样本及抽样分布
概率论与数理统计 第六章 样本及抽样分布
x0 o.w.
n 1
n5
n 15
15
（2）t-分布（学生分布）
设 X ~ N ( 0 ,1), Y ~ 2 ( n ) 且X、Y为独立随 机变量，则称随机变量
t
X Y /n
X
1 n 2 ( X 12 ...... X n )
为自由度为n的t-分布。记为： t ~ t ( n ) 。
3
§1 随机样本
总体: 研究对象在某项数量指标的全体. 记为X。通常称总体X。 个体: 总体X中的每一个元素（实数）xi。 根据总体所含的个体数分为： 有限总体和无限总体。
4
总体与取样
X1
X
X2 X3 Xn
取样模型
X
X2 X1
X3
X4
X5
河流污染取样
5
总体、样本、统计量
总体 样本 统计量
X1 X2
2 ( n ) 分布:
具有可加性
2 X X 12 ...... X n , X i ~ N (0,1)
3. 4.
t ( n ) 分布:
X ~ N (0,1), Y ~ 2 ( n )
t(n) X Y /n
F ( n1 , n 2 ) 分布: U ~ 2 ( n1 ), V ~ 2 ( n 2 )
F (n1 , n2 )
19
分位点及性质:
定义: Pr[ X z ]
z
(1)标准正态分布分位点
(x)
( x)dx 1 ( x)dx
z
z1
( x)
Pr[ X z ]
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
样本及其抽样分布基本概念
第六章
样本及抽样分布
第1，2节 基本概念
一、总体、个体 二、随机样本、直方图 三、样本函数与统计量 四、小结
一、总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
总体 …
研究某批灯泡的心每个 个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有 的数量指标的全体就是总体.
直方图
5
8
4.5
7
4 6
3.5 5
3
2.5
4
2
3
1.5 2
1
1 0.5
0
0
140
150
160
170
180
190
200
147
157
167
177
187
197
三、统计量
由样本推断总体特征,需要对样本进行 “加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的 函数,它把样本中所含的信息集中起来.
1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的 总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.
为了使大家对总体和样本有一个明确的 概念,我们给出如下定义:
定义 一个随机变量X或其相应的分布 函数F(x)称为一个总体.
4. 直方图 4.1 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最 常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例3 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
抽样分布样本统计量的分布及其应用
抽样分布样本统计量的分布及其应用在统计学中，抽样是一种数据分析的方法，它通过对总体中的一部分个体进行观察和测量来推断总体的特征。
而抽样分布是指抽取相同样本量的多个样本后得到的统计量的分布。
样本统计量是对样本数据进行计算得到的统计指标，它可以用来估计总体参数，并进行假设检验。
1. 抽样分布的基本概念抽样分布具有一些基本性质，首先是无偏性。
当样本容量趋向于总体容量时，样本统计量的期望值会无限接近总体参数的真实值。
其次是有效性，即样本统计量的方差趋近于零，它可以用来估计总体参数的精确度。
最后是一致性，样本统计量在样本容量逐渐增大时趋近于总体参数。
2. 抽样分布的常见形式常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布。
其中正态分布应用最为广泛，它在中心极限定理的作用下，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
而t分布则适用于当总体标准差未知、样本容量较小的情况下，它的形状比正态分布要略扁平一些。
卡方分布则主要用于样本方差的估计与检验。
3. 抽样分布的应用抽样分布的应用非常广泛，常用于以下几个方面：3.1 参数估计通过抽样分布，我们可以利用样本统计量对总体参数进行估计。
例如，可以利用样本均值估计总体均值，利用样本标准差估计总体标准差。
通过计算置信区间，我们可以得到对总体参数的范围估计。
3.2 假设检验假设检验是统计学中非常重要的一项工具，用于判断样本数据是否支持某个假设。
基于抽样分布，我们可以计算统计量的P值，进而判断样本数据与假设的一致性。
常用的假设检验有均值检验、方差检验、比例检验等。
3.3 质量控制在生产过程中，质量控制是非常关键的。
通过对样本数据进行分析，可以判断生产过程是否正常。
例如，可以通过控制图分析样本均值的变化情况，以判断过程是否处于控制状态。
3.4 统计决策在实际决策中，我们往往需要依据样本数据来进行判断。
抽样分布提供了一种基于统计的决策依据。
例如，在市场调研中，我们可以通过对样本数据进行分析，对市场潜力进行预测，从而指导营销策略的制定。
样本及抽样分布
样本及抽样分布§6.1 基本概念一、总体:在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。
我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。
二、样本:设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,…,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,它们的观察值x1,x2, …, xn称为样本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。
三、统计量:设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…,X n )为统计量。
