第7章 数学公理化方法2011
《数学方法论》数学中的公理化方法与结构方法
第四章数学中的公理化方法与结构方法公理化方法在近代数学的发展中起着基本的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革运动，即“新数学”运动。
两种方法均是用来构建数学理论体系的，一个是局部，一个是整体。
本章将概括介绍这两种思想方法，从中领略数学理论构建的一般思想方法。
§4.1公理化方法的历史概述众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。
数学家欧几里德以亚里斯多德演绎逻辑为工具，总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年代完成了他的名著《几何原本》，《几何原本》是演绎逻辑与几何相结合的产物，因此，它的出现使演绎逻辑第一次成功地应用于数学。
反过来也推动了形式逻辑的大发展。
欧几里德《几何原本》是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，在数学史上被树为划时代的里程碑。
而且成为以后很长时期严格证明的典范，人们还把严密的逻辑推理和完善的逻辑结构看成是古典几何成熟的标志。
当然，现在看来由于受当时整个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原始的。
所以后来称它为公理化方法的初期阶段。
在公理化方法的初期阶段，它的“严格性”也只是相对当时的情况而言的。
譬如，有些基本概念的定义不够妥当，有些证明只不过是借助于直观等等。
特别是第五公设的陈述从字面上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。
对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；三是换一个与它相反的公设。
公理化方法在高中数学教学中的意义和作用5页
公理化方法在高中数学教学中的意义和作用一、引言公理化方法是高中数学教学中的重要方法。
本篇论文在介绍公理化方法的基础上，着重阐述了公理化方法在高中数学教学中的意义和作用，以及如何应用。
二、公理化方法的简介1、公理化方法的概念和思想公理化方法是以若干个显然成立的或者通过简单证明能够成立的基本定理为基础，去解决问题的一种方法。
公理化方法的出发点就是一组原始概念和公理，因此如何去选择原始概念和设置公理是公理化的关键。
2、公理化方法的基本法则公理化方法的公理需满足下列几项要求：（1）公理需要是显然成立的，或者容易证明成立的。
（2）独立性：公理化的独立性是指公理系统中所有公理不能互相推出。
（3）全面性：要求公理要全面，能通过选择的这些公理解决所研究的数学方面的问题以高中数学的立体几何为例，在研究平面的问题中，建立了三个公理，这三个公理满足了上述的三项要求，每个公理都是显然成立的，都是独立的，并且通过这三个公理我们可以解决平面的所有问题。
三、公理化方法在中学数学教学上的意义和作用1、公理化方法对中学数学教学的启示（1）对数学教学内容的启示a强调已有知识经验在学习中的重要性教师应努力创设情境激活学生原有认知结构中与新知识学习有关的各种基础知识，让学生能在已经掌握的知识的基础上，进行思考新学习的内容，以保证学生学习的顺利进行。
b对数学教学内容呈现的思考为了提高学生的综合素质，近几年新课程改革轰轰烈烈地进行着，这也就促使我们思考这样一个问题：初等数学教学应该如何呈现数学教学内容呢？数学是培养学生逻辑思维能力的一种很有用的方法，而逻辑思维能力是公理化方法的一个主要特征，因此，对于中学数学内容的选取应综合各方面的因素，在学生可接受的前提下，以一种相对严谨的公理化方式，渐进地使学生了解公理化方法的思想内核，从而培养学生的逻辑思维，演绎推理能力。
（2）对教学过程中师生地位作用的启示公理化方法认为：学习是在已经掌握了的知识上进行思考。
第七章 数学中的公理化方法
希尔伯特对元数学的研究，使公理 化方法进一步精确化：
• 把数学理论中的定理及数学中使用的逻辑 规则排成演绎的体系，并使用数学符号和 逻辑符号把数学命题变成公式，这样，全 部数学命题便变成了公式的集合，公理化 的数学理论便变成了演绎的形式系统。元 数学思想的提出，标志着数学的研究达到 了新的、更高的水平，数学的研究对象已 不是具体的、特殊的对象，而是抽象的数 学结构。从而，公理化被推向一个新阶段 即纯形式化阶段。
• • • • • • • • • （1）各与同一个第三个量相等的量必相等。 （2）相等的量加上相等的量仍为相等的量。 （3）相等的量减去相等的量仍为相等的量。 （4）不等的量加上相等的量获不相等的量。 （5）相等的量的两倍仍为相等的量。 （6）相等的量的一半仍为相等的量。 （7）能互相重合的是一定是相等的量。 （8）整体大于部分。 （9）过任意两点只能引一条直线。
