常用函数的傅里叶变换
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维 留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )ห้องสมุดไป่ตู้x
a x ≤ 2 其它
rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的信号处理方法，可以将一个信号表示为频域上的复合波。
在实际应用中，我们常常需要用到一些常用的傅里叶变换表来简化计算过程。
下面是常用的傅里叶变换表。
1. 频域采样点数与时间域采样点数的对应关系：当时间域采样点数为 N 时，对应的频域采样点数为 N/2+1。
采样点数越多，则频域分辨率越高，对于高频信号的分析会更准确。
2. 傅里叶变换对称性：傅里叶变换具有一定的对称性，包括对称性、共轭对称性和反对称性。
利用这些对称性，我们可以简化计算过程。
- 偶函数的频谱是实数，在频域中左右对称；- 奇函数的频谱是虚数，具有共轭对称；- 复合偶函数和复合奇函数的频谱会具有反对称性。
3. 常用信号的傅里叶变换表：以下是一些常见的信号的傅里叶变换表：- 矩形脉冲信号（Rectangular Pulse）的傅里叶变换：矩形脉冲信号在时域上是一个宽度有限且幅度为常数的信号。
其傅里叶变换在频域上是一个 sinc 函数，表达式为：F(w) = wwww(ww/2) / (ww/2)其中，w是信号的宽度，w是频率。
- 高斯函数（Gaussian Function）的傅里叶变换：高斯函数在时域上是一个钟形曲线，其傅里叶变换仍然是一个高斯函数。
傅里叶变换的表达式如下：F(w) = ww^(−w^2w^2/4w^2)其中，w是高斯函数的标准差，w是时间尺度。
- 正弦函数（Sine Function）的傅里叶变换：正弦函数在时域上是一个连续的周期函数。
其傅里叶变换也是一个周期函数，表达式为：F(w) = 0.5j (w(w−w)−w(w+w))其中，w是正弦函数的频率。
4. 傅里叶变换的性质：傅里叶变换具有很多重要的性质，包括线性性质、平移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质在信号处理中起到了重要的作用，可以简化傅里叶变换的计算过程。
- 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即线性组合的函数的傅里叶变换等于各个函数的傅里叶变换之和。
chap1常用函数及其傅立叶变换
在空域中 g s(x,y)h (x,y)g (x,y)
所以有：
nm
n
m
g ( x ,y ) n m g ( 2 B x ,2 B y ) s i n c [ 2 B x ( x 2 B x ) ] s i n c [ 2 B y ( y 2 B y ) ]
F(u)
sinc( u ) sinc 2 ( u ) 1 (u u 0 ) 1 / j u comb( u )
函数
函数的定义：
(t ) lim Ne N 2t2 N
(t) lim N rect( Nt ) N
(t) lim N sinc( Nt ) N
则 F . T . g ( x , y ) h ( x , y ) G ( f x ,f y ) H ( f x ,f y )
No
四、常用函数及其傅立叶变换式
矩形函数 rect(
1
x)
1
/
2
0
x 1/2 x 1/2 x 1/2
Sinc函数 sinc( 符号函数 sgn(
则系统称为线性空间不变系统。
对于线性空 间不变系统，叠加积分：
g (x ,y ) f(,)h (x ,y )d d f(x ,y ) h (x ,y )
1.3 二维线性不变系统
二、二维线性不变系统的传递函数 1、空间频率
F(fx,fy) f(x,y)ej2(xx fyy f)dxdy
其中 H (fx ,fy ) F .T . h ( x ,y ) 叫线性空间不变系统的传
递函数
1.3 二维线性不变系统
常用傅里叶变换
时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3 频域平移，变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当|?a?|?趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。
5 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6 傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应8 表示和的卷积—这就是卷积定理9 变换8的频域对应。
[编辑]平方可积函数傅里叶变换傅里叶变换10 矩形脉冲和归一化的sinc函数11 变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12 tri?是三角形函数13 变换12的频域对应14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
15 光学领域应用较多161718 a>019 变换本身就是一个公式20 J0(t)?是0阶第一类贝塞尔函数。
21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是第一类切比雪夫多项式。
22 U n?(t)是第二类切比雪夫多项式。
[编辑]分布时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换24 变换23的频域对应25 由变换3和24得到.26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2.27 由变换1和25得到28 这里,?n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.30 变换29的推广.31 变换29的频域对应.32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.33 u(t)是单位阶跃函数，且a?> 0.34 狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.[编辑]二元函数三元函数。
常用傅里叶变换
时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1线性2时域平移3频域平移，变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当| a| 趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6傅里叶变换的微分性质7变换6的频域对应8表示和的卷积—这就是卷积定理9变换8的频域对应。