统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …, x n )是统计量g (X 1, X 2, …, X n )的一个观察值.四、 常用的统计量:, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n12i2n1i 称为样本方差均值仍称为样本它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .B ,,1,2,X A ,1k 2.22221S S nn B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.kkkk若总体X 的k 阶矩E(X )存在,则当n时, A .P注：ni i 111. X X ;n ==∑样本均值2n 2i i 112. S (X );n-1X ==-∑样本方差n kk i 113. k A X , k 1, 2,;n i ===∑样本阶原点矩nk i i 114. k B (X ) , k 2, 3,.n k X ==-=∑样本阶中心矩4.样本的联合分布：2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:11112(,,)(),,;(1,2,,)nn n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中12n *12i 13)(), ,X , (, ,)()n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的联合概率密度为12121211)(),,,,, ,,,:()()n n n*n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,x F x ==∏若为的一个样本则的联合分布函数为例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。
概率论第六章样本及抽样分布
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
3样本及抽样分布
x
n n 1 1 2 2 2 2 s ( x x ) [ x n x ] i i n 1 i 1 n 1 i 1
x n
i 1
i
第三章 样本及抽样分布
s
1 2 ( xi x) n 1 i 1
n
§3 抽样分布
1 n k a k x i , k 1,2 n i 1 1 n bk ( x i x ) k , k 1,2 n i 1
2
n
第三章 样本及抽样分布
§3 抽样分布
二、 常用统计量的分布
1) 2 分布 设( X 1 , X n )为来自于正态总体 N (0,1)的样本，
则称统计量：
X X
2 2 1
2
2 n
所服从的分布为自由度 是n的 分布。
记为 ~ (n)
2 2
2 分布具有下面的性质：
t 0.95 (9) 1.___ 8331. 2 __________
第三章 样本及抽样分布
3) F 分布
X / n1 F Y / n2
§3 抽样分布
若 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), X ,Y 独立， 则 称随机变量
所服从的分布为自由度
是n1 , n2 的 F 分布，记作 F ~ F (n1 , n2 ).
定理：若 F ~ F (n1 , n2 ),则 1 / F ~ F (n2 , n1 ).
对于给定的 (0 1)， 称 满 足 条 件 ： P{ F F ( n1 , n2 )}
的点 F (n1 , n2 )为F分布的 上分位点 。
F (n1 , n2 )
四章样本及抽样分布
E(X )
1 n
n i 1
E( X i )
D(X )
1 n2
n
2
D(Xi )
i 1
n
X ~ N(, 2 )
n
X ~ N (0, 1) / n
iid
2.若X1,,X n ~ N (, 2 ), 则 (1) X与S 2相互独立; (2) 2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
(3)T X ~ t(n 1).
第四 章 样本及抽样分布
引言 run 随机样本 抽样分布
4.1 随机样本 一、总体与样本
1. 总体：研究对象旳全体。 一般指研究对象旳某项数量指标。 构成总体旳元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究旳随机变量或 随机变量旳分布。
2. 样本：来自总体旳部分个体X1， … ，Xn 假如满足： （1）同分布性： Xi， i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 旳简朴随
P{ 1
1
P{ 1 F
F (n2 , n1)}
} 1
F F1 (n1, n2 )
P{ 1
1 }
得证!
F F1 (n1, n2 )
4.3 正态总体旳抽样分布定理
iid
1.若X1 ,,Xn ~ N(, 2 ), 则U
X / n
~
N(0, 1)
证明:
X
1 n
n i 1
Xi
是n 个独立旳正态随 机变量旳线性组合,故 服从正态分布
i 1
称为自由度为n的 2 分布.
2.2—分布旳密度函数f(y)曲线
f
(y)
(完整版)样本及抽样分布
第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。
它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。
所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。
其研究方法是归纳法（部分到整体）。
对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。
数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。
在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。
在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。
6样本及抽样分布
1 n 2 样本方差 S 2 (Xi X ) n 1 i 1 n 2 1 2 X i nX n 1 i 1
1 样本标准差 S S n 1 i 1
2
它反映了总体方差 n ( X 的信息2 X)
i
西华大学数学与计算机学院
西华大学数学与计算机学院
14
它们的观察值分别为：
1 n x xi n i 1
样本均值
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
样本方差
n 1 n 1 2 2 2 s ( xi x ) [ x i nx 2 ] n 1 i 1 n 1 i 1
s
1 n ( xi x )2 n 1 i 1
注：统计量是随机变量。
x1,x2,„, xn是相应于样本X1,X2,„, Xn的样本值, 则称g(x1,x2,„, xn)是g(X1,X2,„, Xn)的观察值。
西华大学数学与计算机学院
11
思考？Biblioteka 概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
设 X 1 , X n 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样本， 其中未知 , 2已知， 问下列随机变量中那些是统计量
数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重 于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、 整理和分析. 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，
因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多
次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清
楚地呈现出来.
