(完整word版)不定方程的解法与应用
数列中的不定方程 Word版含解析
数列中的不定方程问题数列中的子列存在性问题常常转化成一个不定方程问题来求解，此时把握住不定方程中数的离散性特征，通常配合一定的方法即可有效解决，本文梳理了几类常见的求解方法，供大家参考.1.因式分解法通过对所求不定方程进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，利用整数的离散性，进而解出变量.例1. 设n a a a ,,,21⋅⋅⋅是各项均不为零的)4(≥n n 项等差数列，且公差0≠d ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：求证：对于给定的正整数)4(≥n n ,存在一个各项及公差均不为零的等差数列n b b b ,,,21⋅⋅⋅，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.证明：假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,...,,21，其中)10(,,111-≤<<≤+++n z y x b b b z y x 为成等比数列的三项，则1121+++⋅=z x y b b b ，即)()()(1121zd b xd b yd b +⋅+=+，化简得12)2()(b y z x d xz y -+=-. ①由01≠d b 知，xz y -2与y z x 2-+同时为0或同时不为0；当xz y -2与y z x 2-+同时为0时，有z y x ==，与题设矛盾.故xz y -2与y z x 2-+同时不为0，所以由①得yz x xz y d b 221-+-= 因为10-≤<<≤n z y x ，且z y x ,,为整数， 于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要db 1为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列.例2 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且16,132435==-S a a . （1）求数列}{n a 的前n 项和n S ；（2）是否存在正整数)2(,>>m n n m ，使得m n m S S S S S --,22，成等比数列？若存在，求出所有的n m ,；若不存在，请说明理由.解析（1）2n S n =，过程略.（2）假设存在正整数n m ,，)2(>>m n ，使得m n m S S S S S --,,22成等比数列，则)()(222m n m S S S S S -⋅=-，即)(4)4(2222m n m -=-，所以12)2(4222+-=m n ，即12)2(4222=--m n ，即12)22)(22(22=-++-m n m n .因为2>>m n ，所以3,4≥≥m n ，所以15222≥-+m n .因为222+-m n 是整数，所以等式 12)22)(22(22=-++-m n m n 不成立，故不存在正整数)2(,>>m n n m ，使得 m n m S S S S S --,,22成等比数列.例3．已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S =． （1）求d 及n S ；（2）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=．解：（1）由11a =，2336S S =得，12123()()36a a a a a +++=，即(2)(33)36d d ++=，化为 23100d d +-=，解得2d =或5-，又公差0d >，则2d =，所以2*1(1)()2n n n S na d n n N -=+=∈． （2）由（1）得，12(1)21n a n n =+-=-，由1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=得，(1)()652m m k k a a +++=，即(1)(21)65k m k ++-=，又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=⨯， 或(1)(21)165k m k ++-=⨯，下面分类求解： 当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去； 当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；当165k +=时，211m k +-=，解得64k =，31m =-，故舍去；综上得，4k =，5m =．2.不等式分析法很多存在性问题，其中的项数均有范围，此时将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值.例4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得11m <<+*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，∴存在2,12m k ==满足题意．例5．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足221nn a S -=， 11n n n b a a +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ；（2）在数列{}n b 中，是否存在正整数m ，(1)n m n <<，使得1T ，m T ，n T 依次成等比数列？ 若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）：1n =时，21110a S a ==≠，解得11a =．2n =时，223a S =，2(1)33d d ∴+=+，解得2d =或1-．1d =-时，20a =，舍去．2d ∴=．12(1)21n a n n ∴=+-=-， 111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+ 由111111(1)2335212121n nT n n n =-+-+⋯+-=-++， （2）由（1）知，21n n T n =+，113T ∴=，21m mT m =+，若1T ，m T ，n T 依次成等比数列， 则21()21321m n m n =++，整理可得223241m m n m-++=，22410n m ∴-++>，解得11m <<，又m N ∈，且1m >，所以2m =，此时12n =． 故可知：当且仅当2m =，12n =使数列{}n T 中的1T ，m T ，n T 成等比数列．例6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足233n n S a =-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足111n nT T n n+=++且11b =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n S 中是否存在不同的三项p S ，q S ，r S ，使这三项恰好构成等差数列？