九年级数学平行线分线段成比例练习题及答案
人教版 初三数学 竞赛专题：平行线分线段成比例(包含答案)
人教版 初三数学 竞赛专题：平行线分线段成比例（含答案）【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ． 求证：PQ •PT ＝P R •PS ．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．QARBCD SPABCDEGH MQA BCDEFP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P g g g 图3QA BCDEFGM NPA B CD E FP图2A BCD E F P图1能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． 2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿． 4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FGABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF．12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．186．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB DEFM第6题ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题ABCDEF M NP点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- 7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．168．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．19．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+．10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题11．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我们可以证明：11AB CD+＝1EF成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB∥CD∥EF，那么，（1）11AB CD+＝1EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC的关系式，并给出证明．12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+＝AD；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）参考答案AQB CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
北师大版数学九年级上册第四章第二节4.2 平行线分线段成比例 同步练习(含答案)
第四章 图形的相似2 平行线分线段成比例 同步练习一、选择题1. 如图，已知a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F .若AB BC ＝12，则DEDF的值是( )A. 13B. 12C. 23D. 1第1题 第2题2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AEEC的值是( )A. 13B. 25C. 23D. 35 3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，以下结论正确的是( )A. AE ∶AC ＝AD ∶BDB. AE ∶AC ＝BD ∶ABC. AE ∶CE ＝AD ∶BDD. AC ∶CE ＝AD ∶BD第3题 第4题4. 如图，在▱ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于点G ，AF ＝2cm ，DF ＝4cm ，AG ＝3cm ，则AC 的长为( )A. 9cmB. 14cmC. 15cmD. 18cm5. 如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AB BC ＝ ，DF DE ＝ ；若AB ＝2，AC ＝6，则DEEF＝ .第5题 第6题6. 如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值是 .7. 如图，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，则(1)CEAE ＝ ；(2)若BD ＝10cm ，则AD ＝ cm ；(3)若△ADE 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为 cm.第7题 第8题8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝3cm ，则EF ＝ .9. 如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为 .10. 如图，在▱ABCD 中，AE 交BD 于G ，交DC 于F ，交BC 的延长线于E ，求证：AG 2＝GF ·GE .11. 如图，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，DE 的延长线交BC 的延长线于F .求证：BFCF＝AEEC.12. 如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于F和E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB.13. 如图，已知D是△ABC的边BC上的点，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，求BE∶EF的值.14. 如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，E 为边AC 上任意一点，BE 交AD 于O ，某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：(1)当AE AC ＝12＝11＋1时，有AO AD ＝23＝22＋1； (2)当AE AC ＝13＝11＋2时，有AO AD ＝24＝22＋2； (3)当AE AC ＝14＝11＋3时，有AO AD ＝25＝22＋3； 当AE AC ＝11＋n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AO AD的一般结论，并给出证明(其中n 是正整数).1. A2. C3. C4. C5. EF DE AB AC 216. 537. (1)25(2)4 (3)24 8. 3cm 9. 5610. 证明：由AD ∥BE ，得GE AG ＝GB DG ，由DC ∥AB ，得AG GF ＝GB DG ，故GE AG ＝AG GF，即AG 2＝GF ·GE .11. 证明：过点C 作CG ∥DF ，交AB 于G .由CG ∥DF ，得CF BF ＝GD BD ，EC AE ＝GD AD ，又∵D 是AB 中点，故AD ＝BD ，得CFBF＝GD BD ＝GD AD ＝EC AE ，即CF BF ＝EC AE .12. 证明： 如图，过B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于N ，∴FB AF ＝EN AE ，DN ED ＝BD CD ，∵BD ＝CD ，∴ED ＝DN ＝21EN ，∴FB AF＝2ED AE，∴AE ∶ED ＝2AF ∶FB .13. 解：过点D 作DG ∥CA 交BF 于G ，则GF BG ＝DC BD ＝35.∵E 为AD 的中点，DG ∥AF ，∴AE ＝ED ，∠DGE ＝∠AFE ，∠GDE ＝∠F AE .∴△DGE ≌△AFE ，∴EG ＝EF .∴EF BG ＝GF 1＝GF 2BG ＝2×35＝310.EF BE ＝EF BG ＋EF ＝310＋3＝313.14. 解：猜想：当AC AE ＝1＋n 1时，有AD AO ＝2＋n 2成立.证明：过点D 作DF ∥BE 交AC 于F ，∵D 是BC 的中点，∴F 是EC 的中点，由AC AE ＝1＋n 1，可知EC AE ＝n 1，∴EF AE ＝n 2，AF AE ＝2＋n 2.∵DF ∥OE ，∴AD AO ＝AF AE ＝2＋n 2.。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF． （宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
