矩阵可逆的若干判别方法
矩阵可逆和不可逆的条件
矩阵可逆和不可逆的条件《矩阵可逆和不可逆的条件》话说我有个朋友叫小李，他在大学学线性代数的时候，被矩阵可逆和不可逆这事儿搞得晕头转向的。
有一天，他拿着书本跑到我跟前，一脸愁苦地跟我说：“哥们儿，这矩阵的可逆不可逆到底咋判断啊？感觉就像和一个神秘对手下棋，完全不知道对方的底细。
”这就引出了咱们今天的主题——矩阵可逆和不可逆的条件。
首先呢，从最基本的概念说起。
对于一个方阵（行数和列数相等的矩阵）来说，如果存在一个同阶的方阵，使得这两个矩阵相乘，不管是按哪种顺序乘起来结果都得到单位矩阵，那这个矩阵就是可逆的。
能找到这样的一个“搭档”的矩阵可不容易。
比如说一个二阶矩阵，如果它的行列式的值不为零，那它就是可逆的。
这里行列式可就像一个矩阵的“身份证”，行列式的值等于矩阵主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
以矩阵\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)为例，如果\(ad -bc\neq0\)，那\(A\)就是可逆矩阵。
那要是行列式等于零呢？这矩阵就不可逆了。
为什么会这样呢？咱们可以想象每个矩阵都是一个特定的线性变换。
可逆矩阵对应的线性变换是可以“还原”的，就好像把东西打乱了又能按照规则重新整理好一样。
而不可逆矩阵对应的线性变换就像是把东西弄丢了一部分，再也还原不回去了。
再深入一点，如果一个矩阵是奇异矩阵（也就是不可逆矩阵），那它的列向量或者行向量是线性相关的。
啥是线性相关呢？就好比一个足球队里有好几个队员，结果其中一个队员总是和其他队员有某种固定的组合关系，他自己单独的作用不大，有点像“多余”的人一样。
比如矩阵\(B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}\)，第二行就是第一行的两倍，第三行是第一行的三倍，这列向量或者行向量就线性相关了，这个矩阵就是不可逆的。
矩阵可逆的若干判别方法
矩阵可逆的若干判别方法.d o c(共15页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法姓名郭晓平院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级0701班学号09指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。
在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。
而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。
鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。
本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。
其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。
另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。
【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrixLinear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。
矩阵可逆的判别方法
矩阵可逆的若干判别方法学院：数学与数量经济学院 班级：数学与应用数学1班 姓名：黄新菊 学号：1250411025 内容摘要：学了这么久高等代数，从学了矩阵之后，几乎每节都离不开矩阵。
矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中在这期间，可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。
可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。
例如，分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等，都有用到可逆矩阵，矩阵可逆的性质，可以解决很多数学问题，是解决实际问题比较常用的工具之一。
并且还可以物理、经济等各种问题。
有重要的理论和实践意义。
所以，研究、学习矩阵可逆的若干判别方法，还是很有必要的，有重要的意义。
关键词：矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。
导言：高等代数已经学了差不多两个学期。
自从开始学了矩阵，矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。
前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学习矩阵奠定了基础。
而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。
突然发现，在矩阵的乘法运算中，可逆矩阵就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分。
为了更加深入了解、学习、解决处理矩阵计算体系的各种题目，我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。
我在图书馆查了很长时间的资料，并且还上网百度浏览了很多有关的网页。
希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。
整理了所有资料，总结了以下的矩阵的逆的判别方法。
正文矩阵可逆的若干判别方法首先介绍一些下面要用性质及定义。
有关矩阵的逆的定义：定义1：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ，这里E 是级单位矩阵. 即称A 可逆，B 为A 的逆。
(AB 1-=)定义2：设 矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=a aa aa a a aa Ann n n n n............ (2)12222111211 中元素a ij 的代数余子式，矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=A AA A A A A AA A nnn n n n ... (2)12222111211* 称为A 的伴随矩阵。
