《正方形的性质与判定(1)》参考课件
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18.2.3正方形的性质与判定课件
对称性
轴 对 称 图 形
例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 个2 全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的 性 AA
（2）图中共有__8___
DB
个等腰直角三角形。
（3）对角线AC与正方
质
O
形的一边所成的角为
的
应
BO
C
度。 45
(4) 正方形的面积为64，
用D
C
则正方形对角线
试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,
A
∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,
又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
ED BF C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB,
∴ DE= DF
∴四边形DEBF是正方形 第17页，共19页。
小结
性质
图形
对边平行且相等
正方形判定方法
要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 有一个角是直角 （填上一个条件即可）
判定方法2： 一个角为直角的菱形叫正方形
第11页，共19页。
图形之间的变化关系 矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
第12页，共19页。
正方形的判定方法 判定方法3：
一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形
，
面积为
。
4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为 AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足, 则PE+PF= 。5cm
第6页，共19页。
4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意 一点,PE⊥5cAmC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 。
1.3 正方形的判定与性质(一)
关系图：
矩形
平行四边形
有一个角是直角且有一组邻边相等
正方形
菱形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
正方形的性质
（正方形既是矩形，又是菱形，它具有 矩形和菱形所 有的性质）
角：四个角都是直角； 边： 四条边都相等； 对角线： 对角线相等且互相垂直平分； 对称性： 既是中心对称也是轴对称图形；
正方形的性质： 正方形的四条边都相等，四个角都是直角， 对角线相等且互相垂直平分。
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
正方形的性质
复习提问：
一，什么叫做菱形？它有什么性质和判定？ 二，什么叫做矩形？它有什么性质和判定？
三，矩形性质的推论是什么？逆定理又是什么？
四，有没有一种四边形，它将菱形和矩形的特点 兼而有之？如果有应该怎么定义它？
正方形定义：有一组邻边相等，有一个角是直 角的平行四边形叫做正方形。
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
随堂练习：
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O，图中有多少个等腰三角形？ 2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC 上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等 三角形吗？选择其中一对进行证明.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角） ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
正方形的性质与判定课件
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是
有一个角是直角
（填上一个条件即可）
探究释疑
发现：
正方形
矩 形
邻边 相等
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
发现：
一个角为直角的菱形叫 正方形
∟
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质?
知识点一：
Байду номын сангаас
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等， 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 菱 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
∟
图 形 语 言
A
∟
A
C
B
C
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
∵四边形ABCD是正 方形 ∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD
轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形
∟
二、 例1、如图，正方形ABCD中， 正 方 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三 问：这些三角形是什么三角形？ 形 角形。 （2）两条对角线把 的 它分成 4 个全等的 A B 性 等腰直角 三角形。 质 （3）对角线AC与正 O 的 方形的一边所成的角 应 45 为 度。 D C 用
正方形的性质与判定-优质课件
(2) BH⊥AF
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE 和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
D O
B
C
例题1 如图，在正方形ABCD中，点E
在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？
为什么？
D
C
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
2.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂 足分别是点E、F.求证：DP=EF
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
如何来给正方形下定义？
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE 和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
D O
B
C
例题1 如图，在正方形ABCD中，点E
在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？
为什么？
D
C
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
2.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂 足分别是点E、F.求证：DP=EF
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
如何来给正方形下定义？
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
正方形的性质与判定-ppt课件
∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册
答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
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答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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正方形的性质与判定课件
正方形的性质=
再度探究 继续深化
活动：探究正方形的判定 判定一个平行四边形是正方形？需要增加什么条件？
判定一个矩形是正方形？需要增加什么条件？
判定一个菱形是正方形？需要增加什么条件？
判定一个四边形是正方形？（对角线）需要增加什么条
件？
分组研究
• • • • 第一组 第二组 第三组 第四组 平行四边形组 矩形组 菱形组 一般四边形组
有一个角是直角
菱形
正方形
学生调查
• 从平行四边形，菱形，矩形，正方形中选 一个你最喜欢的，并给出关键词和理由。
总结：平行四边形，矩 形， 菱形，正方形的关系
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
课后作业 把平行四边形，矩形，菱形，正方形按 照定义，性质，判定总结列表
谢
谢
大
家
45°
(3)
(1)
(2)
正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方 形.