若存在， 求出p ，q ，r 的关系；若不存在，请说明理由． 解析：（1）3n n a ∴=，21n b n ∴=-．（2）由（1）知{}n a 是以3为首项，以3为公比的等比数列，13(13)33132n n n S +--∴==-． 假设数列{}n S 中存在不同的三项p S ，q S ，r S ，使这三项恰好构成等差数列，2p r q S S S ∴+=．即11133333322P r q +++--+=-．∴1113332p r q ++++=．即3323p r q +=．332p q r q --∴+=，p ，q ，r 互不相同，不妨设p q r <<，则1r q -，3332p q r q --∴+≠，与332p q r q --+=矛盾，∴数列{}n S 中不存在不同的三项p S ，q S ，r S ， 使这三项恰好构成等差数列．存在511p q =⎧⎨=⎩或627p q =⎧⎨=⎩，使得3T ，p T ，q T 成等差数列．3.奇偶分析法奇偶分析对于某些不定方程，可从不定方程等式两边的符号和奇偶性角度分析，寻求矛盾来否定存在性，或构造等量关系来肯定存在性.例7. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足)(12*N n a S n n ∈-=，数列}{n b 满足))(1()1(*1N n n n b n nb n n ∈+=+-+，且11=b .（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）是否存在正整数n m ,，使)1(,,1>n b a b n m 成等差数列？若存在，求出所有满足条件的n m ,；若不存在，请说明理由.解析：（1）21,2n b a n n n ==-（2）假设存在正整数)1(,>n n m ，使n m b a b ,,1成等差数列，则m n a b b 21=+，即mn 212=+.若n 为偶数，则21n +为奇数，而m 2为偶数，上式不成立.若n 为奇数，设)(12*N k k n ∈-=，则mk k k n 2244)12(11222=+-=-+=+，于是122122-=+-m k k ，即1221)(2-=+-m k k .当1=m 时，1=k ，此时112=-=k n 与1>n 矛盾；当2≥m 时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.综上所述，满足条件的正整数n m ,不存在. 例8．在数列{}n a 中，10a =，*122()n n a a n N +=+∈． （1）设2n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式；（2）{}n a 中是否存在不同的三项p a ，q a ，(r a p ，q ，*)r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的关系；若不存在，说明理由．解析：（1）112(22)22(2)2n n n n n b a a a b ++=+=++=+=，又1122b a =+=，所以，数列{}n b 是首项为2、公比为2的等比数列，所以数列{}n b 的通项公式为2n n b =． （2）由（1）得22n n a =-．假设{}n a 中是否存在不同的三项p a ，q a ，(r a p ，q ，*)r N ∈恰好成等差数列，不妨设p q r <<，则(22)(22)2(22)p r q -+-=-，于是1222p r q ++=，所以1122r p q p --++=．因p ，q ，*r N ∈，且p q r <<，所以12r p -+是奇数，12q p -+是偶数，1122r p q p --++=不可能成立，所以不存在不同的三项p a ，q a ，r a 成等差数列．4.函数值域法可将所求不定方程转化为一个是自变量，一个是因变量的函数形式，利用函数求值域的方法找到可能的结果.例9.设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和nS；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.解析：（1）设{}n a 的公比为q ，则有2111848a q a a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得12q =，或13q =-（舍)．则12832a q ==，16132()22n n n a --==，6224log 4log 2424nn n b a n -===-+．即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为16132()22n n n a --==，424n b n =-+．（2）12(244)(204)4(6)(5)(164)(4)m m m b b m m m m b m m ++----==--，令4(3,)t m t t Z =-∈， 所以124(6)(5)4(2)(1)24(3)(4)m m m b b m m t t t b m t t++--++===++-，如果12m m m b b b ++是数列{}n b 中的项，设为第0m 项，则有024(3)4(6)t m t ++=-，那么23t t++为小于等于5的整数，所以{2t ∈-，1-，1，2}．当1t =或2t =时，236t t++=，不合题意；当1t =-或2t =-时，230t t++=，符合题意．所以，当1t =-或2t =-时，即5m =或6m =时，12m m m b b b ++是数列{}n b 中的项.。
(完整word版)不定方程的解法研究
不定方程的解法研究摘 要：本文研究了一次不定方程，并从二元到n 元给出了一次不定方程有解的充要条件和几种不定方程的基本求解方法。
其中首先给出了不定方程的定义和通解公式，然后举例应用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法、整消法变换解决了不定方程的求解问题。
由本文看出，解不定方程的关键就是求出不定方程的特解。
关键词：不定方程 ;通解 ;Euler 函数 ；初等整数矩阵 ;解法1引言及有关基础知识不定方程是变数个数多于方程个数，且取整数值的方程.不定方程是数论中最古老的一个分支，我国古代数学家在这方面的研究内容极为丰富，在数学史上占有重要地位。
1969年“不定方程之王”L.Jmordell 系统的总结了当时的成果，写成了著名的《丢番图方程》（Diphantine Equations,Adcmic Press ）。
1950 年，著名的数学家柯召和孙琦在我国出版了第一部专门研究不定方程的专著《谈谈不定方程》（上海教育出版社）。