矩阵可逆的若干判别方法
矩阵可逆的若干判别方法矩阵可逆是线性代数中的重要概念，表示矩阵具有逆矩阵，可以通过逆矩阵进行运算。
在此，将介绍几种常见的判别矩阵可逆的方法。
1.行列式的性质矩阵可逆等价于其行列式不等于零。
行列式可以通过展开成余子式的方式来计算。
如果矩阵的行列式不等于零，则矩阵可逆；反之，如果行列式等于零，则矩阵不可逆。
2.矩阵的秩矩阵的秩是矩阵中非零出现的最大阶数。
如果矩阵的秩等于矩阵的维度，则矩阵可逆；反之，如果矩阵的秩小于矩阵的维度，则矩阵不可逆。
3.矩阵的逆矩阵若一个矩阵A存在逆矩阵A-1，则A是可逆的。
矩阵A-1满足AA-1=A-1A=I，其中I是单位矩阵。
通过求解线性方程组Ax=I，如果线性方程组有唯一解，则矩阵A可逆；反之，如果线性方程组无解或有无穷多解，则矩阵A不可逆。
4.对角矩阵的判别方法对角矩阵是指矩阵的非对角元素都为零的矩阵。
对角矩阵可逆的条件是所有对角元素都不为零。
5.正交矩阵的判别方法正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的矩阵。
正交矩阵可逆的条件是其转置矩阵的行（或列）线性无关。
6.幂零矩阵的判别方法幂零矩阵是指矩阵的幂次方为零的矩阵。
幂零矩阵不可逆。
7.行满秩矩阵的判别方法行满秩矩阵是指矩阵的任意k（k为矩阵的行数）行线性无关。
行满秩矩阵可逆。
8.矩阵的特征值和特征向量如果一个矩阵的特征值都不为零，则矩阵可逆。
特征值是通过方程，A-λI，=0来计算的，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。
这些是常见的判别矩阵可逆的方法，它们都可以用来判定一个矩阵是否可逆。
不同的方法在不同的场景中有不同的适用性。
在实际问题中，可以根据具体的要求和已知条件选择合适的方法进行判别。
判断矩阵可逆性的练习题
判断矩阵可逆性的练习题矩阵的可逆性是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵的行列式密切相关。
在本文中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵的可逆性判断方法。
练习一：判断矩阵可逆性的基本方法给定一个2 × 2的矩阵A = [a, b; c, d]，其中a、b、c、d为实数。
我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断矩阵的可逆性。
首先，计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
如果D ≠ 0，那么矩阵A是可逆的；如果D = 0，那么矩阵A不可逆。
练习二：判断2 × 2矩阵可逆性的具体应用现在，我们来解决一个具体的问题。
给定矩阵A = [2, 1; 3, 4]，我们需要判断该矩阵是否可逆。
根据练习一的方法，我们计算矩阵A的行列式D = (2 × 4) - (1 × 3) = 8 - 3 = 5。
因为D ≠ 0，所以矩阵A是可逆的。
练习三：用逆矩阵判断矩阵可逆性除了通过行列式判断矩阵的可逆性外，我们还可以使用逆矩阵的概念来判断矩阵的可逆性。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
练习四：使用逆矩阵判断矩阵可逆性的具体应用现在，我们考虑一个3 × 3的矩阵B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。
我们需要判断矩阵B的可逆性，并找出它的逆矩阵。
首先，我们计算矩阵B的行列式D = 1 × (5×9 - 6×8) - 2 × (4×9 - 6×7) + 3 × (4×8 - 5×7) = -3。
因为D ≠ 0，所以矩阵B是可逆的。
接下来，我们可以使用伴随矩阵的方法来求出矩阵B的逆矩阵。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其中(adj(A))ij = (-1)^(i+j) × Mij，Mij是A的(i, j)元素的代数余子式。
15080006-抽象方阵可逆的判别及求逆的方法
抽象方阵可逆的判别及求逆的方法由可逆矩阵的定义，若E BA AB ==,则矩阵A ，B 互为逆矩阵，当所给方阵A 为已知方阵时，可以利用逆矩阵的定义，矩阵的性质等通过计算直接得到A 的逆矩阵1-A ，如果所给矩阵为抽象矩阵A ，要通过计算去求逆矩阵是不可能，如何判断抽象矩阵可逆并求其逆矩阵呢？通过探讨归纳出四种解题方法：抽象矩阵求逆的凑因式法；抽象矩阵求逆的转圈法；抽象矩阵求逆的设逆法；抽象矩阵求逆的搭桥法1-2。
1 抽象矩阵求逆的凑因式法当已知条件是关于矩阵的方程时，凑因式法就是将方程式改写成E AB =的形式，且使其中的一个矩阵与要求证的矩阵因式相同，从而得到逆矩阵 。
例如：设A 为n 阶方阵，0452=-+E A A ,证明：E A 3+可逆，并求其逆。
证明：由已知条件可得 010)2)(3(452=-++=-+E E A E A E A A即 E E A E A =+⋅+)2(101)3( 根据可逆矩阵的性质得E A 3+可逆，且)2(101)3(1E A E A +=+-。
例如：设E A 23=，,222E A A B +-=证明：B 可逆，并求其逆。
证明：因为))(2(222232E A E A A A A A E A A B -+=-+=+-=而由方程E A 23=得E A A =⋅221, 根据可逆矩阵的性质得2121A A =-, 由方程E A 23=得E E A 1083=+, 分解因式得E E A A E A 10)42)(2(2=+-+ 即E E A A E A =+-⋅+)42(101)2(2 )42(101)2(21E A A E A +-=+- 再由方程E A 23=分解因式得E E A A E A =++-))((2即)()(21E A A E A ++=--所以根据可逆矩阵的性质得1111)2()(----+-=A E A E A B22221)42(101)(A E A A E A A ⋅+-⋅++= )42)((201222E A A E A A A +-++=. 2 抽象矩阵求逆的转圈法转圈法就是将欲求的逆矩阵用Z 表示,并将Z 代入式中运算，在推导过程中用1-BB与1-AA 互替，再求出Z 的方法。
