第2章_土壤水动力学基本方程
2非饱和水流运动基本方程
非饱和土壤水分运动和饱和土壤水分运动一样，水分从水势高 处向水势低处运动。一般认为，适用于饱和水流动的达西定律 在很多情况下也同样适用于非饱和土壤水分流动。 1931年，Richards最早将达西定律引入非饱和土壤水流动。非 饱和土壤水分流动的达西定律:
Guelph土壤入渗仪
3.2 容水度(或比水容量)
单位基膜势(负压值)变化所引起土壤含水率的变化，一 般称为容水度或比水容量（C)，可以下式表示：
Ch d
dh
表示在单位压力水头降低时自单位体积土壤中所释放 出来的水的体积，它与饱和土壤的给水度相似。 用测水分特征曲线的方法来测定
3.3 土壤水分扩散度D
q K ( m ) 或 q K ( )
饱和土壤水分流动的达西定律:
qKsH
水势组成： 流动准则：
ψg :
饱和流
非饱和流
ψ =ψg +ψp
总水头
高
低
ψ =ψg +之高度
ψp:
至地下水面的高度
ψp= 0
ψm :
ψm = 0
ψm 取决于土壤的干湿程度
在不同的平均负压(吸力)值下，通量与负压梯度成正比，两者 呈直线关系，但其斜率(即水力传导度)随平均负压而变。
k (h)
h=-30cm h=-50cm
h
负压梯度△h/△x
3.1.2 饱和水力传 导度及其测定
双环入渗仪
The assumption is that the soil layer immediately below the ponded area is fully saturated and thus the matric potential is essentially zero. Common Steady Flow Analysis (Unit Gradient): Accounts only for the flow component due to gravity.
第二章 土壤水分运动基本方程2
第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即()H h k q ∇= （2-2-1）式中：H ∇——为水势梯度；k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。
Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zhk zH k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。
若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。
但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。
在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。
因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD hk =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ x D q x ∂∂-=θθ)( y h k q y ∂∂-=)(θ yD q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。
土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出t y x z z v v t z x y y v v z zy y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y y v y ∆∂∂，z zvz ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。
相间相互作用原理与土壤水动力学基本方程
中 图 分 类 号 ：Ｐ６ １２ ４ ．
非 饱 和 土 壤 中 的水 分 运 动 问 题 一 直 是 土 壤 学 研 究 的重 要 课 题 。也 是 土 壤 水 动 力 学 研 究 的核 心 内 容 。传 统 上 ，土 壤 水 分 运 动 的基 本 方 程 是 通 过 引 入 达 西 定 律 导 出 的 。对 于 非 饱 和 土 ，其 表 达 式 为 ［ １ 】
世 纪 六 七 十 年 代 发 展 达 到 高 潮 ，对 多 相 介 质 材 料 力 学 的 发 展 产 生 了重 要 的影 响 。但 由 于 其 理 论 体 系 十 分 复 杂 。人 们 对 相 介 质 之 间相 互 作 用 的认 识 非 常 有 限 ，所 以混 合 物 理 论 一 直 未 能 得 到 广 泛 重 视 和 应 用 ，国 际理 性 力 学 界 对 该 理 论 体 系 的研 究 在 ２ Ｏ世 纪 ８ Ｏ年 代 以 后 也 日趋 沉 寂 。
收 稿 日 期 ：２ ０ ９ ２ ：修 订 日期 ：２ ０ —２ １ ０ １ ０ —５ ０ １ １ —０
作 者简 介 ：邵龙 潭 （９ ３一） １６ ，男 ，吉 林 梨 树 人 ，大连 理 工 大 学 教 授 ，主 要 从事 环 境 土 力 学 与 孔 隙 介 质 力
学 方 面 的研 究 。
是 总 水 势 ， 当温 度 势 和 溶 质 势 可 以不 考 虑 时 ，它 由
土壤 的 导 水 率 是 在 达 西定 律 中 引 入 的 一 个 比例 系 数 。对 于 静 态 条 件 下 的 饱 和 土 ， ｋ ０ 是 （） 常数 ；而 对 于 非 饱 和 土 。ｋ ） 随 土 壤 的含 水 率 或基 质 势 的 变 化 而 变 化 的 ，一 般 认 为 难 以 依 据 （ 是
第二章 土壤水分运动基本方程2
第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即（2-2-1）()H h k q ∇=式中：——为水势梯度；H ∇ k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。
