圆、垂径定理

2019年11月28日杨老师的初中数学组卷一．选择题（共24小题）1．（2016•赤峰）如图，⊙O 的半径为1，分别以⊙O 的直径AB 上的两个四等分点O 1，O 2为圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．12πC ．14πD ．2π2．（2016•永州）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）A ．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B ．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C ．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D ．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理3．（2013•温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C作BAC ̂，如图所示．若AB ＝4，AC ＝2，S 1﹣S 2=π4，则S 3﹣S 4的值是（ ）A ．29π4B ．23π4C ．11π4D ．5π44．（2008•内江）下列命题中，真命题的个数为（ ）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半 ③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切．A ．1B ．2C ．3D ．45．（2019•梧州）如图，在半径为√13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB ＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2√6B．2√10C．2√11D．4√3 6．（2018•鄂尔多斯）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD 上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为2√2，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（）A．B．C．D．7．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB=35，BD＝5，则AH的长为（）A ．253B ．163C ．256D ．1668．（2018•张家界）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5cm ，CD ＝8cm ，则AE ＝（ ）A ．8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm9．（2018•襄阳）如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA ＝30°，则弦BC 的长为（ ）A ．4B ．2√2C ．√3D ．2√310．（2018•衢州）如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC于F ，若BD ＝8cm ，AE ＝2cm ，则OF 的长度是（ ）A ．3cmB ．√6cmC ．2.5cmD ．√5cm11．（2018•枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（ ）A．√15B．2√5C．2√15D．8 12．（2018•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2√5cm B．4√5cm C．2√5cm或4√5cm D．2√3cm或4√3cm 13．（2018•阿坝州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC＝AB B．∠C=12∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD14．（2018•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．6√3B．6√2C．3√3D．3√2 15．（2017•西藏）下列说法正确的是（）A．垂直于直径的弦平分这条直径B．负数没有立方根C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．三角形两边的差小于第三边16．（2017•青海）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（）A．1B．7C．4或3D．7或117．（2017•阿坝州）如图将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ）A ．2cmB ．√3cmC ．2√5cmD ．2√3cm18．（2017•黔西南州）如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则CD 的长是（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．119．（2017•呼和浩特）如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ：MD ＝5：8，则⊙O 的周长为（ ）A ．26πB ．13πC ．96π5D ．39√10π520．（2017•泸州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是（ ）A ．√7B ．2√7C ．6D ．821．（2017•广州）如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（ ）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 22．（2017•阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB ＝8，则CD的长是（）A．2B．3C．4D．5̂），点O是这段弧所在圆的圆心，23．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB̂的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半AB＝40m，点C是AB径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m 24．（2018•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸二．填空题（共26小题）25．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝．26．（2010•嘉兴）在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有个．̂沿弦AB折叠交27．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧AB于OC的中点D，若AB＝2√10，则⊙O的半径为．28．（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．29．（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为．30．（2018•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．31．（2018•黑龙江）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．32．（2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．33．（2017•湘西州）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE ＝4，则直径CD＝34．（2017•牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝．35．（2017•遵义）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．36．（2017•襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和√2，则∠BAC的度数为．37．（2017•大连）如图，在⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3cm，则⊙O 的半径为cm．38．（2017•孝感）已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2√2，则∠COD的度数为．39．（2017•眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，DC＝2cm，则OC＝cm．40．（2017•长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．41．（2017•广元）已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，则AB和CD的距离为．42．（2017•雅安）⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是．43．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=12（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．44．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．45．（2018•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得̂的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．