固体物理-第五章--固体电子论基础1
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固体物理第五章(1)
理想晶体 — 晶格，等效势场V(r)均具有周期性 晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
波动方程
2 2 [ V ( r )] E 2m
晶格周期性势场
V ( r ) V ( r Rn )
§5.2 周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理
布洛赫定理：当势场 性质
2 d 2 H U ( x) 2 2m dx
2 d 2 2nx U 0 U n exp i 2 2m dx a n 0
Bloch函数的性质
Bloch函数:
ik r k ( r ) e uk ( r )
（1）行进波因子
ik r 表明电子可以在整个晶体中运动的，称为共有化电
e
子，它的运动具有类似行进平面波的形式。
（2）周期函数 个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进 波的特性。
能带理论的基本近似和假设:
2) 平均场（单电子）近似: 多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电 子的平均场中运动
2 1 e i ( r i ) 2 4 0 r r ij i i j
其中 (代表电子i与其它 r ) 电子的相互作用势能.
i i
此外:
布洛赫函数
晶格周期性函数
uk ( r R) uk ( r )
布洛赫定理的证明
晶格平移任意格矢量，势场不变 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符 T f (r ) f (r a ) 1, 2, 3 f (r ) 为任意函数 （1）各平移算符之间对易 T T f (r ) T f (r a ) T T f (r )
固体物理-第五章--固体电子论基础1
d2 dx 2
d2 dy2
d2 dz 2
布洛赫、布里渊等人利用势场的周期性
[V(x)=V(x+nx)]和微扰理论，计算出了晶体中电子的能 带和禁带分布，解释了晶体中导体和绝缘体存在的原因，
并从理论上预言了半导体的存在。 16
§5.1 电子气的能量状态 一、一维晶体中电子气的能量分布
1.量子力学(索末菲)自由电子模型 (1)电子之间相作用很弱，完全忽略。电子只有动能， 没有相互作用势能。 (2)电子和离子实之间的相互作用可看成是电子在离子 实的平均势场中运动， V(x)=V0。 (3)把电子看成是服从费米-狄拉克分布的、封闭于晶体 中的理想气体(自由电子气)。
第五章 固体电子论基础
1
一、经典理论对电子气的描述
1.特鲁特自由电子模型(1900年) (1)金属中的价电子象气体分子一样组成电子气，在温 度为T的晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子 一样。 (2)除了和金属离子碰撞以外，基本上是自由的。通过 和金属离子的碰撞在一定温度下达到热平衡。可以用具 有确定的平均速度和平均的自由时间的电子来代表。 (3)在外电场的作用下，电子气产生的漂移运动引起了 电流。
1x2 y3 z
26
(3)化简
(4)通解
d
2 1x
d x2
k
2
x1
x
0
d
2 2
d y2
y
k
y2
2
y
0
d
2 3 z
d z2
kz2 3
z
固体电子导论(基版)
§1.3 晶面与晶向
一.晶向及其标志 1. 定义:
（1）联结任意二个格点的一条直线上包含无限 个相同格点，这样的一条直线称为晶列。
（2）所有与该晶列平行的全同晶列（有无穷多 个）的集合称为晶列族。
2. 性质 ： 1）同一格子可形成方向不同的晶列； 2）同族晶列具有相同方向，其上格点分布 具有相同周期 3）等效晶列：方向不同，格点分布具有相 同周期
初基原胞（固体物理学原胞或原胞）：取 最小重复单元，只反映周期性。
最小：包含一个格点； 周期性：平移原胞基矢可构成整个格子
a2
a1
1. 格矢（位矢）: Rl 任一格矢 2. 基矢： 如果所有l1、l2和l3均为整数，则称这组坐标基a1、a2 和a3为基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯 一的，可以有多种不同的选择方式。 3. 原胞体积： va a1 a2 a3 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法，但 原胞的体积均相等。