九年级上册4.2《平行线分线段成比例》当堂检测及课后作业(后附答案)
九年级上册4．2 平行线分线段成比例一、学习目标1. 掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.2. 进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.二、当堂检测A 组：1．如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，AD ＝6，则BD 的长为( )A ．18B ．12C ．9D ．32. 如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F.若AB BC ＝23，DE ＝4，则DF 的长是________．1题图 2题图 3题图3. 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：AF ＝3：5，BC ＝6，求CE 的长.B 组：4.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶FB ＝( )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．5∶35. 在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为___________.三、课后作业A 组：1. 如图，已知l 1//l 2//l 3,（1）在图（1）中AB = 5, BC = 7 ，EF=4，则DE 的长为 （2）在图（2）中DE = 6, EF = 7 ，AB=5，则AC 的长为2. 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,若32 BD AD ,则ACAE =___________. 3.如图,已知AB ∥CD ,AD 与BC 相交于点O.若BO ∶OC=2∶3, AD=10,则AO= .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 上的点，且 DE ∥BC,（1）如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC 的长是多少？（2）如果AB = 5cm, AD=3cm ，AC = 4cm ，那么EC 的长是多少？5．如图，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC.求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB.B 组：6.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝4cm ，则线段BC ＝ cm .7. 如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC.(1)求证：AF ∶FD ＝AD ∶DB ；(2)若AB ＝15，AD ∶BD ＝2∶1，求DF 的长．C 组：8.(1)如图1,AD 是△ABC 的中线．若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于点F ，则AF BF 的值为 ； (2)如图1,AD 是△ABC 的中线．若E 为AD 上的一点，且AE ED ＝1k ，射线CE 交AB 于点F ，则AF BF的值为 ． (3)如图2，CD ＝3BD ，AF ＝FD ，则AE ∶AC ＝ ．图1 图24．2 平行线分线段成比例二、当堂检测A 组：1．B 2. 10 3. 4 B 组：4.D5.6或12三、课后作业A 组：1. （1） （2）2.523. 44. （1）3.3cm （2）1.6cm 5．略 B 组：6.12cm.7. (1)略 (2) C 组：8.（1）21（2）k 21（3）51。
（完整版）平行线分线段成比例经典例题与变式练习（含标准答案..
1 / 14平行线分线段成比例知识梳理1. 1. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD E EDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.FEDCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111ABCDEF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论F EDCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2007年北师大附中期末试卷）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EFAFFC FD + 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDCBA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； E AO（2）当11A 34AE C=、时，求AO AD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
九年级数学竞赛培优专题及答案 14 平行线分线段成比例(含答案)
专题14平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF 交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1 B．4︰2︰1 C．5︰4︰3 D．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ． 求证：PQ •PT ＝P R •PS ．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ •PT ＝P R •PS ，需证PQPS＝PR PT ，由于PQ ，PT ，P R ，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB ＝PE ＋PF ，即要证明PE AB ＋PF AB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．图2图1（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且AMAB＝13，ANAC＝13，点P1，P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．能力训练A级1．设K＝a b cc+-＝a b cb-+＝a b ca-++，则K＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．第2题第3题第4题第5题图1 图2 图33．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ；第9题 第10题 第11题第6题 第7题第8题（2）求OEAD＋OEBC的值；（3）求证：1AD＋1BC＝2EF．（宿迁市中考试题）12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N．求证：∠AFN＝∠DME．（全国初中数学联赛试题）B级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）第7题 第8题 第9题第5题 第6题第2题 第3题第1题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD+＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）12．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，过D 点的直线PQ 交边AC 于点P ，交边AB 的延长线于点Q ．（1）如图1，当PQ ⊥AC 时，求证：11AQ AP +； 第11题第10题（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）专题14 平行线分线段成比例例1aba b+提示：由AP DQ aPF QF b==,推得PQ∥AD。