AB＝8cm、点C与AB46．（2018•绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．47．（2018•玉林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm．48．（2018•绍兴）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出心，∠AOB＝120°，从A到B只有路AB了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）49．（2018•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为cm．50．（2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．2019年11月28日杨老师的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．（2016•赤峰）如图，⊙O 的半径为1，分别以⊙O 的直径AB 上的两个四等分点O 1，O 2为圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．12π C ．14π D ．2π 【解答】解：π×12×12＝π×1×12=12π．答：图中阴影部分的面积为12π． 故选：B ．2．（2016•永州）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）A ．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B ．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C ．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D ．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理【解答】解：A 、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；B 、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；C 、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；D 、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，故选：B ．3．（2013•温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C作BAC ̂，如图所示．若AB ＝4，AC ＝2，S 1﹣S 2=π4，则S 3﹣S 4的值是（ ）A ．29π4B ．23π4C ．11π4D ．5π4【解答】解：∵AB ＝4，AC ＝2，∴S 1+S 3＝2π，S 2+S 4=π2，∵S 1﹣S 2=π4，∴（S 1+S 3）﹣（S 2+S 4）＝（S 1﹣S 2）+（S 3﹣S 4）=32π∴S 3﹣S 4=54π，故选：D ．4．（2008•内江）下列命题中，真命题的个数为（ ）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半 ③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切．A ．1B ．2C ．3D ．4 【解答】解：①正确，正方形的判定定理：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；②正确，对角线互相垂直的四边形面积等于两条对角线长的积的一半；③错误，弦对的圆周角有两种，一种是顶点在优弧上，另一种是顶点在劣弧上，而这两种角不一定相等，故弦相等，那么它们所对的圆周角不一定相等；④正确，因为当圆心距等于两圆半径之差时，两圆内切，所以该命题是正确的．故选C ．5．（2019•梧州）如图，在半径为√13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB＝6，AE ＝1，则CD 的长是（ ）A．2√6B．2√10C．2√11D．4√3【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG=12AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG=√OB2−BG2=√13−9=2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE=√2OG＝2√2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF=12OE=√2，在Rt△ODF中，DF=√OD2−OF2=√13−2=√11，∴CD＝2DF＝2√11；故选：C．6．（2018•鄂尔多斯）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD 上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为2√2，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：连接AO ，并延长交直线CD 于G ，连接AQ ，∵Q 是MN 的中点．∴AQ ⊥MN ，∵A 的坐标为（﹣4，﹣4），∴直线AO ：y ＝x ，AO ＝4√2，∵直线CD ：y ＝﹣x +4，∴AO ⊥CD ，∴∠AQO ＝∠OGP ＝90°，∵∠AOQ ＝∠POG ，∴∠AOQ ∽△POG ，∴OQ OG =OA OP ，当x ＝0时，y ＝4，当y ＝0时，x ＝4，∴OC ＝OD ＝4，∴OG =12CD ＝2√2，∵OP ＝t ，OQ ＝S ， ∴2√2=4√2t ， S =16t， 故选项C 、D 不正确； 当OP ＝2√2时，即S ＝OQ ＝4√2，t ＝2√2，直线OP 过圆心A ，此时Q 与A 重合，此种情况成立，故选项B 不正确；故选：A ．7．（2018•贺州）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知sin ∠CDB =35，BD＝5，则AH 的长为（ ）A ．253B ．163C ．256D ．166【解答】解：连接OD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD ＝∠BHD ＝90°，∵sin ∠CDB =35，BD ＝5，∴BH ＝3，∴DH =√BD 2−BH 2=4，设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，解得：x=7 6，∴OH=7 6；∴AH＝OA+OH=76+76+3=163，故选：B．8．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，∴CE=12CD＝4cm．在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE=√OC2−CE2=3cm，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8cm．故选：A．9．（2018•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．4B．2√2C．√3D．2√3【解答】解：∵OA⊥BC，̂=AB̂，∴CH＝BH，AC∴∠AOB＝2∠CDA＝60°，∴BH＝OB•sin∠AOB=√3，∴BC＝2BH＝2√3，故选：D．10．（2018•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC 于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．√6cm C．2.5cm D．√5cm【解答】解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB=√42+22=2√5，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF=12AB=√5．故选：D．11．（2018•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC ＝30°，则CD的长为（）A．√15B．2√5C．2√15D．8【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH=12OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH=√OC2−OH2=√15，∴CD＝2CH＝2√15．故选：C．12．（2018•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2√5cm B．4√5cm C．2√5cm或4√5cm D．2√3cm或4√3cm 【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM=12AB=12×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM=√OA2−AM2=√52−42=3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC=√AM2+CM2=√42+82=4√5（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC=√AM2+MC2=√42+22=2√5（cm）．故选：C．13．（2018•阿坝州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC＝AB B．∠C=12∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AC＝AB，故A选项错误；B、∵直径CD⊥弦AB，∴AD̂=BD̂，∵AD̂对的圆周角是∠C，BD̂对的圆心角是∠BOD，∴∠BOD＝2∠C，故B选项正确；C、不能推出∠C＝∠B，故C选项错误；D、不能推出∠A＝∠BOD，故D选项错误；故选：B．14．