四川省内江市2018-2019学年高二上学期期末检测数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. B. C. D. 1，2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A. 45B. 54C. 90D. 1263.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404.图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 32B.C. 48D.5.如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A.B.C.D. 6.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c则a∥c；②若a∥b，b⊥c则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A. B. C. D.8.已知直线l1：x-2y-1=0，直线l2：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，}．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A. B. C. D.9.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A. 18B. 20C.D.10.与圆O1；x2+y2+4x-4y+7=0，圆O2：x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M，过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．14.执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．16.正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程；（2）求过点P（-1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥平面AB1C．19.已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．（1）求此圆的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．20.某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：参考公式：=，=．=．21.如图：高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=1，AB=3，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（1）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（2）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．22.已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．答案和解析1.【答案】B【解析】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（-1，-1，-1），故选：B．根据空间坐标的对称性进行求解即可．本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．4.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为=2；所以该四棱锥的侧面积为4××4×2=16，底面积为4×4=16，所以几何体的表面积为16+16．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5.【答案】C【解析】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故选：C．连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C 所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确．综上可知：只有②正确．故选：A．①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2-x，y）在直线x-2y+1=0上，∴2-x-2y+1=0化简得x+2y-3=0故选答案D．解法二：根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选：D．设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．8.【答案】A【解析】解：设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a．联立方程组解得x=，y=，∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则x=＞0，y=＞0，解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．∴P（A）==即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为．故选：A．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用．9.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，C点到原点的距离最大，由得，即C （，），此时x2+y2=，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：圆的圆心坐标为（-2，2），半径为1，圆的圆心坐标为（2，5），半径为4，两个圆心之间的距离d=5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条，故选：A．根据已知中圆的方程，求出圆心坐标和半径，判断出两圆外切，可得答案．本题考查的知识点是圆的位置关系，圆的一般方程，难度中档．11.【答案】B【解析】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，若过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=，则M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得：a≤-1或a≥1，即a的取值范围为（-∞，-1][1，+∞）；故选：B．根据题意，由正方形的性质可得|OM|=，分析可得M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，进而可得若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析M的轨迹，属于基础题．13.【答案】5 8【解析】解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：5 8．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．14.【答案】63【解析】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y的值为63．故答案为：63．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.【答案】（x-2）2+y2=8【解析】解：根据题意，直线ax-y-4a-2=0，即y+2=a（x-4），恒过定点（4，-2），设P为（4，-2）设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0），分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大为CP，此时r2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8，则要求圆的方程为（x-2）2+y2=8，故答案为：（x-2）2+y2=8．根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题．16.【答案】2+．【解析】解：取SB，AB中点H，P，连接HG，PC，取PB中点Q，连接HQ，GQ，因为E、F分别为SD，CD中点，所以EF∥SC，SC∥HG，所以HG∥EF，HG不在面AEF内，所以HG∥面AEF．因为QG是中位线所以QG∥PC，PC∥AF，所以QG∥AF，因为QG不在面AEF 内，所以QG∥面AEF，因为HG∩QG=G，所以面HQG∥面AEF．动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为△HQG的周长．正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为4，所以QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点P的轨迹的周长为2+．过G做一个平面与面AEF平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点P的轨迹的周长．本题考查面面平行的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：（1）联立，解得，∴两直线的焦点坐标为（-2，2），直线x-2y-1=0斜率为，则所求直线的斜率为-2．∴直线方程为y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则-1+3=a，即a=2．是求直线方程为x+y=2．∴所求直线方程为3x+y=0或x+y-2=0．【解析】（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求．本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．18.【答案】证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1C∩BC1=E，所以E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是三棱柱，AA1⊥底面ABC所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面AB1C．【解析】（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C．（2）由线面垂直得AC⊥CC1，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC1B1，由此能证明BC1⊥平面AB1C．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：（1）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有=，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=．所以，圆N的方程为（x-2）2+（y-4）2=10．（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x-2）2+（y-4）2=10上任意一点，可设D（2+cosα，4+sinα）．∵C（3，0），点M是线段CD的中点，∴有x=，y=，消去参数α得：（x-）2+（y-2）2=．故所求的轨迹方程为：（x-）2+（y-2）2=【解析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．20.【答案】解：（1）==4，==4.3，===0.5，=-×=4.3-0.5×4=2.3，y关于t的线性回归方程为：=0.5x+2.3．（2）2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番．当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3千元．∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．【解析】（1）根据公式计算可得：=0.5x+2.3．（2）t=8代入计算可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．21.【答案】解：（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，又∵DC∥MB，∴△MOB∽△COD，∴OB：OD=MB：DC，∴OB=2OD，∵PB=2PA，∴OP∥AD，∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC；（2）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，∴P到平面MBC的距离为，△MBC中，MC=BC=，MB=2，∴MC⊥BC，∴S△MBC=×=1，△MPC中，MP==CP，MC=，∴S△MPC=×=．设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，∴h=．【解析】（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？（2）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：（1）∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2．直线l与圆O相切，∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，即d==，解得k=±1．（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，∴ ，，△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1，当∠AOB为锐角时，=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）==＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴-＜＜或1＜k＜．故k的取值范围为（-，）（1，）．（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为x（x-t）+y（y-）=0，∴，又C，D在圆O：x2+y2=2上，∴l CD：tx+，即（x-）t-2y-2=0，由，得，∴直线CD过定点（，）．【解析】（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y 2=2上，求出直线CD：（x-）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
内江市2019-2020学年度第一学期高二期末检测题数学（理科）一、选择题：1.已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（ ）A. 26B. 27C. 28D. 29【答案】B【解析】【分析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时,将48人按顺序平均分为4组,由已知编号可得所求的学生来自第三组,设其编号为x ,则15315x -=-,进而求解即可【详解】由系统抽样可知,抽取一个容量为4的样本时,将48人分为4组,第一组编号为1号至12号；第二组编号为13号至24号；第三组编号为25号至36号；第四组编号为37号至48号,故所求的学生来自第三组,设其编号为x ,则15315x -=-,所以27x =,故选:B【点睛】本题考查系统抽样的编号,属于基础题2.设点B 是点()2,3,5A -关于平面xOy 的对称点，则AB 等于（ ）B. 10 D. 38 【答案】B【解析】【分析】利用空间中两个点关于xOy 平面对称时的坐标关系可求B 的坐标，再利用两点之间的距离公式可求AB . 【详解】因为点B 是点()2,3,5A -关于平面xOy 的对称点，故()2,3,5B --，故10AB ==，故选B.【点睛】本题考查空间中关于坐标平面对称的点的坐标关系，此类问题属于基础题.3.直线210x y ++=和210x y ++=的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 不能确定 【答案】B【解析】【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可.【详解】由21021x y y x ++=⇒=--，因此该直线的斜率为：12k =-. 由1121022x y y x ++=⇒=--，因此该直线的斜率为：112k =-， 因为1212,11k k k k ≠⋅=≠-，所以这两条直线相交但不垂直.故选：B【点睛】本题考查了判断两条直线的位置关系，考查了由直线一般式求直线的斜率，属于基础题. 4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为12314,,,,A A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么输出的结果是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】A【解析】【分析】 由程序框图可知其输出结果为成绩不小于90的次数,进而利用茎叶图的数据求解即可【详解】由程序框图可知其输出结果为成绩不小于90的次数,则可由茎叶图得到符合条件的次数为9, 故选:A【点睛】本题考查读懂程序框图的功能,考查茎叶图的应用,属于基础题5.方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线与圆22(1)25x y ++=的位置关系是（ ） A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】 整理直线方程可得()210a x x y +--+=,则直线恒过()2,3-,可判断()2,3-在圆内,即可判断直线与圆的位置关系【详解】由题,直线为(1)210()a x y a a R --++=∈,即()210a x x y +--+=,当2x =-时,3y =,即直线恒过()2,3-,因为()222131025-++=<,所以()2,3-在圆内, 则过圆内一点的直线一定与圆相交,故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断,考查直线恒过定点的应用6.