数学理卷·2014西工大附中高三第八次适应性训练解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练高三数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟．【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷，含概了高中所有内容，注重基础知识考查与基本技能训练，重点考查考纲要求的知识与能力，覆盖全面，难度适中，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，对数量关系，空间形式，数形结合，类比，推广，特殊化等都有涉及，注重通性通法，避开偏题、难题、怪题.完全符合高考题型和难度，是一份优质的考前训练卷.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0a b >>，则下列不等式中成立的是（A （B ）||||a b < （C （D 【知识点】不等式的性质；不等式的运算法则；不等式中条件的作用；比较法. 【答案解析】C 解析：解：1000a b ab ab >>∴>⇒>，1111a b ab ab b a ⨯>⨯⇒>∴A 不正确0,a b a a b b a b >>∴==∴>∴B 不正确()()()()()()111110000a b a a b a b a a a b a b a a b a a b a a a b >>∴>->∴-⨯>⇒>∴⨯>-⨯⇒>∴----C 正确()()()()()()111110000a b a b b a b b a b b a b b a b b a b b b a b >>∴+>>∴+⨯>⇒>∴+⨯>⨯⇒>∴++++D 不正确【思路点拨】严格应用不等式的性质，注意不等式成立的条件，根据选项找出要证明的条件熟记解题方法.2.已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=，且//a b ，则32a b +=（A ）(7,2) （B ）(7,14)- （C ）(7,4)- （D ）(7,8)-【知识点】向量的加法运算；实数与向量的积；两个向量共线定理.【答案解析】B 解析 ：解：由//a b 得：m+4=0，即4m =-，323(1 ,2)2(2,)a b m ∴+=-+ (3,6)(4,2m)(7,26)m =-+=-=(7,14)-，故选B.【思路点拨】借助于两个向量共线定理得到m 的值，然后进行向量的基本运算.3.在等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35【知识点】等差数列的定义；等差中项的性质；求各的特殊关系.【答案解析】C 解析：解：根据等差中项的性质112n n n a a a -++=，n )(),2,2n m p q n m k m p q a a a n m k a a +=++=++=+=性质：等差数列的下角码（则a 若则a 354441237423124,....728a a a a a a a a a a ∴+=∴=⇒=+++==所以C 正确.【思路点拨】等差数列的定义，也体现数列本身的性质，所以形成等差数列很多特殊性质，等差中项的性质为重要的考点也为重要的知识点先求出隐含条件44a =，找出所求项的规律按性质代入即可.4.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β；② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ=，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ） 3【知识点】面面平行的性质定理；面面垂直的性质定理；异面直线的概念的理解.【答案解析】B 解析 ：解：① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； 此时结论为//m β或m β⊂，故①不正确；② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ或相交，故②不正确；③平面α⊥平面β，且l αβ=，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； 此命题中，若,B β∈且AB 与l 异面，同时AB l ⊥，此时AB 与β相交，故③不正确； 命题④是正确的.【思路点拨】一般情况下，立体几何客观题中如若考查线面、面面间的平行与垂直的性质定理或判定定理，通常举反例，结合排除法去解题.【典型总结】立体几何中对线面、面面关系的考查历来是高考考查的重点,因此加强对基本概念的复习，应引以足够的重视.5.函数sin ()x y ex ππ=-≤≤的大致图象为 y（A ） （B ） （C ） （D ）【知识点】函数的图像；导数与函数的关系；复合函数的导数；极值点的求解；导数研究 函数的增减性.【答案解析】D 解析：解：sin 'sin sin e e cos ,e cos 0cos 0x x x y y x x x x ππ====-<<的导数为则为--22222x x x πππππ∴=<-<<或，时导数小于零函数递减，时导数大于零、函数递增， 2x π>时导数小于零，函数递减,-D 22ππ、为极值点所以答案为. 【思路点拨】求复合函数的导数，极值点的应用，依据导数与函数的增减性找出正确的图像.6.的最小正周期为π，且满足()()f x f x -=，则（A ）)(x f 在 （B ）)(x f （C ）)(x f 在 （D ）)(x f 【知识点】辅助角公式；三角函数的奇偶性；三角函数的最小正周期；三角函数的单调性.【答案解析】A 解析 ：解：()s i n ()cos (2s i n ()4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++++ 因为其最小正周期为π，0,ω>所以ω=2，又因为()()f x f x -=，函数()f x 为偶函数，所以当||2πϕ<时，ϕ=4π， ()f x x ，即)(x f 在 A. 【思路点拨】本题先利用辅助角公式化简，三角函数的最小正周期求出ω=2，利用三角函数的奇偶性求出ϕ=4π，然后判断三角函数的单调性.7.若一元二次不等式220()ax x b a b ++>>的解集为（A （B （C ）2 （D ）1【知识点】一元二次不等式与解集的关系；基本不等式的应用；分式的化简.