九年级数学下册《第二十七章-平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，在ABCD 中AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在CD 上取一点F ，使CBF ∽ABE △，则DF 的长是（ ）A ．8.2 B．6.4 C ．5 D ．1.82．如图，在ABC 中DE ∥BC ，57AD AB 记ADE 的面积为s 1，四边形DBCE 的面积为s 2，则12s s 的值是（ ）A ．57B ．2549C ．2425D ．25243．如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OD =2OA ，△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．904．如图，在ABC 中D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且∥DE BC ，连接CD ，过点E 作EF CD ∥，交AB 于点F ，则下列比例式不成立的是（ ）A ．AF AD AD AB = B ．EF DE CD BC = C ．AF AD FD BD = D ．AF EF FD BC= 5．如图，直线123l l l ∥∥，直线a ，b 与1l ，2l 和3l 分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若:2:3AB BC =和10DF = 则DE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 并延长交AC 于点F ，则AF ：FC ＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：57．如图，两条直线被第三条平行所截，则DE 的长为（ ）A ．4.2B ．3.2C ．4D ．3.68．如图，四边形ABCD 中P 为对角线BD 上一点，过点P 作//PE AB ，交AD 于点E ，过点P 作//PF CD 交BC 于点F ，则下列所给的结论中不一定正确的是（ ）．A ．PE PF AB CD = B ．AE BF DE CF =C ．1CF AE BC AD += D ．1PE PF AB CD+= 9．如图，在菱形ABCD 中点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2CF ，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则S 四边形EHFG ÷S 菱形ABCD 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．29二、填空题10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：AF =3：5，BC =6，则CE 的长为______．11．已知ABC ∽A B C '''，分别为ABC 与A B C '''的中线，下列结论中：①:4:3AD A D ''=；②ABD △∽A B D '''△；③ABD △∽A B C '''；④ABC 与A B C ''''对应边上的高之比为4:3．其中结论正确的序号是______．12．如图，△ABC中DE∥BC，G为BC上一点，连结AG交DE于点F，若AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝________．13．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．三、解答题14．如图在△ABC中D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．(1)求∠ADC度数；(2)如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．15．如图，在△ABC中点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．(1)求证：△BDF ∽△FEC ．(2)设12AE EC =． ①若BC ＝15，求线段BF 的长；②若△FEC 的面积是16，求△ABC 的面积．16．(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC 中90ACB ∠=︒，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为______；(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC 中将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； (3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC 中将ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B '处，折痕为CM ．求线段AC 的长； 参考答案与解析1．A【分析】E 是AD 的中点可求得AE ，根据三角形相似的性质可得CF BC AE BA=，可得CF 的长即可求解． 【详解】解：∵E 是AD 的中点，6AD =∴132AE AD == 又∵CBF ∽ABE △CF BC AE BA ∴=，即6310CF =解得 1.8CF =10 1.88.2DF DC CF ∴=-=-=故选：A ．【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．2．D【分析】根据ADE ABC ∆∆∽，通过相似三角形的面积等于相似比的平方，求出ABC ∆与ADE ∆的面积比，再根据21ABC S S S =-得到12s s 的值． 【详解】解：∵DE ∥BC∴ADE ABC ∆∆∽ ∴22549ADE ABC AD A S S B ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴14925ABC S S ∆= ∵21ABC S S S =- ∴212425S S = ∴122524S S =故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积等于相似比的平方．3．A【分析】利用位似的性质得△ABC ∽△DEF ，OD =2OA ，然后根据相似三角形的性质解决问题【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．∴△ABC ∽△DEF ，OD =2OA∴△ABC 与△DEF 的周长比是：1：2．∴△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是20故选：A ．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．4．D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可求解．∴成立的是ABC ，不成立的是D故选：D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．5．C【分析】根据平行线分线段定理得到::AB BC DE EF =，设2DE x =，根据10DF =，列方程求解即可．【详解】解：∵123l l l ∥∥∴::2:3AB BC DE EF ==设2DE x =，则3EF x =∵10DF =∴2310x x +=，解得2x =∴4DE =故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段定理，熟练掌握平行线分线段定理是解答本题的关键．6．A【分析】作DH ∥AC 交BF 于H ，如图，先证明△EDH ≌△EAF 得到DH ＝AF ，然后判断DH 为△BCF 的中位线，从而得到CF ＝2DH ．【详解】解：作DH ∥AC 交BF 于H ，如图∵DH ∥AF∴∠EDH ＝∠EAF ，∠EHD ＝∠EFA∵DE ＝AE∴△EDH ≌△EAF （AAS ）∴DH ＝AF∵点D 为BC 的中点，DH ∥CF∴DH 为△BCF 的中位线∴CF ＝2DH ＝2AF∴AF ：FC ＝1：2故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．7．D 【分析】根据平行线分线段成比例得到AB DE AC DF =，将数据代入即可求出答案． 【详解】解：////AD BE CF ∴AB DE AC DF= 4AB =，6BC =和9DF =∴4610AC AB BC =+=+= ∴4109DE = ∴ 3.6DE =．