2019-2020年高中数学第一章算法初步1.3算法案例课时提升作业新人教A版必修
2019_2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例课件新人教A版必修3
课堂探究·素养提升
题型一 求最大公约数 [例1] 分别用辗转相除法和更相减损术求779与209的最大公约数.
解:法一 辗转相除法: 779=209×3+152, 209=152×1+57, 152=57×2+38, 57=38×1+19, 38=19×2. 所以,779与209的最大公约数为19.
法二 更相减损术法: 779-209=570,570-209=361,361-209=152,209-152=57,152-57=95, 95-57=38,57-38=19,38-19=19. 所以779和209的最大公约数为19.
方法技巧
求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可以用更 相减损术.
思考3:不同进位制之间的数是否能比较大小?
答案:能.都可以把其化为相同进位制的数,然后比较其大小.
名师点津
常见的进位制 (1)二进制:①只使用0和1两个数字;②满二进一,如1+1=10. (2)八进制:①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同的数字;②满八进一,如 7+1=10. (3)十六进制:①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F这十六个不 同的数码,其中A,B,C,D,E,F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15; ②满十六进一,如F+1=2+E=10.
新知导学·素养养成
1.求两个正整数的最大公约数的算法
(1)辗转相除法(欧几里得算法)的算法步骤: 第一步,给定 两个正整数m,n . 第二步,计算 m除以n所得的余数r . 第三步, m=n,n=r . 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于 m ;否则返回 第二步 .
高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例 新人教A版必修3
探究点二 秦九韶算法及其应用(规范解答) (本题满分 12 分)利用秦九韶算法求多项式 f(x)＝x6－5x5 ＋6x4＋x2＋3x＋2 当 x＝－2 时的值．
[解] 将多项式变式为 f(x)＝(((((x－5)x＋6)x＋0 )x＋1)x＋ 3)x＋2，(2 分)
v0＝1 ，(4 分) v1＝－2＋(－5)＝－7， v2＝－7×(－2)＋6＝20， v3＝20×(－2)＋0＝－40， v4＝－40×(－2)＋1＝81， v5＝81×(－2)＋3＝－159， v6＝－159×(－2)＋2＝320. (10 分)
2．秦九韶算法
功能
一元 n 次多项式改写后的形式
Hale Waihona Puke 用于计算f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝__(a_n_x_n_－_1_＋__a_n－__1x_n_－_2_＋__…__＋__a_1_)x_＋___a_0
一__元___n_次__多__项__式_ ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
的值
＝…
＝_(_…__(_(a_n_x_＋__a_n_－_1_)x_＋___a_n－_2_)_x_＋__…__＋__a_1_)_x_＋__a_0
计算方法
从括号最内层开始，由内向外逐层计算 v1＝anx＋an－1， v2＝v1x＋an－2， v3＝_v_2x_＋__a_n_－_3_， … vn＝vn－1x＋a0， 这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n__个__一__次__多__项__式______的值
所以 119(10)＝315(6)．
探究点一 求最大公约数 用辗转相除法求 612 与 468 的最大公约数，并用更相减 损术检验所得结果． (链接教材 P36 例 1)
(部编版)2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例课后提升作业含解析新人教A版必修3
算法案例(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.2 146和1 813的最大公约数为( )A.36B.37C.38D.39【解析】选B.2 146=1 813×1+333,1 813=333×5+148,333=148×2+37,148=37×4.故2 146与1 813的最大公约数为37.2.(2016·淮南高一检测)利用秦九韶算法计算多项式f(x)=101x100+100x99+99x98 +…+2x+1当x=x0时的值，其中下面公式v0=101，v k=v k-1x0+101-k(k=1,2，…100)被反复执行，可用循环结构来实现，那么该循环结构中循环体被执行的次数为( ) A.200 B.101 C.100 D.99【解析】选C.多项式的最高次数为100，故需要重复进行100次的乘法和加法运算，即执行循环体100次.3.(2016·武汉高一检测)将五进制数10243(5)化为十进制数为( )A.683B.698C.823D.2 048【解析】选B.10243(5)=1×54+0×53+2×52+4×51+3×50=625+0+50+20+3=698.4.下列各数中最小的数是( )A.111111(2)B.210(6)C.1000(4)D.110(8)【解题指南】把各数都化为十进制数再比较大小.【解析】选A.把A，B，C，D项中的数都换成十进制数，那么，111111(2)=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=63，210(6)=2×62+1×61+0×60=78，1 000(4)=1×43=64，110(8)=1×82+1×81+0×80=72，故通过比较可知A中数最小.5.用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+0.11x3-0.15x-0.04当x=0.3时的值为( )A.-0.079 6B.0.079 6C.0.796D.-0.796【解析】选A.将f(x)改写为：f(x)=((((x+0)·x+0.11)x+0)x-0.15)x-0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0=1,v1=v0·0.3+0=0.3,v2=v1·0.3+0.11=0.2,v3=v2·0.3+0=0.06,v4=v3·0.3-0.15=-0.132,v5=v4·0.3-0.04=-0.079 6.所以当x=0.3时，多项式的值为-0.079 6.6.四位二进制数能表示的最大十进制数是( )A.4B.64C.255D.15【解析】选D.由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)=15.7.三个数72,120,168的最大公约数为( )A.48B.36C.24D.12【解析】选C.先求120,168的最大公约数，因为168=120×1+48,120=48×2+24,48=24×2，所以120,168的最大公约数是24.再求72，24的最大公约数,因为72=24×3,所以72,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.【一题多解】选C.先求120,168的最大公约数,168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24.所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数，72-24=48,48-24=24.所以72,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.8.