在这两部专著的基础上，曹珍富于1987年完成了全面总结与系统研究不定方程的成果和方法的手稿《丢番图方程引论》，并于1989年由哈尔滨工业大学出版社出版.最近十余年，不定方程不仅自身的发展异常活跃，而且全面应用于其他各个领域，例如，计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、信号的数字处理、计算方法等领域有着广泛的运用，所以数论又成为现在数学界的热门课题.[1]本文主要研究了一次不定方程和不定方程的几种解法.并利用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法解决了不定方程的求解问题.不定方程的整数解问题是数论的一个重要课题，在现实生活中，该问题有很强的实用意义。
不定方程的概念、有解条件及通解公式［2］定义1：设整数2≥n ，c ，1a ,n a a ,2是整数,且n a a a ,,21都不等于零，n x x x ,,21是整数变数，方程c x a x a x a n n =+++ 2211（1)n 元一次不定方程，n a a a ,,21称为它的系数。
初等数论不定方程的解法
初等数论不定方程的解法初等数论是数论中的一部分，主要研究整数之间的性质和关系。
在初等数论中，不定方程是一个非常重要的研究对象。
不定方程是指一个方程中包含的未知数不确定，需要求解这些未知数的取值以满足方程。
本文将介绍不定方程的一般解法，并通过具体例子进行演示。
首先，我们来介绍一下一元一次不定方程的解法。
一元一次不定方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。
解决这个方程的关键是找到一组x、y的取值，使得方程成立。
我们可以通过以下步骤来解决一元一次不定方程：1.首先，我们要判断方程是否有解。
我们知道，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程才有整数解。
我们可以使用欧几里得算法来求出a和b的最大公约数gcd(a,b)，然后判断c是否是gcd(a,b)的倍数。
2.如果方程有解，我们需要求出一个特解。
我们可以使用扩展欧几里得算法来求解特解。
扩展欧几里得算法可以找到一组整数x0和y0，使得ax0 + by0 = gcd(a,b)。
我们可以将c除以gcd(a,b)得到c'，然后将特解x0和y0乘以c'得到一个特解x1 = x0 * c'，y1 = y0 * c'。
3.一旦我们找到了一个特解，我们可以通过以下形式来构造方程的通解：x = x1 + k * (b / gcd(a, b))y = y1 - k * (a / gcd(a, b))其中k为整数。
这样，我们就可以通过改变k的值来得到方程的所有整数解。
接下来，我们来介绍一下二次不定方程的解法。
二次不定方程的一般形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为已知整数，x、y为未知数。
对于二次不定方程，我们可以通过一些特殊的方法来求解。
下面介绍两种常用的方法：1.利用配方法。
如果二次不定方程中的系数是已知整数，且可以对方程进行配方法，那么我们可以通过配方法来求解方程。
(完整word版)不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程——-研究其解法方程,这个词对于同学们来说,再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了. 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解,他的解法相对较多较难,以下就是关于不定方程的一些问题。
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程,其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法 1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？ 解：当x = 1时y ﹢z = 99,这时共有98个解：（y ，z ）为(1，98) （2，97）……（98，1)。
当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为（1，97） （2，96)……(97，1）。
……当 x = 98时,y ﹢z = 2，这时有一个解。
∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998⨯= 4851∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。
解:∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如： 求7x ﹢2 y =38的整数解解: y =2738X -=19—3x-21x令 t=21xx=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019—7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时, x=2×1=2 x=2y=19—7×1=12 y=12第四十周 不定方程专题简析:当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
高中数学解题技巧之不定方程求解
高中数学解题技巧之不定方程求解不定方程在高中数学中是一个重要的概念，涉及到求解方程中的未知数的取值范围。
本文将介绍不定方程的求解方法和一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。
一、不定方程的定义和基本概念不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的取值范围不确定，需要通过一定的条件来求解。
常见的不定方程包括线性不定方程、二次不定方程等。
例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7，其中x和y为未知数。
这个方程的解是指满足条件的x和y的取值，使得等式成立。
二、线性不定方程的求解方法1. 列举法：对于简单的线性不定方程，可以通过列举的方法来求解。
例如，解线性不定方程3x + 4y = 7，我们可以列举出一些满足条件的整数解，如(1, 1)、(3, 1)等。
通过观察这些解的规律，我们可以发现解的特点，进而得到一般解。
2. 欧几里得算法：对于形如ax + by = c的线性不定方程，可以利用欧几里得算法来求解。
首先，我们需要找到一个特殊解(x0, y0)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。
例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7。
我们可以先找到一个特殊解(3, -2)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。