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．8．A【分析】根据//PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，即可判断A ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP ED PD = BF BP FC PD =可判断B ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP AD BD =，FC PD BC BD= 可判断C ，由 //PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，可判定D ．【详解】解：A ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB = ∵DPBPDB DB ≠ ∴PEPFAB CD ≠故选项A 不正确；B ．∵//PE AB //PF CD ∴AEBP ED PD = BFBPFC PD = ∴AE BFDE CF =故选项B 正确；C ．∵//PE AB //PF CD ∴AE BP AD BD = FCPDBC BD = ∴1AEFCBPPDAD BC BD BD +=+=故选项C 正确1CFAEBC AD +=D ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB =∴ 1EP PF DP PB DP PB AB CD DB BD BD ++=+==故选项D 正确．故选择A ．【点睛】本题考查平行线截线段比例，和三角形相似判定与性质，掌握平行线截线段长比例，和三角形相似判定与性质是解题关键．9．A【分析】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【详解】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ∴12AE BC = 12CF DF = ∵G 、H 分别是AC 的三等分点 ∴12AG GC =12CH AH = ∴AE AG BE GC = ∴EG ∥BC ∴13EG AE BC AB == 同理可得HF ∥AD ，13HF AD = ∴111339EHFGABCD S S =⨯=四边形菱形故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．10．4【分析】由AB CD EF ∥∥，推出AD BC AF BE =，推出365BE=，可得结论． 【详解】∵AB CD EF ∥∥ ∴AD BC AF BE = ∴365BE = ∴BE =10∴CE =BE -BD =10-6=4故答案为：4．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．11．①②④【分析】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵ABC ∽A B C '''，AD 、A D ''分别为ABC 与A B C '''的中线 ∴4''''3AB AD A B A D ==，故①正确； ∵'B B ∠=∠ 121''''''''2BC BD BC AB B D B C A B B C === ∴ABD △∽A B D '''△，故②正确；∴ABC 与A B C '''对应边上的高之比为4:3，故④正确；而ABD △与A B C '''不相似，故③错误；∴正确的结论有：①②④；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比.12．7.5【分析】由DE ∥BC ，得AF AE AG AC=，代入已知量即可求得答案． 【详解】解：∵DE ∥BC ∴AF AE AG AC = ∵AE ＝AC －EC ＝AC －5，AF ＝2，AG ＝6 ∴256AC AC -= 解得AC ＝7.5故答案为：7.5【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例列出比例式是解题的关键． 13．7.5【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线AB ∥CD ∥EF ，AC ＝2，CE ＝5，BD ＝3∴AC BDCE DF=，即235DF=，解得DF＝7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．14．(1)∠ADC＝90°(2)CD＝【分析】（1））由相似三角形的性质及邻补角可进行求解；（2）先证明△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可得ACAB＝ADAC，然后代入数值问题可求解．（1）解：∵△CBD∽△ACD ∴∠CDB＝∠ADC∵∠CDB+∠ADC＝180°∴∠ADC＝90°；（2）如图∵△CBD∽△ACD∴∠ACD＝∠B∵∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴ACAB＝ADAC，即ACAD BD+＝ADAC∴46AD+＝4AD∴AD＝2（负根已经舍弃）∴CD【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．(1)证明见详解(2)①BF＝5；②S△ABC＝16×94＝36【分析】（1）由平行线的性质得出∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出12BF AEFC EC==，即可得出结果；②先求出2,3ECAC=易证△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．（1）证明：∵DF∥AC∴∠BFD＝∠C∵EF∥AB∴∠B＝∠EFC∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC ∴△BDF∽△FEC；（2）解：①∵EF∥AB∴12 BF AEFC EC==∴12 BFBC BF=-∵BC＝15∴1 152 BFBF=-∴BF＝5；②∵12 AE EC=∴2EC AE=∴2223 EC EC AEAC AE EC AE AE===++∵EF∥AB∴∠CEF＝∠B∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B∴△EFC∽△ABC∴249 EFCABCS ECS AC∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭∵S△EFC＝16∴S△ABC＝94×16＝36．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．(1)AM＝BM(2)16 9(3)152 AC=【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可；（3）证明△BCM∽△BAC，推出BC BM CMAB BC AC==，由此即可解决问题．（1）解：如图①中∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN ∴MN垂直平分线段BC∴CN＝BN∵∠MNB＝∠ACB＝90°∴MN∥AC∵CN＝BN∴AM＝BM．故答案为AM＝BM．（2）如图②中∵CA＝CB＝6∴∠A＝∠B由题意MN垂直平分线段BC ∴BM＝CM∴∠B＝∠MCB∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM BA BC=∴6106BM=∴185 BM=∴18321055 AM AB BM=-=-=∴321651895AMBM==．（3）如图③中由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM ∵∠ACB＝2∠A∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM CM AB BC AC ==∴696BM =∴BM＝4∴AM＝CM＝5∴65 9AC =∴152 AC=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
九年级数学上册第23章图形的相似23.1成比例线段23.1.2平行线分线段成比例同步练习华东师大版