关于直线m 、n 及平面α、β，下列命题中正确的个数是（ ）①若//,m n ααβ=I ，则//m n ②若//,//m n αα，则//m n③若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若,m ααβ⊂⊥，则m β⊥A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】①：根据线面的位置关系和线线关系进行判断即可；②：根据线面平行的性质进行判断即可；③：根据线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理进行判断即可；④：根据面面垂直的性质定理进行判断即可.【详解】①：因为//m α，所以直线m 与平面α没有交点，而n αβ=I ，所以直线m 与直线n 没有交点，故两直线的位置关系是平行或异面，故本命题不正确；②：因为//,//m n αα，所以直线m 、n 和平面α没有交点，故两条直线可以相交、平行、异面，故本命题不正确；③：因为//m β，所以存在一个过直线m 的平面γ与β相交，设交线为c ，因此有//m c ，又因为m α⊥，所以c α⊥，由面面垂直的判定定理可得，αβ⊥，故本命题正确；④：因为,m ααβ⊂⊥，所以只有当m 与,αβ的交线垂直时，才能得到m β⊥，故本命题不正确，因此只有一个命题正确.故选：B【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，考查了线线位置关系的判断，考查了推理论证能力.7.已知()00,x y 为线性区域220110x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩内的一点，若0020x y c --<恒成立，则c 的取值范围是（ ） A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞ 【答案】A【解析】【分析】由0020x y c --<可以变形为002x y c -<，在可行解域内求出目标函数2z x y =-的最大值，进而可以求出c 的取值范围.【详解】0000202x y c x y c --<⇒-<，设2z x y =-.在平面直角坐标系内画出不等式组表示的可行解域，如下图所示：在可行解域内平行直线2y x z =-，当直线经过(1,0)A 时，该直线在纵轴上截距最小，所以max 2102z =⨯-=，所以要想0020x y c --<恒成立，只需：2>c .故选：A【点睛】本题考查了利用线性规划解决不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.8.已知点()1,3M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于（ ） A. 34 B. 43 C. 43- D. 34- 【答案】D【解析】【分析】利用点到直线距离公式求解即可【详解】由题,点M 到直线l 的距离为:1d ==,解得34m =-, 故选:D【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用,属于基础题9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】A【解析】【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个,随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况,其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P ==, 故选:A【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题10.若圆心坐标为()2,1-的圆，被直线10x y --=截得的弦长为2，则这个圆的方程是（ ）A. 22(2)(1)4x y -+-=B. 22(2)(1)4x y ++-=C. 22(2)(1)9x y ++-=D. 22(2)(1)9x y -+-=【答案】C【解析】由弦长为利用点到直线距离求得d ,进而求解即可【详解】由题,设圆的半径为r ,圆心到直线距离为d ,则d ==所以弦长为2,则29r =,所以圆的方程为22(2)(1)9x y ++-=,故选:C【点睛】本题考查圆的方程,考查弦长的应用,考查数形结合思想11.已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且2BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A. 9,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []2,3ππC. []2,4ππD. 11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】【分析】设BCD ∆的内心为1O ，设球的半径为R ，利用正三棱锥的性质和正三角形的性质可以求出该三棱锥的高1AO 的长，再利用勾股定理，可以求出球的半径R 的值，点E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面的面积最大，即可求解.【详解】设BCD ∆的内心为1O ，设球的半径为R ，如下图所示：连接11,,,O D OD OE OE.01123sin 6033O D AO =⨯===， 在1Rt D OO ∆中，223(3=2)R R R =+-⇒.因为2BE DE =，所以2DE =，由余弦定理可知：11O E ==，OE ==，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，=此时截面的面积为2π，当截面过球心时，截面的面积最大，此时面积为4π.截面圆面积的取值范围是[]2,4ππ.【点睛】本题考查了正三棱锥外接球问题，考查了球截面的性质，考查了数学运算能力.12.在直角坐标系内，已知()3,3A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P 使得()0MP CP CN ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，其中点()(,0),(,0)M t N t t R +-∈，则t 的取值范围是（ ） A. ()3,7B. (]5,6C. [)4,5D. []4,6【答案】D【解析】【分析】 求出()3,3A 点关于直线10x y -+=、70x y +-=的对称点，进而求出圆的圆心及半径，根据圆的参数方程，设出P 点的坐标，根据平面向量运算的坐标表示公式化简()0MP CP CN ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，最后利用辅助角公式和正弦型函数的最值求出t 的取值范围.【详解】设()3,3A 点关于10x y -+=对称的点为()',A x y ，则有：33122234113x y x y y x ++⎧-=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪⋅=-⎪-⎩， 所以()'2,4A ，同理点()3,3A 关于直线70x y +-=对称的点的坐标为：()'4,4B ，设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，所以有：9933064162408161644024D E F D D E F E D E F F ++++==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，所以圆心坐标为(3,4)，半径为1，故点P 的坐标为：(3cos ,4sin )αα++.(3cos ,4sin )MP t αα=+++u u u r ，(3cos ,4sin )CP CN NP t αα-==-++u u u r u u u r u u u r ，2222()cos 96cos 168sin sin 10sin()260MP CP CN t t αααααθ⋅-=++-+++=++-=u u u r u u u r u u u r （其中3tan 4θ=），210sin()26[16,36]t αθ=++∈， 因为t R +∈，所以t 的取值范围是[]4,6.故选：D【点睛】本题考查了圆的方程求法，考查了点关于线对称点的求法，考查了平面向量坐标运算公式，考查了辅助角的应用，考查了正弦型函数的最值，考查了数学运算能力.二、填空题：13.已知123,,,,n x x x x L 的平均数为a ，则1223,23,,23n x x x +++L 的平均数是__________.【答案】23a +【解析】【分析】由题可得12n x x x na +++=L ,再利用平均数的定义求解即可详解】由题,()121n x x x x a n=+++=L ,所以12n x x x na +++=L , 则1223,23,,23n x x x +++L 的平均数为: ()()()()()1212111232323232323n n x x x x x x n an n a n n n++++++=++++=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L , 故答案为:23a + 【点睛】本题考查平均数公式的应用,属于基础题14.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为()5334f x x x =-22x --51x +，用秦九韶算法求这个多项式当3x =时的值为______________.【【答案】859【解析】【分析】先将多项式转化为()()()()403251x x x x x +---+的形式,然后逐步计算0V 至5V 的值,即可得到答案 【详解】根据秦九韶算法把多项式改写为如下形式:()()()()()5432403251403251f x x x x x x x x x x x =+---+=+---+, 所以04V =,14312V =⨯=,2123333V =⨯-=,3333297V =⨯-=,49735286V =⨯-=,528631859V =⨯+=,故答案为:859【点睛】本题考查利用秦九韶算法求多项式的值,属于基础题15.一条光线从点()2,3-射出，经x 轴反射，其反射光线所在直线与圆()2231x y -+=相切，则反射光线所在的直线方程为____.【答案】2x =或43170x y +-=【解析】【分析】点()2,3-关于x 轴的对称点为()2,3,即反射光线过点()2,3,分别讨论反射光线的斜率k 存在与不存在的情况,进而求解即可【详解】点()2,3-关于x 轴的对称点为()2,3,（1）设反射光线的斜率为k ,则反射光线的方程为()32y k x -=-,即320kx y k -+-=, 因为反射光线与圆()2231x y -+=相切,所以圆心到反射光线的距离d r =,1=, 解得43k =-, 所以反射光线的方程为:43170x y +-=；（2）当k 不存在时,反射光线为2x =,此时,也与圆()2231x y -+=相切,故答案为: 2x =或43170x y +-=【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程16.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG P 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值. 其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对①,将四棱锥11B BED F -分成两部分11B BED -与11B BD F -分析即可对②,根据线面垂直的判定,注意用到11B D BD ⊥再利用线面垂直与线线垂直的判定即可. 对③,举出反例即可. 对④,四边形1BED F周长012()C BE ED =+,展开长方体分析最值即可.【详解】对①,111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥1111B BED E BB D =--底面 11BB D 不变,且因为1CC ∥底面11BB D ,故E 到底面11BB D 的距离即11E BB D -上的高长度不变.故三棱锥11B BED -体积一定,即四棱锥11B BED F -的体积恒为定值,①正确.对②,因为111BB B D =,且长方体1111ABCD A B C D -,故四边形11BB D D 为正方形,故11B D BD ⊥.要1B D ⊥平面1BD E 则只需1B D BE ⊥,又CD BE ⊥,故只需BE ⊥面1DCB . 又1B C ⊂平面1DCB ,故只需1BE B C ⊥即可.因为111BB B D BD BC ==>,故当1BB BCBC CE= 时存在点E ,使得1BE B C ⊥,即1B D ⊥平面1BD E .故②正确.对③,当E 在C 时总有CG 与平面1EBD 相交,故③错误.对④,四边形1BED F 的周长012()C BE ED =+,分析1BE ED +即可.将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值时的唯一点E .故④正确.故答案为①②④【点睛】本题考查立体几何中的垂直平行判定等,在证明垂直等问题时需要用到线线线面垂直的性质和判定等,对空间想象能力以及立体几何证明有一定的要求,属于难题.三、解答题：17.已知直线:(1)20()l a x y a a R ++--=∈.（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）当()0,0O 点到直线l 距离最大时，求直线l 的方程. 【答案】（1）0x y -+=或20x y +-=（2）20x y +-= 【解析】 【分析】（1）先求出直线l 在两坐标轴上的截距，根据题意，列出方程，解方程即可；（2）根据直线点斜式方程可以确定直线恒过的定点，然后根据直线l 与AO 垂直时，()0,0O 点到直线l距离最大，最后求出a 的值，进而求出直线的方程.详解】（1）直线:(1)20l a x y a ++--=，取0x =，2y a =+取0y =，21a x a +=+ 即221a a a ++=+，解得2a =-或0a =，故直线方程为0x y -+=或20x y +-=（2）:(1)20l a x y a ++--=变换得到(1)20a x x y -++-=， 故过定点()1,1A当直线l 与AO 垂直时，距离最大.1OA k =，故1k =-，解得0a =，故所求直线方程为20x y +-=【点睛】本题考查了直线的截距的定义，考查了直线过定点的判断，考查了已知点到直线的距离的最大值求参数问题，考查了数学运算能力.18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数与中位数. 【答案】（1）0.005a =（2）平均数为73，中位数为：2713. 【解析】 【分析】的【（1）由频率和为1求解即可；（2）以各区间中点值代表各组的取值,进而求得平均数；求出从左边开始小矩形的面积的和为0.5对应的横轴的值即为中位数【详解】（1）由频率分布直方图知()20.020.030.04101a +++⨯=, 解得0.005a =（2）估计这100名学生语文成绩的平均分为:550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由（1）,设中位数为x ,则()0.005100.04100.03700.5x ⨯+⨯+-= 解得2713x =,故估计中位数为：2713.【点睛】本题考查频率的性质,考查利用频率分布直方图求平均数和中位数,考查数据处理能力19.如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱1BB 、1CC 的交点记为E F 、.（1）在三棱柱111ABC A B C -中，若过1A E F 、、三点做一平面，求截得的几何体111A B C EF 的表面积； （2）求三棱柱中异面直线AE 与1A F 所成角的余弦值.【答案】（1）6+2）15【解析】 【分析】（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3.所求几何体的表面积为各面的面积之和，利用表面积公式求解即可；（2）延长1C C 到H ，使11CH C F ==，连结,AH EH ，可以证明出1//A F AH ，所以异面直线1A F 与AE 所成的角即为EAH ∠（或其补角），利用余弦定理求值即可.【详解】（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3.所求几何体的表面积为各面的面积之和. 又111111121122A C F S AC C F ∆=⋅=⨯⨯=11111111sin 6022sin 6022B A C S A B B C ∆=⋅⋅︒=⨯⨯︒=111111122222A B E S A B B E =⋅=⨯⨯=V()11111111(12)2322B C FE S C F B E B C =+⋅=⨯+⨯=四边形又在三角形1A EF 中，11A F EF A E ==∴1F A E S ∆故1236S =++=表（2）延长1C C 到H ，使11CH C F ==，连结,AH EH ，所以有平行四边形的性质可知1//A F AH ，所以异面直线1A F 与AE 所成的角即为EAH ∠（或其补角）在AEH ∆中，AE AH ====EH ==由余弦定值得1cos5EAH ∠==【点睛】本题考查了异面直线所成的角，考查了空间几何体的表面积的求法，考查了余弦定理的应用. 20.某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy，再求ˆy 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）从这6组数据中随机选取4组数据，求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率；（2）若选取的是中间4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）13（2）ˆ 1.212yx =+，此方程是“恰当回归方程”. 【解析】 【分析】（1）先列出剩下2组数据的基本事件,再找到相邻的情况,进而求解即可；（2）利用最小二乘法由公式求得线性回归方程,再代入剩余两组的数据进行检验即可 【详解】（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据相邻”为事件A , 记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的2组数据的基本事件有()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,共15种,其中相邻的有()()()()()1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,共5种, 所以51()153P A == （2）中间4组数据是:因为111213142526292812.5,2744x y ++++++====,所以()()()2116,5n niiii i x x y y x x ==--=-=∑∑,所以()()()1216ˆ 1.25niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑, ˆˆ27 1.212.512ay bx =-=-⨯=,所以ˆ 1.212y x =+, 当10x =时,ˆ 1.2101224,242311y=⨯+=-=≤； 当15x =时,ˆ 1.2151230,30311,11y=⨯+=-=--≤； 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,考查最小二乘法求线性回归方程,考查线性回归方程的实际应用 21.