浅谈反证法在解题中的应用
反证法在初中数学解题中的应用探讨
困题新解221反证法在初中数学解题中的应用探讨★赵建武数学学科是初中教学的基础学科，在数学学科的教学和学习过程中，有许多数学解题的方法，可以帮助学生来进行解题，反证法就是常见的一种，对于一些数学题目，运用反证法来进行解答，可以简化解题过程，提高解题效率，增加解题的正确率，同时对于学生的数学逻辑思维能力的培养，也有益处。
因此，反证法是初中数学常用的解题方法，需要教师在教学过程中，针对反证法的教学进行一定的研究探讨，以帮助初中学社工切实掌握这一解题方法的要点，使学生在进行解题时能够灵活运用反证法。
反证法是初中数学常见的解题方法之一，也是一种数学学习的思维，一般来说，反证法的解题思路是先确定一个结论，再将结论否定，以此为基础，进行一步一步的论证，根据题目中的命题和一定的推理原则得出与原本题目给出的设定相矛盾的结论，以此来证明原设结论的正确性，最终得出正确的答案。
这种解题思路并不需要直接根据已有命题进行证明，而是通过一种否定结论，得出矛盾的方式，来证明解结论的正确，属于间接证明的一种。
反证法的应用可以让学生更快的抓住解题重点，解题过程也更加的简化、明了，是一种很好的解题方法。
同时，这种方法是基于逆向思维来进行的，在具体的解题应用中，也可以培养学生的逆向思维，同时提高学生解决数学问题的能力。
一、反证法的定义及理论依据1、反证法的定义一般来说，反证法的基本理念为，“在否定了原命题（真命题）后，找出必要的矛盾，就可以证明原命题（真命题）”。
也就是说，对某一命题需要进行证明时，首先要进行一个假设，即假设该命题的对立面是成立的，接着利用已知条件和推理原则，以假设为基础，对命题的对立面进行推理，最终得出两个矛盾的结论，或者最终的结果与我们学习的定义、定理、公理、题目所给的已知条件相矛盾，则可以说明原本的假设不能成立，即命题的对立面不成立，这也就证明了原命题是一定可以成立的。
这种逆向思维的证明思路，就是反证法，也可以用八个字进行总结，即“否定结论，寻找矛盾。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。
在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。
本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。
1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。
而反证法在证明题中常常发挥重要作用。
证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。
2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。
有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。
采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。
这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。
二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。
在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。
2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。
这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。
反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。
在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。
这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。
三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。
采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。
在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨初中数学作为学生学习的一门重要学科，是培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力的重要途径。
在初中数学中，反证法是一种常见的证明方法，也是解决数学问题的有效手段之一。
本文将探讨反证法在初中数学解题中的应用及其重要性，帮助学生更好地理解和掌握这一证明方法。
一、反证法的基本概念我们先来了解一下反证法的基本概念。
反证法是一种证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明原命题的方法。
简而言之，就是假设反面，然后推导出矛盾，从而推翻原假设，从而达到证明的目的。
要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法。
假设根号2是有理数，即可以表示为一个分数a/b，其中a、b为整数，并且a、b没有公因数。
那么，根号2=a/b可得2=(a/b)²,进一步可得2b²=a²。
这时候可以得出，a²是2的倍数，那么a也是2的倍数，设a=2m,那么可以得出2b²=(2m)²,得b²=2m².可见b²也是2的倍数，那么b也是2的倍数。
而这与a、b没有公因数的前提相矛盾，所以得出根号2是无理数。
可以看出，通过反证法，我们成功地证明了根号2是无理数的结论。