用秦九韶算法求ｎ次多项式ｆ(ｘ)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0，当ｘ=x0时，求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.()n n12+,n,n B.n,2n,nC.0,2n,nD.0,n,n【解析】选D.利用秦九韶算法求f(x0)的值，不需要算乘方，只需要n次乘法，n次加法.二、填空题(每小题5分，共10分)9.235(7)=_____(8).【解析】先将235(7)转化为十进制数，235(7)=2×72+3×7+5×70=124,所以235(7)=124.又124=174(8),所以235(7)=174(8).答案:17410.用秦九韶算法求多项式f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5当x=4时的值,给出如下数据:①0；②2；③11；④37；⑤143.其运算过程中(包括最终结果)会出现的数有_______(只填序号).【解析】将多项式写成f(x)=(((x-2)x+3)x-7)x-5.其中v0=1;v1=1×4-2=2;v2=2×4+3=11;v3=11×4-7=37;v4=37×4-5=143.答案:②③④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)11.用两种方法求378和90的最大公约数.【解析】方法一：辗转相除法：378=90×4+18，90=18×5+0，所以378与90的最大公约数是18.方法二：更相减损术：因为378与90都是偶数.所以用2约简得189和45.189-45=144,144-45=99，99-45=54,54-45=9，45-9=36,36-9=27，27-9=18,18-9=9.所以378与90的最大公约数为2×9=18.【补偿训练】用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.【解析】324=243×1+81，243=81×3+0，则324与243的最大公约数为81.又135=81×1+54，81=54×1+27，54=27×2+0，则 81 与 135的最大公约数为27.所以,三个数324，243，135的最大公约数为27.【一题多解】324-243=81,243-81=162,162-81=81，则324与243的最大公约数为81.135-81=54,81-54=27,54-27=27，则81与135的最大公约数为27.所以，三个数324，243，135的最大公约数为27.12.用秦九韶算法求多项式f(x)=x7-2x6+3x3-4x2+1,当x=2时的函数值.【解析】先将多项式f(x)进行改写：f(x)=x7-2x6+3x3-4x2+1=((((((x-2)x+0)x+0)x+3)x-4)x+0)x+1.由内向外逐次计算：v0=1,v1=v0x+a6=1×2-2=0,v2=v1x+a5=0×2+0=0,v3=v2x+a4=0×2+0=0,v4=v3x+a3=0×2+3=3,v5=v4x+a2=3×2-4=2,v6=v5x+a1=2×2+0=4,v7=v6x+a0=4×2+1=9,故当x=2时多项式f(x)的值为f(2)=9.【能力挑战题】若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，求正整数a，b.【解题指南】先将这两个数化为十进制数，再利用两数相等，同时注意a，b的取值范围来求a，b的值. 【解析】10b1(2)=1×23+b×21+1=2b+9，a02(3)=a×32+2=9a+2，所以2b+9=9a+2.即9a-2b=7.又因为a∈{1,2}，b∈{0,1}.所以当a=1时，b=1，符合题意；当a=2时，b=112不合题意.所以a=1，b=1.。
高中数学第一章算法初步1.3算法案例课时跟踪训练含解析新人教A版必修
学习资料第一章算法初步1．3算法案例［A组学业达标]1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下:16－12＝4，12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是（）A．4B．12C．16 D．8解析：根据更相减损术的方法判断．答案:A2．459和357的最大公约数是() A．3 B．9C．17 D．51解析：∵459＝357×1＋102，357＝102×3＋51,102＝51×2,∴459和357的最大公约数是51.故选D.答案：D3．下列各数中最小的数是(）A．101 010(2)B．210（8）C．1 001（16)D．81解析：101 010（2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,210（8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，1 001(16)＝1×163＋0×162＋0×161＋1×160＝4 097.故选A.答案：A4．用秦九韶算法求多项式f(x）＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是(）A．－4 B．－1C．5 D．6解析：n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2,a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6.答案：D5．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5,6C．5，5 D．6,5解析：秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A。
答案:A6．用秦九韶算法求f（x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝__________．解析：f(x）＝（（2x＋0）x＋1)x－3，v0＝2；v1＝2×3＋0＝6；v2＝6×3＋1＝19.答案：197．将51化为二进制数得__________．解析：答案：110 011（2)8．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是__________．解析：294＝84×3＋42,84＝42×2.答案：29．用辗转相除法求242与154的最大公约数．解析:242＝154×1＋88,154＝88×1＋66，88＝66×1＋22，66＝22×3.所以242与154的最大公约数是22。
2019_2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例限时规范训练新人教A版必修3
1.3 算法案例【基础练习】1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，第一步算的是( ) A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34【答案】D【解析】∵f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2＝(((((7x＋6)x＋0)x＋0)x＋3)x＋0)x＋2，∴在求x ＝4时的值时，v1的值为7x＋6＝7×4＋6＝34.故选D．2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.6时的值时，需做加法与乘法的次数和是( )A．12 B．11C．10 D．9【答案】A【解析】需做加法与乘法的次数都为6，其和为12.故选A．3．840和1 764的最大公约数是( )A．84 B．12C．168 D．252【答案】A【解析】1 764＝840×2＋84,840＝84×10，故840和1 764的最大公约数是84.故选A．4．下列各数中，最小的是( )A．101 010(2)B．111(5)C．32(8)D．