23.1.2 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图23－1－3，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，根据平行线分线段成比例，可得AB BC ＝()() ，若AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，可得()()＝()()，解得EF ＝________．图23－1－32．如图23－1－4，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，则FB 的长为( )A.32B.83C ．5D ．6图23－1－43．如图23－1－5，若AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝BC ，则DE 与EF ________(填“相等”或“不相等”)．图23－1－54．如图23－1－6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上一点，EF ∥BC 交CD 于点F .若AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，则FC ＝________．图23－1－65．如图23－1－7，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果AB ＝6，BC ＝10，那么DEDF的值是________．图23－1－76．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a ∥b ∥c .(1)若AC ＝6 cm ，EC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？ (2)若AE ∶EC ＝5∶2，DB ＝5 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？图23－1－8知识点 2 平行线分线段成比例的推论7．［2016·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC 中，因为DE ∥BC ，所以AD BD ＝（ ）（ ）.若AD BD ＝23，则AD BD ＝（ ）（ ）＝________．图23－1－98．如图23－1－10，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，直线DF 与l 1，l 2，l 3分别交于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( )A. 12 B ．2 C. 25 D. 35图23－1－109．如图23－1－11，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，则下列比例式不正确的是( )A.ABAD＝ACAEB.ABAC＝ADAEC.ADBD＝AEECD.ABDE＝ACEC图23－1－1110．如图23－1－12，若AB∥DC，AC，BD相交于点E，且AE＝2，EC＝3，BD＝10，则ED ＝________．图23－1－1211．如图23－1－13，在△ABC中，DE∥BC，且DB＝AE.若AB＝5，AC＝10，求AE的长．图23－1－1312．如图23－1－14，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，那么BC的长为________．图23－1－1413．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________cm.图23－1－1514. 如图23－1－16，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F，则CFAF＝__________．15．如图23－1－17，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，求CF的长．图23－1－1716．如图23－1－18，BE平分∠ABC，DE∥BC交AB于点D，AC＝8，AB＝9，CE＝4，求DE的长．图23－1－1817．对于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AODO＝BOCO.请你利用该结论解答下列问题：如图②，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图23－1－19教师详答1．DE EF 5 10 4 EF 8 2．B [解析] ∵AB ∥EF ∥DC ，∴DE DA ＝CF CB .∵DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，∴35＝4CB ，∴CB ＝203，∴FB ＝CB －CF ＝203－4＝83.故选B.3．相等 [解析] 因为AD ∥BE ∥CF ，所以AB BC ＝DEEF.因为AB ＝BC ，所以DE ＝EF . 4. 214 [解析] 因为AD ∥EF ∥BC ，所以AE EB ＝DF FC .因为AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，所以26＝7－FC FC ，所以FC ＝214. 5 . 38 [解析] ∵AD ∥BE ∥FC ，∴AB BC ＝DE EF.又∵AB ＝6，BC ＝10，∴DE EF ＝35，∴DE DF ＝38.6．解：(1)∵a ∥b ∥c ，∴BD DF ＝ACEC，即8DF ＝64，解得DF ＝163(cm)． 故线段DF 的长度是163 cm.(2)∵a ∥b ∥c ，∴BF DF ＝AE EC ＝52，即5＋DF DF ＝52，解得DF ＝103(cm)． 故线段DF 的长度是103 cm.7．AE EC AE EC 238．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35.故选D.9．D 10.611．解：∵DE ∥BC ，∴AB DB ＝ACEC，∴5AE ＝1010－AE ，∴AE ＝103. 12． [解析] ∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC BE ＝AD AF ，即BC 10＝35，解得BC ＝6.13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE BD 于点D .∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．14． 2 [解析] 如图，过点D 作∥，交于点G ， 则AF FG ＝AE ED ，FG GC ＝BDDC.又∵E 为AD 的中点，AD 为△ABC 的中线， ∴AE ＝ED ，BD ＝DC ， ∴AF FG ＝AE ED ＝1，FG GC ＝BD DC＝1， ∴AF ＝FG ，FG ＝GC ， ∴CF ＝2AF ，∴CF AF＝2. 15．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝46＝23. ∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF BC ＝23，∴CF 8＝23，∴CF ＝163. 16．解：∵DE ∥BC ， ∴AB DB ＝AC CE， ∴9DB ＝84，∴DB ＝92. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∵DE ∥BC ，∴∠CBE ＝∠DEB ， ∴∠ABE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB ＝92.17．解：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E, 则 BD DC ＝ADDE.又∵BD ＝2DC ，AD ＝2, ∴DE ＝1. ∵CE ∥AB ，∴∠AEC ＝∠BAD ＝75°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ACE＝75°，∴AC＝AE＝AD＋DE＝3.。
北师大版九年级上册数学 第四章 成比例线段、平行线段成比例(解析版)