西华大学数学与计算机学院
5
现实世界中存在着形形色色的数据, 分析这些 数据需要多种多样的方法.
P
依概率收敛的序列性质知道 g为连续函数
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Fn 1
(4) Fn x 在每个观测值 x i 处是右连续的,点 x i F 是 Fn x 的跳跃间断点， n x 在该点的跃度就等于 频率 f i 样本分布函数 Fn x 的图意的实数 x 总体分布函数F x 是事件 X x 的概率；样本分布函数 Fn x 是事件 X x 的频 率。根据伯努利大数定理可知, 当n 时，对于任意的正数 ，有 lim P Fn x F x 1
a, t1 , t1 , t 2 ,
,
ti1 , ti ,
,
tl 1 , b
第 i 个子区间的长度为 t i t i t i 1 i 1,2,, l
各子区间的长度可以相等，也可以不等；若使各 ba 子区间的长度相等，则有 t i
l
子区间的个数一般取为8至15个，太多则由于频率 的随机摆动而使分布显得杂乱，太少则难于显示 分布的特征。 此外，为了方便起见，分点t i 应比样本观测值 x多 i 取一位小数。 3 把所有样本观测值逐个分到各子区间内，并计算 样本观测值落在各子区间内的频数 ni及频率
我们把被研究的对象的全体称为总体（或母体）， 而把组成总体的各个元素称为个体。 在上面的例子中，该厂生产的所有显像管的寿命就 是总体，而每一个显像管的寿命就是个体。 代表总体的指标（如显像管的寿命）是一个随机变 量， 所以总体就是指某个随机变量可能取的值的全体。
从总体中抽取一个个体，就是对代表总体的随机变 量进行一次试验（或观测），得到的一个试验数据 （或观测值）。 从总体中抽取一部分个体，就是对随机变量进行若干 次试验（观测）。 从总体中抽取若干个个体的过程称为抽样。 抽样结果得到的一组试验数据（观测值），称为样本 （或子样）； 样本中所含个体的数量称为样本容量。
i
i 1,2,l 1
其中和式 xx 是对小于或等于x 的一切 x i 的频率 f i 求和，则称 Fn x 为样本分布函数,经验分布函数。 易知样本分布函数 Fn x 具有下列性质： (1) 0 Fn x 1 (2) Fn x 是非减函数；
(3) Fn 0,
t i t i 1
所有小矩形的面积的和
S f
i 1 i i 1
l
l
i
1.
这样作出的所有小矩形就构成了直方图。 因为样本容量 n充分大时，随机变量 X 落在各个子 区间 t i 1 , t i 内的频率近似等于其概率 即 f i Pti 1 X ti i 1,2,, l 所以直方图大致地描述了总体 X 的概率分布。
假设满足下述两个条件： （1）随机性 为了使样本具有充分的代表性， 抽样必须是随机的，应使总体中的每一个个 体都有同等的机会被抽取到，通常可以用编 号抽签的方法或利用随机数表来实现。 （2）独立性 各次抽样必须是相互独立的，即 每次抽样的结果既不影响其它各次抽样的结 果，也不受其它各次抽样结果的影响。 这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机 抽样，由此得到的样本称为简单随机样本。
1, 当第i次取到次品 Xi 0， 当第i次取到正品 求样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布律。
3 .设电话交换台一小时内的呼唤次数 X 服从泊松分 布 0,求来自这一总体的简单随机样本 X 1 , X 2 ,, X n 的样本分布律。
4.设某种电灯泡的寿命 X 服从指数分布，求来自 这一总体的简单随机样本 X 1 , X 2 ,, X n 的联合概 率密度。 5.设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自均匀分布总体 U 0, c 的样 本，求样本的联合概率密度。
总计 100 1.00
直方图如图6－2所示
图6－2
习题6－2 1.某射手进行20次独立、重复的射击，击 中靶子的环数如下表： 环数 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 0 4 9 0 3 2 求经验分布函数 F20 x ，并作图。
若将样本 X 1 , X 2 ,…, X n看作是一个维随机变 量 X 1 , X 2 ,, X n ,则 (1)当总体 X 是离散随机变量，若记其分布 率为 P X x p(x) ,则样本 X 1 , X 2 ,, X n 的分布律为： (1) p * x1 , x2 ,, xn px1 px2 pxn
(2)当总体 X 是连续随机变量，且具有概率密 度函数 f x 时 ,样本 X 1 , X 2 ,, X n 的概率密 度为 f * x1 , x2 ,, xn f x1 f x2 f xn
1.设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自两点分布总体 X 的样本， X 的分布为: q 1 p, 0 p 1 Px 1 p, Px 0 q 求样本分布律。 2.设有 N 个产品，其中有 M 个次品， M 个正品， N 进行放回抽样，定义 X i 如下：
例 测量100个某种机械零件的质量，得到样本观 测值如下（单位：g）
246 249 250 260 246 258 250 246 249 254 251 244 247 263 255 242 265 250 252 247 259 249 255 254 244 252 247 252 254 252 254 244 249 240 245 259 249 256 246 257 246 243 247 255 257 249 253 245 250 258 253 246 252 250 252 244 247 254 251 247 237 256 252 256 250 251 248 258 247 252 252 247 242 246 249 250 251 248 253 264 250 252 245 249 255 241 251 255 252 248 251 252 240 253 248 253 249 251 255 244
ni fi n
i 1,2,, l .