Richards 方程垂向一维方程为)1)(()(±∂∂-=∂∂-=zhk z H k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。
若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。
但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。
在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。
因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：根据（K=C ×D ）得：()()θθθD hk =∂∂x hk q x ∂∂-=)(θx D q x ∂∂-=θθ)( yhk q y ∂∂-=)(θyD q y ∂∂-=θθ)()1)((±∂∂-=zhk q z θ)]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。
土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为，由于该立方体很小，z y x ∆∆∆在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为，在t ～t+Δt 时段内，流入立方z y x v v v 、、体的质量为（3个面流入）：ty x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：tz y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出 （2-2-3）t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ式中：ρ––––水的密度；––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；z y x ∆∆∆,,，，––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变x x v x ∆∂∂y y v y ∆∂∂z zvz ∆∂∂化值。
水动力学基本微分方程
流出： (Q Qy dy)dt y
y 2
沿z方向流入单元体的水量： v2 dx dy dt 流出：v1 dx dy dt
流入量－流出量＝：
Q x x方向： dxdt x
y方向： Q y y dydt
2 H 2 H 2 H s H 2 2 2 K t x y z
２.对于二维的情况，常用 和T表示(
各项均乘以m）
H H H (Tx ) (Ty ) ， x x y y t 2 H 2 H H 当Tx Ty T时, 则 2 2 x y T t
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) s x x y y z z t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
a
o
b a dy
x y Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
Qx (Qx dx)dt x
第2章 土壤水的保持和运动3
∂v y + dy ) dxdzdt ∂y
∂vy vy + dy ∂y
dz
vx +
∂vx dx ∂x
ρ (v x +
dy
∂vx x dx ) dydzdt ∂x
dx
vz
y
流入和流出单元体的质量差
流入
m i = ρ v x dydzdt + ρ v y dxdzdt + ρ v z dydxdt
流出
以含水率θ为变量的基本方程
∂θ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂K (θ ) = K (θ ) ⎥ + K (θ ) ⎥ + ⎢ K (θ ) ⎥ + ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎢ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣ ⎣
dz
vx +
∂vx dx ∂x
x
dy
dx v z
y
达 西 定 律（Darcy’s Law）
∂ϕ v x = − K (θ ) ∂x
∂ϕ v y = − K (θ ) ∂y
∂ϕ v z = − K (θ ) ∂z
非饱和导水率（水力传导度） (Hydraulic Conductivity)
水力传导度是指单位水头差作用下，单位断面 积上流过的水流通量，它是土壤含水率或土壤 基质势的函数。由实验测定。
饱和土壤水流
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂z ∂y
拉普拉斯方程
Richards方程
∂v y ∂v z ∂v ∂θ = −( x + ) + ∂t ∂x ∂y ∂z
∂ϕ ∂x
根据达西定律 ∂θ 有： =
第4讲 土壤水份运动基本方程
What is hydraulic conductivity?
K is a property of both media and fluid. Experiments show: K is the intrinsic permeability (L2), a property of media only. ρ is the mass density (M/L3) μ is the dynamic viscosity (M/LT) and measures the resistance of fluid to shearing that is necessary for flow.