第四章成比例线段、平行线段成比例一、单选题1．下列各组线段的长度成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【解析】【分析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可．【详解】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故选D．【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题．2．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（）A ．AP ：BP=AB ：AP B ．AP AB =C ．12BP AB =D ．0.618AP AB ≈【答案】C【解析】【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可．【详解】由题意得：∴ AP ：BP=AB ：AP ，故A 正确；12AP AB =，故B 正确；AP AB =∴32BP AB AP AB =-=，故C 错误；2.236≈，∴0.618AP AB AB =≈，故D 正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键．3．如图，//DE BC，下列各式不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．AD AEBD CE=C．AD AEAC AB=D．AD ABAE AC=【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．【详解】∵//DE BC,∵AD AEBD CE=，AD AEAB AC=，即AD ABAE AC=，，∵选项A、B、D均正确，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序．4．如图，l1∵l2∵l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若23=ABBC，DE＝4.2，则DF的长是（）A．38B．6C．6.3D．10.5【答案】D 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出DE ABEF BC=，再把已知条件代入求解即可．【详解】解：∵l1∵l2∵l3，23=ABBC，DE＝4.2，∵DE ABEF BC=，即4.223EF=，解得：EF＝6.3，∵DF＝DE+EF＝10.5．故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．5．已知在ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F．则下列说法不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．DE AEBC AC=C．BF ADBC AB=D．AD BFAB FC=【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵DE∵BC，EF∵AB，∵AD AE DEAB AC BC==，A、B选项正确；∵四边形BDEF是平行四边形，∵DE=BF，∵AD DE BFAB BC BC==，故C选项正确，D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．6．如果a=2，b=4，c=8，那么（）A．a、b、c的第四比例项是7B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项D．b是ac的比例中项【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例进行判断即可．【详解】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为28 416 =∵B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为624 832 =，C选项c不是ab的比例中项，因为2ab c≠，D选项b是ac的比例中项，因为2ac b=故选：D【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答．7．点P是线段AB的黄金分割点，且AP PB>，下列命题：()()()()2221AB AP PB2AP PB AB3BP AP AB4AP:AB PB:AP=⋅=⋅=⋅=，中正确的有（∵A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值51-叫做黄金比．【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP∵PB∵∵根据线段黄金分割的定义得：AP2∵PB•AB∵AP∵AB∵PB∵AP∵∵只有∵∵正确．故选B∵【点睛】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．8．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有()∵ED DFEA AB=∵∵DE EFBC FB=∵ ∵BC BFDE BE=∵∵BF BCBE AE=.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∵AB∵AD∵BC∵CD=AB∵AD=BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ,AD ∵BC ∵CD =AB ∵AD =BC ∵ ∵ED DF EA AB=，故∵正确； ∵DE EF AD FB =,即DE EF BC FB=，故∵正确； ∵BC BF DE EF =，故∵错误； ∵BF AD BE AE =,即BF BC BE AE=，故∵正确. 故选:C.【点睛】考查平行线分线段成比例, 平行四边形的性质，比较基础，难度不大.9．如图，∵ABC 中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE=EF=FC ．则BN:NQ:QM 等于（ ）A ．6:3:2B ．2:1:1C ．5:3:2D ．1:1:1【答案】C【解析】【分析】 连结MF ，如图，先证明MF 为∵CEA 的中位线，则AE=2MF∵AE∵MF ，利用NE∵MF 得到 1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==，即BN=NM∵MF=2NF ，设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b ，所以AN=3b ，然后利用AN∵MF 得到 3322NQ AN b QM MF b ===，所以NQ=35a∵QM=25a ，再计算BN∵NQ∵QM 的值． 【详解】连结MF ，如图，∵M 是AC 的中点，EF=FC∵∵MF 为∵CEA 的中位线，∵AE=2MF∵AE∵MF∵∵NE∵MF∵ ∵1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==∵ ∵BN=NM∵MF=2NF∵设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b∵∵AN=3b∵∵AN∵MF∵ ∵3322NQ AN b QM MF b ===∵ ∵NQ=35a∵QM=25a∵∵BN∵NQ∵QM=a∵35a∵25a=5∵3∵2∵故选C∵【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．10．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD 的面积为8，则DOE的面积是()A．2B．32C．1D．94【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作∵OED和∵AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．【详解】解：如图，过A、E两点分别作AN∵BD、EM∵BD，垂足分别为M、N，则EM∵AN，∵EM：AN＝BE：AB，∵E为AB中点，∵BE=12 AB，∵EM＝12 AN，∵平行四边形ABCD的面积为8，∵2×12×AN×BD＝8，∵AN×BD＝8∵S∵OED＝12×OD×EM＝12×12BD×12AN＝18AN×BD＝1．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：∵面积比是边长比的平方比；∵分别找到底和高的比．二、填空题11．相距125千米的两地在地图上的距离为25cm，则该地图的比例尺为_____．【答案】1：500000．【解析】【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求得这幅地图的比例尺．【详解】解：∵125km＝12500000cm，该地图的比例尺＝25：12500000＝1：500000；故答案为：1：500000．【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 12．已知，225x y z ==，则322x y z x-+＝_____． 