如图，在四棱锥中P ABCD -中，AD CD ⊥，//AD BC ，224AD BC CD ===，PC =PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求AB 与平面PCD 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）结合正三角形的性质和勾股定理的逆定理可以证明出CD PD ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）点E 是PD 的中点，连接AE ，根据（1）中的线面垂直，可以得到面面垂直，进而根据面面垂直的性质定理可以证明出AE ⊥平面PCD ，这样可以得到AB 与平面PCD 所成角AHE ∠，通过锐角三角函数的定义可以求出AB 与平面PCD 所成角的余弦值.【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==， ∴4,2PD CD ==，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥， ∵,AD CD AD PD D ⊥=I ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD PA ⊥；（2）设点E 是PD 的中点，连接AE ，延长DC AB 、交于点H ，连接EH .∵PAD ∆是正三角形，∴,AE PD AE ⊥=由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ， ∴AE ⊥平面PCD ，∴AB 与平面PCD 所成角为AHE ∠， ∵,224AD CD AD BC CD ⊥===，∴4,DH AH EH ====∴cos EH AHE AH ∠===∴AB 与平面PCD 所成角的余弦值4【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直，考查了线面角的求法，考查了面面垂直的性质定理，考查了推理论证能力和数学运算能力.22.已知圆心在x 轴上的圆C 与直线4360x y --=切于点6,5E m ⎛⎫-⎪⎝⎭，圆22:(3)220P x a x y ay a +++-++=.（1）求圆C 的标准方程；（2）已知1a >，圆P 与x 轴相交于两点M N 、（点M 在点N 的右侧），过点M 任作一条倾斜角不为0的直线与圆C 相交于A B 、两点.问：是否存在实数a ，使得ANM BNM ∠=∠？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(1)4x y ++=（2）存在满足条件的a ，且4a = 【解析】 【分析】（1）根据切点在过该切点的切线上，可得m 的值，再根据切线的性质，可以求出圆心的坐标，进而可以求出半径，最后求出圆的方程；（2）假设这样的a 存在，0y =，求出M N 、两点的坐标，设出直线MN 的方程，与圆的方程联立，根据ANM BNM ∠=∠，可以得到AN BN k k =-，结合一元二次方程根与系数关系，可以求出a 的值.【详解】（1）设圆心C 的坐标为(),0t ，由点E 在直线l 上，知36,55E ⎛⎫-⎪⎝⎭则66535315CEk t ==--，4,13C l l E k k k =⋅=-，则641,1533t t ⨯=-=--，故()1,0C -所以2CE =，即半径2r =. 故圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=.（2）假设这样的a 存在，在圆P 中，令0y =，得2(3)2(1)0x a x a ++++=，解得12x =-或21x a =--，又由1a >知12a --<-，所以()()2,01,0M N a ---、.由题可知直线AB 的倾斜角不为0，设直线:2AB x my =-，()()1122,,,A x y B x y ， 由222(1)4x my x y =-⎧⎨++=⎩，得()221230m y my +--= ∵点()2,0M -在圆C 内部，∴有>0∆恒成立，1221222131m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.因为ANM BNM ∠=∠，所以AN BN k k =-，即1212011y y x a x a +=++++，也即是1212011y y my a my a +=+-+-，整理得()12122(1)0my y a y y +-+=，从而22322(1)011mm a m m -⨯+-⨯=++，化简有()40m a -=， 因为对任意的m R ∈都要成立，所以4a =， 由此可得假设成立，存在满足条件的a ，且4a =.【点睛】本题考查了求圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中存在性问题，考查了数学运算能力.。
2018-2019学年四川省内江市高二下学期期末检测数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年四川省内江市高二下学期期末检测数学（理）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数22i i-的虚部是（ ） A ．2i B ．2C ．2i -D ．2-【答案】B【解析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部. 【详解】2222112ii i i i-=--=-+Q ，因此，该复数的虚部为2，故选：B. 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,2【答案】A【解析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于m 的不等式，解出该不等式可得出实数m 的取值范围. 【详解】椭圆的标准方程为2211x y m+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则101m<<，解得1m >，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 3．方程至少有一个负根的充要条件是 A ． B ．C ．D ．或【答案】C【解析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；若方程有两个负的实根，则必有．②若时，可得也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．故答案为：C【考点】充要条件，一元二次方程根的分布 4．下列说法中正确的个数是（ ）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠； ②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确； 对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确； 对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则201yq =>-，0y ∴<. 由等比中项的性质得()()2144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r的夹角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】D【解析】设向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r 的夹角为θ，计算出向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r 的坐标，然后由12131213cos PP PP PP PP θ⋅=⋅uuu r uuu r uuu r uuu r 计算出cos θ的值，可得出θ的值. 【详解】设向量12PP u u u u r 与13PP u u u u r的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-uuu r Q ，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-uuu r，则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，90θ=，故选：D. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 6．函数()32ln f x x x x=---的单调递增区间是（ ） A ．()0,∞+ B ．()3,1-C ．()1,+∞D ．()0,1【答案】D【解析】求出函数()y f x =的定义域和导数，然后在定义域内解不等式()0f x '>可得出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】函数()32ln f x x x x =---的定义域为()0,∞+，且()22223231x x f x x x x +-'=--+=-，解不等式()0f x '>，即2230x x +-<，由于0x >，解得01x <<. 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意导数与函数单调区间之间的关系，另外解出相应的导数不等式后，还应将不等式的解集与定义域取交集即可得出函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题. 7．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．15【答案】A【解析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值. 【详解】0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=； 1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=； 3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=. 7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选：A. 【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>经过点)3,2，且离心率为3，则它的虚轴长是（ ）A ．B ．5C ．2D ．4【答案】B【解析】根据题中条件列出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，可得出该双曲线的虚轴长. 【详解】由题意可得22222341190,0a b b e a a b ⎧-=⎪⎪⎪=+=⎨⎪>>⎪⎪⎩，解得25a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，该双曲线的虚轴长为245b =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线虚轴长的计算，解题的关键利用题中条件列方程组求a 、b 的值，考查方程思想的应用，属于中等题. 9．若随机变量X 服从正态分布()8,1N ，则()67P X <<=（ ） 附：随机变量()()2~,0X N μσσ>，则有如下数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.A ．1B ．0.1359C ．0.3413D ．0.4472【答案】B【解析】先将6、7用μ、σ表示，然后利用题中的概率求出()67P X <<的值. 【详解】由题意可知8μ=，21σ=，则1σ=，62μσ∴=-，7μσ=-， 因此，()()672P X P X μσμσ<<=-<<-()()0.95440.6826022.135922P X P X μσμσμσμσ-===-<<+--<<+，故选：B. 【点睛】本题考查利用正态分布3σ原则求概率，解题时要将相应的数用μ和σ加以表示，并利用正态曲线的对称性列式求解，考查计算能力，属于中等题.10．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ）A ．83B ．1或83C ．82D ．1或82【答案】B【解析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和. 【详解】8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为882188kk k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222828112C a a ⋅==，得2a =±.当2a =时，二项式为82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；当2a =-时，二项式为82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.11．椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为5b ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．29【答案】C【解析】利用等面积法得出a 、b 、c 的等式，可得出a 、c 的等量关系式，可求出椭圆的离心率. 【详解】由椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积为S bc =，该三角形的周长为22a c +，由题意可得()12225bS bc a c ==+⋅，可得5a c c +=， 得14c e a ==，因此，该椭圆的离心率为14，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，解题时要结合已知条件列出有关a 、b 、c 的齐次等式，通过化简计算出离心率的值，考查运算求解能力，属于中等题.12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()(2)f x f x x =-+，当0x <时，()21f x x '<+，若()()242f a f a a -≤--+，则实数a 的最小值是（ ） A ．1 B ．1-C ．12D ．12-【答案】A【解析】构造函数()()2g x f x x x =--，根据等式()()2f x f x x -=+可得出函数()y g x =为偶函数，利用导数得知函数()y g x =在(),0-∞上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在()0,∞+上单调递增，由()()242f a f a a -≤--+，得出()()2g a g a -≤-，利用函数()y g x =的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可. 【详解】构造函数()()2g x f x x x =--，对任意实数x ，都有()()2f x f x x -=+，则()()()()()()()2222g x f x x x f x x x x f x x x g x =--=--+-=-+---=-， 所以，函数()y g x =为偶函数，()()g x g x ∴=.当0x <时，()()210g x f x x ''=--<，则函数()y g x =在(),0-∞上单调递减， 由偶函数的性质得出函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，()()242f a f a a -≤--+Q ，即()()()()()()22222f a a a f a a a -----≤-----，即()()2g a g a -≤-，则有()()2g a g a -≤，由于函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，2a a ∴-≤，即()22a a -≤，解得1a ≥，因此，实数a 的最小值为1，故选：A. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题13．某单位在3名男职工和5名女职工中，选取4人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______. 【答案】65.【解析】在没有任何限制的条件下，减去全是女职工的选法种数可得出结果.【详解】由题意可知，全是女职工的选法种数为455C =，因此，男女职工都有的选法种数为448570565C C -=-=，故答案为：5.【点睛】本题考查组合问题，利用间接法求解能简化分类讨论，考查计算能力，属于中等题.14．正方体1111ABCD A B C D －中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值为______.【答案】6. 【解析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，计算出平面11AC FE 的一个法向量n ，利用空间向量法计算出直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值. 【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如下图所示空间直角坐标系.则点()1,0,0E 、()2,1,0F 、()2,2,0C 、()10,0,2A 、()12,2,2C 、()10,2,2D ，设平面11AC FE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()112,2,0AC =uuu u r ，()11,0,2A E =-uuu r. 由11100n A C n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x z +=⎧⎨-=⎩，得2y x x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令2x =，则2y =-，1z =.可知平面11AC FE 的一个法向量为()2,2,1n =-r ，又()12,0,2CD =-uuu r. 111cos ,6322n CD n CD n CD ⋅===-⨯⋅r uuu rr uuu r r uuu r ，因此，直线1CD 与平面11AC FE 22. 【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 15．