１）由 题
意
可 知ｄｘ ｄｔ
＝ｋｘ（Ｎ
－ｘ）（ｋ ＞０）
（２）
分离 变 量，得ｘ（Ｎｄｘ－ｘ）＝ ｋｄｔ，两 边 积 分，得
Ｎ
ｘ －ｘ
＝
Ｃｅ Ｎｋｔ
，解
出
ｘ（ｔ），
得
ｘ（ｔ）＝
ＮＣｅ Ｎｋｔ Ｃｅ Ｎｋｔ ＋１
＝
Ｎ １＋Ｂｅ－Ｎｋｔ
（３）
其中
Ｂ
＝
１，由 Ｃ
ｘ（０） ＝
１Ｎ ４
得Ｂ
＝ ３， 故
ＩＳＳＮ １００９－８９８４ ＣＮ ２２－１３２３／Ｎ
王伟珠
（辽宁对外经贸学院基础教学部，辽宁 大连 １１６０５２）
摘 要 ：一 阶 微 分 方 程 的 应 用 模 型 很 多 ，尤 其 是 微 分
方 程 在 经 济 学 中 的 应 用 ，通 过 举 例 说 明 ，它 在 分 析 商
品的市场价格与需 求 量 （供 给 量）之 间 的 函 数 关 系、
（ｃ）若Ｐ０ ＜Ｐｅ，则Ｐ（ｔ）总是小于Ｐｅ 而趋于Ｐｅ。 由以上讨论可知，在价格 Ｐ（ｔ）的表达 式 中 的 ２ 项：Ｐｅ 为均衡价格，而（Ｐ０ －Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ 就 可 理 解 为 均衡偏差。
２ 预测商品的销售量
例２ 假设某产品的销售量ｘ（ｔ）是时间ｔ的可 导函数，如果商品的销售量对时间的增长率ｄｘ 与销
预测商品的销售量、关 于 国 民 收 入 和 储 蓄 与 投 资 的
关系问题及成本分析这４个方面的具体应用。
关 键 词 ：微 分 方 程 ；应 用 ；经 济 学
中 图 分 类 号 ：Ｏ１７５．１
文 献 标 志 码 ：Ａ
文 章 编 号：１００９－８９８４（２０１２）０３－０１２０－０２
为了研究经济变量之间的联系及其内在规律， 常需要建 立 某 一 经 济 函 数 及 其 导 数 所 满 足 的 关 系 式 ，并 由 此 确 定 所 研 究 的 函 数 形 式 ，从 而 根 据 一 些 已 知的条件来确定 该 函 数 的 表 达 式。 从 数 学 上 讲，这 就是建立微分方程并求解微分方程。一阶微分方程 的应用模型很多，尤 其 是 微 分 方 程 在 经 济 学 中 的 应 用，下面通过４个方 面 举 例 说 明 一 阶 微 分 方 程 在 经 济学中的应用。
Ｆｏｕｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ
ＷＡＮＧ Ｗｅｉ－ｚｈｕ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｄａｌｉａｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １１６０５２，Ｃｈｉｎａ）
３１／３３ １２０－１２１
长春工程学院学报 （自然科学版）２０１２年 第１３卷 第３期 Ｊ．Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｉｎｓｔ．Ｔｅｃｈ．（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．Ｅｄｉ．），２０１２，Ｖｏｌ．１３，Ｎｏ．３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－８９８４．２０１２．０３．０３１
一阶微分方程在经济学中的４个应用
（１）
解一阶非齐次线性微分方程，得通解为 Ｐ（ｔ）＝
Ｃｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ ＋ｂａ＋＋ｄｃ
由 Ｐ（０）＝ Ｐ０，得 Ｃ ＝ Ｐ０ －ｂａ＋＋ｄｃ ＝ Ｐ０ －Ｐｅ， 则特解为 Ｐ（ｔ）＝ （Ｐ０ －Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ ＋Ｐｅ。 （３）讨论价格 Ｐ（ｔ）随时间ｔ的变化情况。
由于 Ｐ０ －Ｐｅ 为常数，ｋ（ｂ＋ｄ）＞０，故当ｔ→＋ ∞ 时，（Ｐ０－Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ →０，从而Ｐ（ｔ）→Ｐｅ（均衡价 格）（从数学上 讲，显 然 均 衡 价 格 Ｐｅ 即 为 微 分 方 程
价格 Ｐ（０）＝ Ｐ０，且在任一时刻ｔ，价格 Ｐ（ｔ）的变化 率 总与这一时刻的超额需求Ｑｄ －Ｑｓ 成正比（比例常 数为ｋ ＞ ０）。（１）求 供 需 相 等 时 的 价 格 Ｐｅ（均 衡 价 格）；（２）求价格 Ｐ（ｔ）的表达式；（３）分析价格 Ｐ（ｔ）
随 时 间ｔ的 变 化 情 况 。
解 （１）由 Ｑｄ ＝ Ｑｓ 得Ｐｅ ＝ｂａ＋＋ｄｃ。
增
长 率ｄｙ ｄｔ
的
１ ３
倍
。ｔ＝０时
，
国 民 收 入 为 ５（亿 元 ）。设 在 时 刻ｔ的 储 蓄 额 全 部 用 于
投 资 ，试 求 国 民 收 入 函 数 。
解
由题意可知Ｓ
＝
１１０ｙ，Ｉ ＝
１ ３
ｄｙ ｄｔ
由假设，时刻ｔ的储蓄全部用于投资，那么 Ｓ ＝
Ｉ，于 是 有
１１０ｙ
＝
１ ３
ｄｙ， ｄｔ
＜０。故
Ｔ
＝
ｌｎ３ Ｎｋ
时
，ｘ（ｔ）增 长
最
快。
３ 关于国民收入、储蓄与投资的关系问题
例３ 在 宏 观 经 济 研 究 中，发 现 某 地 区 的 国 民 收 入ｙ，国民储蓄Ｓ和投资Ｉ均是时间ｔ的函数。且在
任一时刻ｔ，储蓄额Ｓ（ｔ）为 国 民 收 入ｙ（ｔ）的１１０ 倍，
投
资 额Ｉ（ｔ）是
国民
收入
（２）由 题 意 可 知
ｄＰ ｄｔ
＝ｋ（Ｑｄ
－Ｑｓ）（ｋ
＞ ０）
收 稿 日 期 ：２０１２－０８－２１ 作 者 简 介 ：王 伟 珠 （１９７６－ ），女 （汉 ），哈 尔 滨 ，副 教 授 ，硕 士