可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法
（Ａ。 ）～＝（ 。］（三 ）～＝（
此外
Ｉ ０ ；）Ｉ 一：＝ Ａ０－ １— Ｂ －１Ｊｌ ， （詈／－１￣ －（一 一 ］
］ 参考文 献
…１ 同济 大学数 学数 学 系 ．工程数 学线性 代数 【Ｍ】．高等教 育出版
社 ．２００７
［２】陈逢明 ．逆矩阵的求法及 其在证券投 资组合 中的应 用 福建 商业 高等专科学校 学报 ，２００６（５）：１１１—１１４．
＋２Ｅ可逆并求出ｆ ＋２Ｅ）～。
证明：
一 Ａ 一 ２Ｅ ＝ ０变形 为 Ａ２ 一 Ａ 一６ ：－４Ｅ，
—
１ －
即（ ＋２Ｅ）１ Ｌ４ （３Ｅ—Ａ）Ｊｌ ：Ｅ，
１
所 以 存 在 一 个 矩 阵 Ｂ＝÷（３Ｅ一 ）， 使 （ ＋２Ｅ）Ｂ＝Ｅ， 由 定 义 得 Ｅ 可 逆， 且
关键词 ：逆矩阵的判定；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵
矩 阵理论是 线性 代数 的核心 内容 ，也是处 理实 际 问题 的 重要 工具 。可逆 矩 阵在矩 阵理论 中 占有非 常重 要 的地位 。有 关 可逆矩 阵 的 内容 对于初 学者来 说 是一个 难 点 ，下 面我们 将 教 学 中有 关 可逆矩 阵 的判 定方 法作 一些 总结 ，并 给出几 种常 用 的求逆 矩阵 的方 法 。
３．初等 行 （列 ）变换 求逆矩 阵 。矩 阵 可 逆 的充 分必要
条件是 可表示为同阶初等矩阵乘积。所以，求 ｎ阶矩阵
的逆矩 阵时 ，首先 在 的右边拼上 Ｅ 构成 一个 ｎ×２ｎ 矩 阵 ，
即（ ， ），其次对这个矩阵进行初等行变换，将它的左半
部 的矩阵 化为单 位矩 阵 ，那么 原来 右半 部的单 位矩 阵就 同时
营 ｎ元齐次线 性方 程组 Ａｘ＝０只有零 解 § ｎ元非齐 次线性 方程组 Ａｘ＝ｂ有 唯一解
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
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矩阵可逆的若干判别方法
可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。
如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。
一、矩阵可逆的基本概念
（1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得
AB=BA=I
则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的
逆矩阵，记作B= A -1 。
注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。
（2）矩阵A 的行秩等于列秩。
（3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。
（4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）T n ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。
二、矩阵可逆的性质
（1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1=A 。
（2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1。
（3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T 。
（4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)=
λ1A -1。
（5）若矩阵A 可逆，则|A -1|=|
|1A 。
（6）矩阵A 的逆矩阵A -1=|
|*A A 。
（7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。
三、矩阵可逆的若干判别方法
（一）定义判别法
对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆，
记为B=A -1。
例1. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛010100001 是否可逆？
证 存在矩阵B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，使得AB=BA=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛100010001
所以矩阵A 可逆。
注：此方法大多适用于简单的矩阵。
（二）行列式判别法
矩阵A 可逆的充要条件是A 为方阵且|A|≠0。
例2. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛311283501与矩阵B=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2-04131120是否可逆？
证 因为|A|=-3≠0，|B|=0，所以矩阵A 可逆，而B 不可逆。
（三）秩判别法
n 阶矩阵A 可逆，则r （A ）=n 。
证 因为矩阵A 可逆，则|A|≠0，可得到r （A ）=n ，反之也成立。
例3. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛711012531与矩阵B=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1-22011121是否可逆？
证 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛711012521→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2101030521⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→2101600901
所以r （A ）=3，A 可逆。