二、反证法在初中数学中的应用在初中数学中，反证法常常在几何问题、不等式问题以及集合问题中得到应用。
下面我们将通过具体的数学问题来探讨反证法在初中数学中的应用。
1. 几何问题在初中数学的几何学习中，有些问题需要证明一些形状或者性质的关系，可以运用反证法。
证明平行线性质、三角形全等性质以及圆的性质等。
一般来说，通过假设反面，推导出矛盾来证明原命题的正确性。
举个例子，要证明“平行线上的等角是相等的”，可以采用反证法。
可以假设在平行线上存在两个等角，但是这两个角却不相等。
通过推导出这种假设的矛盾，可以证明原命题的正确性。
2. 不等式问题在初中数学的不等式学习中，有些问题需要证明不等式的大小关系，可以运用反证法。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学中常用的一种解题方法。
它基于谬误论证法，假设待证明的命题不成立，通过推理论证推出一个不合理的结果，从而推翻了最初的假设，进而证明了待证明的命题成立。
下面将从几个典型的初中数学题目入手，探讨反证法在初中数学解题中的应用。
我们来看一个求解整数平方根的问题。
假设有一个正整数n，我们要证明如果n是平方数，那么它的平方根一定是整数。
我们可以采用反证法来证明这一结论。
假设n的平方根不是整数，即存在无法化简的最简分数\frac{a}{b}，满足\sqrt{n}=\frac{a}{b}，其中a和b互质。
不失一般性，假设a是奇数。
由于\sqrt{n}是n的平方根，我们可以推出n=\left(\frac{a}{b}\right)^2，进而得到n=\frac{a^2}{b^2}。
由于a是奇数，那么a^2也是奇数。
设a^2=k，则b^2n=k，由于k是奇数，所以n必然也是奇数。
我们知道平方数的性质是除以4的余数只可能是0或1，所以n的余数只可能是0或1，与n是奇数矛盾。
我们得出结论，若n是平方数，它的平方根一定是整数。
接下来，我们来看一个涉及最小值的问题。
假设有一个集合A，其中包含一些正整数。
现在要证明，如果将集合A中的两个元素交换位置，则整个集合中的元素之和不小于原来的和。
我们可以采用反证法来证明这一结论。
假设交换位置后，整个集合中的元素之和比原来的和要小。
设原来集合A中的两个元素分别为a和b，交换位置后变为b和a。
如果交换位置后的和比原来的和要小，那么必然有a-b>0，即a>b，否则a-b<0，即a<b。
不失一般性，假设a-b>0。
现在考虑将a减去某个正整数k，而将b加上k的情况。
由于a-b>0，所以存在一个正整数k，使得a-k>b+k。
考虑到a和b都是整数，那么我们可以得到一个更小的和，即a-k+(b+k)<a+b，这与交换位置后的和比原来的和要小矛盾。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法是数学推理中常用的解题方法，特别适用于初中数学题目。
反证法的核心思想是通过假设命题的否定，推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
以下将对反证法在初中数学解题中的运用进行分析。
1. 等式和不等式的证明：
反证法常被用来证明等式和不等式的正确性。
若要证明一个等式成立，可以通过假设它不成立，然后利用已知条件推导出矛盾结果。
同理，若要证明一个不等式成立，可以假设它不成立，然后通过推导得出矛盾的结论。
2. 整除关系的证明：
反证法在整除关系的证明中也常被应用。
要证明一个整数a不能被整数b整除，可以假设a能被b整除，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明假设的否定。
3. 数的存在性证明：
反证法也可以用来证明某个数（例如最大值、最小值等）的存在性。
假设不存在该数，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明该数的存在性。
4. 图形性质的证明：
反证法也适用于证明某个图形性质的推理。
若要证明某个三角形为等边三角形，可以假设它不是等边三角形，然后通过推导得出矛盾的结论，从而证明假设的否定。
反证法在初中数学解题中具有广泛的应用。
它的运用可以简化证明过程，提高解题效率。
初中学生在运用反证法时，需要准确理解已知条件和求证结论，灵活运用反证思维，推导出矛盾的结论，以达到解题的目的。
要注意反证的过程要合理，推导过程要严谨，从而确保解题的正确性。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学学习中常用的一种思维方式，通常在证明某些命题时会用到。
它的作用在于，通过假设命题不成立，然后通过推理得到矛盾，从而证明了命题是成立的。
下面就来探讨一下反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明逆命题、反命题在数学中，证明逆命题、反命题通常采用反证法。
例如，证明“如果两条直线平行，则它们的斜率相等”的逆命题“如果两条直线的斜率不相等，则它们不是平行的”以及反命题“如果两条直线不平行，则它们的斜率不相等”时，可以采用反证法。
首先假设逆命题和反命题是成立的，即假设存在两条斜率不相等的直线是平行或存在两条不平行的直线的斜率相等，然后通过推理得到矛盾的结论，从而证明了原命题是成立的。
2. 证明等式在初中数学中，证明等式也常常采用反证法。
例如，证明“对于任意实数x，x²≥0”时，可以采用反证法。
假设存在一个实数x，使得x²<0，然后通过x²的定义将其化简为（-x）²>0，即(-x)×(-x)>0，那么根据负数的定义可知，(-x)×(-x)>0的条件是x≠0，即(-x)²>0的条件是x≠0。
但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设x²<0，而这意味着x²≥0不成立，由此证明了原命题是成立的。
