力法的基本原理
结构力学教程——第10章 力法
系数和自由项 ➢ 梁、刚架：
ii
M i 2 ds
EI
Ai yi EI
ij
M i M j ds EI
Aj yi EI
iP
M i M P ds EI
➢ 桁架：
2
ii
Ni l EA
ij
Ni N jl EA
iP
Ni N Pl EA
知识点
10.3 超静定刚架和排架
1. 刚架
20kN/m
11
M12 EI
ds
FN21 EA
ds
y2
cos2
EI ds EA ds
1P
M1 M P EI
ds
M0y ds
EI
（4）求多余未知力，即水平推力FH
M0y
X1
FH
1P 11
y2 EI
EI ds
cos2
ds EA
ds
（5）内力计算
M M 0 FH y
FQ FQ0cos FHsin FN FQ0sin FHcos
1P 11X1 0
P
2P 0
P
0
a
11
2 2
1
1
1
P
a
N1
NP
(3)求系数
11
2
Ni l 2( EA
2)2 EA
2a 4 12 a EA
4a (1 EA
2)
1P
Ni N jl 1 Pa 2 EA EA
(
2 )( EA
2P)
2a 2Pa (1 EA
2)
(4)解方程
X1
1P
11
P 2
当结构框格数目为 f , 则 n=3f 。
力法 ppt课件
力法课件包含了大量的信息和内容，可能 导致学生无法消化和理解，造成信息过载 。
替代传统教学
技术更新快
力法课件虽然可以辅助教学，但不能完全 替代传统的教学方式，过分依赖课件可能 影响学生的思考能力和实践能力。
力法课件所依赖的技术更新换代较快，导 致课件的维护和更新成本较高，对学校和 教师提出了更高的要求。
扩展应用领域
随着研究的深入和技术的发展，展望
更高效的求解算法
针对大规模、复杂问题，寻 求更快速、稳定的求解算法 是力法未来的重要研究方向 。
跨学科交叉融合
力法将与其它工程学科、数 学方法及计算科学进一步交 叉融合，形成更综合、系统 的分析方法。
力法的基本原理
总结词
力法的基本原理包括虚功原理、虚位移原理和最小势能原理。
详细描述
力法的基本原理包括虚功原理、虚位移原理和最小势能原理。虚功原理是力法的基本依据，它表明在平衡状态下 ，实功和虚功相等；虚位移原理表明在平衡状态下，虚位移和外力所做的虚功相等；最小势能原理则表明结构的 平衡状态对应于势能的最小值。
结果分析
解析解的意义
对求解得到的力学模型结果进行深入分析，理解其物理意义 ，并评估其对实际问题的指导价值。这一步骤有助于将力学 模型解转化为实际应用的指导。
03
力法的应用实例
桥梁结构的力法分析
总结词
桥梁结构的力法分析是利用力学原理对桥梁结构进行受力 分析和评估的过程。
计算模型
力法分析基于力学原理建立计算模型，通过计算和分析桥 梁结构的内力和变形，评估其承载能力和稳定性。
详细描述
通过力法分析，可以确定桥梁结构的承载能力、稳定性以 及在不同载荷下的变形情况。这对于确保桥梁安全运行和 预防潜在的损坏至关重要。
结构力学(力法、虚功原理)
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 F P 0 X 仅与刚 1 6 4 96 11 度相对 X 5 X F 3 F 2 P 1 P 0 X 值有关 2 4 6 16 88
假如：
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FP
δ11 X 1 12 X 2 1 P 0 由 δ 21 X 1 22 X 2 2 P 0
求得：X1 0 , X 2 0 (×)
可证：平衡条件均能满足。 但：
M 图
FPa
Bx 1 P 0 , By 2 P 0
问题：若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构，本题 应如何考虑？
FP
FP
基 本 体 系
解：力法方程的实质为：“ 3、4两结点的 相对位移 34 等于所拆除杆的拉（压 ）变形 l 34” 互乘求Δ 1P
FP FP FP
FP=P
自乘求δ
FNP 图
11
FN1
或互乘求δ
11X1
1 2 2 34 11 X 1 1P [( 2a 4 EA 2 2 1 1 1 FP 2a 2 ) X 1 2a 2] 2 2 2 2
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88
【毕业论文】力法的基本原理
1第六章力法2一. 力法的基本未知量和基本体系力法计算的基本思路：把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题，即利用已经熟悉的静定结构的计算方法来达到计算超静定结构的目的。
6-1 力法的基本原理3力法思路基本结构待解的未知问题qEI EIqEIX 1基本体系基本未知量01=Δ基本方程41111=+=P ΔΔΔ11111X Δδ=01111=+⋅P ΔX δ力法方程力法方程P 1Δ其中δ11和Δ1P可图乘法获得；由此确定约束力X 1，通过叠加求内力；超静定问题变成静定问题。
q1X Δ11=X 11δqEIqEIX 11=Δ5)力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。
)将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基本结构。
)根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。
在变形条件成立条件下，基本体系的内力和位移与原结构相同。