简记 ： 即是矩形又是菱形就是正方形
合作探究
活动：探究正方形的性质
正方形性质:
边
四边相等
A O B
D
对边平行
角
四个角都是直角
C
对角线
互相平分 互相垂直 相等
每条对角线平分一组对角
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形.
分组汇报
• 派出代表 大胆展示
A O B C D
1 .定义法： 一邻边相等 + 一个直角 + 平行四边形 2.矩形法： 一邻边相等 + 矩形 = 正方形
= 正方形
3.菱形法： 一个直角 + 菱形 = 正方形
1.3.3正方形的性质与判定课件
H
1、
矩形
正方形
一内角是直角
2、
菱形
正方形
3、
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
以四边形为基础：
①四条边相等，四个角都是直角 四边形 ②对角线互相垂直、平分且相等 正方形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形性质小结 性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90° ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的 菱形是矩形）．
3 2 1
例3.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是 角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F. 试说明：四边形DEBF是正方形.
图形的 对称性
轴对称图形 轴对称图形
轴对称图形
性
边 图 形 语 言 文 字 语 言
A D
角
∟
A
质 对角线
∟D
A O D
对称性
∟
B
C
B
对边平行， 四条边都
相等
四 个 角 都是直角
∵四边形ABCD 是正方形
符 号 语 言
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB∥CD ∴∠A=∠B=∠C AD∥BC, =∠D=90° AB=BC=CD=AD
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠DEB= ∠DFB=90°, 又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
A
E
B
D F C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF ∴四边形DEBF是正方形
1.如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形， 那么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。
北师大九年级数学上册《正方形的性质》课件
12．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且∠ BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为 F，则 EF 的长为___4_－__2__2__．
13．(2014·哈尔滨)如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF＝3，△EFC 的周长为 12，
3．正方形是轴对称图形，它有____4____条对称轴．
1．(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．(3分)如图，将正方形ABCD折叠，使边AB，CB均落 在对角线BD上，折痕为BE，BF，则∠EBF的大小为( C ) A．15° B．30° C．45° D．60°
(2)解：∵AB＝2，∴AC＝ 2AB＝2 2.∵CE＝CD，∴AE＝2 2 －2.过点 E 作 EH⊥AB 于 H，则△AEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝AH＝ 22AE＝2－ 2，∴BH＝2－(2－ 2)＝ 2.在 Rt△BEH 中， BE2＝BH2＋EH2＝( 2)2＋(2－ 2)2＝8－4 2.
(2)解：∵CD＝CE，BC＝CD，∴CE＝BC.又∵∠BCE＝30°， ∴∠EBC＝75°.而AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBE＝75°.
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
9．如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中
的等腰直角三角形有( C )
A．4 个
B．5 个
3.正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
1．有一组邻边__相__等____，并且有一个角是____直____角的平行 四边形叫做正方形．
2．正方形既是特殊矩形，又是特殊菱形， 它的四个角都是____直____角，四条边都___相__等___， 对角线_相__等__且__互__相__垂__直__平__分_， 并且每一条对角线___平__分___一组对角．
13．(2014·哈尔滨)如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF＝3，△EFC 的周长为 12，
3．正方形是轴对称图形，它有____4____条对称轴．
1．(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．(3分)如图，将正方形ABCD折叠，使边AB，CB均落 在对角线BD上，折痕为BE，BF，则∠EBF的大小为( C ) A．15° B．30° C．45° D．60°
(2)解：∵AB＝2，∴AC＝ 2AB＝2 2.∵CE＝CD，∴AE＝2 2 －2.过点 E 作 EH⊥AB 于 H，则△AEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝AH＝ 22AE＝2－ 2，∴BH＝2－(2－ 2)＝ 2.在 Rt△BEH 中， BE2＝BH2＋EH2＝( 2)2＋(2－ 2)2＝8－4 2.