B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122001121⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000120001120001120
所以r （B ）=23≠，B 不可逆。
（四）伴随矩阵判别法
若A 可逆，则存在矩阵B=|
|*A A ,使得AB=BA=E 。
例4．矩阵A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛341253621，判断它是否可逆，若可逆，求出它的逆。
证 因为|A|=35≠0，则A 可逆，
A*=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----127163726187,所以
A -1=||*A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛351-352-51351631-51-3526-351851 注：求伴随矩阵时，要注意元素的位置与符号。
(五)初等变换判别法
对矩阵A 施行行（列）初等变换，得到矩阵B ，若B 可逆，则A 也可逆。
证 因为A 与B 等价，则有r(A)=r(B)，所以当矩阵B 可逆时，矩阵A 也可逆。
注：也可用初等行（列）变换求A 的逆。
用初等行变换：)()(B E E A → B 为A 的逆，B=A -1。
列初等变换：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B E E A B 为A 的逆。
例5.求矩阵A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛410113201的逆。
解
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-354-122-25-10001000111-3013-0011005-10201100013-0014105-10201100010001410113201 所以A -1=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----1135412225 （六）初等矩阵判别法
若矩阵A 可逆，则A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积，
即A=P 1P 2 ……P S
证 因为|A|=| P 1P 2 ……P S |0≠，所以矩阵A 可逆，反之也成立。
同时，若矩阵A 可逆，则A 可经过一系列初等变换化为单位矩阵。
例6.判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛01-2411210是否可逆？
证 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01-2411210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛→1000100012-002102018-3-021
041101-2210411 所以矩阵A 可逆。
（七）矩阵的向量组的秩判别法
若矩阵A 可逆，则A 的各行或各列所形成的向量组线性无关。
若矩阵A 可逆，则有r(A)=n,且行秩等于列秩等于n.
（八）线性方程组判别法
有方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
2211222221211
1212111 ① 当b 1=b 2=……=b n =0时，方程组为齐次线方程组，
所以有⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n x x x a a a a a a a a a 21212222111211= 0,AX=0,当且仅当此方程组有零解时，即x 1=x 2=……=x n =0时，设矩阵A 各列形成的向量组为1α、2α、……、n α，
所以02211=+++n n x x x ααα ，而x 1=x 2=……=x n =0，则1α、2α、……、n α线性无关，因此矩阵A 可逆。
② 当≠i b 0时，即方程组为非齐次线性方程组时，方程组有唯一解时，矩阵A 可逆。
证 (1b =β、2b 、……、)n b
∴βααα=+++n n x x x 2211
因为|A|≠0，则x 1、x 2、……、x n 由β唯一确定。
（九）标准型判别法
任一s ×n 阶方阵A 都与形为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---r s r s r n E 000r 的矩阵等价，此矩阵称为矩阵A 的标准型，且r=r(A),E 为单位矩阵，0为零矩阵。
即若n 阶方阵A 可逆，则可化为标准型E 。
（十）多项式判别法
n 矩阵A 可逆，则有多项式f (x )，满足f (A )=0，常数项不为零。
证 f （λ）= λn -(a 11+a 22+……+a nn )λn-1+……+(-1)|A|
|A|0≠,则（-1）|A|0≠，常数项不为零。
反之也成立。
（十一）特征值判别法
n 阶矩阵A 可逆，则矩阵A 的特征值不全为零。
证 f （λ）= λn -(a 11+a 22+……+a nn )λn-1+……+(-1)|A|
则 |A|=r λλλ 21 （r ≤n ），所以矩阵A 可逆。
四、常见矩阵的可逆性
（一）单位矩阵可逆，EE=E 。
（二）数量矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛a a a
000000可逆。
A=aE,A -1=(aE)-1=E a 1 （三）对角阵A=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛n a a a
00000021可逆，主对角线上元素全不为零。
证 主对角线上元素全不为零，则|A|0≠，所以A 可逆。
（四）分块矩阵可逆。
（五）上三角与下三角矩阵可逆。
（六）正交矩阵可逆，且A -1=A T 。
（七）过度矩阵与度量矩阵均可逆。
小结：
学会了如何判断一个矩阵是否可逆，了解这十一种判别方法，会让我们更快的解决此类问题，同时也让我们领略到了高等代数的魅力，解决方法是多样化的，探索解决问题的过程是美妙的。
矩阵的运用极其广泛，可逆矩阵就是其中的关键部分，不伦结果是怎样的，毫无疑问的是数学真的是一门很神奇的学科。