指对幂函数图像
幂指对函数及方程
幂、指、对函数及方程方法指导：一、幂函数1. 幂函数的定义函数(k y x k =为常数，)k ∈Q 称为幂函数，其中x 是自变量，前面的系数为1．2. 幂函数的图像 研究pq y x =的图像特点，其中p q是既约分数（最简分数）．3. 幂函数的性质（1） 对于一切幂函数，当0x >时，总有0y >，所以幂函数在第一象限均有图像，且幂函数图像不可能出现在第四象限．（2） 幂函数一定过点(1,1)．（3） 当0k >时，k y x =在(0,)+∞上递增，图像过点(0,0),(1,1)；① 当01k <<时，k y x =向x 轴正方向递增；② 当1k >时，k y x =向y 轴正方向递增．当0k =时，k y x =是一条不过点(0,1)的直线；当0k <时，k y x =在(0,)+∞上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．（4） 在1x =的右侧由上至下k 递减．二、指数函数1. 指数运算法则（1） (0,)x y x y a a a a x y +⋅=>∈R 、 （2） ()(0,)x y xy a a a x y =>∈R 、（3） ()(0,0,)x x x a b a b a b x ⋅=⋅>>∈R2. 指数函数的定义函数(0,1,)x y a a a x =>≠∈R 称为指数函数．3. 指数函数的图像4. 指数函数的性质（1） 函数图像在x 轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限．（2） 指数函数的图像经过点(0,1)，01a =．（3） 函数定义域为R ，值域为(0,)+∞．（4） 非奇非偶函数（5） 无零点（6） 函数(1)x y a a =>在(,)-∞+∞内是增函数；函数(01)x y a a =<<在(,)-∞+∞内是减函数．（7） 在1a >时，第一象限内1y >，增长速度十分惊人；第二象限内01y <<，增长缓慢；在01a <<时，第一象限内01y <<；第二象限内1y >．（8） 无最值（9） 函数图像与x 轴无限接近，x 轴叫做函数的渐近线．（10） x y a =的图像与1()x y a=的图像关于y 轴对称． 三、指数方程（1） 同底型：()()()()(0,1)f x g x a a f x g x a a =⇔=>≠．（2） 基本型：① ()()log (0,1,0)f x a a b f x b a a b =⇔=>≠>；② ()()()lg ()lg (0,1,0,1)f x g x a b f x a g x b a a b b =⇔=>≠>≠．（3） 代换型：① 20x x Aa Ba C ++=，令x t a =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解； ② 2220()()0x x x x x x a a Aa Ba b Cb A B C b b ++=⇒++=，令()x a t b= （注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4） 图解型：一般不可直接求解的可利用图象法求近似值．四、对数1. 对数的定义若(0,1)b a N a a =>≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意底数的范围是(0,1)(1,)+∞；真数的取值范围是(0,)+∞．2. 对数的性质若0,1,0,0,0,0,1a a M N n b b >≠>>>>≠，那么（1） 零和负数没有对数（2） log 1a a =，log 10a =，log a N a N =（3） log ()log log a a a MN M N =+，log ()log log a a a M M N N =- （4） log log n a a M n M =，log log m n a a n b b m =（5） log log log a b a N N b =（换底公式），特别地1log log a b b a=【拓展公式】 3. 常用的对数 以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lg N ；以无理数 2.71828e =为底的对数叫做自然对数，通常写做ln x ．五、对数函数1. 对数函数的定义函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>称为对数函数．2. 对数函数的图像3. 对数函数的性质（1） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都在y 轴右侧．（2） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都经过点(1,0)．（3） 函数定义域(0,)+∞，值域R ．（4） 非奇非偶函数．（5） 对数函数log (1)a y x a =>在(0,)+∞上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢．（6） 对数函数log (1)a y x a =>，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <； 对数函数log (01)a y x a =<<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >．（7） y 轴是对数函数的渐近线．（8） 当1a >时，底数越大，图像越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图像越靠近x 轴．（9） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数．六、对数方程（1） 同底型：()0log ()log ()(0,1)()0()()0()()a a f x f x g x a a g x f x g x f x g x >⎧⎪=>≠⇔>⇔=>⎨⎪=⎩．（2） 基本型：log ()(0,1)()b a f x b a a f x a =>≠⇔=．