自动控制原理第三次课-拉普拉斯变换及反变换46页PPT
东南大学成贤学院自动控制原理ppt(程鹏主编第二版)拉普拉斯变换
F (s)
2s 12 1 j 2.5 1 j 2.5 2 s 2s 5 ( s 1 j 2) ( s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) 2 2 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 2 2( s 1) 10 s 1 2 2 5 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22
如果f(t）的各阶导数初始值都为零 ：
d n f (t ) L s n F (s) dt n
3．积分准则
L f (t ) F (s)
t f (t )dt F ( s ) L 0 s
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
4．平移定理
f (t )
例Ⅱ-1-1. 利用拉普拉斯变换性质，求如下图形F(s)
f (t )
2.0
0
b
t
0
c
t
（a） f (t ) 2 1(t ) 2 1(t b)
2 2 bs 2(1 e bs ) F ( s) e s s s
所以：
（b）
f (t ) t t (t c)
d 3 f (t ) 3 2 L s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 3 dt d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L ( 0) s F ( s ) s f (0) s f (0) f n dt d 2 f (t ) 2 L s F ( s ) sf (0) f (0) 2 dt
自动控制原理课件-拉氏变换专讲
a3 an a1s a2 F ( s) s p1 s p2 s p3 s pn
1
a1s a2 s p
F ( s )s p1 s p2 s p
1
根据上述方程，令实部=实部，虚部= 虚部，可解出a1，a2
s 1 例: 求 F ( s ) 2 s s s 1 的部分分式 a3 a1 s a2 解: F ( s ) 2 s s 1 s
用拉氏变换法求解微分方程(2)
1 A a b
1 B a b
1 1 1 ba ba s a s b s a sb
用拉氏变换法求解微分方程(2)
留数法（适用于复杂函数)
s z1 s zm B( s ) 设 F ( s) A( s) s p1 s pn
a1 F (s)s 1
3 s 1
s 2s 3
2
s 1
2
用拉氏变换法求解微分方程(6)
d F ( s )s 1 a2 ds
2
3
s 1
2 s 2 s 1 0
3
1 d F ( s )s 1 a3 2 3 1! ds
2
令
A B C Y ( s) s s2 s3
2 1
0.866a1 a2 0.866
2
0.5
用拉氏变换法求解微分方程(5)
化简: a1 a2 1 求解得:
a1 a2 1
a2 0
a1 1
s 1 a3 s 1 2 s s s 1 s 0
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
工程控制理论-拉普拉斯变换ppt
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0)
证明：
L
df (t) dt
df (t) estdt 0 dt
estdf (t)
0
est f (t) s f (t)estdt sF (s) f (0)
0
0
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：
L
d2 f dt
(t)
2
s2F
(s)
t
s0
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质
(6) 初值定理
若： L f (t) F(s)
则：
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
lim
s
0
df (t dt
拉普拉斯变换简表 (续3)
序号
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
13
1 a
(1-e -at )
1 s(s+a)
14
1
b-a
(e -at -e -bt )
1 (s+a) (s+b)
15
1
b-a
(be
-bt
-ae
–at
)
s (s+a) (s+b)
16
sin(t + )
cos + s sin s2+2
L eat eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(5) 正弦信号函数
正弦信号函数定义：
两 e jt cost jsin t
拉普拉斯反变换ppt
2
=
-
1
则：F (s)=
-1
(s + 2)2 -
2+
(s + 2)
2 s+ 1
查拉氏变换表，得
f (t)= - te- 2t - 2e- 2t + 2e- t (t ? 0)
应用拉氏变换性质求反变换
例 ：已知
F (s)
s2
s es 5s
，求拉氏反变换
6
解： F (s) ( K1 K2 )es s2 s3
s2
1 s2
2 s2
eS
1 s2
e2S
应用时移性质：
f (t) t 2(t 1) (t 2)
21
2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程
应用拉普拉斯变换法求解线性定常微分方程是工程实 践中行之有效的简单方法，采用以下步骤：
1．考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域 的微分方程变换为s域的代数方程；
s
K1 s 3
2
s 2
K2
s
s
2
3
s 3
应用时移性质：
f (t) 2e 2(t1) 3e3(t1)
20
应用拉氏变换性质求反变换
已知
F
(
s)
1
e s
S
2
，求 拉氏反变换 f (t)。
解：
1 2eS e2S
F(s)
L[t n
]
n! s n 1
,
L1[
1 sn
]
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
l自动控制原理 第三讲 拉氏变换
Lecture3-Laplace TransformsK.J.ÅströmReview of control system analysis1.The Basic Feedback Loopplace T ransforms3.Analysis of Feedback Loops4.Qualitative Understanding of Signals and Systems5.SummaryTheme:Streamline manipulation of equations and block diagrams.Construction of a Block DiagramThe block diagram gives an overview.T o draw a block diagram:•Understand how the system works.•Identify the major components and the relevant signals.•Key questions:Where is the essential dynamics?What are appropriate abstractions?•Describe the dynamics of the blocks in terms of standard models.dt n+a1dn−1ydt n−1+...