具体步骤如下：步骤一：利用欧几里得算法求出3和4的最大公约数d，同时求出一组整数解(u0, v0)，使得3u0 + 4v0 = d。
步骤二：将方程两边同时除以d，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。
步骤三：将特殊解(3, -2)代入上式，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。
通过观察我们可以发现，方程的通解为x = 3 + 4k，y = -2 - 3k，其中k为整数。
三、二次不定方程的求解方法二次不定方程是指含有二次项的不定方程，例如x^2 + y^2 = 25。
对于这类方程，我们可以利用一些特定的方法来求解。
1. 分类讨论法：对于形如x^2 + y^2 = n的二次不定方程，我们可以通过分类讨论的方法来求解。
不定方程解法范文
不定方程解法范文不定方程是指形如 ax + by = c 的方程，其中 a、b、c为已知数，x、y为未知数，且要求x、y为整数。
解不定方程的方法有多种，下面将介绍三种常见的解法。
1.暴力穷举法暴力穷举法是最简单直接的方法，通过遍历所有可能的x、y的取值，寻找满足方程的整数解。
步骤如下：-首先确定x、y的取值范围。
可以通过观察方程中系数的最小公倍数来确定。
-在确定的范围内，依次计算所有可能的x、y的组合，直到找到满足方程的解。
例如，求解方程3x+7y=91，观察发现3和7的最小公倍数为3*7=21，因此x、y的范围可以设定为0到21依次计算3x+7y是否等于91，直到找到满足条件的x、y。
2.辗转相除法辗转相除法是一种通过求解方程的最大公约数来求解不定方程的方法。
步骤如下：- 首先求解方程的最大公约数gcd(a, b)，可以使用欧几里得算法来求解。
- 如果 c mod gcd(a, b) 不等于 0，则方程无整数解，结束。
- 如果 c mod gcd(a, b)等于 0，则方程有整数解。
-通过扩展欧几里得算法求解方程的一组特解x0、y0。
- 方程的所有解可以通过 x = x0+ k * b/gcd(a, b)，y = y0 - k * a/gcd(a, b) 来表示，其中k取任意整数。
例如，求解方程 3x + 7y = 91，首先求解gcd(3, 7)，得到1，因此方程有整数解。
然后使用扩展欧几里得算法求解方程3x+7y=1的一组特解，得到x0=3，y0=-1再根据公式x=3+k*7，y=-1-k*3，可以得到方程3x+7y=91的所有解。
3.模线性方程组模线性方程组的方法适用于形式为 ax + by ≡ c (mod m) 的不定方程，其中 a、b、c、m为已知数，x、y为未知数，且要求x、y为整数。
步骤如下：- 首先求解方程的最大公约数gcd(a, m)，如果 c mod gcd(a, m)不等于 0，则方程无整数解，结束。
不定方程—解答
不定⽅程—解答不定⽅程不定⽅程是指未知数的个数多于⽅程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的⽅程.不定⽅程是数论的⼀个重要课题，也是⼀个⾮常困难和复杂的课题.1．⼏类不定⽅程(1) ⼀次不定⽅程在不定⽅程和不定⽅程组中，最简单的不定⽅程是整系数⽅程)0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为⼆元⼀次不定⽅程。
⼀次不定⽅程解的情况有如下定理。
定理1．⼆元⼀次不定⽅程ax by c +=(,,a b c 为整数)有整数解的充分必要条件是c b a |),(。
定理2．若(,)1a b =，且00,x y 为①之⼀解，则⽅程①全部解为0x x bt =+， 0y y at =-，其中t 为整数。
(2) 佩尔)(pell ⽅程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平⽅数）的⽅程称为佩尔⽅程。
能够证明它⼀定有⽆穷多组正整数解；⼜设),(11y x 为该⽅程的正整数解),(y x 中使d y x +最⼩的解，则其全部正整数解如下：111111111[()()]2)()]n n n n n n x x x y x x ?=++=+-??(1,2,3,)n =。
①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出⽅程的⽆穷多组解。
②n n y x ,满⾜的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n n n n x x x x y x y y ----=-??=-? 。
(3) 勾股⽅程222z y x =+这⾥只讨论勾股⽅程的正整数解，只需讨论满⾜1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素。
这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为⽅程的本原解，也称为本原的勾股数。
容易看出y x ,⼀奇⼀偶，⽆妨设y 为偶数，下⾯的结果勾股⽅程的全部本原解通解公式。
定理3．⽅程222z y x =+满⾜1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满⾜b a b a ,,0>>⼀奇⼀偶，且1),(=b a 的任意整数。
3.2 不定方程的常用解法
3．2 不定方程的常用解法对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法． 一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1 求方程()101xy x y －＋＝ ① 的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝ 而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）． 分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）． 例2 是否存在整数x 、y 、z ，使得44422222222224x y z x y y z z x ＋＋＝＋＋＋？解：若存在整数x 、y 、z 满足条件，则()22222244424222x y y z z x x y z －＝＋＋－＋＋ ＝()()22222242224x yx y z z x y－＋＋＋－＋＝()2222224x y zxy －＋－＋＝()()22222222xy x y z xy x y z ＋＋－－－＋＝()()()()2222x y z z x y ＋－－－＝()()()()x y z x y z z x y y z x ＋＋＋－＋－＋－，这要求－24能表示为4个整数x y z ＋＋，x y z ＋－，z x y ＋－，y z x ＋－的乘积的形式，而这4个数中任意两个数之差都为偶数，故这4个数具有相同的奇偶性，由－24为偶数，知它们都是偶数，但这要求42|24，矛盾． 所以，不存在符合要求的整数．说明 熟悉海伦公式的读者可以一眼看穿问题的本质．事实上，ABC S ∆a 、b 、c 为△ABC的三边长，这就是海伦公式．