54(6)【答案】C【解析】101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42，111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31，32(8)＝3×81＋2×80＝26，54(6)＝5×61＋4×60＝34.又42＞34＞31＞26，故最小的是32(8)．5．下列与二进制数1 001 101(2)相等的是( )A．115(8)B．113(8)C．114(8)D．116(8)【答案】A【解析】先化为十进制数：1 001 101(2)＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，再化为八进制．所以77＝115(8)，所以1 001 101(2)＝115(8)．6．三个数720,120,168的最大公约数是________．【答案】24【解析】先求720与120的最大公约数120，再求168与120的最大公约数24，因此，720,120与168的最大公约数为24.7．用更相减损术求561与255的最大公约数．解：561－255＝306，306－255＝51，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51.所以561与255的最大公约数为51.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5＋7x4＋6x3＋3x2＋x＋1当x＝3时的值．解：f(x)＝5x5＋7x4＋6x3＋3x2＋x＋1＝(5x4＋7x3＋6x2＋3x＋1)x＋1＝((5x3＋7x2＋6x＋3)x＋1)x＋1＝(((5x2＋7x＋6)x＋3)x＋1)x＋1＝((((5x＋7)x＋6)x＋3)x＋1)x＋1.v0＝5；v1＝5×3＋7＝22；v2＝22×3＋6＝72；v3＝72×3＋3＝219；v4＝219×3＋1＝658；v5＝658×3＋1＝1 975.故多项式f(x)当x＝3时的值为1 975.9．把八进制数2 016(8)化为五进制数．解：2 016(8)＝2×83＋0×82＋1×81＋6×80＝1 024＋0＋8＋6＝1 038.∴2 016(8)＝13 123(5)．【能力提升】10．利用辗转相除法求最大公约数，下列说法不正确的是( )A．228和1 995的最大公约数是57B．78和36的最大公约数是6C．85和357的最大公约数是34D．153和119的最大公约数是17【答案】C【解析】本题主要考查两个整数的最大公约数，由辗转相除法可得，85和357的最大公约数应该是17，故选C．11．已知1 0b1(2)＝a02(3)，则a＋b的值为( )A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，∴当a＝1，b＝1时符合题意，即a＋b＝2，故选C．12．用秦九韶算法计算当x＝2时，f(x)＝3x4＋x3＋2x2＋x＋4的值的过程中，v2的值为( )A．3 B．7C．16 D．33【答案】C【解析】f(x)＝3x4＋x3＋2x2＋x＋4＝(((3x＋1)x＋2)x＋1)x＋4，∴在x＝2时的值时，v0＝2，v1＝3×2＋1＝7，v2＝7×2＋2＝16，故选C．13．已知175(r)＝125(10)，求r进制数76(r)应记成十进制的什么数？解：∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0.∴r＝8或r＝－15(舍去)．∴r＝8.76(r)＝76(8)＝7×81＋6×80＝62.数76(r)应记成十进制62.14．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火报告敌情，如下图，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？解：由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2)，它表示的十进制数为11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于二进制数对应的十进制数的单位是 1 000，所以入侵敌人的数量为27×1 000＝27 000.。
部编版2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例优化练习新人教A版必修1
1.3 算法案例[课时作业][A组学业水平达标]1．用辗转相除法求35和134的最大公约数，第一步是( )A．134－35＝99 B．134＝35×3＋29C．先除以2，得到18和67 D．35＝25×1＋10解析：按照辗转相除法的算法步骤，先用大数除以小数，故选B.答案：B2．下列各数转化成十进制后最小的数是( )A．111 111(2)B．210(6)C．1 000(4)D．81(9)解析：A项，将111 111(2)转化为十进制数为111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1×20＝32＋16＋8＋4＋2＋1＝63；B项，将210(6)转化为十进制数为210(6)＝2×62＋1×61＋0×60＝78；C项将1 000(4)转化为十进制数为1 000(4)＝1×43＋0×42＋0×41＋0×40＝64；D项，将81(9)转化为十进制数为81(9)＝8×91＋1×90＝73，比较这四个数，78＞73＞64＞63，即A项转化为十进制数之后表示的数最小．答案：A3．利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝4时的值，需要做乘法和加法的次数分别为( )A．6,6 B．21,6C．5,6 D．6,5解析：用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法的次数与多项式的未知数的最高次项的指数相同，∴一共进行了6次乘法运算，加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同，∴一共进行了6次加法运算，故答案为A.答案：A4．把89化成五进制数的末位数字为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：89÷5＝17……4, 17÷5＝3……2,3÷5＝0……3，所以把89化成五进制数为324(5)答案：D5．下列结论正确的是( )A．88(9)<210(6)B．62＝124(5)C．110(2)>10(3)D．32(4)＝23(6)解析：对于A：因为88(9)＝8×9＋8×90＝80，210(6)＝2×62＋1×6＋0×60＝78,80>78，所以A错误．对于B：因为124(5)＝1×52＋2×5＋4×50＝39≠62，所以B错误．对于C：因为110(2)＝1×22＋1×2＋0×20＝6，10(3)＝1×3＋0×30＝3,6>3，所以C正确．对于D：因为32(4)＝3×4＋2×40＝14，23(6)＝2×6＋3×60＝15,14≠15，所以D错误．答案：C6．用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是________．解析：98＝63×1＋35,63＝35×1＋28,35＝28×1＋7,28＝4×7＋0.所以最大公约数为7. 答案：77．25(7)＝________(2)．解析：因为根据除k取余法，得到25(7)＝1 011(2)．答案：1 0118．读程序：若在INPUT语句中输入m，n的数据分别是72,168，则程序运行的结果为__________．解析：程序是求n的最大公约数．答案：249．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6，当x＝3时的值．解析：f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6＝((((5x－4)x＋0)x＋3)x＋8)x－6，当x＝3时，v0＝5，v1＝5×3－4＝11，v2＝11×3＋0＝33，v3＝33×3＋3＝102，v4＝102×3＋8＝314，v5＝314×3－6＝936.