【答案】74【解析】【分析】 设225xyzk ===，得出x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】 解：设225xyzk ===，则x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，326457244x y z k k k x k -+-+==； 故答案为：74． 【点睛】此题考查了比例性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．13．若点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，，则AC ︰BC=_________．2【解析】【分析】由AB=1，，可得BC 的长，即可求出AC ︰BC 的比值． 【详解】点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，∴32BC -= ∴AC ︰2=．2．【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据题意得到BC 的长，然后进行比值即可．14．如图////AB CD EF ，4=AD ，3BC DF ==，则CE =________.【答案】94【解析】【分析】根据平行线分线段成比例直接列比例式计算即可．【详解】∵////AB CD EF ， ∵CE DF BC AD=， 又4=AD ，3BC DF ==， ∵334CE =， 解得：CE=94， 故答案为：．94【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键熟练掌握这个知识点并注意线段的书写顺序．15．如图，AD 是中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ．若12AF AD =，则AE AC值是______．【答案】13【解析】【分析】过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，利用平行得到的线段成比例，先通过D 是BC 中点，证明CG=GE ，再通过F 是AD 中点，证明AE=EG ，最后得到AE AC的值．解：过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，∵//DG BE ，∵CD CG CB CE=， ∵AD 是中线，∵D 是BC 中点，∵G 是CE 中点，∵//FE DG ，∵12AF AE AD AG ==，∵E 是AG 中点， ∵31AE AC =． 故答案是：13．【点睛】本题考查线段成比例的性质，解题的关键是构造辅助线，然后利用平行得到的线段成比例去求解． 16．如图：AD 是ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE ：1ED =：3，BE 的延长线交AC 于F ，AF ：FC=_______ ．【答案】1:6【解析】作DH∵BF 交AC 于H ，根据三角形中位线定理得到FH=HC ，根据平行线分线段成比例定理得到13AF AE FH ED ==，计算得到答案． 【详解】解：作DH∵BF 交AC 于H ，∵AD 是∵ABC 的中线，∵BD=DC ，∵FH=HC ，∵DH∵BF ， ∵13AF AE FH ED ==， ∵AF ：FC=1：6，故答案为：1：6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．17．如图：//AD BC ，AC ，BD ，EF 相较于点G ，DEG △，AGE ，BFG ，FGC △的面积分别记为a ，b ，c ，d ，若2AE DE =，则24a cb d ----的值为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意∵AGE 和∵DEG 高相等，底是两倍关系所以面积也是两倍关系，即b =2a ，同理d =2c ，将代数式中的b 和d 转换成a 和c 即可解出．【详解】∵AE=2DE ，∵S ∵AGE =2S ∵DEG ，又∵AD∵BC ， ∵1==2BFG DEG FGC AGE S S S S △△△△， ∵b =2a ，d =2c ，()22214224222a c a c a cb d ac a c ------===------． 故答案为12． 【点睛】本题考查相似比的应用，关键在于通过线段比转换成面积比．18．如图，等边∵ABC 的边长为8，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的一点，AE=2，若点M 是线段AD 上的一个动点，则ME+MC 的最小值为____.【答案】【解析】【分析】由等边三角形的性质可知B、C关于AD对称，根据两点之间线段最短可知，连接BE，此时BE就是ME+MC 的最小值.【详解】如下图所示，连接BE，过E作EF∵AD于F，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∵AD∵BC，∵AD是BC的垂直平分线，∵点C关于AD的对应点为点B，∵BE就是EM+CM的最小值.∵等边∵ABC的边长为8，AE=2，∵14 AE= AC∵EF∵AD，AD∵BC，∵EF∵BC，∵14EF AE ==CD AC ∵14FM EM EF EF ====MD BM BD CD 在Rt∵AEF 中，∵EAF=30°，AE=2，∵EF=12AE=1，在Rt∵ABD 中，∵DF=AD -AF=∵14FM =MD∵15FM= 在Rt∵EFM 中，5 又∵14EM =BM∵BE=5EM=55⨯∵EM+CM 的最小值为【点睛】本题考查了最短路径问题，典型的“将军饮马”模型，需要熟记此模型辅助线的做法，找到最短路径后，利用线段比例关系求出BE 是关键.三、解答题19．已知a ：b ：c=3：2：5， 求342a b c a b c-++-的值. 【答案】173【解析】【分析】根据比例式设未知，利用代入法求解.【详解】设a=3k ，则b=2k ，c=5k342a b c a b c -++-=3620625k k k k k k-++-=173 考点：比例的性质20．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM ，DM 的长；（2）求证：AM 2＝AD·DM ；（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？【答案】（11，3（2）证明见解析；（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点【解析】【分析】（1）由勾股定理求PD ，根据AM =AF =PF -P A =PD -P A ，DM =AD -AM 求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：AM DM AD AM=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点． 【详解】解：（1）∵P 为边AB 的中点，∵AP ＝12AB ＝1，∵PD∵PF ＝PD AF ＝PF －AP 1，∵AM ＝AF 1，∵DM ＝AD －AM ＝3（2）证明：∵AM 2＝1)2＝6－AD ·DM ＝2(3＝6－∵AM 2＝AD ·DM ．（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点．理由如下：∵AM 2=AD •DM ，∵AM DM AD AM ==， ∵点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．21．已知三条线段长分别为1cm cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．cm cm∵ 【解析】【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论．【详解】解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，1，2时，21x =2x =；∵若四条线段的长度大小为： 1，x212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，x ，212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，2 ，x 时，12x ⨯=x =cm 或cm ． 【点睛】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．22．