【答案解析】A 解析：解：220()ax x b a b ++>>的解集为，则2120ax x b x a ++==-的根为，211201b b a a a a ⎛⎫+⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得， 22222221112()()22121111a a a a b a a a a a b a a a a a a a a a⎛⎫-+++-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭====-+ ⎪-⎝⎭----1120,1a b a a a a a a⎛⎫>∴->∴-+≥ ⎪⎝⎭-又两项均为正值1211,0,1a a a a a a a a a⎛⎫-=->∴-== ⎪⎝⎭-时等号成立【思路点拨】找出a 与b 的关系，进一步代换，即可化简，将所求值转化成基本不等式的形式，注意不等式成立的条件，利用公式求值.8. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A（B（C（D【知识点】考查双曲线的标准方程与简单几何性质等知识.【答案解析】 D 解析 ：解：设该双曲线方程为（a ＞0，b ＞0）， 可得它的渐近线方程为b y x a=±，焦点为F （c ，0）， 点B （0，b ）是虚轴的一个端点 ∴直线FB 的斜率为00FB b b k c c -==-， ∵直线FB 与直线b y x a =互相垂直， ∴1b b c a-⨯=-，得b 2=ac ∵b 2=c 2-a 2， ∴c 2-a 2=ac ，两边都除以a 2，整理得e 2-e-1=0解此方程，得e= ， ∵双曲线的离心率e ＞1，∴e= ，故选D. 【思路点拨】借助两直线垂直的充要条件得b 2=ac ，双曲线中a,b,c 的关系b 2=c 2-a 2，解方程组，同时注意双曲线的离心率e ＞1.9.(0a >)则22a x dx -⎰的值为(A)3 (B)(C)3或 (D)3或【知识点】二项式定理；二项式项的系数；积分的定义；微分求值；导数的公式；微积分的计算.【答案解析】A 解析：解展开式的第二项的系数，()2131C a ax ⎛=⇒= ⎝⎭，()312312211133332dx x x --∴==-=-⎰ 所以为A 选项.【思路点拨】按二项式中项的系数，先求出参数的a 值，代入求值的式子，按微积分的 定义直接求值.10．已知)(x f 是R 上的偶函数，若将)(x f 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图像，若(),12-=f 则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++=（A ）0 (B)1 （C ）－1 ( D)－1004.5【知识点】函数的奇偶性、周期性、对称性以及函数图像的平移.【答案解析】C 解析 ：解：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y 轴对称，即该函数有对称轴x ＝0，又∵将f(x)的图象向左平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，由于奇函数图象关于原点对称，此点是由函数f(x)的图象的对称中心向左平移一个单位得到的，∴函数f(x)的对称中心为(1，0)，即f(1)＝0，又∵f(－x)＝f(x)，f(1－x)＝－f(1＋x)∴f(x －1)＝－f(x ＋1))()2()4()2()(x f x f x f x f x f =+-=+⇒+=-⇒故函数f(x)的周期T ＝4，∵(),12-=f f(1)＝0∴f(－1)＝f(1)＝0，(),12-=f ，f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝0f(－3)＝f(3)＝0，f(4)＝f(0)＝－f(2)＝1,所以在一个周期中，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0故f(1)＋f(2)＋……＋f(2012)＝503×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]+ f(1)＋f(2)= －1故选C【思路点拨】本题的关键是如何利用函数的奇偶性、对称性得到周期为4.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11. 抛物线x ＝－2y 2的准线方程是 .【知识点】圆锥曲线的概念；抛物线的概念；准线方程的求解；抛物线的标准方程形式.【答案解析】18x =解析：解：22112,24x y y x p =-⇒=-⇒=-准线线方程为x=2p -=18. 【思路点拨】把所给方程转化成圆锥曲线的标准形式，找出几何量P ，利用公式求出准线 方程的值.12. 已知,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值为【知识点】简单线性规划．【答案解析】3 解析 ：解：约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩对应的平面区域如图， 当目标函数过点B （2，-1）时，z=2x+y 有最大值为2×2+（-1）=3．故填3．【思路点拨】先画出可行域，再把可行域的几个角点分别代入，看哪个角点对应的函数值最大即可．13.若2sin ,0,(2)log (),0.x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则＝ ． 【知识点】分段函数；正弦函数；对数函数的计算；诱导公式.【答案解析】-解析：解：()212102sin 2sin 44x f x x f ππ⎛⎫≥+=∴+== ⎪⎝⎭时，()()()()()2202log 14162log 164x f x x f f <+=-∴-=-+==时()2121444f f π⎛⎫∴+⋅-==- ⎪⎝⎭【思路点拨】根据分段函数的定义，在不同定义域下的解析式不同，代入相应解析式，灵活分解-14与解析式形式对应.14.在三棱锥BCD A -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD∆的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为，则三棱锥BCDA-外接球的表面积为__________．