∴f(3)＝936.10．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．(1)80,36；(2)294,84.解析：(1)80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2，即80与36的最大公约数是4.验证：80－36＝44,44－36＝8,36－8＝28,28－8＝20,20－8＝12,12－8＝4,8－4＝4，故80与36的最大公约数为4.(2)294＝84×3＋42,84＝42×2，即294与84的最大公约数是42.验证：∵294与84都是偶数，可同时除以2，∴取147与42的最大公约数后再乘以2. 147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21,42－21＝21，∴294与84的最大公约数为21×2＝42.[B组应考能力提升]1．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：例如用十六进制表示有D＋E＝1B，则A×B＝( )A．6E B．7CC．5F D．B0解析：∵表格中A对应的十进制数为10，B对应的十进制数为11，∴A ×B ＝10×11，由十进制表示为：10×11＝6×16＋14， 又表格中E 对应的十进制为14， ∴用十六进制表示A ×B ＝6E .故选A 答案：A2．已知多项式f (x )＝4x 5＋2x 4＋3.5x 3－2.6x 2＋1.7x －0.8，用秦九韶算法计算f (5)时的v 1值为( ) A ．22 B ．564.9 C ．20D ．14 130.2解析：根据秦九韶算法，把多项式改写为f (x )＝((((4x ＋2)x ＋3.5)x －2.6)x ＋1.7)x －0.8；按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝5时的值：v 0＝4，v 1＝4×5＋2＝22. 答案：A3．下列各数85(9)，210(6)，1 000(4)，111 111(2)中最小的数是________． 解析：将题中四个数化为十进制数． 85(9)＝8×91＋5×90＝72＋5＝77； 210(6)＝2×62＋1×6＋0＝72＋6＝78； 1 000(4)＝1×43＝64；111 111(2)＝25＋24＋23＋22＋21＋20＝63. 答案：111 111(2)4．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n＋a 1xn －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要__________次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要__________次运算． (参考公式：1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12)解析：P n (x 0)＝a 0x n0＋a 1x n －10＋…＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1,0.故总运算次数为n ＋n ＋(n －1)＋…＋1＝n ＋n n ＋12＝12n (n ＋3)．第二种算法中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1需2次运算， P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算． 答案：12n (n ＋3) 2n5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．解析：由f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，∴y1＝7×3＋6＝27；y2＝27×3＋5＝86；y3＝86×3＋4＝262；y4＝262×3＋3＝789；y5＝789×3＋2＝2 369；y6＝2 369×3＋1＝7 108；y7＝7 108×3＝21 324；∴f(3)＝21 324.6．若二进制数100y 011和八进制数x03相等，求x＋y的值．解析：100y 011(2)＝1×26＋y×23＋1×2＋1＝67＋8y，x03(8)＝x×82＋3＝64x＋3，∴8y＋67＝64x＋3.∵y可取0,1，x可以取1,2,3,4,5,6,7，y＝0时，x＝1；y＝1时，64x＝72无解；∴x＋y＝1.。
高中数学(人教版A版必修三)配套课时作业：第一章 算法初步 §1.3
§1.3算法案例课时目标通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．1．辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．2．更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．3．秦九韶算法把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．4．进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．一、选择题1．下列说法中正确的个数为()(1)辗转相除法也叫欧几里得算法；(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；(3)求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；(4)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析(1)、(2)、(4)正确，(3)错误．2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2 B．3 C．4 D．5答案 C解析由于294和84都是偶数，所以用2约简：294÷2＝147，84÷2＝42，又由于147不是偶数，所以147－42＝105，105－42＝63，63－42＝21，42－21＝21，故需做4次减法，故选C.3．1 037和425的最大公约数是()A．51 B．17 C．9 D．3答案 B解析∵1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为()A．10 B．9 C．12 D．8答案 C解析f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7∴加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为() A．27 B．11 C．109 D．36答案 D解析将函数式化成如下形式．f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.6．下列有可能是4进制数的是()A．5 123 B．6 542 C．3 103 D．4 312答案 C解析4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.二、填空题7．辗转相除法程序中有一空请填上．答案 a MOD b解析MOD用来表示a除以b的余数．8．更相减损术程序中有两空请填上．答案a＝b b＝r9．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．答案33(4)<12(16)<25(7)解析将三个数都化为十进制数．12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．三、解答题10．用两种方法求210与98的最大公约数．解用辗转相除法：210＝98×2＋14，98＝14×7.∴210与98的最大公约数为14.用更相减损术：∵210与98都是偶数，用2约简得105和49，105－49＝56,56－49＝7，49－7＝42,42－7＝35，35－7＝28,28－7＝21，21－7＝14,14－7＝7.