（2018•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．6√3B．6√2C．3√3D．3√2【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB＝OA＝OB＝6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD=√62−32=3√3所以BC＝6√3．故选：A．15．（2017•西藏）下列说法正确的是（）A．垂直于直径的弦平分这条直径B．负数没有立方根C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．三角形两边的差小于第三边【解答】解：A、错误，应该是垂直于弦的直径平分弦；B、错误．负数也有立方根；C、错误．应该是两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D、正确．故选：D．16．（2017•青海）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（）A．1B．7C．4或3D．7或1【解答】解：如图所示，连接OA，OC．作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=12AB＝4，CF=12CD＝3，根据勾股定理，得OE=√AO2−AE2=3，OF=√OC2−CF2=4，所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF﹣OE＝1，当AB和CD在圆心的异侧时，则EF＝OF+OE＝7．故选：D．17．（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．√3cm C．2√5cm D．2√3cm【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA＝2OD＝2cm，∴AD=√OA2−OD2=√22−12=√3（cm），∵OD⊥AB，∴AB＝2AD＝2√3cm．故选：D．18．（2017•黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD ＝2，故选：C ．19．（2017•呼和浩特）如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ：MD ＝5：8，则⊙O 的周长为（ ）A ．26πB ．13πC ．96π5D ．39√10π5【解答】解：连接OA ，∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，∴AM =12AB ＝6，∵OM ：MD ＝5：8，∴设OM ＝5x ，DM ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，∴AM ＝12x ＝6，∴x =12，∴OA =12×13，∴⊙O 的周长＝2OA •π＝13π，故选：B ．20．（2017•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．√7B．2√7C．6D．8【解答】解：连接OC，由题意，得OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，CE＝ED=√OC2−OE2=√7，CD＝2CE＝2√7，故选：B．21．（2017•广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 【解答】解：∵AB⊥CD，̂=BD̂，CE＝DE，∴BC∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，∴∠OCE＝90°﹣40°＝50°．故选：D．22．（2017•阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB ＝8，则CD的长是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB=12×8＝4，在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD=√OA2−AD2=3，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故选：A．23．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB̂），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB̂的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m故选：A．24．（2018•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．二．填空题（共26小题）25．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝50°．【解答】解：如图，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB＝∠AEB＝90°，∵∠A＝65°，∴∠ABE＝25°，∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）故答案为：50°．26．（2010•嘉兴）在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有12个．【解答】解：坐标轴上到圆心距离为5的点有4个，由勾股定理，四个象限中，到圆心距离为5的点有8个，共12个，如图所示．̂沿弦AB折叠交27．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧AB于OC的中点D，若AB＝2√10，则⊙O的半径为3√2．【解答】解：连接OA，设半径为x，̂沿弦AB折叠交于OC的中点D，∵将劣弧AB∴OC =23x ，OC ⊥AB ，∴AC =12AB =√10，∵OA 2﹣OC 2＝AC 2，∴x 2−(23x)2=10，解得，x ＝3√2．故答案为：3√2．28．（2019•嘉兴）如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为 12 ．【解答】解：连接OD ，如图，∵CD ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°，∴CD =√OD 2−OC 2=√r 2−OC 2，当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC ⊥AB 时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，∴CD ＝CB =12AB =12×1=12，即CD 的最大值为12， 故答案为：12． 29．（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（20，0），点B 的坐标是（16，0），点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标为（2，6）．【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），∴CD∥OA，CD＝OB＝16，过点M作MF⊥CD于点F，则CF=12CD＝8，过点C作CE⊥OA于点E，∵A（20，0），∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝10﹣8＝2．连接MC，则MC=12OA＝10，∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF=√MC2−CF2=6∴点C的坐标为（2，6）故答案为：（2，6）．30．（2018•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB＝DA=√32+12=√10，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），31．（2018•黑龙江）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE=12CD=12×6＝3，设⊙O的半径为xcm，则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣1，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝32+（x﹣1）2，解得：x＝5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．32．（2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF﹣OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF+OE＝14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．33．（2017•湘西州）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE ＝4，则直径CD＝10【解答】解：∵直径CD⊥弦AB，AB＝6，OE＝4，∴BE＝3，则BO=√OE2+BE2=√32+42=5，故直径CD＝10．34．（2017•牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝7或25．【解答】解：作OC⊥AB于点C，∴AC=12AB＝16，OC=√OA2−AC2=12，又OP＝15，∴PC=√OP2−OC2=9，当点P在线段AC上时，AP＝16﹣9＝7，当点P在线段BC上时，AP＝16+9＝25．故填：7或25．35．（2017•遵义）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为√14．