C1 (1)
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
3.综上所述, 晶体的宏观对称性中有以下 八种基本的点对称操作: 1, 2, 3, 4, 6, i, m和4 以上基本对称操作组合起来，就得到32种 不包括平移的宏观对称类型，称32个晶体 点群(P26表1-11)。
二.晶体的微观对称性（包括平移的基本对 称操作） a. 滑移反映面：镜象+平移 b. n度螺旋轴：转动+平移 c. 32种点群再加上以上二类带平移的对 称操作, 可以导出230种空间群, 每种空 间群对应于一种特殊的晶格结构，反应 晶格结构在空间的全部微观对称性。
基矢：a1=a/2（-i+j+k）,a2= a/2（i-j+k）, a3= a/2（i+j-k） 初基原胞体积：Ω = a1· 2体积？晶胞原子数？
《固体电子论基础》课件
课件的编写目的和意义
课件的结构和内容安排
课件目的
掌握固体电子论的基本概念和原理 了解固体电子论在材料科学中的应用 掌握固体电子论的数学基础 了解固体电子论在物理、化学等领域的应用
适用人群
固体电子论专业本 科生
固体电子论爱好者
电子工程、材料科 学等领域的研究人 员
对固体电子论感兴 趣的其他人员
课件结构
固体电子论在器 件设计中的应用
半导体技术 太阳能电池 电子器件 磁学和光学应用
应用领域
固体电子结构与性质
固体电子结构
固体电子论的 概述
固体电子的能 级结构
固体电子的态 密度
固体电子的输 运性质
电子性质
电子的电荷与质 量
电子的能级与跃 迁
电子的波粒二象 性
电子在固体中的 行为
固体能带结构的定义
固体电子论概述
固体电子论的定义
定义与概念
固体电子论的研究对象
固体电子论的基本概念
固体电子论与量子力学、固体物理学的关系
固体电子论的起源
发展历程
固体电子论的发展阶段
固体电子论的应用领域
固体电子论的未来展望
研究内容
固体电子论的基 本概念和原理
固体电子论的研 究对象和方法
固体电子论在材 料科学中的应用
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电流方向：单向 导电
单击此处输入你的 项正文
伏安特性：正向和 反向伏安特调幅 信号解调为音频信
号
单击此处输入你的
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开关电路：控制 电路的通断
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晶体管工作原理及应用
晶体管基本结构与工作原理 晶体管类型与特性 晶体管在电路中的应用 晶体管在固体电子器件中的重要性
固体物理：第五章 晶体中电子能带理论
电子在一个具有晶格周期性的势场中运动
V r V
r
Rn
其中 Rn 为任意格点的位矢。
2 2 2m
V r
E
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
(
r
Rn
)
eikRn
(
r
),
其中 k
为电子波矢，Rn
n1 a1 n2 a2 n3 a3
是格矢。
个能级分裂成N个相距很近的能级， 形成一个准连续的能带。 N个原子继续靠近，次外壳层电子也开始相互反应，能级 分裂成能带。
能带理论
能带论是目前研究固体中的电子状态，说明固体性质最重 要的理论基础。
能带理论是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理 论。它曾经定性地阐明了晶体运动的普遍特点，并进而说 明了绝缘体与半导体、导体的区别所在，解释了晶体中电 子的平均自由程问题。
原子中的电子处在不同的能级上，形成电子壳层
原子逐渐靠近，外层轨道发生电子的共有化运动——能级分裂
原子外壳层交叠的程度最大，共有化运动显著，能级分裂的很厉害， 能带很宽；
原子内壳层交叠的程度小，共有化运动很弱，能级分裂的很小，能 带很窄。
N个原子相距很远时，相互作用忽略不计。 N个原子逐渐靠近，最外层电子首先发生共有化运动，每
第五章 晶体中电子 能带理论
表征、计算和实验观测电子结构是固体物理学的核心问题； 这是因为原则上研究电子结构往往是进一步解释或预言许 多其他物理性质的必要步骤。
晶体电子结构的内涵是电子的能级以及它们在实空间和动 量空间中的分布。
玻尔的原子理论给出这样的原子图像：电子在一些特定的可能轨道 上绕核作圆周运动，离核愈远能量愈高，当电子在这些可能的轨道 上运动时原子不发射也不吸收能量，只有当电子从一个轨道跃迁到 另一个轨道时原子才发射或吸收能量，而且发射或吸收的辐射是单 频的。
第五章 固体电子论基础