∴210与98的最大公约数为2×7＝14.11．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.能力提升12．把111化为五进制数．解∴111化为五进制数为421(5)．13．把10 231(5)化为四进制数．解先化成十进制数．10 231(5)＝1×54＋0×53＋2×52＋3×51＋1＝625＋50＋15＋1＝691再化为四进制数∴10 231(5)＝22 303(4).1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系(1)都是求最大公约数的方法．(2)二者的实质都是递归的过程．(3)二者都要用循环结构来实现．2．秦九韶算法的特点秦九韶算法的特点在于把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，即把求f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值转化为求递推公式： ⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1，2，…，n ) 这样可以最多计算n 次乘法和n 次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．3．十进制与其他进制的转化(1)将k 进制转化为十进制的方法：先把k 进制数写成各位上的数字与k 的幂的乘积的形式，再按十进制的运算规则计算．(2)将十进制化成k 进制的方法：用除k 取余法，用k 连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k 进制数． 小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学 第一章 算法初步 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课时提升作业 新人教A版必
高中数学第一章算法初步1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课时提升作业新人教A版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章算法初步1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课时提升作业新人教A版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列说法中正确的个数为（）①如果两个正整数互质,那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；②如果两个正整数中，较大数是较小数的倍数,那么较小数就是这两个数的最大公约数,较大数就是这两个数的最小公倍数;③两个正整数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质；④两个正整数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.A.1B.2C.3 D。
4【解析】选D。
根据最大公约数和最小公倍数的含义,4个结论都正确。
2.用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0。
4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为（）A.6，6 B。
5，6 C.6,5 D.6，12【解析】选A.改写多项式f（x）=((((（3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8）x+1,则需进行6次乘法和6次加法运算.3。
(2014·济宁高一检测）用更相减损术求459和357的最大公约数,需做减法的次数为（) A.4 B.5 C.6 D。
7【解析】选B.459-357=102，357—102=255,255-102=153,153—102=51,102—51=51。
高中数学第一章算法初步1.3.3进位制练习(含解析)新人教A版必修3
高中数学第一章算法初步1.3.3进位制练习（含解析）新人教A版必修3知识点一进位制的概念1．关于进制的说法，正确的个数为( )①“几进制”的数，其基数就是几，就“满几进一”；②计算机采用的进制一般都是二进制；③各种进制的数之间可以相互转化；④任何进制的数都必须在右下角标明基数．A．2 B．3 C．4 D．1答案 B解析①②③都是正确的，④中说法不对，因为十进制数一般省略基数．2．以下给出的各数中不可能是八进制数的是( )A．312 B．10110 C．82 D．7457答案 C解析八进制数只用到数字0，1，2，…，7，不会出现数字8．知识点二不同进位制间的转化3．将数30012(4)转化为十进制数为( )A．524 B．774 C．256 D．260答案 B解析30012(4)＝3×44＋0×43＋0×42＋1×41＋2×40＝774．4．已知10b1(2)＝a02(3)，则a＋b的值为________．答案 2解析10b1(2)＝1×20＋b×21＋0×22＋1×23＝9＋2b．a02(3)＝2×30＋0×31＋a×32＝9a＋2，因为10b1(2)＝a02(3)，b∈{0，1}，a∈{0，1，2}，且9＋2b＝9a＋2，所以a＝b＝1，所以a＋b＝2．5．把下列各数转换成十进制数．(1)101101(2)；(2)2102(3)；(3)4301(6)．解(1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝45．(2)2102(3)＝2×33＋1×32＋2＝65．(3)4301(6)＝4×63＋3×62＋1＝973．易错点对进位制转换的方法掌握不牢致错6．把十进制数48化为二进制数．易错分析由于基础知识，基本方法掌握不牢而错将结果写成11(2)．正解如下图所示，得48＝110000(2)．一、选择题1．将二进制数110101(2)转换成十进制数是( )A．105 B．54 C．53 D．29答案 C解析按照二进制数转换成十进制数的方法，可得十进制数是53．2．已知k进制数132与十进制数30相等，则k的值为( )A．－7或4 B．－7C．4 D．以上都不对答案 C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，所以k2＋3k＋2＝30，解得k＝4或k＝－7(舍去)，所以k＝4．3．如图是把二进制的数11111(2)化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i≤4? B．i≤5? C．i＞4? D．i＞5?答案 A解析11111(2)＝1×20＋1×21＋1×22＋1×23＋1×24＝2×(2×(2×(2×1＋1)＋1)＋1)＋1．(秦九韶算法)11111(2)＝31＝2×15＋1＝2×(2×7＋1)＋1＝2×(2×(2×3＋1)＋1)＋1＝2×(2×(2×(2×1＋1)＋1)＋1)＋1．故选A．4．下列各数中最小的数是( )A．101010(2) B．210(8)C．1001(16) D．81答案 A解析101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42，210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，1001(16)＝1×163＋0×162＋0×16＋1×160＝4097，故选A．5．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，与十进制的对应关系如下表：例如用十六进制表示D＋E＝1B，则(2×F＋1)×4＝( )A．6E B．7C C．5F D．B0答案B解析(2×F＋1)×4用十进制可以表示为(2×15＋1)×4＝124，而124＝16×7＋12，所以用十六进制表示为7C，故选B．二、填空题6．若六进制数13m502(6)化为十进制数为12710，则m＝________．