（3） 代换型：2log ()log ()0a a A f x B f x C ++=，令log ()a t f x =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4） 图解型：一般不可直接求解的可利用图像法求近似值．典型题解：幂、指、对函数的图像及性质特殊方程1.比较下列各题中两个值的大小（1）323()4和233()4 （2）0.63()4-和0.64()3-（3）0.62()5-和1 （4）12π和1()2π 2．若4333423494434334log log log log (log log )()log log x ⋅=+-+，则x =（ ）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．813．如图，幂函数223()Z m m y xm --=∈的图像关于y 轴对称，且与x 轴y 轴均无交点，求此函数解析式．4. 关于x 的方程lg 3x x +=，103xx +=的根分别为,αβ．则αβ+=__________．5． 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是______.6.方程2log (4)3x x +=实数解的个数是（ ）A 0B 1C 2D 37．已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根是2，求a 的值和方程的其余的根．8． 已知1(1)()22,x x f x --+=-则1(2)f -=_________.9.若关于x 的方程2(3)24log log x x a +-=的根在区间（3,4）内，则a 的取值范围为______. 10.设集合1{420,},x x A a x R +=-+=∈若A 为单元素集，求实数a 的取值范围.。
幂函数、指函数与对函数PPT课件
D. b > a > 1 O
思路二:
1b a
x
数形结合
26
题型三：幂函数性质的应用
3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____ 1.4 2
解后反思 两个数比较
(2)0.261
_>____
0.271
大小，何时 用幂函数模
(3)(5.2)2 _<____(5.3)2
型，何时用 指数函数模
即 log2 a log2 b 0 log2 1
a b 1 所以答案选C． 25
能力提升
变②：若0 < loga 2 < logb 2,则
C
()
A. 0 < a < b < 1 y
B. 0 < b < a < 1
1
C. a > b > 1
x=2
y= logb x
y= loga x
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
y
图 象 0<a<1
y a>1
1
（描点）
1
0
x
0
x
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>10；<x<1时 x>0时 x<0时 y>0
指、对、幂函数
指数、对数、幂函数概览：整数指数幂，分数指数幂，实数指数幂；指数函数。
对数，对数函数。
幂函数。
1. 指数幂与根式 有理数指数幂 ①整数指数幂：正整数指数幂，负整数指数幂，零指数幂； ②分数指数幂： 正分数指数幂，负分数指数幂。
注：0的零次幂和负数次幂无意义实数指数幂的运算性质根式的性质〖注：根指数是不小于2的正整数。
奇次方根/偶次方根n na 的化简〗 2. 对数定义，运算法则〖正用，逆用〗3. 指数函数 定义。
例()xxx y y =-=,10不是指函。
图象与性质：两域，特殊点，单调性，图象位置与底数大小的关系〖“逆时针底变大”〗。
x x x x y y a y a y )21(2;)1(====与如与的图象关于y 轴对称。
可将xx a y a y -==化为)1(，对称变换。
比较两个指数式的大小：①底数同-用单调性；②指数同-用“逆时针底变大”看图；③底指都不同-通常分别与“1”相比较。
4. 对数函数定义。
图象与性质：两域，特殊点，单调性，图象位置与底数大小的关系〖“顺时针底变大”〗。
x y x y x y x y aa2121loglog;loglog====与如与的图象关于x 轴对称。
可将x y x y a al o g -l o g 1==化为，对称变换。
比较两个对数式的大小：①底数同-用单调性；②真数同-用“顺时针底变大”看图；③底真都不同-通常分别与“0”或“1”相比较。
注：指函与对函都有单调性，而无奇偶性。
5. 幂函数 定义。
注：指数a 可取任意实数，主要掌握3,31,2,1,21±±±，图象及性质。
所有幂函数在()+∞,0上都有定义，即在第一象限内都有图象，〖第四象限内不可能有图象〗，且恒过定点（1,1）；若a <0,则图象在()+∞,0上是减函数，且以两坐标轴为渐近线；若a >0，则图象在()+∞,0上是增函数，并恒过原点（0,0）。
幂指对
幂、指、对——三种重要基本初等函数一、指数函数指数与指数幂的运算1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。
其中+∈>N n n ,1.2、 当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： ⑴m n mn a a=()1,,,0*>∈>m Nn m a ；⑵()01>=-n a a nn ； 4、 运算性质：⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs sr∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r∈>>=,0,0.指数函数及其性质1、图象：()1,0≠>=a a a y x2、性质：指数函数：x a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（+∞,0）。
⑴①当1a >，指数函数：x a y =在定义域上为增函数；②当01a <<，指数函数：xa y =在定义域上为减函数。
⑵当1a >时，xa y =的a 值越大，越靠近y 轴；当01a <<时，则相反。