已知函数()()22ln 0xf x x x a a=-+>，若函数()f x 在[]1,2上为单调函数，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】210,,153⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】分两种情况讨论：函数()y f x =在区间[]1,2上为增函数或减函数，转化为()0f x '≥或()0f x '≤在区间[]1,2上恒成立，利用参变量分离得出114x a x ≥-或114x a x≤-在区间[]1,2上恒成立，然后利用单调性求出函数14y x x=-在区间[]1,2上的最大值和最小值，可求出实数a 的取值范围. 【详解】()22ln x f x x x a =-+Q ，()114f x x a x'∴=-+. ①当函数()y f x =在区间[]1,2上单调递增，则不等式()0f x '≥在区间[]1,2上恒成立， 即1140x a x -+≥，则114x a x ≥-，由于函数14y x x=-在区间[]1,2上单调递增， max 1154222y ∴=⨯-=，1152a ∴≥，0a >，解得2015a <≤；②当函数()y f x =在区间[]1,2上单调递减，则不等式()0f x '≤在区间[]1,2上恒成立， 即1140x a x -+≤，则114x a x ≤-，由于函数14y x x=-在区间[]1,2上单调递增， min 14131y ∴=⨯-=，13a ∴≤，0a >，解得13a ≥.因此，实数a 的取值范围是210,,153⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故答案为：210,,153⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.16．已知F 为抛物线2:C y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且12OA OB ⋅=uu r uu u r（其中O 为坐标原点），若ABO ∆的面积是1S ，AFO ∆的面积是2S ，则124S S +的最小值是______.【答案】【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，利用12OA OB ⋅=uu r uu u r，可得出124y y =-，并设直线AB 的方程为x my b =+，将此直线与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出b 的值，可得出直线AB 过定点()4,0E ，再利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出124S S +的最小值. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，221212121212OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=uu r uu u r ，则()21212120y y y y +-=，易知120y y <，得124y y =-，214y y ∴=-. 设直线AB 的方程为x my b =+，代入抛物线的方程得20y my b --=，则124y y b =-=-，得4b =，所以直线AB 的方程为4x my =+，直线AB 过x 轴上的定点()4,0E ，12121111111111141585844422224222S S y y y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯⨯=++=+≥⋅ ⎪⎝⎭45=，当且仅当145y =124S S +的最小值为455【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，常规思路就是设出直线方程，将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理求解，另外在求最值时，充分利用基本不等式进行求解，难点在于计算量较大，属于难题.三、解答题17．（1）证明不等式：1xe x ≥+，x ∈R ；（2）已知0m >，()():220p x x +-≤；:11q m x m -≤≤+；p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围. 【答案】（1）见证明；（2）(]0,1.【解析】（1）构造函数()1xf x e x =--，将问题转化为()min 0f x ≥，然后利用导数求出函数()y f x =的最小值即可得证；（2）解出命题p 中的不等式，由题中条件得出x 的两个取值范围之间的包含关系，然后列出不等式组可解出实数m 的取值范围. 【详解】（1）即证：10x e x --≥，x ∈R .令()1x f x e x =--，x ∈R ，则()1xf x e '=-，令()0f x '=，得0x =.当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.所以，函数()y f x =在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 00f x f ==. 因此，()()min 0f x f x ≥=，因此，对任意的x ∈R ，1x e x ≥+； （2）解不等式()()220x x +-≤，得22x -≤≤，则:22p x -≤≤. 由于p 是q 的必要不充分条件，则[][]2,21,1m m --+Ý，则有12120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤.当1m =时，则[][]2,20,2-Ý，合乎题意. 因此，实数m 的取值范围是(]0,1. 【点睛】本题第（1）考查利用导数证明函数不等式，一般构造差函数，转化为差函数的最值来证明，第（2）问考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合间的包含关系求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题. 18．已知椭圆()222:220C x y b b +=>.（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且113AB =，求AOB ∆的面积. 【答案】（1）22e =；（2）2212. 【解析】（1）将椭圆C 的方程化为标准方程，得出a 、c 与b 的等量关系，可得出椭圆C 的离心率的值；（2）设直线l 的方程为y x m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将b 的值代入得出椭圆C 的方程，将直线l 的方程与椭圆C 联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件AB =可求出m ，利用点到直线的距离公式计算出原点O 到直线l 的距离d ，然后利用三角形的面积公式可得出OAB ∆的面积. 【详解】（1）椭圆()2222:102x y C b b b+=>，∴椭圆长半轴长为2a b =，短半轴长为b ，222122c b e a b ∴===-=；（2）设斜率为1的直线l 的方程为y x m =+，且()11,A x y 、()22,B x y ，1b =Q ，∴椭圆C 的方程为22:22x y +=，由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，.消去y 得2234220x mx m ++-=，又有1221243223m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩. ()2222121212168842423933m m AB x x x x x m -∴=-=+-=-=-2113=， 解得：214m =满足>0∆，∴直线l 的方程为102x y -±=. 故O 到直线的距离12242d ==，1121122222AOE S AB d ∆∴=⋅==. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.19．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.（1）由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；（2）若对在[)15,25、[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考值表：【答案】（1）列联表见解析，没有99 %的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异 ；（2）45E x =，分布列见解析. 【解析】（1）根据题干表格中的数据补充22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，将观测值与6.635作大小比较，于此可对题中结论进行判断；（2）由题意得出随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3，然后利用超几何分布概率公式计算出随机变量ξ在相应取值时的概率，可得出随机变量ξ的分布列，并计算出该随机变量ξ的数学期望. 【详解】（1）22⨯列联表：2250(311729) 6.27 6.63510403218K ⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯则没有99 %的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异； （2）ξ的所有可能取值有：0、1、2、3.()2284225106288401045225C C P C C ξ∴==⨯=⨯=，()21112882442222510510428616104110451045225C C C C C C C P C C ξ⨯==⨯+⨯=⨯+⨯=， ()111228244222225105104166135210451045225C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=⨯+⨯=，()12422251041231045225C C P C C ξ==⨯=⨯=.则ξ的分布列如下表：则ξ的期望值是：84104352401232252252252255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验以及随机变量分布列与数学期望的计算，解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，再结合相应的概率公式计算即可，考查分析问题与计算能力，属于中等题.20．如图，矩形ABCD 所在的平面与直角梯形CDEF 所在的平面成60的二面角，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3EF =，6CF =，45CFE ∠=o .（1）求证：//BF 面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D --的余弦值为77. 【答案】（1）见解析；（2）G 为线段CF 的中点.【解析】（1）利用面面平行的判定定理证明出平面//BCF 平面ADE ，再利用平面与平面平行的性质得出//BF 平面ADE ；（2）由CD AD ⊥，CD DE ⊥，由二面角的定义得出60ADE ∠=，证明出平面CDE ⊥平面ADE ，过点A 在平面ADE 内作AO DE ⊥，可证明出AO ⊥平面CDEF ，以点O 为坐标原点，OE 、OA 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设点G 的坐标为()()3,,015t t -≤≤，求出t 的值，由此确定点G 的位置. 【详解】（1）在矩形ABCD 中，//BC AD ，又AD ⊂Q 平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，//BC ∴平面ADE ，同理可证//CF 平面ADE ，BC CF C ⋂=Q ，BC 、CF ⊂平面BCF ，∴平面//BCF 平面ADE ， BF ⊂平面BCF ，//BF ∴平面ADE ；（2）在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，又C D D E ⊥，则矩形ABCD 所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平面角为ADE ∠，即60ADE ∠=.又AD DE D ⋂=Q ，CD \^平面ADE ，作AO DE ⊥于O ，AO ⊂Q 平面ADE ，AO CD ∴⊥， 又CDDE D =，CD 、DE ⊂平面CDEF ，AO ∴⊥平面CDEF .作EH CF ⊥于H，EF =Q 45ECF ∠=o ，3CD EH HF ∴===，6CF =Q ，3CH DE ∴==，1OD =，2OE =.以O 为原点，OE 、OA 所在直线分别为y 轴、z 轴如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(B 、()0,2,0E ，设()()3,,015G t t -≤≤.则(3,2,3BE =--uur ，(0,,3BG t =-uu u r，设平面BEG 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100BE n BG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即323030x y z ty z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3y =，则z =，2x t =-，则平面BEG 的一个法向量为()12,3,3n t t =-u r..又平面DEG 的一个法向量为()20,0,1n =u u r ，122327cos ,4413t n n t t ∴==-+u r u u r，解得2t =或265t =-（舍去）. 此时，1CG GF =，1302G ⎛⎫⎪⎝⎭，，即所求点G 为线段CF 的中点. 【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及二面角的计算，解题时要注意二面角的定义，本题考查二面角的动点问题，一般要建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.21．已知抛物线()220y px p =>上一点(022M x ，到焦点F 的距离032x MF =，倾斜角为α的直线经过焦点F ，且与抛物线交于两点A 、B .（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的中垂线m 交x 轴于点P .证明：cos2FP FP α-⋅为定值，并求出该定值.【答案】（1）抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-；（2）cos2FP FP α-⋅为定值4，证明见解析. 【解析】（1）利用抛物线的定义结合条件032x MF =，可得出0x p =，于是可得出点M 的坐标，然后将点M 的坐标代入抛物线的方程求出p 的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x ，列出韦达定理，计算出线段AB 的中点C 的坐标，由此得出直线m 的方程，并得出点P 的坐标，计算出PC 和FP 的表达式，可得出sin PCFPα=，然后利用二倍角公式可计算出cos2FP FP α-⋅为定值，进而证明题中结论成立. 【详解】（1）由抛物线的定义知，00322x p MF x =+=，0x p ∴=. 将点(,22M p 代入22y px =，得228p =，得2p =.∴抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x ty =+，由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y ty --=，则121244y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩，()21212242x x t y y t ∴+=++=+，()221,2C t t ∴+.设直线AB 中垂线m 的方程为：()2221y t t x t ⎡⎤-=--+⎣⎦，令0y =，得：223x t =+，则点()223,0P t +，244PC t ∴=+222FP t =+.()222222442cos 22sin 2422t PC FP FP FP FP FP PC FP t αα+⎛⎫∴-==⋅=== ⎪ ⎪+⎝⎭，故cos2FP FP α-⋅为定值4. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，以及直线与抛物线的综合问题，常将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算，解题时要合理假设直线方程，可简化计算. 22．已知函数()2xf x ax e =-.（1）当2ea <时，求证：()f x 在()0,∞+上是单调递减函数； （2）若函数()f x 有两个正零点1x 、()212x x x <，求a 的取值范围，并证明：124x x +>.【答案】（1）见证明；（2）实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，证明见解析.【解析】（1）由题意得出()0f x '≤在区间()0,∞+上恒成立，由2e a <得出()2xf x ax e '=-<x ex e -，构造函数()xg x ex e =-，证明()0g x ≤在区间()0,∞+上恒成立即可；（2）由()0f x =利用参变量分离法得出2xe a x =，将题意转化为当直线y a =与函数()2x e h x x=在()0,∞+上有两个交点时求a 的取值范围，利用数形结合思想求解即可，然后由题意得出122122x x e a x e a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取自然对数得1122ln 2ln ln 2ln a x x a x x =-⎧⎨=-⎩，等式作差得12122ln ln x x x x -=-，利用分析得出所证不等式等价于()()21ln 011t t t t -<<<+，然后构造函数()()21ln 1x g x x x -=-+证明即可. 【详解】（1）()2xf x ax e =-Q ，()2xf x ax e '∴=-.由题意知，不等式()0f x '≤在区间()0,∞+上恒成立， 由于2e a <，当0x >时，()2x xf x ax e ex e '=-<-， 构造函数()xg x ex e =-，其中0x >，则()xg x e e '=-，令()0g x '=，得1x =. 当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.所以，函数()y g x =在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 10g x g ==，()()10g x g ∴≤=，所以，()()20x x f x ax e ex e g x '=-<-=≤.所以，不等式()0f x '<在区间()0,∞+上恒成立， 因此，当2ea <时，函数()y f x =在()0,∞+上是单调递减函数； （2）令()20xf x ax e =-=，可得()20xe a x x =>令()()20xe h x x x =>，则()()()320x e x h x x x-'=>. 当()0h x '>时，2x >，当()0h x '<时，02x <<.当02x <<时，函数()y f x =单调递减，当2x >时，函数()y f x =单调递增.()()2min24e h x h ∴==，当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时.()h x →+∞.()2a h ∴>时，函数()y f x =有两个正零点，因此，实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.由上知24e a >时，1202x x <<<，由题意得122122x x e a x e a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，上述等式两边取自然对数得1122ln 2ln ln 2ln a x x a x x =-⎧⎨=-⎩， 两式作差得()12122ln ln x x x x -=-，12122ln ln x x x x -∴=-，要证124x x +>，即证()1212122ln ln x x x x x x -+>-.由于1202x x <<<，则12ln ln 0x x -<，即证()1212122ln ln x x x x x x --<+，即证12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，令()120,1x t x =∈，即证()21ln 1t t t -<+，其中01t <<.构造函数()()21ln 1x g x x x -=-+，其中01x <<，即证()0g x <在()0,1上恒成立. ()()()()222114011x g x x x x x -'=-=>++，所以，函数()y g x =在区间()0,1上恒成立， 所以，()()10g x g <=，因此，124x x +>. 【点睛】本题考查利用导数证明函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，难点在于构造新函数，借助新函数的单调性来证明，考查化归与转化数学思想的应用，属于难题.。
