用矩阵的初等变换求逆矩阵
线性代数课件2-6利用初等变换求逆矩阵
kA j Aj A m m 1 A1
定理3
任一 m n 矩阵 A ，一定存在有限
个 m 阶初等阵 P1 , P2 , , Ps 和 n 阶初等阵 Q 1 , Q 2 , , Qt , 使
Er Ps P1 AQ 1 Q t 0
E ( i k ( j ))
( i 列） ( j 列 )
初等矩阵具有下列性质 （1）初等矩阵都是可逆阵，且它们的逆阵
仍为同类初等阵，即
E (i, j ) E (i, j )
1
E ( i ( kLeabharlann )) E1(i(
1 k
))
E ( i k ( j )) E ( i ( k )(
1
j ))
（2）对m×n矩阵A作一次初等行变换，相 当于在A的左边乘上一个m阶相应的初等阵； 对m×n矩阵A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘上一个n阶相应的初等阵。
证明：
仅证行变换的情况。
将 m n 阵 A ( a ij ) 按行分成
a 11 a 21 A a m1
E ( i ( k ))
（ i列 ）
(3)消法初等阵 将E的第j行的k倍加到第i行
（或第i列的k倍加到第j列）得到的方阵，
记为E(i+k(j)),即
1 1 k 1 (i行 ) ( j行 ) 1
1 0 1 1 1 0 1 1
( i 行） （ j 行） 1
(2)倍法初等阵 用非零常数k乘E的第i行
（列）得到的方阵，记为E(i(k)),即
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，可以应用于许多领域，如图像处理、计算机视觉、机器学习等。
初等变换法是一种常用的求解逆矩阵的方法，其基本思想是通过一系列初等变换将原矩阵转换为单位矩阵，然后将同样的初等变换应用于单位矩阵，最终得到逆矩阵。
初等变换包括三种：交换矩阵的两行（列）、某一行（列）乘以
一个非零数、把某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。
这些变换可以通过左乘一个对应的初等矩阵来实现，例如对于一个3阶矩阵，交换第1行和第2行可以通过左乘如下的初等矩阵实现：
[0 1 0]
[1 0 0]
[0 0 1]
通过这些初等变换的组合，可以将任意一个矩阵转化为一个行阶梯矩阵或者一个简化的行阶梯矩阵，即一个上三角矩阵。
然后通过将同样的初等变换应用于单位矩阵，就可以得到逆矩阵。
需要注意的是，如果原矩阵不可逆，即行向量或列向量之间线性相关，那么不能求出逆矩阵。
此外，初等变换法的时间复杂度为O(n^3)，对于大规模矩阵可能不适用，需要使用其他方法。
- 1 -。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
初等列变换求可逆矩阵
初等列变换求可逆矩阵1. 什么是初等列变换？初等列变换是矩阵运算中的一种操作，通过对矩阵的列进行变换，可以改变矩阵的形状和性质。
初等列变换包括三种操作：交换两列的位置、用一个非零常数乘以某一列、将某一列的倍数加到另一列上。
2. 可逆矩阵的定义在矩阵理论中，可逆矩阵也称为非奇异矩阵或满秩矩阵。
一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
3. 初等列变换与可逆矩阵的关系初等列变换可以改变矩阵的形状和性质，包括矩阵的秩。
对于一个n阶矩阵A，如果通过一系列的初等列变换可以将A变为单位矩阵I，那么矩阵A就是可逆的。
证明：假设矩阵A经过一系列的初等列变换可以变为单位矩阵I，即存在一系列的初等矩阵P1, P2, …, Pn，使得Pn * … * P2 * P1 * A = I。
我们知道，初等矩阵的逆矩阵也是一个初等矩阵，所以可以将上式变为Pn * … * P2 * P1 * A * (Pn * … * P2 * P1)^-1 = I * (Pn * … * P2 * P1)^-1。
由于单位矩阵乘以任何矩阵等于该矩阵本身，并且任何矩阵乘以单位矩阵等于该矩阵本身，所以上式可以进一步简化为 A * (Pn * … * P2 * P1)^-1 = I。
因此，A的逆矩阵等于(Pn * … * P2 * P1)^-1，即矩阵A是可逆的。
4. 初等列变换的具体操作4.1 交换两列的位置交换矩阵A的第i列和第j列的位置，可以用一个初等矩阵Pij来表示。
初等矩阵Pij是一个单位矩阵I，将第i列和第j列交换位置后得到的矩阵。
例如，对于一个3阶矩阵A，交换第1列和第2列的位置，可以用初等矩阵P12来表示：P12 = [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]则有 P12 * A = B，其中B是将A的第1列和第2列交换位置后得到的矩阵。
4.2 用一个非零常数乘以某一列用一个非零常数k乘以矩阵A的第i列，可以用一个初等矩阵Pi(k)来表示。
用矩阵的初等变换求逆矩阵_百度文库.
用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。
即4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E，其中E为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E 的位置变换为我们所要求的,即三，讲解例题1. 求逆矩阵方法的应用之一例解：四，知识拓展2．求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。
例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）对一般的矩阵方程求解，我们可以先求，然后求X＝B。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的B即为所求矩阵方程的X。
例解：。
1.6 用初等变换求逆矩阵(崔丽鸿)
1 9
1 9
0
Linear Algebra
BUCT
注：
Chapter 1 Matrix
1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹 杂任何列变换.
2. 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的 行列式等于0. 结论：矩阵不可逆!