1111=+⋅P ΔX δ6基本结构X 1例：基本体系PV ΔB 1==原结构已知的X 1方向的位移原结构70V ΔB 1==基本结构在X 1和外荷载P 分别作用下的变形：X 111ΔPP1Δ原结构已知的X 1方向的位移基本结构在X 1方向的位移1P 11Δ+Δ1P 11Δ+Δ0=11111X Δδ=11=X 11δ01111=Δ+P X δ力法基本方程的物理意义：基本结构在X 1和外荷载P 共同作用下，在B 点的竖向位移之和＝原结构已知的在B 点的竖向位移（等于零）。
8一个超静定结构可选的力法基本结构往往不只一种。
X 1表示原结构支座B 截面的弯矩。
基本体系二基本体系二选取：原结构PPX 1基本结构Δ1=原结构在B 点左右两截面的相对转角等于零9基本结构:PX 11PΔ11ΔB11111X δ=Δ0ΔX δ=+1P 111基本体系在X 1 和外荷载P 共同作用下，在B 点左右两截面的相对转角之和＝原结构已知的在B 点左右两截面的相对转角（等于零）1P11Δ+Δ0=10（1）（2）（1）基本结构的图和图好绘。
结构力学第六章力法
弯矩图可按悬臂梁画出
M X1 M 1 M P
§6-4 力法计算超静定桁架和组合结构
一 超静定桁架
F Ni l ii EA F N i F N jl ij EA F N i FN P l iP EA
2
桁架各杆只产生轴力,系数
典型方程: 11 X 1 1P 0
9 17 FP , X 2 FP 80 40
叠加原理求弯矩： M X 1 M 1 X 2 M 2 M P
3FPL/40 3FPL/40
FP 9FP/80
23FP/40 FNDC
FQDC 3FPL/80 FQBD
FQCD FNDA
FQBD=-9FP/80
FNBD=-23FP/40
FQDC=3FP/40+FP/2=23FP/40
2 P 3P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 33 3 32 2
11 X 1 1P 0 X 2 X 3 0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0 例: FP FP/2 FP/2 FP/2
1）一般任意荷载作用下
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X 0 33 3 3P 32 2
M FN
超静定结构的内力分布与梁式杆和二力杆的相对刚度有关。 链杆EA大，M图接近与连续梁，链杆EA小，M图接近与简支梁。 例: 中间支杆的刚度系数为k,求结点B的竖向位移？EI=C
结构力学 第五章 力法
（2）确定超静定次数的方法——通过去掉多余约束来
确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。
（3）去掉（解除）多余约束的方式 a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆——去
掉1个约束（联系）；
X1
§ 5-1 超静定结构概述和力法基本概念
b、去掉一个单铰或一个固定铰支座—— 去掉2个约束；
X 1 Δ1 p 0 X Δ n np
（3）最后弯矩
M X1 M 1 X 2 M 2 X n M n
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，
可为正、负或零，且由位移互等定理：δi j =δj i 自由项ΔiP ——荷载FP单独作用于基本体系时， 所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程 （2）典型方程的矩阵表示
δ11 δn1
δ1n δnn
3
0.393ql
0.464ql 0.607ql
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
力法基本原理：把去掉原结构上的多 余联系后所得的静定结构作为基本结构， 以多余约束力作为基本未知量，根据原 结构在多余联系处的变形条件列力法方 程，解之即得多余约束力；而以后的计 算与静定结构相同。必须指出，基本结 构的选取虽然可以不同，但它必须是几 何不变的。否则不能用作计算超静定结 构的计算图形。支反力数 目）； j（节点数）
05-讲义：7.2 力法的基本原理及典型方程
第二节 力法的基本原理及典型方程力法是计算超静定结构的最基本方法。
采用力法求解超静定结构问题时，不能孤立地研究超静定问题，而是应该把超静定问题与静定问题联系起来，即利用已经熟悉的静定结构计算方法来达到计算超静定结构的目的。
一、力法的基本原理这里先用一个简单的一次超静定结构为例来说明力法的基本概念，即讨论如何在静定结构的基础上，进一步寻求计算超静定结构的方法。
1、力法的基本未知量、基本结构和基本体系图7-7(a)所示为一次超静定梁结构，若将B 处支座链杆作为多余约束去掉，则能得到静定的悬臂梁结构（图7-7(b)）。
将原超静定结构中去掉多余约束后所得到的静定结构，称为力法的基本结构。
所去掉的多余约束处，以相应的多余未知力1X 来表示其作用，如图7-7(b)所示，这样原结构就相当于基本结构同时受到已知外荷载q 和多余未知力1X 的共同作用。
基本结构在原荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的基本体系。
在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力1X ,，只是把它由被动的支座反力改为主动力。
因此基本体系的受力状态与原结构是完全相同的，基本体系完全可以代表原超静定结构。
