常用函数的傅里叶变换

常用函数的傅里叶变换

傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。

1. 正弦函数和余弦函数

正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下：

$$

begin{aligned}

mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)]

mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)]

end{aligned}

$$

其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频，

$delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。

2. 矩形函数

矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下：

$$

mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$

其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。

3. 三角函数

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下：

$$

begin{aligned}

mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)]

mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)]

mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= -

jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)-

jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0)

end{aligned}

$$

其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。

4. 高斯函数

高斯函数是一种常用的连续函数，它的傅里叶变换公式为：

$$

mathcal{F}(e^{-alpha t^2}) = sqrt{frac{pi}{alpha}}e^{-frac{omega^2}{4alpha}}

$$

其中，$alpha$为正实数。

5. 单位阶跃函数

单位阶跃函数是一种特殊的函数，它的傅里叶变换公式为： $$

mathcal{F}(u(t)) = frac{1}{jomega}+pidelta(omega)

$$

其中，$u(t)$为单位阶跃函数。

以上是常用函数的傅里叶变换公式，掌握这些公式对于进行信号处理非常重要。