§5.2.2索末菲电子气的能量状态
• 索末菲认为金属中的价电子好比理想气 体，彼此之间没有相互作用，各自独立 地在势能等于平均势能的场中运动。如 果取平均势能为能量零点，那么要使金 属中的自由电子逸出，就必须对它作相 当的功，所以每个电子的能量状态就是 在一定深度的势阱中运动的粒子所具有 的能量状态。
（5.1-7）
• 经典自由电子理论推导的电导率公式表明，电导率的大小正比于 电荷浓度 ne （单位体积固体中的自由电子数）和单位电场强度产 生的加速度 e n 以及弛豫时间 τ 的乘积。 • 根据经典自由电子理论，即自由电子的行为如同理想气体一样， 服从玻耳兹曼统计。因此应用理想气体定律可以计算电子的动能 1 3 2 （5.1-8） 5.1-8 E = mv = k B T 2 2 • 式中 v 为自由电子平均速度；kB为玻耳兹曼常数；T为热力学温 度；m为电子质量。 • 由式（5.1-8）可以估计电子平均热运动速度。当T=0（K） 时， = 0 ；当T=300（K）时，电子动能为0.04eV，其热运动速 v 度为105m/s。由测不准关系知，电子“轨道”运动速度测不准 时约为107m/s，比所求值还大。其原因是即使在T→0（K）时， 电子运动速度也不为零，而且运动速度在106m/s。由此可见经 典自由电子理论在处理电子问题的局限性。
• 用这种模型描述的自由电子，通常称为特鲁德-洛仑兹电子，或 简称特鲁德电子。特鲁德和洛仑兹利用这一模型导出了金属电导 率和热导率，并得到了维德曼-夫兰兹定律。在没有外电场作用 时，固体中的自由电子沿着各个方向运动的几率相等，故不会产 生电流。当给固体施加外电场后，自由电子获得附加速度，于是 便沿外加电场方向发生定向运动，从而形成了电流。自由电子在 定向运动过程中，因不断与正离子发生碰撞，而使电子运动受阻， 这便是产生电阻的原因。 • 利用这一模型还可以定性地解释金属的某些性质，如金属块的不 透明性和特有的光泽，主要是由于入射光波被金属表面层电子吸 收所致，而电子吸收光波后产生强迫振动又发出光波来，因此出 现金属光泽。 • 总之，经典自由电子理论的基本内容是：金属中存在着大量能够 自由运动的电子，这些自由电子的行为象理想气体一样；正离子 所形成的电场是均匀的，电子气体除了在同离子实发生不断碰撞 的瞬间外，其余时间在离子实之间的运动被认为是自由的；电子 1τ τ 和电子之间的相互作用（碰撞）忽略不计，电子和离子之间的碰 撞过程可以用一个电子与离子实相继作用两次碰撞之间所间隔的 平均时间 （碰撞）来描述（ 表示电子和离子实之间的碰撞 几率）；电子气体是通过和离子实组成的晶格的热碰撞达到热平 衡，自由电子运动速度的热平衡分布遵循麦克斯韦-玻耳兹曼统 计规律。
固体物理第五章
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 能量本征值的计算 能量本征值 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合 布洛赫函数 晶体中的电子的波函数按此函数集合展开 将电子的波函数代入薛定谔方程 确定展开式中的系数应满足的久期方程 求解久期方程得到能量本征值 电子波函数的计算 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的 系数得到具体的波函数 在不同的能带计算模型和方法中采取的理论框架相 同，只是选取不同的函数集合
b1 , b2 , b3 ——倒格子基矢
满足 ai ⋅ b j = 2πδ ij
2π i
λ1 = eik ⋅a , λ2 = eik ⋅a , λ3 = eik ⋅a 平移算符的本征值
1 2
3
平移算符的本征值 λ1 = e
ik ⋅a1
, λ2 = eik ⋅a2 , λ3 = eik ⋅a3
ˆ ( R ) = T n1 (a )T n2 (a )T n3 (a ) 作用于电子波函数 ˆ ˆ ˆ 将T n 1 1 2 2 3 3
电子波函数
uk + Kn (r ) = =
n
=e
ik ⋅ Rn
- - -K h ⋅ Rn = 2πμ
∑
h
a ( k + K n + K h )e i K h ⋅ r a ( k + K l )e
n
∑
l
i ( K 43; K ( r ) = e i(k + K
=
)⋅ r
uk + Kn (r )
能带理论——单电子近似的理论
将每个电子的运动看成是独立的在一个等效势 运动 场中的运动 单电子近似 最早用于研究多电子原子 哈特里-福克自洽场方法 自洽场 能带理论的出发点 电子不再束缚于个别的原子，而在整个固体内运动 个别的原子 共有化电子
电子行业第五章固体电子论基础