4 在Ox轴上截取各子区间，并以各子区间为底，
fi 以 t i t i 1 为高作小矩形，各个小矩形的面积 S i
就等于样本观测值落在该子区间内的频率，即 fi S i t i t i 1 f i i 1,2,, l .
今后，凡是提到抽样与样本，都是指简单随 机抽样与简单随机样本而言。 我们指出，从总体中抽取容量为的样本， 就是对代表总体的随机变量随机地、独立地 进行次试验（观测），每次试验的结果可以 看作是一个随机变量，次试验的结果就是个 随机变量 X 1, X 2 … X n
这些随机变量相互独立，并且与总体服 从相同的分布。设得到的样本观测值分 别是 x1, x 2… x n则可以认为抽样的结果是个 相互独立的事件 X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn 发生了
例如，从总体中进行放回抽样， 显然是简单随机抽样，得到的样本就是简单随机样本。 从有限总体（即其中只含有有限多个个体的总体）中， 进行不放回抽样， 虽然不是简单随机抽样，但是正如在前面我们已知的， n n N 若总体容量 很大而样本容量 较小( 10% )， N 则可以 近似地看作是放回抽样， 因而也就可以近似地看作是简单随机抽样，得到的 样本可以近似地看作是简单随机样本。
第六章 第一节 第二节 第三节 第四节
样本及抽样分布 总体与样本 样本分布函数 直方图 样本函数与统计量 抽样分布
前面五章我们讲述了概率论的基本内容 ，随后 的四章将讲述数理统计。数理统计是具有广泛应用的 一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或 观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客 观规律性作出种种合理的估计和判断。 数理统计的内容包括：如何收集、整理数据资料； 如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研 究的对象的性质、特点作出推断。后者就是我们所说 的统计推断问题。本书只讲述统计推断的基本内容。 本章我们介绍总体、随机样本及统计量等基本概念， 并着重介绍几个常用统计量及抽样分布。
写出零件质量的频率分布表并作直方图。
解 因为样本观测中最小值为237，最大值为265， 所以我们把数据的 由此得到零件质量的频率分布表： 分布区间确定为 零件质量/ g 频数 ni 频率 f i （236.5，266.5） 236.5～239.5 1 0.01 并把这个区间等分 239.5～242.5 5 0.05 242.5～245.5 9 0.09 为10个子区间 245.5～248.5 19 0.19 248.5～251.5 24 0.24 (236.5,239.5), 251.5～254.5 22 0.22 ( 239.5，242.5), 254.5～257.5 11 0.11 257.5～260.5 6 0.06 …, 260.5～263.5 1 0.01 ( 263.5,266.5) 263.5～266.5 2 0.02
第二节
一、样本分布函数
样本分布函数 直方图
我们把总体的分布函数 F x P X x 称为总体 分布函数.从总体中抽取容量为n 的样本得到 个样本观测值，若样本容量 n 较大，则相同的 观测值可能重复出现若干次，为此，应当把这 些观测值整理，并写出下面的样本频率分布表：
观测值
x 1
第一节
总体与样本
我们知道，虽然从理论上讲，对随机变量 进行大量的观测，被研究的随机变量的概率特 征一定能显现出来，可是实际进行的观测次数 只能是有限的，有的甚至是少量的。 因此，我们关心的问题就是怎样有效地利用收 集到的有限的资料，尽可能地对被研究的随机 变量的概率特征作出精确而可靠的结论。
例如，我们考察某厂生产的电视机显像管的质量， 在正常生产情况下，显像管的质量主要表现为它们的 平均寿命是稳定的。 然而，由于生产中各种随机因素的影响，各个显像管 的寿命是不完全相同的。 因为受到人力、物力等的限制，特别是测定显像管寿 命这类的试验具有破坏性， 所以我们不可能对生产的全部显像管一一进行测试， 一般只是从整批显像管中取出一些显像管来测试，然 后根据得到的这些显像管寿命的数据来推断整批显像 管的平均寿命。