四川省内江市2018-2019学年高二上学期期末检测数学(理)试题
2018-2019学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. B. C. D. 1，【答案】D【解析】【分析】根据空间坐标的对称性进行求解即可．【详解】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A关于坐标原点对称的点的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A. 45B. 54C. 90D. 126【答案】C【解析】【分析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．【详解】解：A种型号产品所占的比例为，，故样本容量n=90．故选：C．【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A. 56B. 60C. 120D. 140【答案】D【解析】【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【详解】根据频率分布直方图，200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选：D．【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．4.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 32B.C. 48D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．【详解】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为；所以该四棱锥的侧面积为4××4×2=16，底面积为4×4=16，所以几何体的表面积为16+16．故选：B．【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5.右图的正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成的角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接，由正方体的几何特征可得，则即为异面直线与所成的角，连接，易得，为正三角形，故，异面直线与所成的角是，故选C.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及正方体的性质，属于中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.6.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c则a∥c；②若a∥b，b⊥c则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．【详解】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确．综上可知：只有②正确．故选：A．【点睛】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．7.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【详解】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D．解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线选答案D故选：D．【点睛】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．8.已知直线，直线，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：的斜率小于斜率时，直线与的交点位于第一象限，此时共有六种：因式概率为，选A．考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法．（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．9.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A. 18B. 20C.D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，C点到原点的距离最大，由得，即C（，），此时x2+y2=，故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键．10.与圆和圆都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】圆的圆心为(−2,2),半径为1,圆心是(2,5)，半径为4故两圆相外切∴与圆和都相切的直线共有3条。
四川省内江市学年高二上学期期末检测数学理试题解析版
高二（上）期末数学试卷（理科）班级_________姓名_________考场号______座位号______注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。
不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，再选择其他答案标号。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. (1,−1,−1)B. (−1,−1,−1)C. (−1,−1,1)D. (−1,1，−1)2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A. 45B. 54C. 90D. 1263.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404.图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 32B. 16+16√2C. 48D. 16+32√25.如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘6.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c则a∥c；②若a∥b，b⊥c则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A. x+2y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x+y−3=0D. x+2y−3=08.已知直线l1：x-2y-1=0，直线l2：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，}．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A. 16B. 14C. 13D. 129.若变量x，y满足{x+y≤63x−5y≤14x≥2，则x2+y2的最大值是（）A. 18B. 20C. 612D. 1642510.与圆O1；x2+y2+4x-4y+7=0，圆O2：x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 11πD. 5π12.已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M，过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的取值范围是（）A. [−1,1]B. (−∞,−1]∪[1,+∞)C. [−12,12] D. (−∞,−12]∪[12,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．14.执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．16.正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程；（2）求过点P（-1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥平面AB1C．19.已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．（1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点C （3，0），求线段CD 的中点M 的轨迹方程．20. 某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表：年份20122013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：参考公式：b ^=∑(ni=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i−t −)2，a ^=y −−b ^t −．y ∧=b ∧x +a ∧．21. 如图：高为1的等腰梯形ABCD 中，AM =CD =1，AB =3，现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB 、AC ．（1）在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC ？ （2）当点P 为AB 边中点时，求点B 到平面MPC 的距离．22. 已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y =kx -2．（1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；（3）若k =12，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．答案1.【答案】B【解析】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（-1，-1，-1），故选：B．根据空间坐标的对称性进行求解即可．本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．4.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为=2；所以该四棱锥的侧面积为4××4×2=16，底面积为4×4=16，所以几何体的表面积为16+16．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5.【答案】C【解析】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故选：C．连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确．综上可知：只有②正确．故选：A．①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2-x，y）在直线x-2y+1=0上，∴2-x-2y+1=0化简得x+2y-3=0故选答案D．解法二：根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选：D．设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．8.【答案】A【解析】解：设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a．联立方程组解得x=，y=，∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则x=＞0，y=＞0，解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．∴P（A）==即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为．故选：A．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用．9.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，C点到原点的距离最大，由得，即C （，），此时x2+y2=，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：圆的圆心坐标为（-2，2），半径为1，圆的圆心坐标为（2，5），半径为4，两个圆心之间的距离d=5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条，故选：A．根据已知中圆的方程，求出圆心坐标和半径，判断出两圆外切，可得答案．本题考查的知识点是圆的位置关系，圆的一般方程，难度中档．11.【答案】B【解析】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，若过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=，则M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得：a≤-1或a≥1，即a的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）；故选：B．根据题意，由正方形的性质可得|OM|=，分析可得M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，进而可得若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析M的轨迹，属于基础题．13.【答案】5 8【解析】解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：5 8．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．14.【答案】63【解析】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y的值为63．故答案为：63．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.【答案】（x-2）2+y2=8【解析】解：根据题意，直线ax-y-4a-2=0，即y+2=a（x-4），恒过定点（4，-2），设P为（4，-2）设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0），分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大为CP，此时r2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8，则要求圆的方程为（x-2）2+y2=8，故答案为：（x-2）2+y2=8．根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题．16.【答案】2√5+√6．【解析】解：取SB，AB中点H，P，连接HG，PC，取PB中点Q，连接HQ，GQ，因为E、F分别为SD，CD中点，所以EF∥SC，SC∥HG，所以HG∥EF，HG不在面AEF内，所以HG∥面AEF．因为QG是中位线所以QG∥PC，PC ∥AF，所以QG∥AF，因为QG不在面AEF 内，所以QG∥面AEF，因为HG∩QG=G，所以面HQG∥面AEF．动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为△HQG 的周长．正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为4，所以QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点P的轨迹的周长为2+．过G做一个平面与面AEF平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点P的轨迹的周长．本题考查面面平行的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：（1）联立{x−y+4=03x+4y−2=0，解得{y=2x=−2，∴两直线的焦点坐标为（-2，2），直线x-2y-1=0斜率为12，则所求直线的斜率为-2．