在基本体系中，只要能够设法求出1X ，则剩下的问题就是静定结构的问题了。
由此可知，力法的主要特点就是把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键问题，把多余未知力当作处于关键地位的未知力，因此多余未知力称为力法的基本未知量，力法这个名称就是由此而来的。
图7-7 力法的基本结构和基本体系(a)原超静定结构 (b)基本结构 (c)基本体系2、力法方程的建立怎样才能求出图7-7(c)中基本未知量1X 呢？在基本体系中，未知力1X 相当于外荷载，因此无论1X 为多大，只要梁不破坏，都能够满足平衡条件，显然不能利用平衡条件求解1X ，必须补充新的条件。
为此，将图7-7(c)中的基本体系与图7-7(a)中的原超静定结构加以比较。
在图7-7(a)所示的原超静定结构中，1X 表示支座B 处的约束反力，它是被动的，是固定值，与1X 相应的位移1 （即B 点的竖向位移）等于零。
力法
第四节 力法计算示例 因此力法方程为 ：
(3)计算系数和自由项。
第四节 力法计算示例
1 1 2 l l 1 EI 2 3 3EI
11
22
1 1 2 l l 1 EI 2 3 3EI
量X1 共同作用下沿 X1方向的总 位移； 11—基本结构在基本未知量 X1单 独作用下沿X1 方向产生的位移 1P—基本结构在荷载单独作用下 沿X1方向产生的位移 在上面的位移中，位移的第一个 脚标为发生位移的地点及方向 ；第二个脚标为位移发生的原 因。当位移的方向与多余未知 力X1方向相同时规定为正。
第一节 力法基本原理
力法的变形（位移）条件 在线性体系条件下，基本结构沿 基本未知量X1方向的位移，可 利用叠加原理进行展开为基本 结构在荷载q和X1各自单独作 用下的两种受力状态，如图所 示。 因此，变形条件可表示为：
1 = 11+1P =0
第一节 力法基本原理
式中：
1 —基本结构在荷载和基本未知
第一节 力法基本原理
1、力法的基本未知量 超静定结构中有多余约束，相应就有多余未知力。如图a所示梁 为一次超静定结构，共有四个支座反力FAx、FAy、MA、FB，用 三个静力平衡方程不能全部求出。 如果去掉支座B，以一个相应的多余未知力X1代替，结构形式变 为图b所示的悬臂梁，承受均布荷载q 和多余约束力X1 的共同 作用。当求得多余力X1 后，对原结构的分析就转化为在均布荷 载q 和X1 的共同作用下静定结构的计算问题。在这里，求解多 余未知力X1就成为了问题的关键，所以，将多余未知力X1作为 计算的基本未知量，该计算方法称为力法。
第二节 超静定次数
（3）切断一根梁式杆或去除一个固定端，等于 去除3 个约束
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§9-2 力法的基本原理
❖ 力法典型方程
力法方程：
11X112X2 13X3 1p 0
原结构
基本结构
21X122X2 23X3 2p 0
A
B
A
X2 B X1 31X132X2 33X3 3p 0
X3
➢力法方程的物理含义：（要求从以下三个方面理解）
⑴方程整体的物理含义
⑵方程行和列的物理含义：
行—表示位移(变形)条件。第i行表示与第i个多余约束力Xi对应的位移(变形)条件。
从而 11 X11P0
上式称为力法方程（ The Compatibility Equation of Force Method），其中 11 和 1 P 可按静定结构位移计算 方法计算。
Strucural Analysis
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Strucural Analysis
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§9-2 力法的基本原理
❖ 力法典型方程
➢对于n次超静定结构，去掉n个多余约束后，有n个位移条件与之对应， 建立n个方程如下：
11X1 12X2 1i Xi 1j X j 1n Xn 1p 0
➢基本结构在未知多余约束力X1和已知外荷载q共同作用下，与原结构等
效，故
1 0 (X1作用点沿X1作用方向的位移等于0）
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§9-2 力法的基本原理
❖ 力法的基本概念
Method
➢对基本结构应用叠加原理
➢根据多余约束力作用点沿多余约束力作用方向的位移（或变形）条件， 建立关于多余约束力的方程——力法方程。
➢求出多余约束力后，化超静定问题为静定问题。
将未知问题转化为已知问题，通过消除已知 问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。 这是科学研究的基本方法之一。
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例：上述第2个方程表示基本结构B点竖向位移为零。
列—表示基本结构的受力状态。例：上述方程等号左侧4列表示将基本结构的受力
分解成4种状态，其中第1、2、3列分别表示基本结构只承受X1、X2、X3单独
作用，第4列表示基本结构只承受已知外荷载单独作用。图示如下：
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A
X2 B
(b)基本结构只承 受X2单独作用
A
X3 B
A
B
(c)基本结构只承 受X3单独作用
(d)基本结构只承受 外荷载单独作用
School of Civil Engineering, Tong1ji0Univ.