+b n u is characterized by two polynomialsA(s)=s n+a1s n−1+a2s n−2+...+a n−1s+a nB(s)=b1s n−1+b2s n−2+...+b n−1s+b n•The roots of A(s)are called poles of the system.•The roots of B(s)are called zeros of the system.•The transfer function of the system is G(s)=B(s)Linear Time Invariant Systems(LTI)d n ydt n−1+...+a n y=b1dn−1uInterpretation of the Impulse Responsey(t)=nk=1C k−1(t)eαk t+t(t−τ)u(τ)dτLet the system be initially at rest,i.e.C k=0and let the inputbe an impulse at time0.The output is theny(t)= (t)If the input is a unit step the output(the step response)isy(t)=t(t−τ)dτ=t(τ)dτExperimental determination of step and impulse responses.Recall Cruise ControlProcess modeldvdt2+(0.02+k)dedtThe mathematical tool of Laplace transforms is ideally suitedfor these type of calculations.An essential part of the languageof control.place TransformsConsider a function f defined on 0≤t <∞and a real number σ>0.Assume that f grows slower than e σt for large t .The Laplace transform F =L f of f is defined asL f =F (s )= ∞e −stf (t )dtExample 1:f (t )=1,F (s )=∞e −st dt =−1sExample 2:f (t )=e −at ,F (s )=∞e −(s +a )t dt =−1s +adt=∞e −stf (t )dt =e −st f (t )∞0+s∞e −stf (t )dt =−f (0)+s L fs)dv =f (0)Final value theoremlim s →0sF (s )=lim s →0∞0se −st f (t )dt =lims →0∞e −vf (vPropertiesLinearity:L (a f +b )=a L f +b L Differentiation:L dfs L fTime shift:L f (t −T )=e −sTL fTime stretch:L f (at )=1a ),a >0.Convolution:L t0f (t −τ) (τ)d τ=F (s )G (s )Final value Theorem †:lim s →0sF (s )=lim t →∞f (t )Initial value Theorem †:lim s →∞sF (s )=lim t →0f (t )•†:V alid only if limits exist!A (s )=B (s )s −α1+C 2s −αnC k =lim s →αk(s −αk )F (s )=B (αk )The time function corresponding to the transform isf (t )=C 1e α1t +C 2e α2t +...+C n e αn tParameters αk give shape and numbers C k give magnitudes.Notice that αk may be complex numbers.With multiple roots the constants C k are instead polynomials.Manipulating LTI Systems The differentiation property L dfCruise ControlProcess model:dvsE(s)Pure algebra gives relation between Laplace transforms of slopeΘreference V r and E by eliminating V and Us(s+0.02)+ks+k iE(s)=10sΘ(s)+s(s+0.02)V r(s)2+2ω0s+ω20Θ(s)=10θ0ω0te−ω0tω0te−ω0tThe largest error e max=10θ0e−1occurs for t=1/ωparegraph belowθ0=0.04ζ=1,ω0=0.05(dotted),ω0=0.1Discussion•What do we mean by a solution to a problem?•A historical perspectiveClosed form expressions,tables,curves •The role of computers•The necessity of insight and understanding•The need to check results•What properties can wefind easily using“back of an envelope”calculation.•A perspective on use of Laplace transforms in control engineering•A more general(biased personal)perspective.T echnology changes fast but engineering education changes slowly.U(s)=L yCar Model in Cruise Control Process modeldvU(s)=1U(s)=−10Transfer Function of PID ControllerThe error e is the input and the control signal u is the outputu=ke+k ite(τ))dτ+k ddeE(s)=k+k iTransfer Function of CarA simple model of a car on a horizontal road tells how its position y depends on the throttle.Let the mass be m and assume that the propelling force is proportional to the throttle wefindmd2yU(s)=kTransfer Function of Time DelayConsider a system where the output y is the input u delayed Ttime units.The input output relation isy(t)=u(t−T)and the transfer function isG(s)=Y(s)Transfer Function of Standard Model Consider the systemd n ydt n−1+...+a n y=b1dn−1us n+a1s n−1+a2s n−2+...