电子行业第五章固体电子论基础引言在电子行业中，固体电子论是一门重要的学科。
它涉及到电子学中固态材料中电子行为的研究和应用。
本文将介绍固体电子论的基础知识，包括固体材料的能带结构、载流子行为和导电性等方面。
1. 固体材料的能带结构固体材料的能带结构是固体电子论中的基本概念。
能带结构描述了固体材料中电子的能量分布情况，决定了材料的导电性质。
1.1 带隙带隙是固体材料能带结构中的一个重要概念。
它指的是能带之间的能量差，代表了材料的导电性质。
根据带隙的大小，材料可以分为导体、绝缘体和半导体。
•导体：带隙非常小或者没有带隙，导电性能较好，如金属材料。
•绝缘体：带隙非常大，几乎没有自由电子，不导电，如陶瓷材料。
•半导体：带隙介于导体和绝缘体之间，导电性能可以通过控制添加杂质来改变，如硅、锗等材料。
1.2 能带能带是固体材料在能量-动量空间中的能级分布。
根据波函数周期性的性质，可以将能带分为价带和导带。
•价带：位于较低能量范围的带，包含了大量的价电子，与共价键形成，对材料的导电性有重要影响。
•导带：位于较高能量范围的带，包含了能够自由运动的载流子，可以贡献电流。
2. 载流子行为固体电子论中，载流子是指固体材料中自由运动的电子或正孔。
了解载流子行为有助于理解材料的导电性质和电子器件的工作原理。
2.1 电子电子是带负电的基本粒子，是固体材料中最常见的载流子。
在导体中，电子可以自由地在导带中移动，从而形成电流。
2.2 正孔正孔是电子带正电的现象。
当材料中存在缺电子的位置时，电子从相邻原子跳到这个位置上，同时会在原来位置上留下一个相当于正电荷的空位。
这个空位被称为正孔，它可以像自由电子一样在价带中移动，也可以贡献电流。
2.3 有效质量有效质量是指固体材料中载流子的运动性质类似于自由电子时的质量。
由于固体材料中载流子的运动受到晶体结构和电场等因素的影响，其运动性质可能会有所改变。
有效质量的概念可以用于描述载流子的运动性质和参与电子行为的程度。
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电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 3.电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 4.电子的能级是由一些能带组成。
15
例如，索末菲利用薛定谔方程，把电子看成是在平均势
场[V(x)=V0]中自由运动的、服从费米-狄拉克分布的粒子。 成功地解释了电子的热容。
Hˆ
E，Hˆ
2 2m
d2 dx 2
d2 dy2
d2 dz 2
布洛赫、布里渊等人利用势场的周期性
[V(x)=V(x+nx)]和微扰理论，计算出了晶体中电子的能 带和禁带分布，解释了晶体中导体和绝缘体存在的原因，
并从理论上预言了半导体的存在。 16
§5.1 电子气的能量状态 一、一维晶体中电子气的能量分布
1.量子力学(索末菲)自由电子模型 (1)电子之间相作用很弱，完全忽略。电子只有动能， 没有相互作用势能。 (2)电子和离子实之间的相互作用可看成是电子在离子 实的平均势场中运动， V(x)=V0。 (3)把电子看成是服从费米-狄拉克分布的、封闭于晶体 中的理想气体(自由电子气)。
N
O
v vdv
v
某一温度下麦克斯韦速率分布曲线
3
(2)在一定的温度下，达到热平衡，电子具有确切的平
均动能和平均自由程。
3 2
kBT
1 kT
理想气体分子自由程
2nd 2 2 pd 2
(3)可以用经典力学定律(牛顿定律)对金属自由电子气模 型作出定量计算。
4
3.自由电子密度n 单位体积内的自由电子数称为自由电子密度。
0 x,y,z L, x, y, z 0及x, y, z L。
2.势阱内的薛定谔方程
z
2 2 E
L
2m
E：粒子在势阱内的能量；
x, y, z : 波函数。
2 2 2 2 dx 2 dy2 dz 2
LO
x
L
y
25
3.求解薛定谔方程
(1)令 x, y, z 1x2y3z
三、魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系 实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律 在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比
正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
W
ne2l
2mv
金属的导热系数； 金属的电导率；
W 魏德曼－弗兰兹常数。
3 Ce,V 2 nkB
3 2 kBT
1 mv 2 2