【知识点】线面垂直的性质定理；勾股定理；球的面积公式.M【答案解析】π6解析：解：作AO BCD O⊥面于,连接BO、EO，球心M在AO上，连接BM, 因为底面BCD为边长为2的正三角形，所以ED= ,EO=13ED=，又AE与底面BCD 所成角的正切值为即tanAOAEOEO∠===,所以AO=3；再设BM=MA=R,在直角三角形BOM中有222BO OM BM+=，222)R R+=,解得棱锥BCDA-外接球的表面积为S=24Rπ=π6.【思路点拨】先利用正三角形的性质解得EO，BO,然后利用已知条件求出AO，再设半径，在直角三角形BOM中利用勾股定理得到R，最后利用球的表面积公式S=24Rπ得到结果.15. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A．（选修4—5 不等式选讲）若对于任意实数x不等式|2|4x x m+->恒成立，则实数m的取值范围是：；【知识点】函数图像的画法；数形结合的思想方法.【答案解析】2m >解析 ：解： 由|2|4x x m +->变形得：|2|4x m x ->-，设1y |2|x m =-，2y 4x =-；所以12y y >，即函数1y |2|x m =-的图像恒在2y 4x =-图像的上方(如图所示)，由此判断2m>4,即2m >.【思路点拨】首先把原不等式等价变形，再利用数形结合的方法判断2m 与4的大小.B ．(选修4—1 几何证明选讲）如图，已知Rt ABC ∆的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则BD 的长为 ；【知识点】圆内接三角形的性质；三角形相似的性质.：解：如上图，连接CD,由AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，知AB=5cm,而BAC ∆与BCD ∆相似，所以2BC BD BA =⋅,得BD=2BC BA【思路点拨】先由勾股定理得到AB=5cm ，再根据BAC ∆与BCD ∆相似，利用相似比得到结果.C ．（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为 ．【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；点到直线的距离公式【答案解析】5解析 ：解：1cos )62θθ+=（120y +-= 曲线C 的参数方程为{cos sin x y θθ== 化为普通方程为221x y += 所以圆上一点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径，即115d -=-=【思路点拨】把直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程，再消去参数θ将曲线C 的参数方程也化成直角坐标的方程，然后利用点到直线的距离公式求出距离，最后找出最小值.三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）（Ⅰ）求()f x 的值域；（Ⅱ ）记ABC ∆的内角C B A 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1f B =，求a 的值.【知识点】降幂公式；两角和的余弦公式及其逆用；余弦定理. 【答案解析】（Ⅰ）()f x 的值域为[0,2]．（Ⅱ ）1a =或2a =.解析 ：解：（Ⅰ因为x R ∈，所以，0()2f x ∴≤≤所以()f x 的值域为[0,2]． ………6分2320a a ∴-+=解得：1a =或2a =. ………12分P EF 【思路点拨】（Ⅰ）先用两角和的余弦公式展开和降幂公式，然后得到()f x 并求值域； （Ⅱ）先解三角方程得出B,然后用余弦定理解a 的值.17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*21()n n S a n N =-∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【知识点】数列的n 前项和n S 与n a 的关系;由数列的递推关系求通项公式;裂项求和的方法.【答案解析】解析 ：解：（Ⅰ）当1n =时，由1121S a =-得： 当 2≥n 时， n n a S -=12 ① ；1112---=n n a S ②所以数列{}n a 是以首项为分 …10分…………………………(12分)【思路点拨】（I ）根据n S 与n a 的关系,把21n n S a =-转化为有n a 的关系关式，根据等比的定义求出n a .(Ⅱ)由对数的计算求出n b ，观察n c 的特点，利用裂项求和法求出.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．（Ⅰ）求证：PA //平面EDB ； （Ⅱ）求二面角B DE F --的正弦值． 【知识点】线面平行的判定定理；二面角的求法.【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ ）二面角B DE F --的正弦值大小为解析 ：解：如图建立空间直角坐标系，点D 为坐标原点，设1=DC . ……1分 （Ⅰ）证明：连结,AC AC 交BD 于点G ，连结EG .依题意得因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的中心， 故点G的坐标为，且所以EG PA 2=,即EG PA //,而⊂EG 平面EDB ,且⊄PA 平面EDB ,因此PA //平面EDB ． ……5分 （Ⅱ）)1,1,1(),0,1,1(-=PB B ,故0=⋅DE PB ,所以DE PB ⊥. 由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ,所以⊥PB 平面EFD . ………7分 所以平面EFD 的一个法向量为)1,1,1(-=PB .不妨设平面DEB 的法向量为),,(z y x a =不妨取1=x 则1,1=-=z y ，即)1,1,1(-=a …10分 设求二面角B DE F --的平面角为θ因为],0[πθ∈，所以y二面角B DE F --的正弦值大小为………12分 【思路点拨】（Ⅰ）要证明：PA //平面EDB ，根据线面平行的判定定理可知，只需证明EG PA //即可．（Ⅱ）求二面角B DE F --的正弦值大小,找到平面EFD 的一个法向量为)1,1,1(-=PB，和平面DEB 的法向量为)1,1,1(-=a 代入公式即可．【典型总结】该题考查空间内线面平行的证明，空间角的计算.考查定理的理解和运用，空间向量的运用。