• 直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸 取了前人两千多年来在证明第五公设中的 失败教训，认识到第五公设与其他几何公 理是互相独立的，除掉第五公设成立的欧 氏几何外，还可以有第五公设不成立的新 几何系统存在。于是他在剔除第五公设而 保留欧氏几何其余公理的前提下，引进了 一个与第五公设相反的公理：“过平面上 一已知直线外的一点至少可引两条直线与 该已知直线平行”，由此构成了一个新的 几何系统与欧氏几何系统相并列。
1．相容性
• 公理的相容性也称无矛盾性或和谐性，是 指同一公理系统中的公理，不能自相矛盾； 由这些公理推出的一切结果，也不能有丝 毫矛盾。即不允许既能证明某定理成立， 又能证明它的反面也成立的情况存在。
2．独立性
• 公理的独立性，是指一个公理系统中的所 有公理，不能互相推出。这就是要求该系 统中公理的数目减少到最低限度，不允许 公理集合中出现多余的公理，这也是对数 学的“简单美”的一种追求。
欧几里得原本与公理化方法
公理化方法作为一种理论形式 为人们普遍接受.人们普遍建立了 这样的认识，所有的数学理论， 都必须按照数学的定义，公理与 三段论的逻辑论证来组织.
四. 《原本》内容简介
卷
内容
1
直线形
2
几何代数法
因为 // ,所以BD // AC（. 平面与平面平行的性质定理）
因此，四边形ABDC是平行四边形. 所以AB CD.
公理2（推论） 过两条平行直线，有且只有一个平面.
平面与平面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们
的交线平行. 如图：平面 ， , 满足 // , a,
相容性：不能自相矛盾. 独立性：任一条公理不能从别的公理推出来.
第一次给出公理化的数学 体系——欧几里得《原本》
三.《原本》简介
1.历史起源 由于人类生活和生产的需要，产生了几何学.
古印度、古埃及、古巴比伦
泰勒斯
毕达哥拉斯
厄亚利学派
后毕达哥拉斯学派
古希腊数学积累了大量的、具体的成果.但这 些知识缺乏系统性, 大多数是片断的、零散的.
五、非欧几何的创立
在研究和应用公理化过程中产生了非欧几何.
平行公理不同
直线、平面的认识
欧式几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行.
观察下的平面、直线，事实上的直线、平面.
非欧几何 罗氏几何：过已知直线外一点至少可以引两条直线与
已知直线不相交.
黎曼几何：在同一平面内任何两条直线都有公共点.
平面与平面平行的性质定理
命题
公理2（推论）
二.公理化方法
《数学公理化方法》PPT课件
About Elements
������ The Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time.
《几何原本》的问世，在数学的发 展史上树立了一座不朽的丰碑，对 数学乃至科学的发展起了巨大的推 动作用。
它也成为公认的、历史上第一部巨 大的科学典籍。
它奠定了数学这门科学必须依照逻 辑要求论述其规律的基础。
它基本上完善了初等几何的体系， 这正如黑格尔所说：“初等几何 就欧几里得所遗留给我们的内容 而言，已经可以看作相当完备了， 不可能有更多的进展”。
数学上的所谓公理，是数学需要 用作自己出发点的少数思想上的 规定
格斯
——恩
������ 公理化方法能系统地总结数 学知识、清楚地揭示数学的理论 基础，有利于比较各个数学分支 的本质异同，促进新数学理论的 建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就 是科学理论的数学化，而公理化是 科学理论成熟和数学化的ห้องสมุดไป่ตู้个主要 特征。
它所体现的演绎美对数学美学思想 的发展也起到了不可低估的作用， 它让“世界第一次目睹了一个逻辑 体系的奇迹，这个逻辑体系如此精 密地一步一步推进……，推理的这 种可赞叹的胜利，使人类理智获得 了为取得以后的成就所必须的信心。 （爱因斯坦语）。
几何的辉煌之处就在于只用很少的 公理而得到如此之多的结果。
亚里士多德首创造公理化思想，提 出了逻辑学的“三段论公理体系”。
公理化方法和演绎
公理化方法和演绎
公理化方法是数学中一种基本的证明方法，它强调了严密的逻辑推理和严格的定义。
这种方法将数学的各个领域系统化，使得所有的推理都能够遵循一致的规则。
演绎是公理化方法的重要组成部分，它是一种通过已知的前提来得出结论的推理方法。
演绎的过程中，我们首先确定一组公理和一些推理规则，然后通过应用这些规则来得出结论。
公理化方法和演绎的优点在于它们能够确保数学推理的正确性和精确性。