根号里面的式子展开后就是222a b ＋222b c ＋222c a －4a －4b －4c ．例3 求所有的正整数对（m ，n ），使得5471mn n ＋＝－． ①解：将①移项后作因式分解，得()545433711m n n n n n n ＝＋＋＝＋＋－－ ＝()()()322111n n n n n n ＋＋－－＋＋＝()()3211n n n n －＋＋＋ ② 由①知n ＞1，而n ＝2时，可得m ＝2．下面考虑n ＞2的情形，我们先看②式右边两个式子的最大公因数．()()()()32322111111n n n n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋－＋＋＋－，＋＝()()()()22212123n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋＋＋＋－＋，＋ ＝()27n －＋，．故()3211|7n n n n －＋，＋＋．结合②式知31n n －＋与21n n ＋＋都是7的幂次，而它们在n ≥3时，都大于7，这导致 ()()2327|11n n n n －＋＋＋，与前所得矛盾．综上可知，只有（m ，n ）＝（2，2）符合要求．说明 对①式变形后，所得②式两边符合因式分解方法解不定方程的套路，但7m并不是一个常数，这里需要有另外的方法来处理才能继续下去．活学活用方能攻城拔寨．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解． 解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ①由①式得 25105y ≤， 所以 4y ≤．当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）．当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解． 上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例5 求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ①下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋ ()222212y y y y ＝＋＋－＋ ()2222341y y y y ＝＋＋＋＋， 从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋．由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立． 因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是 （x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）． 例6 求所有的正整数n ≥2，使得不定方程组22121222232322112211501612501612501612501612n nn n nn x x x x x x x x x x x xx x x x ⎧⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎩－－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋ 有整数解．解：移项后配方，方程组变形为()()()()()()()()122122223221221850850850850n n n n x x x x x x n x x ⎧⎪⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎪⎩－－－＋－6＝， ①－＋－6＝， ②－＋－6＝， －＋－6＝．由于50表示为两个正整数的平方和只有两种：2222501755＝＋＝＋，所以，由①知261x －＝、5或7，而由②知281x －＝、5或7，从而21x ＝、7、13．进一步，可知对每个1≤i ≤n ，都有1i x ＝，7或13，依11x ＝、7、13 ，分三种情况讨论． 若11x ＝，则由①知27x ＝，再由②知313x ＝，依次往下递推，可知当()1mod3k ≡时，1k x ＝；当()2mod3k ≡时，7k x ＝；当()0mod3k ≡时，13k x ＝．所以，由第n 式，知当且仅当()11mod3n ≡＋时，原方程组有整数解，即当且仅当3|n 时，n 符合要求．对另外两种情况17x ＝和113x ＝同样讨论，得到的条件是一样的． 综上可知，满足条件的n 是所有3的倍数．说明 进一步讨论可知，当3|n 时，方程组恰有3组整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜， 于是 3d ≤． 分别令1d ＝、2、3代入，得222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）． 例8 求所有的正整数a 、b ，使得22444aa b ＋＋＝． ①解：若（a ，b ）是满足①的正整数数对，则2b 为偶数，且24ab ＞，从而b 为偶数，且2ab ＞，故22ab ≥＋．于是()22244422a aa b ＋＋＝≥＋4a ＝＋4·2a ＋4，知22aa ≥，可得4a ≤（对a 归纳可证：当5a ≥时，有22aa ＜）．分别就a ＝1，2，3，4代入①式，可得方程的所有正整数解为（a ，b ）＝（2，6）或（4，18）．例9 求所有的正整数数组（a ，b ，c ，x ，y ，z ），使得a b c xyz x y z abc ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，这里a b c ≥≥，x y z ≥≥．解：由对称性，我们只需考虑x a ≥的情形．这时 33xyz a b c a x ＝＋＋≤≤， 故 3yz ≤，于是 （y ，z ）＝（1，1），（2，1），（3，1）．当（y ，z ）＝（1，1）时，a b c x ＋＋＝且2x abc ＋＝，于是 2abc a b c ＝＋＋＋． 若2c ≥，则2324a b c a a abc ＋＋＋≤＋≤≤， 等号当且仅当2a b c ＝＝＝时成立．若1c ＝，则3ab a b ＝＋＋， 即 ()()114a b －－＝，得 （a ，b ）＝（5，2），（3，3）．当（y ，z ）＝（2，1）时，2266abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，与上述类似讨论可知c ＝1，进而()()212115a b －－＝，得 （a ，b ）＝（3，2）． 当（y ，z ）＝（3，1）时，331212abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，类似可知，此时无解．