3. 证明最大值或最小值假设存在实数a、b，使得a+b=8且ab>16，然后将ab表达式展开为a(8-a)，化简后得到8a-a²>16，移项可得a²-8a+16<0，即(a-4)²<0，这与平方差公式是矛盾的，因此我们假设的ab>16是不成立的，即xy的最大值是16。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
反证法在数学解题中的应用
反证法在数学解题中的应用
反证法是一种有效的数学证明方法，通常用于证明一个命题的否定。
其基本思想是通过假设命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
以下是反证法在数学解题中的一些应用：
1.证明一个命题的否定。
反证法常用于证明一个命题的否定，即假设原命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
例如，在证明“一个三角形中至少有一个角大于等于90度”这个命题时，可以通过反设每个角都小于90度，然后推导出矛盾来证明原命题。
2.唯一性证明。
反证法也可以用于证明某个命题的唯一性，即假设存在多个满足条件的对象，然后推导出矛盾，从而证明原命题的唯一性。
例如，在证明“一个多项式方程只有一组解”这个命题时，可以通过假设存在多组解，然后推导出矛盾来证明原命题。
3.反例构造。
在数学中，有些命题需要通过构造反例来证明其不成立。
反证法可以用于构造反例，即假设原命题成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题不成立。
例如，在证明“对于任意正整数n，都存在一个正整数m，使得m^2=n^2+1”这个命题时，可以通过反设不存在这样的m，然后推导出矛盾来证明原命题不成立。
需要注意的是，反证法不是万能的，它不适用于所有的数学问题。
在使用反证法时，需要注意逻辑的严谨性和细节的准确性。
反证法在数学解题中的应用研究
反证法在数学解题中的应用研究面对这个高速发展的信息时代，人们对生活、对发展需要经常思考，进行推理，以致对结论的肯定或否定.遗憾的是长期以来对于一系列的解题，更重视对学生正向思维能力的培养，往往忽略了间接推理的重要性.很多时候我们经常思维定势，就想直接证明，不习惯用间接的论证方法解决问题.反证法是一种普遍运用的间接证明方法.当正面解决问题困难时，它可以从命题的反面入手，使之迎刃而解.一、反证法的简单介绍反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，属于“间接证明” 的一种（引用于现行人教版数学教材）.所谓反证，就是将要证明的反面情况驳倒就可以了.首先假设原命题不成立（即我们在原命题的条件下，假定结论不成立），据此推导出明显矛盾的结果，从而得出结论说原假设不成立，原命题得证.关于反证法的逻辑依据不得不提两个重要的思维方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的.排中律：任何一个命题判断或思想或者为真或者为假（不真），二者必居其一. 法国数学家J ・阿达玛曾概括为：“这证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这就是说反证法并非直接证明命题的结论，先是提出与需证结论反面的假定，然后推导出和公理、定理、定义或与题中假设相矛盾的结果.这样，就证明了与待证命题的结论相反的假设无法成立，从而肯定了原来待证命题.用反证法完成一个命题的证明，大体上有三个步骤：否定结论推导出矛盾结论成立.二、反证法在数学解题中的应用（一）在肯定性命题中的应用即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法进行尝试.如（代数问题）求证：无论n是什么自然数，总是既约分数.证明：假设不是既约分数，令21n+4=k？琢（1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？缀N，k>1）既约，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因为3？琢-2b整数，为分数，则3？琢-2b=不成立，故假设不成立，分数是既约分数.（二）在否定性命题中的应用即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题.（三）在限定性命题中的应用在命题结论中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等词语.如（代数问题，抽屉原理）把2110人分成128个小组，每组至少1人，证明：至少有5个小组的人数相同.证明：如若128个小组中，没有5个小组的人数相同.则至多有4个小组的人数相同.那么不同人数的小组是：128÷4=32个，对32个小组，我们这样分组：有4个组每小组1人，有4个组每小组2人，有4个组每小组3人，依法分组……有4个组每小组32人，故有：4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112这样2112-2110=2（人），多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就减少1人或2人，那么相同人数的组数就比4个多了，即5个或多于5个以上. 故至少有5个小组的人数相同.（四）在不等量命题中的应用不等式是学生需掌握的一大重点.当不等式的反面情况比较少时，题中若要求证明不等式成立时，那么只需用反证法来证实其反面不成立.（五）在互逆命题中的应用已知原命题是正确命题，在求证其逆命题时可使用原命题结论，此时反证法为解题提供更多便捷.如（平面几何问题）原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆.逆命题的证明：三、对反证法运用的思考（一）在解题时，仔细审题是第一步.