通过这种方法，我们可以准确地证明一个定理，并且可以将其应用于其他相关的数学问题。
最近，公理化方法和演绎在计算机科学中也变得越来越重要。
计算机程序的正确性可以通过演绎的方法来证明，这种方法能够有效地避免程序的错误和漏洞。
综上所述，公理化方法和演绎是数学中一种重要的证明方法，它们不仅能够确保证明的正确性和可靠性，同时也能够在计算机科学中发挥重要作用。
- 1 -。
数学中的公理化方法(下)
數學中的公理化方法(下)吳開朗四、數學公理系統的美學標準美國數學家F.S.梅里特在其所著《工程中的現代數學方法》一書中曾經說過:“每一模型都是由一組公理定義的,···公理自身必須無矛盾且相互獨立”[11]。
所謂一組公理,即是一個公理系統。
關於公理系統的無矛盾性,是指借助於演算不可能在一個公理系統中推出兩個相互否定的命題。
關於公理系統的獨立性,是指在該系統中任何一條公理都不可能作為其餘各公理的邏輯推論。
如果一個公理系統具備無矛盾性(即相容性)和獨立性,那麼,這個公理系統(或者說這個理論體系)就是優美的。
因此,相容性和獨立性也就是公理系統的美學標準。
獨聯體維林金等編著的《中學數學現代基礎》一書中曾指出:“可以由給定的公理系統導出的全部不同的命題,一般說來有無窮多個。
因此,為了證明給定的公理系統的相容性,要想由這一公理系統作出全部可能的推論,並且指出其中沒有相互矛盾的命題,這是不可能的。
為了解決這個難題,曾經創造一種特殊的方法,它的名稱叫做模型法”。
[12]所謂模型法,即是欲證明某一新數學理論的無矛盾性(一致性),或者欲證明某一新數學理論與某一已知的(舊)數學理論的相容性(相對一致性),可以設法為它在古典數學中構造一個模型,並且進而證明這個新數學理論的公理系統在該模型中都能夠得以實現,這樣,即可以把這個新理論的相容性,化歸為新理論與建造它的模型(新理論的模型)時所需要的古典數學理論的相容性(相對一致性)。
因此,這種模型法,又可稱之為化歸法。
例如,我們利用龐卡萊(Poincar´e)模型和球面模型,可以把非歐幾何的相容性,化歸為歐氏幾何的相容性,再利用算術模型,又可進一步把歐氏幾何的相容性,化歸為算術理論的相容性。
[13]然而,對於一個新理論而言,並不需要如此逐步化歸,一般地說,只要是在古典數學中,能夠為其構造一個數學模型已足,因為古典數學已經過億萬群眾長期的科學實踐檢驗。
公理法
公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
合同公理 1、如果A、B为直线L上的两点， 为直线L A 上或另一直线 L 的点，则在 A 的给定一侧 必可在L或 L 上找到一点 B ，使得截段AB 合同于AB，记为 AB AB。…… 连续公理 1、阿基米德公理 2、康托公理 平行公理
中学几何公理系统：
结合公理选取了一部分： 1、两点确定一条直线； 2、三个不共线的点确定一个平面； 3、一条直线上的两个点如果都在一个平面内，则这 条直线上所有点都在这个平面内； 4、如果两个平面内有一个公共点，这两个平面就有 一条公共线。 顺序公理、合同公理和连续公理没有提出而凭直观 默认。 平行公理进行了强化：过直线外一点，有且仅有一 条一条直线与该直线平行。
第7章 数学公理化方法
§1 数学公理化方法的意义 一、数学公理化方法的含义 所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原 始概念和不加证明的原始命题（公理、公设）出发， 按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统 的方法。 其中，我们把由公理化方法最后得到的知识结构， 称之为公理体系，而由不加证明的原始命题（公理或 公设）形成的结构，称之为公理系统。 如:<几何原本>的公理系统 二、意义： 1、总结性 2、示范性(牛顿<自然哲学的数学原理>) 3、简洁性 4、系统性 5、可比较性
三、潜形式公理化阶段------非欧几何体系 （1）改变了几何公理借助直感达到自明的传统观念， 使人们认识到对公理进行科学抽象的重要性，为形 式公理系统的诞生铺平了道路。 （2）几种几何理论同时并存的局面事实上已表明几 何理论不再从属于某种特定的研究对象，人们开始 认识到舍弃特定的实质性的对象，仅从形式上“自 由地”建立几何理论的可能，这正是我们把这一阶 段称之为潜形式公理化阶段的原因。
定义1 物质的量是用它的密度和体积一起来量度的。 定义2 运动的量是用它的速度和质量一起来 定义3 „„ 定义4 外加力是一种为了改变一个物体的静止或等速 直线运动状态而加于其上的作用力。 规律1 每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运 动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。 规律2 运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在 所加的力的那个直线方向上。 规律3 每一个作用力总是有一个相等的反作用和它相 对抗。 定理1 „„