答案 4解析 根据将k 进制数转化为十进制数的方法有13m502(6)＝1×65＋3×64＋m×63＋5×62＋0×61＋2＝12710，解得m ＝4．7．(1)三位四进制数中的最大数等于十进制数的是________；(2)把389化为四进制数，则该数的末位是________．答案 (1)63 (2)1解析 (1)本题主要考查算法案例中进位制的原理．三位四进制数中的最大数为333(4)，则333(4)＝3×42＋3×41＋3＝63．(2)解法一：由389＝4×97＋1，97＝4×24＋1，24＝4×6＋0，6＝4×1＋2，1＝4×0＋1，389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1．解法二：以4作为除数，相应的除法算式如图所示，所以389＝12011(4)．显然该数的末位是1．8．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，则它们按由小到大的顺序排列为________．答案 33(4)<12(16)<25(7)解析 将三个数都化为十进制数，则12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．三、解答题9．若二进制数100y011(2)(y ＝0或1)和八进制数x03(8)(0≤x≤8，x ∈N )相等，求x ＋y 的值．解 ∵100y 011(2)＝1×26＋y ×23＋1×21＋1＝67＋8y ，x 03(8)＝x ×82＋3＝64x ＋3，∴8y ＋67＝64x ＋3， y 可取0或1，x 可取1，2，3，4，5，6，7，当y ＝0时，x ＝1；当y ＝1时，64x ＋3＝75，x ＝98，不符合题意，∴x ＋y ＝1． 10．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如下图所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？解由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11011(2)，它表示的十进制数为1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于二进制数对应的十进制数的单位是1000，所以入侵的敌人的数目为27×1000＝27000．。
新人教版高中数学第一章算法初步1.3算法案例课时提升作业新人教A版必修3
算法案例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.更相减损术可解决下列问题中的()A.求两个正整数的最大公约数B.求多项式的值C.进位制的转化计算D.排序问题【解析】选A.更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的.2.(2015·娄底高一检测)把77化成四进制数的末位数字为()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为77÷4=19……1，19÷4=4……3，4÷4=1……0，1÷4=0……1，故77(10)=1 031(4)，末位数字为1.【补偿训练】十进制数89化为二进制的数为()A.1001101(2)B.1011001(2)C.0011001(2)D.1001001(2)【解析】选B.89÷2=44…1，44÷2=22…0，22÷2=11…0，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故89(10)=1 011 001(2).3.(2015·临沂高一检测)已知多项式f(x)=x4-3x3+5x，用秦九韶算法求f(5)的值等于()A.275B.257C.55D.10【解析】选A.因为f(x)=x4-3x3+0·x2+5x=(((x-3)x+0)x+5)x，v0=1，v1=1×5-3=2，v2=2×5+0=10，v3=10×5+5=55，v4=55×5=275，所以f(5)的值为275.4.(2015·洛阳高一检测)用秦九韶算法计算多项式f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5在x=-2时，v3的值为()A.1B.2C.3D.4【解题指南】所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值.【解析】选B.f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5=(x4+5x3+10x2+10x+5)x+1=((x3+5x2+10x+10)x+5)x+1=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1所以在x=-2时，v3的值为((x+5)x+10)x+10=2，故选B.【补偿训练】利用秦九韶算法求多项式f(x)=7x3+3x2-5x+11当x=23的值时，在运算中下列哪个值用不到()A.164B.3 767C.86 652D.85 169【解析】选D.f(x)=((7x+3)x-5)x+11，v1=7×23+3=164，v2=164×23-5=3 767，v3=3 767×23+11=86 652，所以f(23)=86 652.5.把十进制的23化成二进制数是()A.00 110(2)B.10 111(2)C.10 111(2)D.11 101(2)【解析】选B.23÷2=11…1，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故23=10 111(2).【补偿训练】四位二进制数能表示的最大十进制数是()A.4B.15C.64D.127【解析】选B.1 111(2)=1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15.二、填空题(每小题5分，共15分)6.25与35的最大公约数为.【解析】35=1×25+10，25=2×10+5，10=2×5，所以25与35的最大公约数为5.答案：57.(2015·苏州高一检测)七进制数中各个数位上的数字只能是中的一个.【解析】“满几进一”就是几进制.因为进位制是七进制，所以满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0，1，2，3，4，5，6中的一个.答案：0，1，2，3，4，5，68.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值时，其中v1的值为.【解析】由题意知答案：-7【误区警示】此题很容易把所求的v1写成v0的值而出现错误答案.三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·杭州高一检测)分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.【解析】辗转相除法：319=261×1+58，261=58×4+29，58=29×2.所以319与261的最大公约数是29.更相减损术：319-261=58，261-58=203，203-58=145，145-58=87，87-58=29，58-29=29，所以319与261的最大公约数是29.10.利用秦九韶算法求多项式f(x)=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13当x=6时的值，写出详细步骤. 【解题指南】先把多项式改写，再利用秦九韶算法求解.【解析】f(x)=(((((3x+12)x+8)x-3.5)x+7.2)x+5)x-13，v0=3，v1=v0×6+12=30，v2=v1×6+8=188，v3=v2×6-3.5=1 124.5，v4=v3×6+7.2=6 754.2，v5=v4×6+5=40 530.2，v6=v5×6-13=243 168.2.f(6)=243 168.2.【拓展延伸】秦九韶算法的求解策略秦九韶算法把求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值转化为求递推公式(k=1，2，…，n)的值.