当运用反证法时，正确否定命题的结论是首要问题.要使一个待证命题的结论成立，需根据正难则反的原则.从结论的反面来间接思考问题，值得注意的是命题结论的反面情况并非唯一.若结论的反设只有一种情况，称之为简单归谬.例如，证明根号2是无理数，只需证根号2不是有理数.若结论的反面不止一种情况，称之为穷举归谬.必须将所有可能情况全部例举出来，并需要不重不漏地一一否定，只有这样才能肯定原命题结论成立.例如，证明某类数不为正数，则可以从正数的反面负数与零入手.（二）明确逻辑推理的特点反证法的任务首先需否定结论导出矛盾.至于出现什么样的矛盾，何时出现矛盾，矛盾是以何种方式存在，都是我们无法计算和预测的.证明的过程没有一个机械的统一标准，但最终都会得到矛盾，而这个矛盾一般总是在命题的相关领域内进行考虑.例如，空间解析几何，平面几何，代数等问题常常与相关的公理、定理、定义等相联系.正因为与这些公式的规则，定理相互矛盾，进而说明原结论的正确性.这便是反证法的推理特点.做到正确否定命题结论，严格遵守推理规则，推理过程中步步有理有据，矛盾出现时，证明就已完成.（三）了解产生矛盾的种类矛盾的出现有很多种，知道导致矛盾的种类，可以更迅速，更有效的解题.1.与已知相矛盾;2.与定理相矛盾;3.与定义相矛盾;4.与公理相矛盾;5.与生活常识相矛盾。
浅析反证法在解题中的运用
浅析反证法在解题中的运用反证法是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。
它是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。
反证法的基本思想:通过证明命题的否定是假命题,从而说明原命题是真命题。
基本步骤是:第一步:审题,弄清命题的前提和结论;第二步:否定原命题,由假设条件及原命题构成推理的基础;第三步:由假设出发,根据公理、定义、定理、公式及命题的条件,正确逻辑推理,导出逻辑矛盾。
因此,在以下例题中展现出反证法在解题中的运用。
一、在证明几何题类中的运用例子1:“在ΔABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角。
”显然命题的结论是正确的,但直接证明是较困难的,而用反证法就容易证明之。
请一同学证明。
(注意:因∠B不是锐角有两种情况,即∠B为直角或钝角,必须对两种可能均加以否定,才能证明∠B一定是锐角。
)由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时,必须将结论所有反面的情况逐一驳证,才能肯定原命题的结论正确。
例子2:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知:在⊙0中,弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径。
求证:弦AB、CD不被P平分。
证明:假设弦AB、CD被P平分,连结OP,由平面几何知识可推出:OP⊥AB且OP⊥CD又推出:在平面内过一点P有两条直线AB和CD同时与OP垂直,这与垂线性质矛盾,则原命题成立。
例子3:已知:如图,⊙O的两弦AB、CD相交于圆内一点,且AB、CD都不是⊙O的直径。
求证:AB与CD不能互相平分。
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浅谈反证法在解题中的应用作者：童其林来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第02期反证法是一种间接证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.简单地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式、含有“至多”、“至少”等不确定词或“存在性”、“唯一性”问题通常用反证法证明.下面我们举例说明.1证明否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.例1（2013年北京卷（文））直线y=kx+m（m≠0）与椭圆W：x24+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点.（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长.（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形.解（1）|AC|=23.（2）假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由x2+4y2=4，y=kx+m，消y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x22=-4km1+4k2，y1+y22=k·x1+x22+m=m1+4k2，所以AC的中点为M-4km1+4k2，m1+4k2.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为-14k.因为k·-14k≠-1，所以AC与OB不垂直.所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.点评假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的，利用反证法证明时，一定要回到结论上去.例2求证：.抛物线上任意四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明如图，设抛物线方程为y2=ax（a>0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）是抛物线上不同的四点，则有kAB=ay2+y1，kBC=ay3+y2，kCD=ay3+y4，kDA=ay1+y4.