(1)当温度一定时，各金属的导热系数与电导率之比等于
一个相同的常数;
(2)实验表明,洛仑兹常数只有在较高的温度即大于德拜温
度时才近似为常数;
(3)当温度趋于0K时，洛仑兹常数也趋近于零, 这是因为
金属中的导热不仅有电子的贡献,而且还有声子的贡献。13
M
j nev ne2E
2m
j zN Ae2E A m2 2 mM
设电子平均自由程为l，则 l v 电流密度可写成
6.电导率
j zN Ae2E l A m2 2mM v
j zN Ae2 l 或
E 2mM v
ne2l
2mv 9
1x2 y3 z
26
(3)化简
(4)通解
d
2 1x
d x2
k
2
x1
x
0
d
2 2
d y2
y
k
y2
d
2 3 z
d z2
kz2 3
z
0
12
x y
Axe ikx x
B eikx x x
2
2.特鲁特-洛伦兹自由电子模型(经典自由电子理论)
在特鲁特自由电子模型的基础上，1904年，洛伦兹
对该模型进行了补充和改进：
(1)电子气是经典粒子，服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
f v 4
m
32
e v -
m 2kT
v2
2
2kT
f v
d N f vd v
d2 dx 2
V ( x)
2 2m
d2 dx 2
19
(3)势阱中的薛定谔方程
Hˆ x E x
(4)自由电子的能量
P2 2k2 E
2m 2m
P k，k 波矢。
(5)代入能量后的薛定谔方程
2 2m
d2 dx
2
2k2
Ayeiky y
B eiky y y
3
z
Aze ikz z
B eikzz z
27
(5)利用驻波边界条件
x 0, 10 0; x L, 1L 0 y 0, 2 0 0; y L, 2 L 0 z 0, 3 0 0; z L, 3 L 0
1 Cvl
3
11
3.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律(洛仑兹关系)
各种温度下，金属的导热系数 与电导率 之比除以相应的绝对温度
以 后 ， 得 到 的 数 值 都 是 常 数 (L— 洛 仑 兹常数)，与具体的金属和温度无关。
L T
4.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律理论推导
1 Cvl
第五章 固体电子论基础
1
一、经典理论对电子气的描述
1.特鲁特自由电子模型(1900年) (1)金属中的价电子象气体分子一样组成电子气，在温 度为T的晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子 一样。 (2)除了和金属离子碰撞以外，基本上是自由的。通过 和金属离子的碰撞在一定温度下达到热平衡。可以用具 有确定的平均速度和平均的自由时间的电子来代表。 (3)在外电场的作用下，电子气产生的漂移运动引起了 电流。
论值的百分之一左右。而且，当温度足够高时，金属
的热容和非金属的热容一样，均为24.9 J K mol 。
2.必须建立新的模型和理论
14
五、量子力学对电子气的描述
1.必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 电子的运动不同于气体分子的运动，不能用经典
理论来描述。 2.电子的分布服从量子统计, 即费米-狄拉克分布。
18
3.一维晶体中电子气的能量分布 可以把一维晶体中运动的电子看成是在一维无限深
势阱中运动。 (1)一维无限深势阱分布
V 0
V L
V x 0 0 x L, V x x 0及x L。
O
Lx
(2)势阱内的哈密顿算符Ĥ
Hˆ
2 2m
将获得附加速度。当电子与正离子发生碰撞时, 电子将 失去附加速度。碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会 获得定向运动速度而自由的前进。这个过程在周期性晶 体点阵中反复不断的进行。 2.电子运动的动力学方程
F eE F ma
a eE m
E —外加电场的电场强 度; m—电子质量；a— 电子定向运动的加速度
四、经典自由电子理论的局限性
1.电子气的热容问题。
(1)晶格振动对热容CV的贡献
CVa 3NkB 3R＝24.9 J K mol ;
(2)电子若有贡献，每个电子对热容的贡献为：
CVe
3 2 kB
或
CVe
3 2
N AkB＝23
R＝12.45 J
mol K
(3)实验证明：不管是几价金属，对热容的贡献仅有理
②x L时， L 0
L AsinkL 0
kL n
k n n为整数
L
n 1,2,3自由电子能级的量子数，它改变着波函数2。1