二、对数函数对数与对数运算1、对数定义：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N a b=，数b 就叫做以a为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数。
2、指数与对数互化式：log x a a N x N =⇔=；3、对数恒等式：log a N a N =4、基本性质：01log =a ，1log =a a5、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M NMa a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a n a log log =. 6、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .7、换底公式的重要变形：log log n m a a mb b n=ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 对数函数及其性质1、图象：()1,0log ≠>=a a x y a2、性质：当1a >时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反.图表归纳：三、幂函数1、定义：一般地，形如y x α= ()x R ∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数2、幂函数的图像及性质y x = 2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 R R R奇偶性奇偶奇非奇非偶 奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展无论α取任何实数，幂函数y x α=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数
n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值：
(1)log64+log69；
(2)log2162；
(3)log672-log62；
(4)lg5+lg2.
知识聚焦
5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0).
函数时,图像只分布在第一象限.
知识聚焦
3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
（2）过定点：所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
知识聚焦
2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
（1, 0)
（2）正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)
指对幂函数图像总结
指对幂函数图像特征总结（必修一）
————以第一象限为研究对象
指数函数图像：
在第一象限：底大图高！0<b<a<1<d<c
对数函数图像：
在第一象限做一条y=1的直线，此时观察
其与图像的交点：底大图右!
0<c<d<1<a<b
指数函数与对数函数共同特征： 当a>1时，函数在定义域内单调递增； 当0<a<1时，函数在定义域内单调递减。
幂函数图像特征总结：
在x=1的右侧，作一条垂直于x轴的直线，指大图高！当a<0时，图像为双曲线，图像单调递减；
当a>0，图像单调递增。
{a>1,图像为向上的抛物线，下凸函数
0<a<1,图像为向下的抛物线，上凸函数。
4、高三一轮复习：幂指对函数
k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。
二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。
三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。
【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =； （2）4x y =； （3）31x y =； （4）3-=x y ； （5）32x y =；（6）2-=x y ； （7）21-=x y ； （8）23x y =； （9）3x y =。
2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×） （2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√） （3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×） （4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×） （5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同； （8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。
（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。
4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。
【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意； 当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意； 当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。
指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质.doc
指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质指数函数、对数函数和幂函数的图像和性质(1)指数函数和指数函数1。