导水率K
综合反映了多孔介质对流体流动的阻碍作用
多孔介质的基质特征：质地、结构… 流体物理性质：粘滞性、密度…
实验室测定 现场测定
双环入渗试验 Guelph渗透仪 抽水试验
Darcy定律的微分形式：
微分形式与差分 形式有区别吗？
dH q = −K s dL
Return to fluid potential equation, Neglect velocity (kinetic) term, and substitute for p
m
)
θ方程（扩散型方程）：
引入扩散率D：
D (θ ) = K (θ ) = K (θ C (θ )
)
dθ dψ m
∂ψ m dψ m ∂θ ∂θ = K (θ ) = D(θ ) K (θ ) ∂x dθ ∂x ∂x
∂θ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂K (θ ) = D(θ ) ⎥ + ⎢ D(θ ) ⎥ + ⎢ D(θ ) ⎥ ± ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣
土壤水动力学
修订时间：2013年3月太原理工大学博士研究生入学考试专业基础课考试大纲考试科目代码2017考试科目名称土壤水动力学招生学院代码007招生学院名称水利科学与工程学院招生专业代码081500招生专业名称水利工程参考书目1.《土壤水动力学》，雷志栋，杨诗秀，谢森传，清华大学出版社，北京，19882.《土壤物理学》，华孟，王坚，北京农业大学出版社，1993考查要点一、土壤水分的形态和能态1. 土壤水的形态2. 土壤水分运动的能态3. 非饱和土壤流的达西定律4. 非饱和土壤水力传导度5. 土壤水分特征曲线及其应用重点：土水势、土壤水力传导度、土壤水分特征曲线二、土壤水分运动的基本方程1. 土壤的物理点2. 多孔介质水分运动的基本假定3. 直角坐标系下土壤水分运动的基本方程4. 土壤水分运动的其他基本方程5. 土壤水分运动通量法重点：土壤水分运动过程的基本简化和假定、基本方程的变换和适用条件、土壤水分运动通量法。
三、土壤水分入渗1. 土壤入渗过程2. 土壤入渗过程的线性化解析解3. Green-Ampt入渗模型4. 水平渗吸条件下的Philip解5．经验入渗公式与讨论重点：土壤水分入渗过程及其驱动力、线性化解析解和各种经验入渗公式及其适用条件。
四、土壤水分蒸发1. 土壤水分入渗蒸发过程2. 定水位条件下均质土壤的稳定蒸发3. 层状土壤的稳定蒸发4. 非稳定蒸发过程重点：土壤水分入渗蒸发过程及其控制条件、均质土壤的稳定蒸发过程的求解。
五、土壤水分运动参数的测定方法1. 土壤水分运动参数室内测定方法2. 土壤水分运动参数田间测定方法。
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非饱和流与饱和流的比较： 共同之处：都服从热力学第二定律，都是从水势高的地 方向水势低的地方运动。 不同之处： ①土壤水流的驱动力不同。 饱和流的驱动力是重力势和压力势；
非饱和流的是重力势和基质势。
②导水率差异 非饱和导水率远低于饱和导水率；当基质势从0降低到 -100kpa时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导 水率的十万分之一。 ③土壤空隙的影响土壤。在高吸力下，粘土的非饱和导 水率比砂土高。
K s iΔ K s i M2 K s i 1,M , M 1 2, 1 Ks Δ1 M 1 例题2.1 2 2 j 1 h 2 2 w g j 1 h j j j 1 h j
j i 1 h 2 j
Δ 1 1 1 g 2 j i 1 h2 2 i h j w j j
2.2饱和土壤水运动的达西定律
2.2.3 导水率
（3） 田间现场测定
入渗量(cm3)
测定时段 内环横截面积
W 双环法： K s Δt
双环法一般只能测定地表土壤导水 率，用其他仪器，如Guelph仪可测 其他深度土壤的导水率。 导水率大致范围
〈6cm/d 很小 6~16cm/d 低
外环的作用？
2.3.3非饱和导水率的数学表达
g ΔH J 8 L
w w c
Δ 4 w g Rj 2 j 1 R j 8
M
ΔH Rj L j 1 c
M 2
2 Δ M 1 L ΔH 2 Δ M 1 L ΔH 1 2 1 2 j 2 w g h j Lc L 2 w g j h j Lc 0 L 2 Δ M 1 L ΔH 1 2 2 w g j h j Lc Δz 2 Δ M 1 设 Ks L Lc 为弯曲度。 2 w g j 1 h 2 j
bS
m
K K s s 2 1 ~ ~ 2 ~ 1M M K K s 1 1 ~ r s r
CS
1
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.3非饱和导水率的数学表达
H h z h 1 J w K h K h K h z z z
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律
Buckingham-Darcy通量定律也可写成： 符号相反, 向下为正
H h z h 1 J w K h K h K h z z z
问题：两种写法是否会影响计算结果？
h是土壤深度z和时间 t 的函数，所以用偏微分h 表示： 基质势 z h h h z Δz, t h z, t lim z z t Δz 0 Δz
16~40cm/d
〉100cm/d
中
很高
40~100cm/d
高
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处 在非饱和状态。非饱和流研究为土壤物理学最 活跃的研究领域之一。 2.3.1 非饱和流与饱和流的比较