∴直线方程为y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则-1+3=a，即a=2．是求直线方程为x+y=2．∴所求直线方程为3x+y=0或x+y-2=0．【解析】（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求．本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．18.【答案】证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1C∩BC1=E，所以E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是三棱柱，AA1⊥底面ABC所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面AB1C．【解析】（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C．（2）由线面垂直得AC⊥CC1，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC1B1，由此能证明BC1⊥平面AB1C．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：（1）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有√(a−3)2+(3a−2−1)2=√(a+1)2+(3a−2−3)2，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=√10．所以，圆N的方程为（x-2）2+（y-4）2=10．（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x-2）2+（y-4）2=10上任意一点，可设D（2+√10cosα，4+√10sinα）．∵C（3，0），点M是线段CD的中点，∴有x=3+2+√10cosα2，y=0+4+√10sinα2，消去参数α得：（x-52）2+（y-2）2=52．故所求的轨迹方程为：（x-52）2+（y-2）2=52【解析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．20.【答案】解：（1）t−=1+2+3+4+5+6+77=4，y−=2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.97=4.3，b^=−3×(−1.4)+(−2)×(−1)+(−1)×(−0.7)+0+0.5+2××0.9+3×1.69+4+1+0+1+4+9=1424=0.5，a^=y−-b^×t−=4.3-0.5×4=2.3，y关于t的线性回归方程为：y^=0.5x+2.3．（2）2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番．当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3千元．∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．【解析】（1）根据公式计算可得：=0.5x+2.3．（2）t=8代入计算可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．21.【答案】解：（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，又∵DC∥MB，∴△MOB∽△COD，∴OB ：OD =MB ：DC ，∴OB =2OD ， ∵PB =2PA ， ∴OP ∥AD ，∵AD ⊄平面MPC ，OP ⊂平面MPC ， ∴AD ∥平面MPC ；（2）由题意，AM ⊥MD ，平面AMD ⊥平面MBCD ，∴AM ⊥平面MBCD ， ∴P 到平面MBC 的距离为12，△MBC 中，MC =BC =√2，MB =2，∴MC ⊥BC ， ∴S △MBC =12×√2×√2=1，△MPC 中，MP =√52=CP ，MC =√2，∴S △MPC =12×√2×√54−24=√64．设点B 到平面MPC 的距离为h ， 则由等体积可得13×1×12=13×√64ℎ， ∴h =√63．【解析】（1）在AB 边上存在点P ，满足PB=2PA ，使AD ∥平面MPC ，证明AD ∥OP ，即可证明AD ∥平面MPC ？（2）当点P 为AB 边中点时，利用等体积方法，即可求点B 到平面MPC 的距离．本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 22.【答案】解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y =kx -2．直线l 与圆O 相切，∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径r =√2， 即d =|−2|√k 2+1=√2， 解得k =±1． （2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y =kx -2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx +2=0， ∴x 1+x 2=4k1+k 2，x 1x 2=21+k 2， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1， 当∠AOB 为锐角时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2） =(1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4 =6−2k 21+k 2＞0，解得k 2＜3，又k 2＞1，∴-√3＜k ＜−1或1＜k ＜√3． 故k 的取值范围为（-√3，−1）∪（1，√3）．（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，12t −2），其方程为x （x -t ）+y （y -12t +2）=0， ∴x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0，即（x -y2）t -2y -2=0， 由{x +y2=02y +2=0，得{x =12y =−1， ∴直线CD 过定点（12，−1）． 【解析】（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径r=，由此能求出k ．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围． （3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，），其方程为，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x-）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（）．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
2018-2019学年四川省内江市高二(上)期末数学试卷(理科)解析版
2018-2019学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. B. C. D. 1，2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A. 45B. 54C. 90D. 1263.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404.图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 32B.C. 48D.5.如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A.B.C.D.6.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c则a∥c；②若a∥b，b⊥c则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A. B. C. D.8.已知直线l1：x-2y-1=0，直线l2：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，}．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A. B. C. D.9.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A. 18B. 20C.D.10.与圆O1；x2+y2+4x-4y+7=0，圆O2：x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M，过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．14.执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．16.正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程；（2）求过点P（-1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥平面AB1C．19.已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．（1）求此圆的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．20.（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：参考公式：=，=．=．21.如图：高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=1，AB=3，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（1）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（2）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．22.已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD 是否过定点．答案和解析1.【答案】B【解析】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（-1，-1，-1），故选：B．根据空间坐标的对称性进行求解即可．本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．4.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为=2；所以该四棱锥的侧面积为4××4×2=16，底面积为4×4=16，所以几何体的表面积为16+16．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5.【答案】C【解析】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故选：C．连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确．综上可知：只有②正确．故选：A．①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2-x，y）在直线x-2y+1=0上，∴2-x-2y+1=0化简得x+2y-3=0故选答案D．解法二：根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选：D．设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．8.【答案】A【解析】解：设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a．联立方程组解得x=，y=，∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则x=＞0，y=＞0，解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．∴P（A）==即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为．故选：A．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用．9.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，C点到原点的距离最大，由得，即C （，），此时x2+y2=，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：圆的圆心坐标为（-2，2），半径为1，圆的圆心坐标为（2，5），半径为4，两个圆心之间的距离d=5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条，故选：A．根据已知中圆的方程，求出圆心坐标和半径，判断出两圆外切，可得答案．本题考查的知识点是圆的位置关系，圆的一般方程，难度中档．11.【答案】B【解析】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，若过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=，则M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得：a≤-1或a≥1，即a的取值范围为（-∞，-1][1，+∞）；故选：B．根据题意，由正方形的性质可得|OM|=，分析可得M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，进而可得若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析M的轨迹，属于基础题．13.【答案】5 8【解析】解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：5 8．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．14.【答案】63【解析】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y的值为63．故答案为：63．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.【答案】（x-2）2+y2=8【解析】解：根据题意，直线ax-y-4a-2=0，即y+2=a（x-4），恒过定点（4，-2），设P为（4，-2）设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0），分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大为CP，此时r2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8，则要求圆的方程为（x-2）2+y2=8，故答案为：（x-2）2+y2=8．根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题．16.【答案】2+．【解析】解：取SB，AB中点H，P，连接HG，PC，取PB中点Q，连接HQ，GQ，因为E、F分别为SD，CD中点，所以EF∥SC，SC∥HG，所以HG∥EF，HG不在面AEF内，所以HG∥面AEF．因为QG是中位线所以QG∥PC，PC∥AF，所以QG∥AF，因为QG不在面AEF 内，所以QG∥面AEF，因为HG∩QG=G，所以面HQG∥面AEF．动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为△HQG 的周长．正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为4，所以QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点P的轨迹的周长为2+．过G做一个平面与面AEF平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点P的轨迹的周长．本题考查面面平行的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：（1）联立，解得，∴两直线的焦点坐标为（-2，2），直线x-2y-1=0斜率为，则所求直线的斜率为-2．∴直线方程为y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则-1+3=a，即a=2．是求直线方程为x+y=2．∴所求直线方程为3x+y=0或x+y-2=0．【解析】（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求．本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．18.【答案】证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1C∩BC1=E，所以E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是三棱柱，AA1⊥底面ABC所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面AB1C．【解析】（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C．（2）由线面垂直得AC⊥CC1，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC1B1，由此能证明BC1⊥平面AB1C．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：（1）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有=a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=．所以，圆N的方程为（x-2）2+（y-4）2=10．（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x-2）2+（y-4）2=10上任意一点，可设D（2+cosα，4+sinα）．∵C（3，0），点M是线段CD的中点，∴有x=，y=，消去参数α得：（x-）2+（y-2）2=．