k≠0，如果k=0，则有
(x) k2 (x) 0 (x) 0
(x)＝Cx D (0)＝C 0 D 0 D＝0
(L)＝C L 0 C 0
(x) 0
22
(8)晶体中自由电子的本征波函数
x A sin n x
L
A为归一化常数， x 2 dx 1 L A2 sin2 n xdx
0
L
A 2 L
x 2 sin n x
LL
(9)晶体中自由电子的本征能量
7
3.电子运动速度
为电子相邻两次碰撞的时间间隔 。
v a eE
m
4.电子运动的平均速度(漂移速度)
a eE m
由于电子在自由程之间所获得的附加速度是从零
增加至v，所以电子运动的平均速度(漂移速度)为：
v eE
2m 8
5.电流密度的计算
n z N A
n为单位体积固体中的自由电子数。
1000倍左右(约为:1028～1029个/m3)。
5
5.一些金属元素的自由电子密度
元素
z
n/1028m-3 rs/10-10m
rs/a0
Li
1
4.70
1.72
3.25
Na
1
2.65
2.08
3.93
K
1
1.4
2.57
4.86
Cu
1
8.47
1.41
2.67
Ag
1
5.86
1.60
3.02
Mg
2
8.61
2m
15
例如，索末菲利用薛定谔方程，把电子看成是在平均势
场[V(x)=V0]中自由运动的、服从费米-狄拉克分布的粒子。 成功地解释了电子的热容。
Hˆ
E，Hˆ
2 2m
d2 dx 2
d2 dy2
d2 dz 2
布洛赫、布里渊等人利用势场的周期性
[V(x)=V(x+nx)]和微扰理论，计算出了晶体中电子的能 带和禁带分布，解释了晶体中导体和绝缘体存在的原因，
并从理论上预言了半导体的存在。 16
§5.1 电子气的能量状态 一、一维晶体中电子气的能量分布
1.量子力学(索末菲)自由电子模型 (1)电子之间相作用很弱，完全忽略。电子只有动能， 没有相互作用势能。 (2)电子和离子实之间的相互作用可看成是电子在离子 实的平均势场中运动， V(x)=V0。 (3)把电子看成是服从费米-狄拉克分布的、封闭于晶体 中的理想气体(自由电子气)。
N
O
v vdv
v
某一温度下麦克斯韦速率分布曲线
3
(2)在一定的温度下，达到热平衡，电子具有确切的平
均动能和平均自由程。
3 2
kBT
1 kT
理想气体分子自由程
2nd 2 2 pd 2
(3)可以用经典力学定律(牛顿定律)对金属自由电子气模 型作出定量计算。
4
3.自由电子密度n 单位体积内的自由电子数称为自由电子密度。
0 x,y,z L, x, y, z 0及x, y, z L。
2.势阱内的薛定谔方程
z
2 2 E
L
2m
E：粒子在势阱内的能量；
x, y, z : 波函数。
2 2 2 2 dx 2 dy2 dz 2
LO
x
L
y
25
3.求解薛定谔方程
(1)令 x, y, z 1x2y3z
三、魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系 实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律 在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比
正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
W
ne2l
2mv
金属的导热系数； 金属的电导率；
W 魏德曼－弗兰兹常数。
3 Ce,V 2 nkB
3 2 kBT
1 mv 2 2
(1)当温度一定时，各金属的导热系数与电导率之比等于
一个相同的常数;
(2)实验表明,洛仑兹常数只有在较高的温度即大于德拜温
度时才近似为常数;
(3)当温度趋于0K时，洛仑兹常数也趋近于零, 这是因为
金属中的导热不仅有电子的贡献,而且还有声子的贡献。13
M
j nev ne2E
2m
j zN Ae2E A m2 2 mM
设电子平均自由程为l，则 l v 电流密度可写成
6.电导率
j zN Ae2E l A m2 2mM v
j zN Ae2 l 或
E 2mM v
ne2l
2mv 9
1x2 y3 z
26
(3)化简
(4)通解
d
2 1x
d x2
k
2
x1
x
0
d
2 2
d y2
y
k
y2
d
2 3 z
d z2
kz2 3
z
0
12
x y
Axe ikx x
B eikx x x
2
2.特鲁特-洛伦兹自由电子模型(经典自由电子理论)
在特鲁特自由电子模型的基础上，1904年，洛伦兹
对该模型进行了补充和改进：
(1)电子气是经典粒子，服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