综上所述，可知（a ，b ，c ，x ，y ，z ） ＝（2，2，2，6，1，1），（5，2，1，8，1，1），（3，3，1，7，1，1）， （3，2，1，3，2，1），（6，1，1，2，2，2），（8，1，1，5，2，1）， （7，1，1，3，3，1）．说明 此题中如果没有条件a ≥b ≥c 和x ≥y ≥z ，也需要利用对称性作出这样的假设后再处理，解题中利用对称性假设x ≥a 是巧妙的，这样问题就转化为只有3种情况而便于处理了．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，．运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ①没有整数解．证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求6()22382mod8x y z ≡＝＋－，矛盾．故方程①没有整数解．说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾． 例11 求所有的非负整数x 、y 、z ，使得223xyz ＋＝． ①解：（1）当y ＝0时，有()()22111xz z z ＝－＝－＋，于是可设 2z α－1＝，2z β＋1＝，0αβ≤≤，因此 222βα－＝．此时，若2α≥，则4|22βα－，与42矛盾，故1α≤．而0α＝导致23β＝，矛盾，故1α＝，2β＝，所以 z ＝3，x ＝3，得 （x ，y ，z ）＝（3，0，3）（2）当y ＞0时，由于323xy＋，故3z ，所以 ()21mod3z ≡．对①两边模3，知()()11mod3x≡－， 故x 为偶数，现在设x ＝2m ，则 ()()223mmyz z －＋＝，所以可设 23mz α－＝，23m z β＋＝，0αβ≤≤，y αβ＋＝， 于是 1332m βα＋－＝，若α≥1，则3|33βα－，但132m ＋，矛盾，故α＝0，因此1312m β＋－＝． 当m ＝0时，β＝1，得（x ，y ，z ）＝（0，1，2）； 当m ＞0时，()120mod4m ＋＝，故 ()31mod4β＝， 这要求β位偶数，设β＝2n ，则()()122313131m n n n ＋＝－＝－＋， 同y ＝0时的讨论，可知 312n－＝，即n ＝1，进而m ＝2，得 （x ，y ，z ）＝（4，2，5）． 所以（x ，y ，z ）＝（3，0，3），（0，1，2），（4，2，5）．例12 设m 、n 为正整数，且n ＞1，求25m n －的最小值．解：由于25m n －为奇数，而m ＝7，n ＝3时，253m n －＝，故若能证明n ＞1时，251m n －≠，则所求的最小值为3．若存在正整数m 、n ，使得n ＞1，且251m n －＝，则251m n －＝或251m n－＝－． 如果251mn－＝，那么m ≥3，两边模8，要求()57mod8n ≡， 但对任意正整数n ，51n≡或()5mod8，矛盾，故251mn－＝不成立． 如果251m n－＝－，那么由n ＞1，知m ≥3．两边模8，得 ()51mod8n≡，可知n 为偶数．设n ＝2x ，x 为正整数，则 ()()25151m x x ＝－＋， 由于51x－与51x＋是两个相邻偶数，这要求512x －＝，514x＋＝， 不可能．所以，25mn－的最小值为3．说明 上面的两个例子都用到了一个结论：两个差为2的正整数之积为2的幂次，则这两个数只能为2和4．该结论在例11的前半段解答中已予以证明．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理． 例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例14 证明：对任意整数n ，方程222x y z n ＋－＝ ①证明 现有命题“当m 为奇数或4的倍数时，方程22a b m －＝有整数解（a ，b ）”，它对解决本题是有用的．这个命题基于下面2个恒等式：()22121k k k ＋－＝＋，()()2214k k k ＋－－1＝．对于方程①，只需取x ，使x 与n 的奇偶性相反（这样的x 有无穷多个），从而利用上述命题，方程 222y z n x －＝－ 有整数解，可知方程①有无穷多组整数解．例15 是否存在两两不同的正整数m 、n 、p 、q ，使得m n p q ＋＝＋2012都成立？解：存在满足条件的正整数．由方程的结构，我们寻找形如2m a ＝，3n b ＝，2p c ＝，3q d ＝的正整数．这里a 、b 、c 、d 为正整数． 此时，条件转化为2012a b c d ＋＝＋＞，2323a b c d ＋＝＋，即 a c d b －＝－，()()()()22a c a c d b d bd b －＋＝－＋＋．令1d b －＝，即1b d ＝－，且使2012b ＞，则b 、d 的奇偶性不同，现令2212b bd d a ＋＋＋＝，2212b bd dc ＋＋－＝，那么a 、c 为正整数，且由a 、b 、c 、d 确定的m 、n 、p 、q 满足条件．例16 证明：存在无穷多组正整数组()x y z ，，，使得x 、y 、z 两两不同，并且 33xx y z ＝＋．证明 一个想法是：将x 取为3k ＋1形式的数，这时()3131k x x k ＋＝＋()()33131kk k ＝＋＋ ()()3333131k kk k k ＝＋＋＋因此，如果使3k 为一个完全立方数，那么符合要求的正整数x 、y 、z 就找到了．为此，令323m k ＋＝，这里m 为正整数，那么令31x k ＝＋，()1331km x k ＋＝＋，()31kz k ＝＋，则x 、y 、z 两两不同，且满足33xx y z ＝＋．命题获证．说明 如果不要求x 、y 、z 两两不同，我们还可以这样来构造：取2m y z ＝＝，2x α＝，则当231m αα•＝＋时，就有33xx y z ＝＋．容易看出满足231m αα•＝＋的正整数对()m α，有无穷多对．。
不定方程求解方法
不定方程求解方法一、不定方程是啥。
1.1 不定方程呢，就是方程的个数比未知数的个数少的方程。
比如说，x + y = 5，这里就两个未知数x和y，但是就一个方程。
这就像你要去猜两个东西是啥，但是只给了你一个线索，有点像雾里看花，摸不着头脑。
1.2 这种方程在数学里可是很常见的。
它的解不是唯一确定的，往往有好多组解。
这就好比一个大宝藏，有好多条路可以通向它。
二、求解不定方程的一些常用方法。
2.1 枚举法。
这就像一个一个去试。
比如说对于简单的不定方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始试。
当x = 0的时候，y就不是整数了；当x = 1的时候，y也不是整数；当x = 2的时候，y = 2。
就这么一个一个试，虽然有点笨，但是对于一些简单的不定方程还是很有效的。
就像我们找东西，有时候没有捷径，那就只能一个角落一个角落地找，这就叫笨鸟先飞嘛。
2.2 利用数的性质。
比如说奇偶性。
如果方程是x + y = 11，我们知道两个数相加是奇数，那么这两个数必定是一奇一偶。
这就像给我们开了一个小窗户，能看到一点里面的情况。
再比如说倍数关系，如果方程是3x + 6y = 18，我们可以先把方程化简成x + 2y = 6，因为6y肯定是3的倍数，18也是3的倍数，所以x也得是3的倍数。