故所求的轨迹方程为：（x-）2+（y-2）2=【解析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．20.【答案】解：（1）==4，==4.3，===0.5，=-×=4.3-0.5×4=2.3，y关于t的线性回归方程为：=0.5x+2.3．（2）2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番．当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3千元．∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．【解析】（1）根据公式计算可得：=0.5x+2.3．（2）t=8代入计算可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．21.【答案】解：（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，又∵DC∥MB，∴△MOB∽△COD，∴OB：OD=MB：DC，∴OB=2OD，∵PB=2PA，∴OP∥AD，∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC；（2）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，∴P到平面MBC的距离为，△MBC中，MC=BC=，MB=2，∴MC⊥BC，∴S△MBC=×=1，△MPC中，MP==CP，MC=，∴S△MPC=×=．设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，∴h=．【解析】（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？（2）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：（1）∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2．直线l与圆O相切，∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，即d==，解得k=±1．（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，∴ ，，△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1，当∠AOB为锐角时，=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）==＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴-＜＜或1＜k＜．故k的取值范围为（-，）（1，）．（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为x（x-t）+y（y-）=0，∴，又C，D在圆O：x2+y2=2上，∴l CD：tx+，即（x-）t-2y-2=0，由，得，∴直线CD过定点（，）．【解析】（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x-）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
四川省内江市2018-2019学年高二下学期期末检测数学(理)试题 含答案
（）易得：： ， 分 ２
ｐ － ２≤ｘ≤２ ６
{ ∵ ｐ 是ｑ 的必要不充分条件，∴
，解得： １ － ｍ≥ － ２
ｍ≤１
分 ９
１ ＋ ｍ≤２
验证得：ｍ ＝ １ 也满足． 又∵ ｍ ＞ ０，故有：ｍ∈（０，１］． 分 １０
三、解答题：本大题共６ 小题，共７０ 分． 解答应写出必要的文字说明、推演步骤． １７． （本小题满分１０ 分，每小题各５ 分） （１）证明不等式：ｅｘ≥１ ＋ ， ； ｘ ｘ∈Ｒ （２）已知ｍ ＞ ０，ｐ：（ｘ ＋ ２）（ｘ － ）２ ≤０． ：ｑ １ － ｍ≤ｘ≤１ ＋ ｍ． ｐ 是ｑ 的必要不充分条件，求ｍ
时，ｆ′（ｘ）＜ ２ｘ ＋ １，若ｆ（２ － ） （ ａ ≤ｆ － ）ａ － ４ａ ＋ ６，则实数ａ 的最小值是
Ａ． １
Ｂ． － １
Ｃ．
１ ２
Ｄ．
－
１ ２
第Ⅱ卷（非选择题 共９０ 分）
二、填空题：本大题共４ 小题，每小题５ 分，共２０ 分． 请把答案填在答题卡上．
１３． 某单位在３ 名男职工和５ 名女职工中，选取４ 人参加一项活动，要求男女职工都有，则
高二数学（理科）试题答案第 １ 页（共４ 页）
∴
：ｌ ｘ － ｙ
±
１ ２
＝
０
，故Ｏ
到直线的距离ｄ ＝
槡２
４
· 槡 槡 槡 分 ∴
Ｓ△ＡＯＢ
＝
１ ２
｜ ＡＢ ｜
ｄ
＝
１ ２
×２
１１ ３
×
２ ４
＝
２２ １２
１２
１９． 解：（１）２ × ２ 列联表：
月收入不低于５５ 百元的人数月收入低于５５ 百元的人数 合计
四川省内江市2018-2019学年高二上学期期末检测数学(文)试题(含精品解析)
四川省内江市2018-2019学年高二上学期期末检测数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 1，【答案】D【解析】【分析】根据空间坐标的对称性进行求解即可．【详解】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A关于坐标原点对称的点的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（ ）A. 45B. 54C. 90D. 126【答案】C【解析】【分析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．【详解】解：A种型号产品所占的比例为，，故样本容量n=90．故选：C．【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A. 56B. 60C. 120D. 140【答案】D【解析】【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【详解】根据频率分布直方图，200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选：D．【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．4.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 32B.C. 48D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．【详解】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为；所以该四棱锥的侧面积为4××4×2=16，底面积为4×4=16，所以几何体的表面积为16+16．故选：B．【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1和B1C所成的角是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角就是直线B1C和BC1的夹角，由此求出结果．【详解】∵AD1∥BC1，∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角就是直线B1C和BC1的夹角，∵四边形BCC1B1是正方形，∴直线B1C和BC1垂直，∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角为90°．故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c则a∥c；②若a∥b，b⊥c则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．【详解】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确．综上可知：只有②正确．故选：A．【点睛】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．7.直线关于直线对称的直线方程是（ ）A. B.C. D.【答案】D【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【详解】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D．解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线选答案D故选：D．【点睛】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．8.已知直线，直线，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：的斜率小于斜率时，直线与的交点位于第一象限，此时共有六种：因式概率为，选A．考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法．（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．9.若变量x，y满足，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形知是阴影内的点P（x，y）与点A（-1，-1）的直线的斜率k，求出k的取值范围即可．【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；则可看成过阴影内的点P（x，y）与点A（-1，-1）连线的直线的斜率k，易知点P（0，2），点P′（0，-3），则k PA=3，k P′A=-2，则-2≤k≤3，即的取值范围是[-2，3]．故选：C．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，也考查了特定目标函数的几何意义，是中档题．10.与圆和圆都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】圆的圆心为(−2,2),半径为1,圆心是(2,5)，半径为4故两圆相外切∴与圆和都相切的直线共有3条。
四川省内江市2018-2019学年高二上学期期末检测数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. B. C. D. 1，2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A. 45B. 54C. 90D. 1263.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404.图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 32B.C. 48D.5.如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A.B.C.D. 6.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c则a∥c；②若a∥b，b⊥c则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A. B. C. D.8.已知直线l1：x-2y-1=0，直线l2：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，}．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A. B. C. D.9.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A. 18B. 20C.D.10.与圆O1；x2+y2+4x-4y+7=0，圆O2：x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M，过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．14.执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．16.正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程；（2）求过点P（-1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥平面AB1C．19.已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．（1）求此圆的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．20.某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：参考公式：=，=．=．21.如图：高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=1，AB=3，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（1）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（2）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．22.已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．答案和解析1.【答案】B【解析】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（-1，-1，-1），故选：B．根据空间坐标的对称性进行求解即可．本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．4.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为=2；所以该四棱锥的侧面积为4××4×2=16，底面积为4×4=16，所以几何体的表面积为16+16．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5.【答案】C【解析】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故选：C．连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C 所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确．综上可知：只有②正确．故选：A．①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2-x，y）在直线x-2y+1=0上，∴2-x-2y+1=0化简得x+2y-3=0故选答案D．解法二：根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选：D．设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．8.【答案】A【解析】解：设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a．联立方程组解得x=，y=，∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则x=＞0，y=＞0，解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．∴P（A）==即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为．故选：A．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用．9.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，C点到原点的距离最大，由得，即C （，），此时x2+y2=，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：圆的圆心坐标为（-2，2），半径为1，圆的圆心坐标为（2，5），半径为4，两个圆心之间的距离d=5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条，故选：A．根据已知中圆的方程，求出圆心坐标和半径，判断出两圆外切，可得答案．本题考查的知识点是圆的位置关系，圆的一般方程，难度中档．11.【答案】B【解析】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，若过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=，则M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得：a≤-1或a≥1，即a的取值范围为（-∞，-1][1，+∞）；故选：B．根据题意，由正方形的性质可得|OM|=，分析可得M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，进而可得若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析M的轨迹，属于基础题．13.【答案】5 8【解析】解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：5 8．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．14.【答案】63【解析】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y的值为63．故答案为：63．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.【答案】（x-2）2+y2=8【解析】解：根据题意，直线ax-y-4a-2=0，即y+2=a（x-4），恒过定点（4，-2），设P为（4，-2）设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0），分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大为CP，此时r2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8，则要求圆的方程为（x-2）2+y2=8，故答案为：（x-2）2+y2=8．根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题．16.【答案】2+．【解析】解：取SB，AB中点H，P，连接HG，PC，取PB中点Q，连接HQ，GQ，因为E、F分别为SD，CD中点，所以EF∥SC，SC∥HG，所以HG∥EF，HG不在面AEF内，所以HG∥面AEF．