例如对矩阵
1 A 2
0
由于 A E
1 1 0 1 0 0
解：
A
E
1 1
1 2
9 0
0 0
1 0
0 1
r2 (1)r1 1 1 0 1 0 0
r3 (1)r1
0 0
0 1
9 0
1 1
1 0
10
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
§ ������. ������
Linear Algebra
Chapter 1 Matrix BUCT
Chapter 1 Matrix
首先给出下面的定理2
定理2：设A为n阶方阵，则以下命题是等价的． （1）A是可逆矩阵； （2）A与单位矩阵等价； （3）A可以表示成有限个初等矩阵的乘积； （4）A可经过有限次初等行（或列）变换化为单位 矩阵．
r1 (1)r3
1
0 0
1 0 1
0 9 0
1 1 1
0 1 0
0
0 1
1 9 r2
r2 r3
1 0
0
0 1
0
0 0
1
2 1 1
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵的初等变换法是通过一系列初等行变换将原矩阵变为一个单位矩阵，同时对应地进行相同的初等行变换，得到的另一个矩阵即为所求的逆矩阵。
初等行变换包括以下三种：
1. 交换矩阵的两行；
2. 用一个非零常数乘以矩阵的某一行；
3. 将矩阵的某一行乘以一个非零常数加到另一行上。
为保持矩阵的行列式结果不变，进行第一种和第三种初等行变换时，需要对矩阵进行相应的初等列变换，具体方法是将对应的列进行同样的初等列变换。
通过一系列这样的初等变换，可以将一个矩阵变为单位矩阵。
对应地，进行相同的初等变换，得到的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，若原矩阵不可逆，则无法求得逆矩阵。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是一个矩阵的逆操作，即找到一个矩阵，与原矩阵相乘后得到单位矩阵。
逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，比如求解线性方程组、计算矩阵的行列式等。
在实际应用中，常用的求解逆矩阵的方法包括：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
第一种方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它存在逆矩阵。
首先计算矩阵A的伴随矩阵，记作Adj(A)，然后用伴随矩阵除以原矩阵A的行列式，即可得到逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式det(A)；2. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中第i行第j列的元素等于原矩阵A的代数余子式Aij的行列式乘以(-1)^(i+j)；3. 将伴随矩阵Adj(A)的每个元素除以原矩阵A的行列式det(A)，得到逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/det(A)。
第二种方法是初等变换法。
利用矩阵的初等行变换和初等列变换来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A,I]；2.对增广矩阵进行行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，同时单位矩阵I经过相同的行变换得到逆矩阵A^(-1)；3.若矩阵A无法通过行变换变为单位矩阵I，则矩阵A不可逆。
第三种方法是分块矩阵法。
将原矩阵A按照其中一种方式进行分块，然后通过对分块矩阵进行运算来求解逆矩阵。
常见的分块矩阵法有Schur补法和Sherman–Morrison公式法，这里以Schur补法为例进行说明。
1.将原矩阵A分解为分块矩阵，例如A=[B,D;E,F]；2.利用矩阵分块的性质求解逆矩阵，A^(-1)=[B^(-1)+B^(-1)D(X-F^(-1)E)B^(-1),-B^(-1)DF^(-1);-F^(-1)EB^(-1),F^(-1)+F^(-1)EHF^(-1)]，其中X=(F-EF^(-1)D)^(-1)；3.若分块矩阵的逆存在，即B可逆、F可逆且B-DF^(-1)E可逆，那么原矩阵A也存在逆矩阵。
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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。
李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。
作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。
下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。
用矩阵的初等变换求逆矩阵
一、问题提出
在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢 （饿了再吃）
二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）
我们已学习了矩阵初等变换的性质，如
1.定理 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。
即
4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）
由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么
（2）
由（1）式 代入（2）式左边，
上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即
21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P
P P P EQ Q Q Q R R R ----------=⇒=∆11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n n
A E E A -⨯⨯−−−−−→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()()111121m R R R A E E A ----=
三，讲解例题
1. 求逆矩阵方法的应用之一
例 解：
四，知识拓展
2．求逆矩阵方法的应用之二
利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置不能变换为单位阵E ，那么A 不可逆。
例 解：
而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A 不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三
利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）
1112120,113A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭设求。
112100120010113001A E ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
（）2131r r r r +-112100032110001101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭110302030312001101⎛-⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭
132322r r r r --30211012010133001101⎛⎫- ⎪−−→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭313r 1423310012010133001101⎛⎫-- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭12r r -11423312133101A -⎛⎫-- ⎪ ⎪⇒=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112122145,41211111A A ----⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
设求。
12121000214501004121001011110001A E ⎛---⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（）12121000036921000969401001231001⎛---⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭12121000000011030969401001231001⎛---⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求1A - ，然后求X ＝1A -B 。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1A -就是求解矩阵方
程 的解，而对一般的矩阵方程
只要将 中的E 换成B ，然后利用初等行变换，即
其中的1A -B 即为所求矩阵方程 的X 。
例
解：
五、小结
1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、 解矩阵方程
2.思考：若XA=B ，如何用初等变换法求X
贺建辉
2007-11-21
AX E =AX B =AX B =()A E ()()
122n n n n A B E A B -⨯⨯−−−−−→ AX B =123252213134343A B AX B X ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，若，求。
123252213134343A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）1232502519026212⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪----⎝⎭102140251900113⎛--⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪---⎝⎭100320204600113⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪---⎝⎭100320102300113⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭132X 2313A B -⎛⎫ ⎪⇒==-- ⎪ ⎪⎝⎭。