【解答】解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：则CE＝DE，∵AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，∴OD＝OA＝2，OM＝1，∵∠OME＝∠CMA＝45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE=√22OM=√22，在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE=22−(22)2=√142，∴CD＝2DE=√14；故答案为：√14．36．（2017•襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和√2，则∠BAC的度数为15°或105°．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=12AC=√22，AD=12AB=12，∴sin∠AOE=AEAO=√22，sin∠AOD=ADAO=12，∴∠AOE＝45°，∠AOD＝30°，∴∠BAO＝60°，∠CAO＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAC＝45°+60°＝105°，或∠BAC′＝60°﹣45°＝15°．∴∠BAC＝15°或105°．故答案是：15°或105°．37．（2017•大连）如图，在⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3cm，则⊙O 的半径为5cm．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，AB＝8，∴AC＝4，∵OC＝3，∴OA=√OC2+AC2=√32+42=5．故答案为：5．38．（2017•孝感）已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2√2，则∠COD的度数为150°或30°．【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．∵OA＝OC＝AC，∴∠OAC＝60°．∵AD＝2√2，OE⊥AD，∴AE=√2，OE=√OA2−AE2=√2，∴∠OAD＝45°，∴∠CAD＝∠OAC+∠OAD＝105°或∠CAD＝∠OAC﹣∠OAD＝15°，∴∠COD＝360°﹣2×105°＝150°或∠COD＝2×15°＝30°．故答案为：150°或30°．39．（2017•眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，DC＝2cm，则OC＝5cm．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=12AB＝4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，∴R2＝42+（R﹣2）2，解得R＝5∴OC＝5cm．故答案为5．40．（2017•长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE=12CD=12×6＝3，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣1，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝32+（x﹣1）2，解得：x＝5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．41．（2017•广元）已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，则AB和CD的距离为14或2．【解答】解：分两种情况：①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，连接OD、OB，∵AB∥CD，∴EF⊥AB，∴ED=12CD，BF=12AB，∵AB＝12，CD＝16，∴ED=12×16＝8，BF=12×12＝6，由勾股定理得：OE=√OD2−ED2=√102−82=6，OF=√OB2−BF2=√102−62=8，∴EF＝OE+OF＝6+8＝14；②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，同理得：EF＝OF﹣OE＝8﹣6＝2，综上所述，AB和CD的距离为14或2．42．（2017•雅安）⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是4≤OP≤5．【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM=12AB＝3，在Rt△AOM中，OM=√52−32=4，OM的长即为OP的最小值，∴4≤OP≤5．故答案为：4≤OP≤5．43．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=12（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米．【解答】解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD=√OA2−AD2=3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12×（8×2+22）＝10，故答案为：10．44．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为26寸．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．45．（2018•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与AB̂的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为5cm．【解答】解：如图，连接OA，∵CD＝2cm，AB＝8cm，∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴AC=12AB＝4cm，∴设半径为r，则OD＝r﹣2，根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．46．（2018•绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升10或70cm．【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB由垂径定理得：BC=12AB＝30cm，在Rt△OBC中，OC=2−302=40cm，当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，则OC′=√502−402=30cm，水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70．47．（2018•玉林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是10cm．【解答】解：如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD=12AB，由图知，AB＝16﹣4＝12cm，CD＝2cm，∴BD＝6，设圆的半径为r，则OD＝r﹣2，OB＝r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2＝AD2+OD2，∴r2＝36+（r﹣2）2，∴r＝10cm，故答案为10．48．（2018•绍兴）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路AB̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB ．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 15 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）【解答】解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC ＝BC ，∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B =12（180°﹣∠AOB ）=12（180°﹣120°）＝30°，在Rt △AOC 中，OC =12OA ＝10，AC =√3OC ＝10√3，∴AB ＝2AC ＝20√3≈69（步）；而AB ̂的长=120⋅π⋅20180≈84（步）， AB̂的长与AB 的长多15步． 所以这些市民其实仅仅少走了 15步．故答案为15．49．（2018•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 53√3 cm ．【解答】解：连接OC ，∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD ，∵AD ＝10，∠DOB ＝60°，∴∠DAO ＝30°，∴OE =5√33，OA =10√33， ∴CE ＝OC ﹣OE ＝OA ﹣OE =5√33， 故答案为：5√3350．（2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝60cm ．沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝30cm ，∠B 1D 1C 1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B 1，C 1的距离为 30√3 cm ．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2的长为 10√5−10 cm ．【解答】解：（1）如图2中，连接B 1C 1交DD 1于H ．∵D 1A ＝D 1B 1＝30∴D 1是B 1AC 1̂的圆心，∵AD 1⊥B 1C 1，∴B 1H ＝C 1H ＝30×sin60°＝15√3，∴B1C1＝30√3∴弓臂两端B1，C1的距离为30√3（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=120⋅π⋅30 180，∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2=√302−202=10√5∴D1D2＝10√5−10．故答案为30√3，10√5−10，。