因为QG是中位线所以QG∥PC，PC∥AF，所以QG∥AF，因为QG不在面AEF 内，所以QG∥面AEF，因为HG∩QG=G，所以面HQG∥面AEF．动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为△HQG的周长．正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为4，所以QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点P的轨迹的周长为2+．过G做一个平面与面AEF平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点P的轨迹的周长．本题考查面面平行的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：（1）联立，解得，∴两直线的焦点坐标为（-2，2），直线x-2y-1=0斜率为，则所求直线的斜率为-2．∴直线方程为y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则-1+3=a，即a=2．是求直线方程为x+y=2．∴所求直线方程为3x+y=0或x+y-2=0．【解析】（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求．本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．18.【答案】证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1C∩BC1=E，所以E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是三棱柱，AA1⊥底面ABC所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面AB1C．【解析】（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C．（2）由线面垂直得AC⊥CC1，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC1B1，由此能证明BC1⊥平面AB1C．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：（1）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有=，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=．所以，圆N的方程为（x-2）2+（y-4）2=10．（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x-2）2+（y-4）2=10上任意一点，可设D（2+cosα，4+sinα）．∵C（3，0），点M是线段CD的中点，∴有x=，y=，消去参数α得：（x-）2+（y-2）2=．故所求的轨迹方程为：（x-）2+（y-2）2=【解析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．20.【答案】解：（1）==4，==4.3，===0.5，=-×=4.3-0.5×4=2.3，y关于t的线性回归方程为：=0.5x+2.3．（2）2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番．当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3千元．∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．【解析】（1）根据公式计算可得：=0.5x+2.3．（2）t=8代入计算可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．21.【答案】解：（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，又∵DC∥MB，∴△MOB∽△COD，∴OB：OD=MB：DC，∴OB=2OD，∵PB=2PA，∴OP∥AD，∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC；（2）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，∴P到平面MBC的距离为，△MBC中，MC=BC=，MB=2，∴MC⊥BC，∴S△MBC=×=1，△MPC中，MP==CP，MC=，∴S△MPC=×=．设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，∴h=．【解析】（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？（2）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：（1）∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2．直线l与圆O相切，∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，即d==，解得k=±1．（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，∴ ，，△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1，当∠AOB为锐角时，=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）==＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴-＜＜或1＜k＜．故k的取值范围为（-，）（1，）．（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为x（x-t）+y（y-）=0，∴，又C，D在圆O：x2+y2=2上，∴l CD：tx+，即（x-）t-2y-2=0，由，得，∴直线CD过定点（，）．【解析】（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y 2=2上，求出直线CD：（x-）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
四川省内江市2018-2019学年高二数学上学期期末检测试题理(含解析)
四川省内江市2018-2019学年高二数学上学期期末检测试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. 1■1B. !. I !C. 'llD. .1, 1，-1）【答案】D【解析】【分析】根据空间坐标的对称性进行求解即可.【详解】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A；关于坐标原点对称的点的坐标为-J故选：D.【点睛】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键.比较基础.2. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3: 5: 7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A. 45B. 54C. 90D. 126【答案】C【解析】【分析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n.3 1【详解】解：A种型号产品所占的比例为：一：| : - _ ：:，11,故样本容量n=90.故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题.3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是［17.5，30］，样本数据分组为［17.5，20），［20，22.5），［22.5，25），［25，27.5），［27.5，30］.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A. 56B. 60C.120D.140【答案】D【解析】【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数.【详解】根据频率分布直方图，200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16+ 0.08 + 0.04）X 2.5 = 0.7 ,故200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200X 0.7 = 140.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目.4. 如图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）正视團侧视團M~——*14俯视團A. 32B. M+1昭C. 48D. J •齐疔【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积.【详解】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4,高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为，；所以该四棱锥的侧面积为1 L 一4X X 4X2 =16 ,2底面积为4X 4=16,所以几何体的表面积为16+16 .故选：B.【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目5. 右图的正方体ABCD-ABCD中，异面直线AB与BQ所成的角是（）C.【答案】C【解析】连接】，由正方体的几何特征可得…：=,则-■即为异面直线I与所成的角，连接，易得•一廿，^」为正三角形，故，异面直线【与所成的角是，故选C.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及正方体的性质，属于中档题•求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解6. 已知a、b、c是直线，3是平面，给出下列命题：①若a丄b, b丄c贝U a II c;②若a // b, b± c贝U a丄c;③若a // 3 , b? B ,贝U a / b;④若a与b异面，且a // 3则b与3相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a // b, b± c,利用“等角定理”可得a丄c;③若a // 3 , b? 3 ,利用线面平行的性质可得：a与平面3内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a // 3 ,贝U b与3相交，平行或b? 3，即可判断出.【详解】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a // b, b± c,利用“等角定理”可得a丄c,故正确；③若a // 3 , b? 3 ,则a与平面3内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④T a与b异面，且a // 3 ,贝U b与3相交，平行或b? 3 ,故不正确.综上可知：只有②正确.故选：A.【点睛】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键.7. 直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A. x + - 1 — 0B. 2尤十^一1 = 0C. 十= 0D.x + - 3 = 0【答案】D【解析】【分析】设所求直线上任一点（x, y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程.【详解】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x, y）,则它关于I对称点为(2 - x t y)在直线尤—Zy + I = 0上，••• 2-大-+ 1 = D 化简得2耳十y _ 3 = D 故选答案D.解法二：根据直线--J ：? I i「关于直线；：-.1对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D,再根据两直线交点在直线1 -选答案D 故选：D.【点睛】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法•本题 还有点斜式、两点式等方法.8.已知直线.：-2：；-1 :,直线匚+i -,其中「 ； I I ，.则直线 与 的交点位于第一象限的概率为()【答案】A 【解析】试题分析： 的斜率小于 斜率时，直线 与 的交点位于第一象限，此时共有六种:Dim,—兀门：；因式概率为."，选A .考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1) 列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无 序”区别的题目，常采用树状图法.(3) 列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题 目具体化. (4) 排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.i9.若变量x , y 满足： ’，则x 2+y 2的最大值是( )(x>261164A. 18B. 20C. .D.【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z=x 2+y 2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方,利用数形结合进行求解即可.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图:A.B. C.1D.设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方,由图象知，C点到原点的距离最大，11一1 2 2・即C （寿，壬,此时x +y =-，故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键.10. 与圆-： - : " / --.和圆-：'■ ■!'■■ i ：-'；都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】圆-1 的圆心为（-2,2）,半径为1,「―，• -…- t — 2 :圆心是（2,5）, 半径为4故两圆相外切•••与圆+ v - :!和厂" -;：.•+ 1》_：1都相切的直线共有3条。
最新-内江市2018学年度高中二年级第二学期期末联考试卷数学(理科) 精品
内江市2018—2018学年度高中二年级第二学期期末联考试卷数 学 （理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第6页，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 满分60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，请考生将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔填涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的大难标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上；3．考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并收回。
一.选择题：本大共12小题,每小题5分,共60分，在每小题的四个选项中只有一个是正确的. 1．已知集合{}21012A =--，，，，,{}B x Z x a =∈≤，则满足A B ⊂≠的实数a 的一个值为 ( )A 、0B 、1C 、2D 、32．设1AD 是正方体的一条面对角线，则与1AD 成060角的面对角线的条数是( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 3．若a b ，是异面直线，a b l αβαβ⊂⊂⋂=，，，则( )A 、l 与a b ，分别相交B 、l 与a b ，都不相交C 、l 至多与a b ，中的一条相交D 、l 至少与a b ，中的一条相交4．甲乙二人各进行一次射击，如果二人击中目标的概率都是0.6，则至少有一人击中目标的概率为( )A 、0.16B 、0.36C 、0.48D 、0.845．将3个不同的小球随意放入4个不同的盒子里，则3个小球恰在3个不同的盒子内的概率为( )A 、34 B 、45 C 、38 D 、7106．三条直线a b c ，，两两相交且不共点，命题：①平行于a b ，的平面平行于直线c ；②垂直于a b ，的直线垂直于直线c ；③与三个交点等距离的平面平行于直线a b c ，，；其中假命题的个数为( )A 、0B 、1C 、2D 、37．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，24AB BC ==，，060ABC ∠=，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角为( )A 、B 、C 、D 、8．ABC ∆的三个顶点在椭圆22456x y +=上，其中A 、B 关于原点O 对称，设直线AC 、BC 的斜率为12k k 、，则12k k 的值为( )A 、54-B 、45C 、45- D9．一半径为R 的球切二面角的两个半平面于A 、B 两点，且A 、B 两点的球面距离为23R π，则这个二面角的度数为（ ）A 、030B 、060C 、075D 、09010．若[]()x y e x a b =∈，的值域为21e ⎡⎤⎣⎦，，则点()a b ，的轨迹是( ) A 、线段AB 和OA B 、线段AB 和BC C 、线段AB 和OC D 、点A 和点C11．已知二面角l αβ--的平面角为PA θ⊥，面β，A 、B 为垂足，且45PA PB ==，，设A 、B 到棱l 的距离分别为x y ，，当θ变化时，点()x y ，的轨迹是下列图形中的（ ）A 、B 、C 、D 、12．设()2n a n N n *∈≥，是(3n的展开式中含x 项的系数，则23182318333a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A 、16B 、17C 、18D 、19内江市2018—2018学年度高中二年级第二学期期末联考试卷数 学（理科）答题卷一,选择题:（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案直接添在题中的横线上。