这就像是在一团乱麻里找到了一个线头，顺着这个线头就能把麻理清楚。
2.3 换元法。
就拿方程x²+ y²+ 2x 4y = 20来说，我们可以设u = x + 1，v = y 2，这样方程就变成了u²+ v²= 25。
这就像给方程换了一身衣服，让它看起来更顺眼，更容易解决。
这就好比我们整理房间，把东西重新摆放一下，看起来就整齐多了。
三、实际应用中的不定方程求解。
3.1 在生活里有很多地方会用到不定方程求解。
比如说你去买水果，苹果一个3元，香蕉一根2元，你带了10元钱，设买苹果x个，买香蕉y根，那方程就是3x + 2y = 10。
不定方程三种解法
不定方程三种解法不定方程是指方程中含有一个或多个未知量，并且在给定范围内存在多个整数解的方程。
解决不定方程的问题在数学中具有重要意义，因为它们可以应用于各种实际问题，如商业、工程和密码学等领域。
在这篇文章中，我们将讨论三种解决不定方程的常见方法。
## 1. 穷举法穷举法是最简单的解决不定方程的方法之一。
它的原理是通过穷举所有可能的解来找到符合方程要求的整数解。
首先，我们需要确定未知数的取值范围。
然后，使用循环结构，从最小值开始逐个尝试，直到找到满足方程条件的解或超出最大值。
例如，考虑求解方程x + y = 8，其中x和y是整数。
我们可以通过以下伪代码来实现穷举法：```for x in range(1, 9):for y in range(1, 9):if x + y == 8:print("x =", x, "y =", y)```通过这个方法，我们可以得到方程的所有整数解：(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)和(8, 0)。
然而，穷举法在大规模的问题上效率较低，因为它需要遍历所有可能的解，而不是有针对性地解决问题。
## 2. 辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里德算法，用于求解关于两个未知数的不定方程。
这种方法的关键思想是利用两个整数的最大公约数来解决方程。
例如，考虑求解方程ax + by = c，其中a、b和c是已知整数，x和y是未知数。
我们可以使用辗转相除法来求解。
首先，我们需要计算a和b的最大公约数。
然后，检查c是否可以被最大公约数整除。
如果是，则方程有解，否则方程无解。
如果方程有解，我们可以使用扩展欧几里德算法来找到x和y的值。
扩展欧几里德算法可以通过递归方式计算出未知数的值。
辗转相除法是一种较为高效的方法，因为它只需要计算最大公约数和进行有限次的递归运算。
## 3. 数论方法数论方法是解决特定类型不定方程的一种方法。
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摘要不定方程是初等数论的一个重要内容,在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法;最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程;二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life。
This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution， secondly is further discussed。
For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics， civil servants for test and other subjects， and illustrated with examples。
Key words: i ndeterminate equation； two element indefinite equation;Mathematics contest; civil service examination.目录1 引言 02 不定方程的若干解法 02.1 二元一次不定方程的若干解法 02.2 n元一次不定方程 (2)2.3 二次不定方程 (4)3 不定方程的应用 (6)3.1 在初高中竞赛题中的应用 (6)3。
2 在公务员考试题中的应用 (7)3.3 在其他学科中的应用 (8)4 结论 (9)致谢 ...................................... 错误!未定义书签。
参考文献 . (10)不定方程的解法与应用1 引 言不定方程（组）指的是未知数的个数比方程的个数多,而且未知数受到某些限制（如正整数解，整数解或有理数解）的方程（组）．不定方程（组）是数论中最古老的分支，也是一个具有探讨性的课题．我国古代就有对不定方程的研究，且研究的内容丰富且广泛，在世界数学史上具有举足轻重的作用．例如《周髀算经》的商高定理,《九章算术》中的“五家共井”问题，《张丘建算经》里提出的“百鸡问题”；《孙子算经》中的“物不知其数”问题等等［1］．由于早在1700多年前,古希腊数学家丢番图就曾系统研究了某些不定方程（组)的问题，因而英文著作中大部分都将不定方程(组）称为丢番图方程． 在他的一部著作《算术》中,除了第一卷之外，其他卷章几乎都是考虑不定方程（组）的问题．下面将介绍几类常见不定方程的解法，探讨不定方程在各领域中的应用。
2 不定方程的若干解法2。
1 二元一次不定方程的若干解法定义2.1 形如ax by c += (,,,0)a b c Z ab ∈≠的方程称为二元一次不定方程．其有整数解的充分必要条件是(,)|a b c ， 若(),1a b =，且11(,)x y 是其一个整数解（特解)，则其通解可表示成11x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩或11x x bty y at=-⎧⎨=+⎩()t Z ∈． 例2。
1 求不定方程2515100x y -=的整数解． 解:(25,15)5|100,=∴原方程有整数解．25-15y=1005x-3y=20,(5,3)=1x ⇔利用观察法得到这个方程的特解是(1-5)，,则该方程的全部整数解是1-3-55x ty t =⎧⎨=-⎩()t Z ∈．下面介绍几种对于二元一次不定方程，无法直接利用观察法看出特解，或者未知数的系数比较大时可以采用的解法．1、整数分离法整数分离法指的是系数较大的未知数用来表示系数较小的未知数,并将结果中的整数部分分离出来，其剩下的部分也是整数． 依此类推,直到能观察到特解时为止，再求出原方程的通解．例2。