f v 4
m
32
e v -
m 2kT
v2
2
2kT
f v
d N f vd v
d2 dx 2
V ( x)
2 2m
d2 dx 2
19
(3)势阱中的薛定谔方程
Hˆ x E x
(4)自由电子的能量
P2 2k2 E
2m 2m
P k，k 波矢。
(5)代入能量后的薛定谔方程
2 2m
d2 dx
2
2k2
Ayeiky y
B eiky y y
3
z
Aze ikz z
B eikzz z
27
(5)利用驻波边界条件
x 0, 10 0; x L, 1L 0 y 0, 2 0 0; y L, 2 L 0 z 0, 3 0 0; z L, 3 L 0
1 Cvl
3
11
3.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律(洛仑兹关系)
各种温度下，金属的导热系数 与电导率 之比除以相应的绝对温度
以 后 ， 得 到 的 数 值 都 是 常 数 (L— 洛 仑 兹常数)，与具体的金属和温度无关。
L T
4.魏德曼—弗兰兹—洛仑兹定律理论推导
1 Cvl
第五章 固体电子论基础
1
一、经典理论对电子气的描述
1.特鲁特自由电子模型(1900年) (1)金属中的价电子象气体分子一样组成电子气，在温 度为T的晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子 一样。 (2)除了和金属离子碰撞以外，基本上是自由的。通过 和金属离子的碰撞在一定温度下达到热平衡。可以用具 有确定的平均速度和平均的自由时间的电子来代表。 (3)在外电场的作用下，电子气产生的漂移运动引起了 电流。
论值的百分之一左右。而且，当温度足够高时，金属
的热容和非金属的热容一样，均为24.9 J K mol 。
2.必须建立新的模型和理论
14
五、量子力学对电子气的描述
1.必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 电子的运动不同于气体分子的运动，不能用经典
理论来描述。 2.电子的分布服从量子统计, 即费米-狄拉克分布。
18
3.一维晶体中电子气的能量分布 可以把一维晶体中运动的电子看成是在一维无限深
势阱中运动。 (1)一维无限深势阱分布
V 0
V L
V x 0 0 x L, V x x 0及x L。
O
Lx
(2)势阱内的哈密顿算符Ĥ
Hˆ
2 2m
将获得附加速度。当电子与正离子发生碰撞时, 电子将 失去附加速度。碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会 获得定向运动速度而自由的前进。这个过程在周期性晶 体点阵中反复不断的进行。 2.电子运动的动力学方程
F eE F ma
a eE m
E —外加电场的电场强 度; m—电子质量；a— 电子定向运动的加速度
四、经典自由电子理论的局限性
1.电子气的热容问题。
(1)晶格振动对热容CV的贡献
CVa 3NkB 3R＝24.9 J K mol ;
(2)电子若有贡献，每个电子对热容的贡献为：
CVe
3 2 kB
或
CVe
3 2
N AkB＝23
R＝12.45 J
mol K
(3)实验证明：不管是几价金属，对热容的贡献仅有理
②x L时， L 0
L AsinkL 0
kL n
k n n为整数
L
n 1,2,3自由电子能级的量子数，它改变着波函数2。1
k≠0，如果k=0，则有
(x) k2 (x) 0 (x) 0
(x)＝Cx D (0)＝C 0 D 0 D＝0
(L)＝C L 0 C 0
(x) 0
22
(8)晶体中自由电子的本征波函数
x A sin n x
L
A为归一化常数， x 2 dx 1 L A2 sin2 n xdx
0
L
A 2 L
x 2 sin n x
LL
(9)晶体中自由电子的本征能量
7
3.电子运动速度
为电子相邻两次碰撞的时间间隔 。
v a eE
m
4.电子运动的平均速度(漂移速度)
a eE m
由于电子在自由程之间所获得的附加速度是从零
增加至v，所以电子运动的平均速度(漂移速度)为：
v eE
2m 8
5.电流密度的计算
n z N A
n为单位体积固体中的自由电子数。
1000倍左右(约为:1028～1029个/m3)。
5
5.一些金属元素的自由电子密度
元素
z
n/1028m-3 rs/10-10m
rs/a0
Li
1
4.70
1.72
3.25
Na
1
2.65
2.08
3.93
K
1
1.4
2.57
4.86
Cu
1
8.47
1.41
2.67
Ag
1
5.86
1.60
3.02
Mg
2
8.61
2m