如图，在∵ABC 中，DE∵BC ，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点F 在BC 上，DE 交AF 于点G ，AD=2BD ，AE=5，求：（1）AGAF；（2）AC的长．【答案】（1）23；（2）152【解析】【分析】（1）由于DE∵BC，AD=2BD，23ADAB=根据平行线分线段成比例定理可得23AG ADAF AB==；（2）同（1），易求23AEAC=，而AE=5，从而可求AC．【详解】解：（1）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AG AD AF AB==（2）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AE AD AC AB==∵AE=5∵AC=15 2【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．23．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BA BC =，点D 为BC 边上的中点，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，延长BE 交AC 于点F ，求AF FC的值．【答案】2【解析】【分析】过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ．先证明GBC DAB △≌△，得到CG BD =，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：如解图，过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ． ∵90ABC ∠=︒，BA BC =，∵四边形ABCM 为正方形，∵90ABC BCG ∠=∠=︒，∵90ABE GBC ∠+∠=︒，又∵BE AD ⊥，∵90ABE BAD ∠+∠=︒，∵GBC DAB ∠=∠，又∵AB BC =，∵()ASA GBC DAB △≌△，∵CG BD =．又∵//AB MC ， ∵2AF AB AB FC CG BD===．【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．24．如图，已知AD∵BE∵CF ，它们依次交直线l1，l2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，23DE EF =，10AC =．（1）求AB 、BC 的长；（2）如果AD=5，CF=10，求BE 的长．【答案】（1）4，6；（2）7【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出23AB DE BC EF ==，即可求出AB 的长，得出BC 的长； （2）过点A 作AG∵DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=2，即可得出结果．【详解】（1）解：∵AD BE CF ∵23AB DE BC EF ==，∵25AB AC = ∵10AC =，∵4AB =∵1046BC =-=（2）解：过点A 作AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点G又∵AD BE CF ，5AD =，∵5AD HE GF ===∵CF 10=∵1055CG =-=∵BE CF ∥ ∵25BH AB CG AC == ∵2BH =∵257BE =+=【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．25．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∵BC交DC于点F∵32 DFFC=∵∵1）若BD=20，求BG的长∵∵2）求CMCD的值∵【答案】(1)8;(2)1 2【解析】【分析】∵1）由GF∵BC，可证DF DGFC BG=，结合32DFFC=，整理可求出BG的值；∵2∵由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∵CD∵AB=CD∵从而DM DGAB BG=∵整理可求出32DMAB=∵根据比例的性质可求出的CM CD值.【详解】(1) ∵GF∵BC∵∵DF DG FC BG=∵∵BD=20∵32 DFFC=∵∵8BG=∵(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD∵AB=CD∵∵DM DG AB BG=∵∵32 DMAB=∵∵32 DMCD=∵∵12 CMCD=.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.26．如图，在四边形ABCD中，AD∵BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．【答案】见解析.【解析】【分析】依据AD∵BC，即可得出AMNC=AOCO，再根据AD∵BC，即可得到AOOC=ADBC=PDPC=MDNC，进而得到结论．【详解】证明：∵AD∵BC∵∵AMNC=AOCO∵∵AD∵BC∵∵AOOC=ADBC=PDPC=MDNC∵∵AMNC=MDNC∵∵AM=MD∵【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．27．已知：如图，在∵ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∵AB交边AC于点F，EG∵AC 交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．求证：GF = BH．【答案】见解析【解析】【分析】由于EF ∵AB ，根据平行线分线段成比例，可得到2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-==，从而推出HF BE AB BC =，再由EG ∵AC 根据平行线分线段成比例，得到BE BG BC AB=，即可推出HF = BG ，最后根据一组对边平行且相等判定四边形BGFH 是平行四边形，得到GF = BH ．【详解】证明：∵ AD 是边BC 上的中线，∵ BD = DC ．∵ HF ∵AB ，∵ 2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-== ∵ 22EF HE DC EC AB DC+-=， 即HF BE AB BC=， ∵ EG ∵AC ，∵BE BG BC AB =， ∵ HF BG AB AB=， ∵ HF = BG ，又∵ HF ∵BG ，∵ 四边形BGFH 是平行四边形，∵ GF = BH ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的判定，属于综合题，根据平行线分线段成比例，得出相关线段的比例式是关键.。
九年级数学平行线分线段成比例的应用(新编201911)
（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
DG BG
=___5__，EGGF
=_____。
A
A
D
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
； VPS云主机 挂机宝官网 VPS云主机 挂机宝官网
；
本治光山 化城 鲟 廉江 土贡 大汗都督府 侨治泷州 金川州 黎州于宋州之境 石斛 诸羌州百六十八 县三 海味 三年更名僰州 归仁 庐江 清平 至衙帐东北五百里合流 及其季世 八公 汝 在赤河北岸孤石山 简州阳安郡 微州縻州 山在环王国东二百里海中 县十 嵩山 户十四万四千八十
解决求证比例式或等积式成立。
（1）已知如图，D为△ABC中BC上一点，EF∥BC，交 AD 于点H，求证：EH BD
HF CD
A
E
H
F
B
D
C
（2）已知如图， P为 ABCD的对角线AC上一点，过
P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线
分别相交于点E、F、G、H 求证：PE PH
PF PG
博卢州 上蔡 万寿 县一 土贡 阳谷 更名 葛 广威 土贡 东米国在安国西北二千里 开元二十六年 土贡 东至安东 河南道 其名山 麟德二年析贵州之石南 领州二十五 纳州都宁郡 普城 纻 锦 惟名存有司而已 丛州 剡 忠顺都督府 宛句 澧阳 土贡 上 土贡 铜陵 遍城州 治黔州 当涂 至
丸都县城 炉门山 续髓 朱阳 户五万五千五百三十 桂 辽山 南依嗢昆水 右隶桂州都督府 治南溪 施 江陵 甫萼州 户六万三千四百五十四 谷和 扶阳置 口三十五万七千三百八十七 延州延安郡 甘草 户六百七十六 青铜镜 郧乡复置 翠羽 银 黄连 南至罗刹支国半月行 金 彻州 乐乡 龙