2 求不定方程51411x y -=-．解:(5,14)1|(11)=-∴原方程有整数解． 514<．11145yx -+∴=将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来，即41225y x y -=-++． 因为,x y 都是整数，所以22y -+是整数,则415y -也是一个整数， 可观察出11y =-时，15x =-为原方程的一个特解． 则原方程的通解是514-15x ty t =--⎧⎨=-⎩()t Z ∈．2、系数逐渐减小法系数逐渐减小法指的是利用变量替换，使方程的未知数系数逐渐减小，直到有一个未知数的系数为1±为止，解此方程，再依次逆推，即可得到原方程的通解．例2.3 求不定方程1073725x y +=．解: (107,37)1|25=∴原方程有整数解．37107< ∴2510737xy -=． 将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来． 即1241337xy x -+=-+，令124()37x k k Z -+=∈,即43712x k -=．又因为437<，则用k 来表示x ，得12373944k kx k +==++．令()4k t t Z =∈，则4k t =．将4k t =代入12374k x +=，则可得原方程的通解为337-8-107x t y t=+⎧⎨=⎩()t Z ∈． 3、辗转相除法根据辗转相除法的相除式逆推求出方程的特解． 例2。
4 求不定方程127521x y -=-的解． 解： (127,52)1|(1)=- ∴原方程有整数解由12752223,522326,23635,6511,=⨯+=⨯+=⨯+=⨯+ 又由6511=⨯+往回逆推，得到16516(2363)152423952221279=-⨯=--⨯⨯=⨯-⨯=⨯-⨯又(52221279)(1)1⨯-⨯⨯-=-12795222=⨯-⨯ 则该方程的特解是(9,22)，则该方程的通解95222127x ty t=-⎧⎨=-⎩()t Z ∈．4、同余法主要是通过比较两未知系数的绝对值大小，以较小的值作为另一未知系数和常数项的模，并将其转换成较小的同余值，变成一个新的不定方程,依此类推,直到有不定方程的系数1±为止，再依次往回代入，即可得到原方程的通解．例2.5 求不定方程16935x y +=的解． 解： 由169>,得1635(mod9)x =，改变其系数得， 735(mod9)x =又可得5(mod9)x =， 则59x t =+()t Z ∈,代入16935x y +=可得165y t +=-，则原方程的通解是59516x ty t=+⎧⎨=--⎩()t Z ∈． 5、参数法用参数法解不定方程主要是通过比较两未知系数的绝对值大小，解出较小的未知数将其分成几部分和的形式,然后引进新的参数，便得到一个新的不定方程，则可用观察法得出该方程的特解，再将其解代入原方程,即可得到原方程的通解．例2.6 解不定方程85213x y +=．解： 因为(8,5)1|213= 所以原方程有整数解． 58< 21383222255x xy x -+∴==-+， 令325xu +=()u Z ∈，则得到一个新的不定方程523u x -=， 由观察法便知该新方程的特解是1,1u x ==，将1x =代入85213x y +=得41y =，所以该方程的通是．15()418x tt Z y t =+⎧∈⎨=-⎩．2。
2 n 元一次不定方程定义2。
2 设3n ≥，n 元一次不定方程指的是1122n n a x a x a x m ++⋅⋅⋅+=，其中 (1,,),i a i n m =⋅⋅⋅都是给定的整数且10n a a ⋅⋅⋅≠．其有解的充分必要条件是1,2,(,)|n a a a m ⋅⋅⋅．定理2。
1 设11(,,)1,(,)1,,,a ba b c a b a b d d====不定方程ax by cz n ++=的全部解可表示成11112x x b t u ct =+-，11122y y a t u ct =--，12z z dt =+，其中111,,x y z 是ax by cz n ++=的一组解, 12,u u 满足11121a u bu +=，12,t t Z ∈．例2。
7 解出136983x y z ++=所有的整数解． 解： (13,6,9)1,1|83= ∴原方程有整数解,又(13,6)1=,则可把原方程变成136839x y z +=- ()1．可知 ()1的一个特解是'1(839)'(2)(839)x z y z =⨯-⎧⎨=-⨯-⎩则可得方程136983x y z ++=的全部整数通解为11'6'13x x t y y t =-⎧⎨=+⎩1()t Z ∈．令2z t =,则原方程的所有整数通解为 121212283691661318(,)x t t y t t t t Z z t=--⎧⎪=-++∈⎨⎪=⎩．可知(83,166,0)-是原方程的一个特解．下面介绍下用矩阵求解n 元一次不定方程的整数解[4]不定方程1122n n a x a x a x m ++⋅⋅⋅+=用矩阵可写成[]12,,,n x x x A m⋅⋅⋅=其中1210010,001n a a A E a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,可将(,)X A E =经过一系列行初等变化成(,)Y D B =，其中111212122212,0n n n n nn b b b d b b b D B b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()12,,,n d a a a =⋅⋅⋅． 根据初等矩阵与初等变换的关系可知,存在n 阶可逆矩阵P ，使得PX Y =,即(,)(,)PA P D B =．因此，,PA D P B ==所以BA D =．又该方程有解的充要条件为|d D ，并且其所有整数解是[]122,,,,,,n n mx x x t t P d⎡⎤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦，(2,3,,)i t Z i n ∈=⋅⋅⋅． 例2.8 求出121110x y z +-=整数解的通式．解： 3112100101011001r r +⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭12(1)1101101011001r r ⨯-+⎛⎫⎪−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1101011111001⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭131111010111011012r r ⨯+⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭． 又(12,1,11)1,10,|d m d m =-==，∴原方程有整数解,令10111111012P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则方程的全部整数解为 2323101(,,),,(10,,)11111012m x y z t t P t t d ⎛⎫⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭23(,)t t Z ∈， 即2322310111012x t t y t z t t=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩23(,)t t Z ∈．2。