[编辑]平方可积函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1 0矩形脉冲和归一化的sinc函数1 1变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
1 2tri是三角形函数1 3变换12的频域对应1 4高斯函数exp( − αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
1 5光学领域应用较多161718a>01变换本身就是9一个公式2 0J0(t)是0阶第一类贝塞尔函数。
2 1上一个变换的推广形式; T n(t)是第一类切比雪夫多项式。
2 2U n(t)是第二类切比雪夫多项式。
[编辑]分布时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释23δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换24变换23的频域对应25由变换3和24得到.26由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat+ e−iat)/ 2.27由变换1和25得到28这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。
29此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.30变换29的推广. 31变换29的频域对应.32此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.33u(t)是单位阶跃函数，且a> 0.34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.[编辑]二元函数时域信号角频弧频率表示的傅里叶变换注释率表示的傅里叶变换两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1(1阶第一类贝塞尔函数)表达; f r是频率矢量的量值{f x,f y}.三元函数角频率时域信号弧频率表示的注释表示的傅里叶傅里叶变换变换此球有单位半径；f r是频率矢量的量值{f x,f y,f z}.（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。
常用傅里叶变换公式大全
常用傅里叶变换公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。
下面就是常用的傅里叶变换公式大全：1、傅里叶变换：$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$2、傅里叶反变换：$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$3、离散傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$4、离散傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$5、快速傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$6、快速傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$7、离散余弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$8、离散余弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$9、离散正弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$10、离散正弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。
因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
常用傅里叶变换
常用傅里叶变换Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3频域平移，变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当|?a?|?趋向无穷时，成为。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应8表示和的卷积—这就是9变换8的频域对应。
[]平方可积函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释10 和归一化的11变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
12 tri?是13变换12的频域对应14 exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
15 领域应用较多161718 a>019 变换本身就是一个公式20 J0(t)?是。
21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是。
22????U n?(t)是。
[]分布时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释23δ(ω)代表分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换24 变换23的频域对应25 由变换3和24得到.26由变换1和25得到，应用了:?cos(at) =(e iat?+?e???iat) / 2.27 由变换1和25得到28这里,?n是一个.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有。
29 此处sgn(ω)为；注意此变换与变换7和24是一致的.30 变换29的推广.31 变换29的频域对应.32 此处u(t)是;此变换根据变换1和31得到.33 u(t)是，且a?> 0.34 ——有助于解释或理解从连续到的转变.[]二元函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1?(1阶)表达; f r是频率矢量的量值{f x,f y}.三元函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释此球有单位半径；f r是频率矢量的量值{f x,f y,f z}.。
常用函数的傅里叶变换汇总
常用函数的傅里叶变换汇总
傅里叶变换是一种在信号处理和通信领域中广泛使用的数学工具。
MATLAB是一种常用的数学软件，提供了许多傅里叶变换的函数，可以进行各种类型的信号处理。
n连续函数的傅里叶变换是指将一个包含无限个采样点的函数，通过离散傅里叶变换（DFT）方法，将其离散化，转化为一系列离散的频域信号。