假设ABCD是平行四边形，则kAB=kCD，kBC=kDA，从而得y1=y3，y2=y4，进而得x1=x3，x2=x4，于是A、C重合，B、D重合，这与A，B，C，D是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.故ABCD不可能是平行四边形.点评也可假设我们常设的抛物线方程y2=2px（p>0），或其它形式的抛物线方程.2证明限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.例3若x、y都是正实数，且x+y>2，求证：1+xy证明假设1+xy0且y>0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加得，2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2.这与已知x+y>2相矛盾，因此1+xy点评注意反证法的格式，正确推理论证，同时注意易错点.3证明“正难则反”的命题这类命题仅从已知条件出发，能推出什么所知甚少，往往感到无从入手，如果用反证法，添加新的假设（结论的反面），就可以得到较多的条件，从而使命题的证明简洁明了.例4设函数f（x）的定义域是[0，1]，f（0）=f（1），且对任意的x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，均有f（x2）-f（x1）分析若用直接法，需分类讨论，于是可考虑使用反证法.证明（反证法）假设x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，使得f（x2）-f（x1）≥1.不妨设x1>x2，则1≤f（x2）-f（x1）=|[f（x2）-f（0）]+[f（0）-f（x1）]|≤f（x2）-f（0）+f（0）-f（x1）所以0这与假设矛盾，故原命题成立.点评当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法.本题结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就达到证明目的，本题运用了f（x2）-f（x1）=|[f（x2）-f（0）]+[f（0）-f（x1）]|≤f（x2）-f（0）+f（0）-f（x1）.例5（2010年湖北卷（文））设函数f（x）=13x3-a2x2+bx+c，其中a>0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1.（Ⅰ）确定b、c的值；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），证明：当x1≠x2时，f′（x1）≠f′（x2）；（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围.解（Ⅰ）b=0，c=1.（Ⅱ）f（x）=13x3-a2x2+bx+c，f′（x）=x2-ax.由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f （t）=f′（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f′（t）（-t），化简得23t3-a2t2+1=0，即t满足的方程为23t3-a2t2+1=0.下面用反证法证明.假设f′（x1）=f′（x2），由于曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），则下列等式成立：23x31-a2x21+1=0，23x32-a2x22+1=0，x21-ax1=x22-ax2.由x21-ax1=x22-ax2，得x1+x2=a，化简方程组得x21+x1x2+x22=34a2①又x21+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2=a2-x1（a-x1）=（x1-a2）2+34a2≥34a2，故由①可得x1=x2=a2，这与x1≠x2相矛盾，所以f′（x1）≠f′（x2）.（Ⅲ）略.4证明存在性命题此类命题中，结论常常是开放的，需要考生自己探究并证明.注意“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”.例6（2011年陕西卷（理））设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=1x，g（x）=f（x）+f′（x）.（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（1x）的大小关系；（3）是否存在x0>0，使得|g（x）-g（x0）|0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.分析（1）先求出原函数f（x），再求得g（x），然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论.解（1）（0，1）是函数g（x）的减区间，（1，+∞）是函数g（x）的增区间，g（x）的最小值是g（1）=1.（2）当0g（1x），当x>1时，g（x）（3）满足条件的x0不存在.证明如下：证法一：假设存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立，由（1）知f（x）=lnx，g（x）=lnx+1x，即对任意x>0，有lnx但对上述x0，取x1=eg（x0）时，有lnx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.