+a n−1s+a nSolutionIntroduce Laplace transforms and transfer functions.We haveE =R − N +P (D +CE )Solving for E givesE =11+PCN −P5.Qualitative Understanding of Signals andSystemsTime responses can in principle be computed.T ables of Laplace transforms is a help but the work is quite tedious.Time responses are easy to compute using different types of software.•It is a good rule to always make order of magnitude calculations to make sure that results are reasonable whenever you use software.•Much insight can be obtained form very simple calcula-tions (series expansions and factorization).•Some results will be presented.•It will be discussed more in future lecturesA (s )=B (s )s −α1+C 2s −αnC k =lim s →αk(s −αk )F (s )=B (αk )Parameters αk (roots of A (s ))are easy to compute.The signal y (t )has the formy (t )=C 1e α1t +C 2e α2t +...+C n e αn tParameters αk give shape and C k give magnitudes.A (s )=s +5Example...For small s the Laplace transform is Y(s) 2.5/s,which implies that for large t the time function is y(t) 2.5.For larges we have Y(s) 1/s2.This means that for small t the time function isC(s)=s+5Insight from Transfer Functions•Derive transfer function G(s)=B(s)Insight from Transfer Functions•Make a series expansion of G(s)for small s(low fre-quency behavior,large t)G(s)=c−1s+c−2s k+...If c0=0like a static gain.If c−1=0and c−1=0like an integrator.If c−1=c−2=...=c−k+1=0and c k=0like k integrators.ExamplesE XAMPLE 1—PID CONTROLLERThe PID controller has the transfer functionG (s )=k +k is+k +k d sThis is already in series expansion form.For slow signals(small s )it behaves like an integrator and for fast signals (large s )it behaves like a differentiator.E XAMPLE 2—PID CONTROLLER WITHD ERIVATIVEF ILTERG (s )=k 1+11+s T d /NBehaves like a static gain k (1+N )for fast signals (large s ).。
拉普拉斯变换ppt
机电工程学院
第二章 拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有 L[ f (t )] F ( s ) ，对任意实数 a ,则
控
L[ f (t a)] e asF (s)
制
工
程
基
础
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机电工程学院
第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,即
则有
f (t T ) f ，(t )
L f t f t estdt
控
0
制
工 程 基
T f t e stdt 2T f t e stdt n1T f t e stdt
0
T
nT
础
n1T f t e stdt
nT
n0
page22
机电工程学院
第二章 拉普拉斯变换
若 L[ f (t)] F (s)则
L[ d f (t)] sF (s) f (0) dt
f (0)为时间函数 f (t)在t =0处的初始值。注意，本书假设
f (0-) = f (0+) = f (0) 。
控
制 工
推论 若
L[ f (t)]， F则(s)
2j 0
s2 2
page14
机电工程学院
第二章 拉普拉斯变换
（七）余弦函数 余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r (t ) co s t (t≥0)
控 制
其拉氏变换为
工 程 基
L[cos t] cos testdt 0
础
1 (e jt e jt )e st d t 20
自动控制原理(经典控制论)课程ppT
自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
单摆(非线性)
是未知函数 的非线性函数，
所以是非线性模型。
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
液面系统(非线性)
是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
2.2.2 线性化问题的提出 线性系统优点：
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
单变量函数泰勒级数法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：
注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
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自动控制原理
增量方程 增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始 点，这时，系统所有的初始条件均为零。
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
第二章 线性系统的数学模型
微分定理
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
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第二章 线性系统的数学模型
积分定理
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第二章 线性系统的数学模型
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。