在MATLAB中，可以使用fft函数来进行傅里叶变换，该函数可以对输入的n连续函数进行fft变换，将其转化为对应的频域信号。
使用fft函数的步骤如下： 1. 定义输入信号，使用linspace函数生成一系列均匀分布的采样点。
2. 对采样点进行傅里叶变换，使用fft函数实现。
3. 将傅里叶变换得到的频域信号转换为幅度谱和相位谱，使用abs和angle函数实现。
4. 可以通过ifft函数将得到的傅里叶变换结果转换回原始的n连续函数。
在MATLAB中，还可以使用其他函数来实现不同类型的傅里叶变换，例如fft2可以用于二维离散傅里叶变换，fftshift可以将频域信号进行中心化等。
总之，MATLAB提供了丰富的傅里叶变换函数，可以对不同类型的信号进行处理，为信号处理和通信领域的研究提供了有力的工具。
傅里叶变换简表
傅里叶变换简表
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学方法。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
下面是傅里叶变换的简表：
傅里叶变换函数：
傅里叶变换F(k) = ∫[f(x) * e^(-2πikx)] dx
反变换函数：
反傅里叶变换f(x) = ∫[F(k) * e^(2πikx)] dk
常见信号的傅里叶变换：
1. 矩形函数（方波）的傅里叶变换：
F(k) = T * sin(πkT) / (πk)
2. 三角波的傅里叶变换：
F(k) = 2AT * sinc(2πATk)
3. 周期函数的傅里叶级数展开：
f(x) = a0 + Σ(an * cos(nωt) + bn * sin(nωt))
4. 高斯函数的傅里叶变换：
F(k) = σ * sqrt(2π) * e^(-π^2σ^2k^2)
5. 常见频率域运算的傅里叶变换：
a. 时移：f(x - x0) 的傅里叶变换F(k) * e^(2πikx0)
b. 频移：e^(2πik0x) 的傅里叶变换 F(k - k0)
c. 放大：f(ax) 的傅里叶变换 F(k/a) / a
d. 缩小：f(bx) 的傅里叶变换 F(k/b) * b
这只是一些傅里叶变换的简单例子，实际上傅里叶变换的应用十分广泛，还有很多复杂的数学关系和公式。
需要根据具体的问题和需求来进行深入研究和学习。
三角函数傅立叶变换常用公式大全
三角函数傅立叶变换常用公式大全
傅立叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的和。
常用的三角函数傅立叶变换的公式包括：
1. 傅立叶级数公式：
f(x) = a/2 + Σ [a_ncos(nωx) + b_nsin(nωx)]
其中，a和b是系数，n是正整数，ω是基本频率，f(x)是要进行傅立叶级数展开的函数。
2. 傅立叶变换公式：
F(ω) = ∫[f(x)e^(-iωx)]dx.
其中，F(ω)是函数f(x)的傅立叶变换，i是虚数单位，ω是频率，f(x)是原始函数。
3. 逆傅立叶变换公式：
f(x) = (1/2π) ∫[F(ω)e^(iωx)]dω。
其中，f(x)是原始函数，F(ω)是函数f(x)的傅立叶变换。
4. 傅立叶变换的频谱密度公式：
S(ω) = |F(ω)|^2。
其中，S(ω)表示频率ω处的功率密度谱，|F(ω)|表示复
数F(ω)的模。
这些公式是傅立叶变换理论中的基本公式，它们在信号处理、
图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
通过这些公式，我们可以
将一个函数在时域和频域之间进行转换，从而分析函数的频率成分
和特征。
当然，在实际应用中，还会涉及到傅立叶变换的性质、频
谱分析、滤波等更加深入的内容。
希望这些公式能够对你有所帮助。
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常用函数的傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。
在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。
1. 正弦函数和余弦函数
正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下：
$$
begin{aligned}
mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)]
mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)]
end{aligned}
$$
其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频，
$delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。
2. 矩形函数
矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下：
$$
mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$
其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。
3. 三角函数
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下：
$$
begin{aligned}
mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)]
mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)]
mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= -
jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)-
jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0)
end{aligned}
$$
其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。
4. 高斯函数
高斯函数是一种常用的连续函数，它的傅里叶变换公式为：
$$
mathcal{F}(e^{-alpha t^2}) = sqrt{frac{pi}{alpha}}e^{-frac{omega^2}{4alpha}}
$$
其中，$alpha$为正实数。
5. 单位阶跃函数
单位阶跃函数是一种特殊的函数，它的傅里叶变换公式为： $$
mathcal{F}(u(t)) = frac{1}{jomega}+pidelta(omega)
$$
其中，$u(t)$为单位阶跃函数。
以上是常用函数的傅里叶变换公式，掌握这些公式对于进行信号处理非常重要。