§9-2 力法的基本原理
❖ 力法典型方程
力法方程：
原结构
A
B
基本结构
A
X2 B
X3
11X112X2 13X3 1p 0 21X122X2 23X3 2p 0 X1 31X132X2 33X3 3p 0
大家好
第九章 力法
2
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 教师
课 题
教学 方法
教学 目的
教学 重点
洪单平
授课 班级
12建筑工程
9-2 力法的基本原理
讲练结合 理解力法的基本原理
力法的基本原理
授课 时间
2013/3 课型
学 时
2
面授
教学 力法的基本原理 难点
3
§ 9-2 力法的基本原理
School of Civil Engineering, Tongji7Univ.
§9-2 力法的基本原理 Fundamentals of the Force
❖ 力法的特点
Method
➢以多余约束力作为基本未知量。故，该方法称为力法。
➢以内力和位移计算方法已知的结构（通常是静定结构）作为基本结构。
21X1 22X2 2i Xi 2 j X j 2n Xn 2 p 0
i1X1 i2 X2 ii Xi ij X j in Xn ip
0
Xi jj X
j
jn Xn
jp
0
n1X1 n2 X2 ni Xi nj X j nn Xn np 0
4
§9-2 力法的基本原理
❖ 力法的基本概念
Method
➢以图示单跨梁为例说明。
Fundamentals of the Force
原结构
待解的未知问题
（超静定梁，一个多余约束）
转化
关键：如何求多余约束力X1？
基本结构 内力变形分析方法已掌握
(primary structure or fundamental structure)
§9-2 力法的基本原理 Fundamentals of the Force
❖ 力法的基本概念
Method
➢ 11 和 1P 的计算
单位弯矩图 荷载弯矩图
自乘
11
l3 3 EI
互乘
ql 4 1P 8EI
X1
3 8
ql
➢叠加计算最终内力：
M终 ＝ M1X1MP
Strucural Analysis
基本结构
基本结构 只承受未 知多余约 束力X1单 独作用
基本结构 只承受已 知外荷载 单独作用
Fundamentals of the Force
111 1P0 11和1P的物理含义见图示。
对于线弹性体系，位移和力 成正比，有
1111X1
其中， 11 表示基本结构只承 受 X1 1 单独作用时，X 1 作 用点沿X 1 作用方向的位移。
➢力法方程的物理含义：（要求从以下三个方面理解）
⑴方程整体的物理含义
⑵方程行和列的物理含义
⑶系数项和自由项的物理含义：
ij
— 基本结构X 在j 1
单独作用下X i， 作用点X 沿i 作用方向的位移。
ip — 基本结构在已知外荷载单独作用下X i ， 作用点X 沿i 作用方向的位
移。
系数项和自由项均可按照静定结构的位移计算方法计算。
§9-2 力法的基本原理
❖ 力法典型方程
力法方程：
11X112X2 13X3 1p 0
原结构
基本结构
21X122X2 23X3 2p 0
A
B
A
X2 B X1 31X132X2 33X3 3p 0
X3
(a)
(b)
(c) (d)
（荷载分解）
状
状
状状
态
态
态态
A
B X1
(a)基本结构只承 受X1单独作用
Strucural Analysis