亚里士多德的《分析篇》：
《分析篇》分前、后两部分，《前分析篇》主要论述 关于如何进行演绎证明的问题，在该篇中系统地研究 了三段论式。 《后分析篇》主要研究按照演绎证明建立起来的学科 本身的逻辑结构与逻辑要求的问题。按照亚里士多德 的观点，演绎证明的科学（他指的是数学）是关于某 一个确定的领域的全部真命题，这些命题分为二类， 一类是基本命题（即公理）再一类是从基本命题引申 出来的命题；相应地，概念也分为二类，一类是基本 概念，再一类是从基本概念派生出的来的概念。根据 上面这个结构，亚里士多德提出了两个逻辑要求，第 一，公理必须是明显的。因而无需证明的，同样，基 本概念必须是直接可以理解、无需加以定义的；第二， 由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律和逻辑规则， 通过基本概念直接或间接地对派生概念下定义时，也 必须遵守下定义的逻辑规则。
结合公理：
过两点有一直线； 过两点至多有一直线； 直线上至少有两点，又至少有三点不在同一直线上； 过不在同一直线上的三点必有一平面，每一平面上 至少有三点； 过不在同一直线上的三点至多有一平面； 如果一直线的两点在某平面上，则该直线的所有点 均在此平面上； 如果两平面有一公共点，则它们至少还有另一公共 点； 至少有四点不在同一平面上。
思考三：公理化方法是万能的呢还是带有某 种局限的方法？ 公理化方法虽然对于数学研究具有重要意义 和作用，但它却不能取代具体数学学科的一 些特殊研究方法。 “希尔伯特规划” 的失败，表明公理化方 法自身的某种局限 。
思考四：如何正确的认识实质公理化方法与形 式公理化方法？ 一方面，由于形式公理化较之实质公理化有更 高层次的科学抽象，因此，能更深刻地突出反 映事物的某些本质特征，才必然带来高度的概 括性和应用广泛性。 另一方面，这种形式化的抽象过程又必然舍弃 了事物客体的种种次要环节，因此，最后反而 不能较细致地逼真地描绘出事物内在本质中相 互联结在一起的诸环节，就这一点来说，实质 公理化却比形式公理化更加贴近实体对象的本 性和体貌。这是形式公理化方法难以取代的。
中学几何体系的特点：
不明确指出哪些是原始概念,对基本对象通 过直观进行描述； 对一些理应严格定义的概念，也采用直观描 述的方法； 扩大公理体系，降低教学难度，把原来在严 格公理系统中可以证明的定理，也列为公理， 不加证明地去使用； 尽管扩大公理体系，公理仍不完备。
《自然哲学的数学原理》的结构:
五、纯形式公理化阶段-----元数学的建立 所谓元数学，笼统地讲，就是指把某种数学理 论（如自然数理论，几何理论等）作为一个整 体来加以研究，研究系统的相容性、完备性及 公理的独立性演绎系统；2、有序的整体； 3、系统是形式化的 二、基本问题： 1、关键：选择基本概念与公理 2、选择公理的基本问题：相容性；独立性、完备性 三、对公理系统的检验(检验的方法:直接证法和间接证法) 1、相容性的证明 欧氏几何的相容性的证明(实数模型)
思考：中学几何体系的特点 …… 诡辩题：“任何三角形都是等腰三角形”
§4公理化方法的作用
公理化方法举例（布尔代数公理体系、正余弦函数 公理体系） 作用： 1、公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的 工具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点； 2、公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索 各个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推 动新理论的创立和发展； 3、公理化方法是建立某些抽象学科的基础； 4、公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借 鉴作用； 5、公理化方法对培养和熏陶人们的逻辑思维能力具 有重要作用。
新增的“公理”：
1、平行线判定定理：同位角相等，两直线平行； 2、平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等； 3、三角形全等的判定：SAS、ASA、SSS 4、不共面的三条直线中，如果有两条都和第三条 直线平行，这两条直线也平行； 5、两点间的直线段最短； 6、长方形的体积等于它的长、宽、高的乘积。 …...