公式(1)的根的根的根的根的概念符号表示备注。
如果被叫的次根是奇数，正数的次根是正数，负数的次根是负数。
如果负数的次根是零并且是偶数，则正数有两个次根。
他们彼此相对。
负数不是偶数。
N是奇数，N是偶数(2)。
两个重要的公式①；(2)(注意必须有意义)。
2.与有理数的指数幂有关的概念(1) ①正数的正分数指数幂:(2)正数的负分数指数幂: (3)正分数指数幂0等于负分数指数幂0。
注意: 分数指数幂和根公式可以互换，根公式通常用分数指数幂运算。
(2)有理数的指数幂的性质①aras=ar s(a0，r，s∈Q)。
②(ar)s=ar(A0，r，s∈Q).③(ab)r=ARB(A0，b0，r∈Q).3.指数函数y=axa101的图像和性质。
X0小时，01。
X1(3)在(-2)中(请注意，它必须有意义)。
2.与有理数的指数幂有关的概念(1) ①正数的正分数指数幂:(2)正数的负分数指数幂: (3)正分数指数幂0等于负分数指数幂0。
注意: 分数指数幂和根公式可以互换，根公式通常用分数指数幂计算。
(2)有理数的指数幂的性质①aras=ar s(a0，r，s∈Q)。
②(ar)s=ar(A0，r，s∈Q).③(ab)r=ARB(A0，b0，r∈Q).3.指数函数y=axa101的图像和性质。
X0小时，01。
X1(3)在(:如图所示，它是指数函数的图像(1) y=ax，(2)y=bx，(3)，y=CX (4)，y=dx。
如何确定碱基a，b，c，d和1之间的大小关系？提示:在图中画一条x=1的直线，交点与图像的纵坐标是它们各自基点的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab.也就是说，无论是在轴的左侧还是右侧，基数都是逆时针增加的。
(2)对数和对数函数1.对数的概念(1)对数的定义如果数字被称为底，对数被记录为，其中对数的底被称为真数。
指对幂函数知识点总结
指对幂函数知识点总结一、指数函数指数函数的表达式为＼（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ≠1\））。
（一）图像特征1、当＼（a ＞ 1\）时，函数图像单调递增，且过点＼（（0, 1)＼）。
2、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数图像单调递减，同样过点＼（（0, 1)＼）。
（二）性质1、定义域为＼（R\），值域为＼（（0, ＋＼infty)＼）。
2、当＼（x ＞ 0\）时，若＼（a ＞ 1\），则＼（a^x ＞ 1\）；若＼（0 ＜ a ＜ 1\），则＼（0 ＜ a^x ＜ 1\）。
当＼（x ＜ 0\）时，若＼（a ＞ 1\），则＼（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若＼（0 ＜ a ＜ 1\），则＼（a^x ＞ 1\）。
（三）指数运算1、＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）2、＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）3、＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）4、＼（a^0 ＝ 1\）（＼（a ≠ 0\））二、对数函数对数函数的表达式为＼（y ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ≠ 1\））。
（一）图像特征1、当＼（a ＞ 1\）时，函数在＼（（0, ＋＼infty)＼）上单调递增。
2、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数在＼（（0, ＋＼infty)＼）上单调递减。
（二）性质1、定义域为＼（（0, ＋＼infty)＼），值域为＼（R\）。
2、当＼（a ＞ 1\）时，＼（＼log_a x ＞ 0\）等价于＼（x ＞1\）；＼（＼log_a x ＜ 0\）等价于＼（0 ＜ x ＜ 1\）。
当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，＼（＼log_a x ＞ 0\）等价于＼（0 ＜ x ＜ 1\）；＼（＼log_a x ＜ 0\）等价于＼（x ＞ 1\）。
（三）对数运算1、＼（＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N\）2、＼（＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N\）3、＼（＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M\）4、＼（＼log_{a^b} M ＝＼frac{1}｛b} ＼log_a M\）（四）对数与指数的关系若＼（y ＝＼log_a x\），则＼（x ＝ a^y\），它们互为反函数，图像关于直线＼（y ＝ x\）对称。
幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数指数函数对数函数的图像和性质在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。
首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,aeq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。
接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也是一种以连续变量为参数的可导函数。
最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。
接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。
以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。