证法二：假设存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.又知，g（x）的最小值为g（1）=1.又g（x）=lnx+1x>lnx，而x>1时，lnx的值域为（0，+∞），所以x≥1时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1>1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）-g（x0）≥1，故|g（x1）-g（x0）|≥1>1x1，与假设矛盾.所以不存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.点评归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从假设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.例7对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解析不存在满足条件的k值.证明（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B （x2，y2）则ka=-1，（1）y1+y2=k（x1+k2）+2，（2）y1+y22=ax1+x22，（3）由y=kx+1，y2=3x2-1（3-k2）x2-2kx-2=0（4）由（2）、（3）有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2.（5）由（4）知x1+x2=2k3-k2，代入（5）整理得：ak=-3与（1）矛盾.故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称.5证明唯一性命题此类问题中结论的反面不是唯一的，至少有两个不同者，由此推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一.例8试证明：在平面上所有通过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x，y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条.解析先证存在性.因为直线y=0显然通过点（2，0），且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过（0，0）和（1，0）.这说明满足条件的直线有一条.再证唯一性.假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k≠0或b≠0）通过点（2，0），且该直线通过有理点A（x1，y1）与B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数.因为直线y=kx+b通过点（2，0），所以b=-2k，于是y=k（x-2），且k≠0.又直线通过A （x1，y1）与B（x2，y2）两点，所以y1=k（x1-2）①，y=k（x-2）②①-②，得y1-y2=k（x1-x2）③因为A，B是两个不同的点，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，由③，得k=y1-y2x1-x2，则k是不等于零的有理数.由①，得2=x1-y1k.此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾.所以，平面上通过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条.综上所述，满足题设条件的直线有一条且只有一条.点评唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法.“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”.例9已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），有下列性质：“若x∈a，b，则存在x0∈a，b使得f（b）-f（a）b-a=f′（x0）”成立.（1）利用这个性质证明x0唯一；（2）设A，B，C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图像上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形.证明（1）假设存在x0′，x0∈（a，b），且x0′≠x0，使得f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0），①f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0′）.②①-②得，（b-a）f′（x0）=（b-a）f′（x′0）.因为b>a，b-a≠0，所以f′（x0）=f′（x0′）.因为f′（x）=ex1+ex-1=-11+ex，记g（x）=f′（x）=-11+ex，所以g′（x）=ex1+ex>0，f′（x）是[a，b]上的单调增函数，所以x0=x0′，这与x0≠x0′矛盾，即x0是唯一的.（2）略.牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一.”作为武器，在数学教材中，都有反证法的渗透，特别是在推理与证明的内容里也有较多反证法的例题和习题，所以高考中出些有关反证法的问题，是容易理解的，也是非常有必要的.作者简介童其林，男，1963年10月生，中学高级教师，福建省特级教师，龙岩市杰出人民教师，曾有200余篇文章发表，主要从事教学管理研究与数学教学研究.。