（1）土壤水流驱动力不同 （2） 导水率的差别
（3） 土壤孔隙对饱和水流和非饱和水流影响的差别
非饱和流：土壤空隙未全部充满水时的流动。
发生情形：大多数情况
推动力：基模势梯度和重力势梯度
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律 难 点 Buckingham对Darcy定律描述土壤非饱和流提出修正的两个
基本假设：
① 土壤非饱和流驱动力是基质势与重力势之和的梯度； ② 非饱和土壤水流的导水率是土壤含水量或基质势的函数。 符号相同, 向上为正 以水势头为单位，Buckingham-Darcy通量定律可写成：
1-1’和2-2’之间产生一个力 F
ΔH H1 H 2 F Darcy研究： F J w Δz z1 z2
Q
通量J w： J w
Q
H1 H 2
‘
引进一个比例常数 K s ，称作土壤 导水率（soil water conductivity)
水力传导度
2.2 饱和土壤水运动的达西定律
u0
R 4
y2 Δp u y C 4 L 2
ΔpR 2 R 2 通过细管的平均流速 u p 8L a
细管形 状参数
压力梯度
2.1 土壤水流概述
2.1.2 土壤水流简化模型
为什么需要简化模型
ΔQ
2.3.3非饱和导水率的数学表达
如图，将实际土壤水特征曲线 h 分 成等宽为 Δ 的若干份。 于是有h1 h s Δ , h2 h s 2Δ , 2 毛管半径由R j 确定。 w gh j
R 假定：当h h j 时， R j的毛管都排空。
R dt
2
r 2dbt
示 意 图
b
L
H1 H 2 L bt Jw Ks Ks 2 z1 z2 L R dt r dbt
2R
2.2饱和土壤水运动的达西定律
2.2.3 导水率
（2） 实验室测定 变水头法：2 变更立管水深，可求得 r dbt 整理得： L K s dt 一系列 K s ，在误差范 2 L bt R 围内求其平均值。 2 b2 t2 r dbt K s dt 积分得： L 的必还无 2 L bt t1 R b1 代须是论 表考变定 性虑水水 Lr 2 ln b1 L b2 L 。土头头 Ks 样法法 R 2 t2 t1
液体质点作有条不紊的线 性运动，彼此互不混杂。
2.1 土壤水流概述
2.1.1 毛细管中的层流运动
du F dy du dy
Poiseuill(普氏）定律： 单 位 图2-1 圆管中的层流运动 取流股 面 积 流股圆柱面压力为 切 Δpy 2 Δp p1 p2 应 力 作用流股侧面积的切应力为 2yL 负号出现是由于 u 随 y Δp y du 的增长而减少。
2.3.3非饱和导水率的数学表达
4 由普氏定律：Q R Δp 8L
Δp w gΔH
R g ΔH Q 8 L
4 j w j c
模型的毛细管长度，实际土 半径为 R j 毛细 壤表观长度为 L， L L 。 c 管的流量
通过模型的总流量 通过毛管束的通量
ΔH Q N Q 8 L
屈服点 临界梯度
2.2 饱和土壤水动的达西定律
2.2.3 导水率
（1） 计算导水率 K s 的公式 （2） 实验室测定 定水头法： 实验室测定仪器的基本原理 与Darcy原始实验装置大致类 似，只是多采用自下而上的 水流。 Q Ks Why?
导水率 K s 综合反映了多孔介质和流体的某些物理性质。
第2章 土壤水动力学基本方程
2.1 土壤水流概述
毛细管中的层流运动和土壤水流简化模型
2.2 饱和土壤水运动的达西定律
2.3 非饱和土壤水运动的达西定律
2.4 土壤水运动的基本方程及定解条件 2.5 土壤水运动其它求解方法
零通量法、表面 通量法和定位通量法
2.6 土壤中溶质运移的基本方程 2.7 土壤中热流基本方程
L 2
dy
2.1 土壤水流概述
2.1.1 毛细管中的层流运动
du Δp y 由此 dy L 2
积分常数C ： R y 积分得 求得 C
Δp 2 ΔpR 2 得 u y 在 y 0 处， max R y2 u 4 L 4 L 4 R Q ud u 2ydy R Δp 单位时段通过细管的流量 8L 0
R 2 ，则单位长 如假定毛管横截面面积
2 2 Δ 度毛管排水量为： n1R1 n1 Δ R1
w g ΔH M 4 n jRj Jw 8 Lc j 1
用于计算非饱和导水率的毛细管模型
n 如此， j Δ R 2 代入毛管通量计算式 j
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
简化 平均“流速 ” 实际流量 横截面面积
ΔQ Jw Δ
Δ
Δ
通量（L/T)J w：水流并不是在整个横截面 Δ 上进 行；真实水流通道大于表观长度。
中与压 的实力 势际势 能土或 相壤基 等孔质 。隙势
2.2 饱和土壤水运动的达西定律
饱和流：水分充满土壤孔隙的水流。
2.2.1 Darcy 定律
M wg T j 1 j j c
N j Rj
j 1
M
4
毛管束中半径为 R j的毛管数量。 毛管束中不同尺寸毛细管的数量。
QT w g ΔH M 4 n jRj Jw 8 Lc j 1
nj N j
，毛管中半径为 R j 的毛 细管单位面积的数量。
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
1
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.4 稳定状态下的非饱和流问题
2.2.2 Darcy 定律的适用范围
Darcy定律只适应土壤水流为层流的情况。
水流的两种流动形态
对颗粒极细的土壤，如粘土，水流 表现出非Newton流(Bingham流)性 质。
实际上，Darcy定律在绝大多数情况 下可应用于土壤水流计算，只是在粗 砂或粘质土壤情况下要注意Darcy定 律的限定。
偏微分方程用以对非稳态流的数学描述，如是稳态流，上式变 为常微分方程。