(2)解：∵CD＝CE，BC＝CD，∴CE＝BC.又∵∠BCE＝30°， ∴∠EBC＝75°.而AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBE＝75°.
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
9．如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中
的等腰直角三角形有( C )
A．4 个
B．5 个
3.正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
1．有一组邻边__相__等____，并且有一个角是____直____角的平行 四边形叫做正方形．
2．正方形既是特殊矩形，又是特殊菱形， 它的四个角都是____直____角，四条边都___相__等___， 对角线_相__等__且__互__相__垂__直__平__分_， 并且每一条对角线___平__分___一组对角．
新北师大版九年级数学上1.3《正方形的性质与判定》课件(共2课时)
平行四边形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 矩形 菱形 正方形
√
√ √
√ √ √
正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是 （ C） A.内角和为360° B.对角线平分内角 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分 3、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （D） A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.四个角都是直角
F C
E 证明
你能用另外 一种方法完 又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°, 成证明吗？ ∴DE=DF (角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC，
∴四边形 CFDE是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形 CFDE是正方形 （有一组邻边相等的矩形是正方形）．
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA‘=BB’=CC‘=DD’。 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
例 题 欣 赏
证题思路分析
从 条 件 分 析 从 结 论 分 析
①由已知正方形证三角形全等；
A
D/ D C/
②证得菱形；
③再证直角； ④是正方形
A/
A
A
B
F
C
D
E
B
E
C
D
课堂小结
矩形
正方形 菱形
平行四边形
矩形
正 方 形
菱形
下课了!
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
3.正方形的性质与判定—判定
√
√ √
√ √ √
正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是 （ C） A.内角和为360° B.对角线平分内角 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分 3、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （D） A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.四个角都是直角
F C
E 证明
你能用另外 一种方法完 又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°, 成证明吗？ ∴DE=DF (角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC，
∴四边形 CFDE是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形 CFDE是正方形 （有一组邻边相等的矩形是正方形）．
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA‘=BB’=CC‘=DD’。 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
例 题 欣 赏
证题思路分析
从 条 件 分 析 从 结 论 分 析
①由已知正方形证三角形全等；
A
D/ D C/
②证得菱形；
③再证直角； ④是正方形
A/
A
A
B
F
C
D
E
B
E
C
D
课堂小结
矩形
正方形 菱形
平行四边形
矩形
正 方 形
菱形
下课了!
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
3.正方形的性质与判定—判定
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B
C
图形之间的变化关系
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
今天作业
P22习题1.7 1，2，3，4
请同学们画一个四边形，
要求它既是矩形又是菱形。
正方形
正方形的定义 (P20)
有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形（spuare）。
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
正方矩形 形
〃
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
探究小结
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
为 45 度。
A
D
4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相
交于点O，且AB＝2cm，则AC= 2 2 , 2 O
正方形的面积S=__4____.
2
B
C
5.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、 A BD相交于点O，且AC＝6 2 cm，
面积S=__3__6____.则边长AB＝__6____,
D O
请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
二、例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三
方
角形。
问：这些三角形是什么三角形？
形
的A 性
（2）两条对角线把
B
它分成 4 个全等的
等腰直角 三角形。
质
的 应D 用
OHale Waihona Puke C（3）对角线AC与正
方形的一边所成的角
言
平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
中 心
符 号 语 言
∵四边形ABCD是 正方形
∴AB∥CD AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是 正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠ D=90°
∵四边形ABCD是正 方形 ∴AC⊥BD,AC=BD,O
A=OB=OC=OD
对 称 图 形
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上 一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE 与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
叫正方形
菱 形 一个角 是直角
正方形
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
∟
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
正方形有那些性质?
性
边
角
质 对角线
对称性
图A
DA
∟
∟D A
D
形 语
O
轴 对
言B
CB
∟
∟
CB
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角