这样最多只需n次乘法和n次加法即可求出多项式的值，和直接代入求值相比，减少了运算次数，提高了运算效率.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·南昌高一检测)将389化成四进制数的末位是()A.1B.2C.3D.0【解析】选A.389化成四进制数的运算过程如图，所得的四进制数是12 011(4)，其末位是1.2.两个正整数840与1 785的最大公约数是()A.105B.8C.2D.840【解析】选A.1 785=840×2+105，840=105×8，所以105为840与1 785的最大公约数.【补偿训练】用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为() A.4B.5C.6D.7【解析】选B.459-357=102，357-102=255，255-102=153，153-102=51，102-51=51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次，故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·邵阳高一检测)已知函数f(x)=x3-2x2-5x+8，利用秦九韶算法求f(9)的值.【解析】f(x)=x3-2x2-5x+8=((x-2)x-5)x+8，所以f(9)=((9-2)×9-5)×9+8=530.答案：530【补偿训练】用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是.【解析】多项式变形为f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1，v0=3，v1=3×(-4)+12=0，v2=0×(-4)+6=6，v3=6×(-4)+10=-14，v4=-14×(-4)-8=48，所以v4最大，v3最小，所以v4-v3=48+14=62.答案：624.把二进制数1 001(2)化成十进制数为.【解析】1 001(2)=1×23+0×22+0×21+1=9.答案：9【补偿训练】将53(8)转化为二进制的数为.【解析】53(8)=5×81+3=43.所以53(8)=101 011(2).答案：101 011(2)三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·韶关高一检测)用辗转相除法求888与1 147的最大公约数. 【解析】因为1 147=888×1+259，888=259×3+111，259=111×2+37，111=37×3，所以888与1 147的最大公约数是37.【一题多解】此题也可以利用更相减损术来求：1 147-888=259，888-259=629，629-259=370，370-259=111，259-111=148，148-111=37，111-37=74，74-37=37.所以888与1 147的最大公约数为37.【拓展延伸】辗转相除法和更相减损术的选择辗转相除法和更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数，针对不同的两数，选择运算少的是关键，当满足下列条件之一，选择辗转相除法：(1)所给两数差值大；(2)所给两数的差与较小的数比，差值较大.6.(1)将137化为六进制数.(2)将53(8)转化为三进制数.【解析】(1)所以137=345(6).(2)53(8)=5×81+3×80=43.所以53(8)=1 121(3).。
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2019-2020年高中数学第一章算法初步1.3算法案例课时提升作业新人教A版必修一、选择题(每小题5分，共25分)1.更相减损术可解决下列问题中的( )A.求两个正整数的最大公约数B.求多项式的值C.进位制的转化计算D.排序问题【解析】选A.更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的.2.(xx·娄底高一检测)把77化成四进制数的末位数字为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为77÷4=19……1，19÷4=4……3，4÷4=1……0，1÷4=0……1，故77(10)=1 031(4)，末位数字为1.【补偿训练】十进制数89化为二进制的数为( )A.1001101(2)B.1011001(2)C.0011001(2)D.1001001(2)【解析】选B.89÷2=44…1，44÷2=22…0，22÷2=11…0，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故89(10)=1 011 001(2).3.(xx·临沂高一检测)已知多项式f(x)=x4-3x3+5x，用秦九韶算法求f(5)的值等于( )A.275B.257C.55D.10【解析】选A.因为f(x)=x4-3x3+0·x2+5x=(((x-3)x+0)x+5)x，v0=1，v1=1×5-3=2，v2=2×5+0=10，v3=10×5+5=55，v4=55×5=275，所以f(5)的值为275.4.(xx·洛阳高一检测)用秦九韶算法计算多项式f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5在x=-2时，v3的值为( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值.【解析】选B.f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5=(x4+5x3+10x2+10x+5)x+1=((x3+5x2+10x+10)x+5)x+1=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1所以在x=-2时，v3的值为((x+5)x+10)x+10=2，故选B.【补偿训练】利用秦九韶算法求多项式f(x)=7x3+3x2-5x+11当x=23的值时，在运算中下列哪个值用不到( )A.164B.3 767C.86 652D.85 169【解析】选D.f(x)=((7x+3)x-5)x+11，v1=7×23+3=164，v2=164×23-5=3 767，v3=3 767×23+11=86 652，所以f(23)=86 652.5.把十进制的23化成二进制数是( )A.00 110(2)B.10 111(2)C.10 111(2)D.11 101(2)【解析】选B.23÷2=11…1，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故23=10 111(2).【补偿训练】四位二进制数能表示的最大十进制数是( )A.4B.15C.64D.127【解析】选B.1 111(2)=1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15.二、填空题(每小题5分，共15分)6.25与35的最大公约数为.【解析】35=1×25+10，25=2×10+5，10=2×5，所以25与35的最大公约数为5.答案：57.(xx·苏州高一检测)七进制数中各个数位上的数字只能是中的一个.【解析】“满几进一”就是几进制.因为进位制是七进制，所以满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0，1，2，3，4，5，6中的一个.答案：0，1，2，3，4，5，68.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值时，其中v1的值为.【解析】由题意知答案：-7【误区警示】此题很容易把所求的v1写成v0的值而出现错误答案.三、解答题(每小题10分，共20分)9.(xx·杭州高一检测)分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.【解析】辗转相除法：319=261×1+58，261=58×4+29，58=29×2.所以319与261的最大公约数是29.