思考：
思考一：如何认识对同一对象的不同形式的公 理描述？ 它正好体现了辩证唯物论的能动反映论。纯数 学是以现实作为自己的客观基础，它源于现实， 同时又以极度抽象的形式能动地反映现实，正 因为如此，才有可能选取不同的抽象方式，从 不同角度来反映，研究同一现实对象，取得殊 途同归的结果。
思考二：公理化方法是思维的“自由产物”呢还是建 立在一定的客观基础之上的东西？ 如果基本概念和命题本身就是没有内容、没有任何解 释的空洞符号，形式系统也就无意义了。所以，当一 门科学的基本概念尚未明确，其内在关系尚未弄清楚， 普遍方法尚未发展起来时，是不能建立起公理化系统 的，从这个意义上讲，公理化系统的建立就离不开数 学活动实践。 此外，从公理系统相对相容性的证明过程中已清楚地 看到，将此相对证明过程进行下去，总有一个公理系 统的相容性不能建立于别的公理系统之上，而是在数 学外面经由实践检验的，公理只是一个阶段上人们认 识的成果，客观实践才是人们认识的基础。
<几何原本>的公理体系:
（1）从一些概念（23个）的定义开始： 定义1 点没有部分。 定义2 线有长度没有宽度。 定义3 线的界限是点。 定义4 直线是这样的线，它对于它的所有各个 点都有同样的位置。 定义5 面只有长度和宽度。 ……
《几何原本》中的公理系统
（2）引进公设和公理，即不加证明而采用的命题： 5条公设： 公设Ⅰ 由任意一点到另一任意点可以画直线； 公设Ⅱ 一条有限直线可以无限延长； 公设Ⅲ 以任意点为心及任意的距离可以画圆； 公设Ⅳ 凡直角都彼此相等； 公设Ⅴ 同平面内一条直线和另外两条直线相交， 若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则 这二直线经无限延长后在这一侧相交。
罗氏几何的相容性证明：
欧氏几何相容性 “模型”：①庞加莱模型 罗氏几何-------欧氏几何 点 -------直线a上方的点 线 -------以a上的点为圆心作圆， a以上的半圆 面 --------直线a以上的欧氏平面
② F· 克莱因模型
罗氏几何-------欧氏几何 点 -------欧氏圆的内点 线 -------圆的弦（不包括两端点） 面 -------圆的内部 2、独立性的证明 (转化为“相容性的证明”） 3、系统完备性的证明 （如果某一公理体系的所有模型都是同构的，则这个 公理体系是完备的。 ）
二、实质公理化方法的产生--------欧几里得的几何公理 体系 （1）由于欧几里得的公理系统具有特定的对象（或者说， 这一公理系统被认为是从属于这些特定对象的），又 由于这些对象具有明显的直观背景——现实空间（从 而人们就可以用所谓的直观性来作为公理的判断依 据），因此这种公理系统就被称为实质的公理系统。 对象------公理------演绎 （2）实质公理系统的特点： 研究对象先于公理给出。 公理和公设对自明性有不同的要求 用构造作为存在性的证明。
四、形式公理化阶段---希尔伯特公理体系德国数学 （希尔伯特于1899年出版的《几何基础》就是形式化公理 方法的典型体现。希氏认为公理系统中所涉及的对象 可以是任何事物，只要它们满足公理所表述的事实， 那么，由这些公理出发经由演绎而得出的定理对它们 来说就是成立的。） 特点：（1）公理-----对象------演绎 （2）形式公理排除直观默认，不再区分公理和公设，整个 系统具有严格的逻辑性 （3）形式公理系统由于具有更高的抽象性，因此也就具有 更高的概括性。
顺序公理： 1、若点B位于点A、C之间，则A、B、C是同一直线 上的三点，且B位于C、A之间； 2、对于两给定点A与C，则至少存在一点B，使C在A、 B之间； 3、直线上的任意三点中，至多有一点位于其它两点 之间； 4、（巴士公理）A、B、C是不共线三点，直线L在A、 B、C三点的平面上，但不过A、B、C三点，如果 L穿过AB截段中的一个点，则L必穿过截段AC或 BC中的某点。