更相减损术：319-261=58，261-58=203，203-58=145，145-58=87，87-58=29，58-29=29，所以319与261的最大公约数是29.10.利用秦九韶算法求多项式f(x)=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13当x=6时的值，写出详细步骤. 【解题指南】先把多项式改写，再利用秦九韶算法求解.【解析】f(x)=(((((3x+12)x+8)x-3.5)x+7.2)x+5)x-13，v0=3，v1=v0×6+12=30，v2=v1×6+8=188，v3=v2×6-3.5=1 124.5，v4=v3×6+7.2=6 754.2，v5=v4×6+5=40 530.2，v6=v5×6-13=243 168.2.f(6)=243 168.2.【拓展延伸】秦九韶算法的求解策略秦九韶算法把求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值转化为求递推公式(k=1，2，…，n)的值.这样最多只需n次乘法和n次加法即可求出多项式的值，和直接代入求值相比，减少了运算次数，提高了运算效率.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(xx·南昌高一检测)将389化成四进制数的末位是( )A.1B.2C.3D.0【解析】选A.389化成四进制数的运算过程如图，所得的四进制数是12 011(4)，其末位是1.2.两个正整数840与1 785的最大公约数是( )A.105B.8C.2D.840【解析】选A.1 785=840×2+105，840=105×8，所以105为840与1 785的最大公约数.【补偿训练】用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.459-357=102，357-102=255，255-102=153，153-102=51，102-51=51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次，故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(xx·邵阳高一检测)已知函数f(x)=x3-2x2-5x+8，利用秦九韶算法求f(9)的值.【解析】f(x)=x3-2x2-5x+8=((x-2)x-5)x+8，所以f(9)=((9-2)×9-5)×9+8=530.答案：530【补偿训练】用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是.【解析】多项式变形为f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1，v0=3，v1=3×(-4)+12=0，v2=0×(-4)+6=6，v3=6×(-4)+10=-14，v4=-14×(-4)-8=48，所以v4最大，v3最小，所以v4-v3=48+14=62.答案：624.把二进制数1 001(2)化成十进制数为.【解析】1 001(2)=1×23+0×22+0×21+1=9.答案：9【补偿训练】将53(8)转化为二进制的数为.【解析】53(8)=5×81+3=43.所以53(8)=101 011(2).答案：101 011(2)三、解答题(每小题10分，共20分)5.(xx·韶关高一检测)用辗转相除法求888与1 147的最大公约数. 【解析】因为1 147=888×1+259，888=259×3+111，259=111×2+37，111=37×3，所以888与1 147的最大公约数是37.【一题多解】此题也可以利用更相减损术来求：1 147-888=259，888-259=629，629-259=370，370-259=111，259-111=148，148-111=37，111-37=74，74-37=37.所以888与1 147的最大公约数为37.【拓展延伸】辗转相除法和更相减损术的选择辗转相除法和更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数，针对不同的两数，选择运算少的是关键，当满足下列条件之一，选择辗转相除法：(1)所给两数差值大；(2)所给两数的差与较小的数比，差值较大.6.(1)将137化为六进制数.(2)将53(8)转化为三进制数.【解析】(1)所以137=345(6).(2)53(8)=5×81+3×80=43.所以53(8)=1 121(3).2019-2020年高中数学第一章算法初步1.4算法案例学业分层测评苏教版必修一、填空题1．若Int(x)表示不超过x的最大整数，对于下列等式：①Int(10.01)＝10；②Int(－1)＝－1；③Int(－5.2)＝－5.其中正确的有________个．【解析】①②正确，③错误．因为Int(x)表示的是不超过x的最大整数，所以Int(－5.2)＝－6.【答案】 22．1 037和425的最大公约数是________．【解析】∵1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.【答案】173．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图144，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝________.图144【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为a＝14，b＝18；b＝4；a＝10；a＝6；a＝2；b＝2，此时a＝b＝2，程序结束，输出a的值为2.【答案】 2二、解答题4．已知如图145所示的流程图(其中m、n为正整数)．(1)这个算法的功能是什么？(2)当m＝286，n＝91时，输出的结果是什么？图145【解】 (1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数． (2)∵286＝91×3＋13,91＝13×7，∴286与91的最大公约数是13.故运行结果为13.5．在平面直角坐标系中作出函数f (x )＝1x和g (x )＝lg x 的图象，根据图象判断方程lg x＝1x的解的范围，再用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001)的算法用伪代码表示．【解】 图象为：设h (x )＝1x－lg x .∵h (2)＝12－lg 2>0，h (3)＝13－lg 3<0，∴h (x )＝0在(2,3)内有解． 伪代码为：a ←2b ←3c ←0.001Do x 0←a ＋b2 h a 1a－lg a hx 01x 0－lg x 0If h x 0＝0 Then Exit Do If h a h x 0 b ←x 0 Else a ←x 0 End IfUntil |a －b |<c End Do Print x 0[能力提升]1．下面一段伪代码的功能是________．m ←2m ，Or m ， Orm ， m ←m ＋1End While Print m【解析】 由代码含义可知，m 满足的条件是除以2余1，除以3余2，除以5余3，又m 逐个增大，故输出的m 是满足条件的最小正整数．【答案】 求关于x 、y 、z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2x ＋1，m ＝3y ＋2，m ＝5z ＋3的最小正整数2．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g ，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？【解】 每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数.343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49.∴147和343的最大公约数为49. 同理可求得49与133的最大公约数为7. 所以每瓶最多装7克．。