广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编5：数列

广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编5：数列姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为1,a b 且*1111125,,,a b a b a b N +=>∈,则数列{}n b 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．100 2 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．23 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设()f x 是定义在(0,1)上的函数,对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--,记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81ii a=∑=（ ）A ．1()2fB ．1()3fC ．1()4fD ．1()5f4 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在等差数列{}n a 中,首项10,a =公差0d ≠,若129m a a a a =+++ ,则m 的值为 （ ） A ．37B ．36C ．20D ．195 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知数列}{n a 是等差数列,若3,244113==+a a a ,则数列}{n a 的公差等于 （ ）A ．1B ．3C ．5D ．6二、填空题6 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知{a n }的前n 项之和为nS ,a 1=1, S n = 2a n +1,则nS =______7 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在n n ⨯ 的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格.设 ()f n 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图 4,给出了3n = 时的一条路径.则(3)f =_________;()f n =____________.(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题.8 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将集合{22st+|0s t≤<且,s t Z ∈}中的元素按上小下大,左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第行第j 列的数记为i j b (0i j ≥>),则65b =________.9 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））在等差数列{}n a 中,有67812a a a ++=,则此数列的前13项之和为__________ .10．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））数列}{n a 的项是由1或2构成,且首项为1,在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2,即数列}{n a为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,,记数列}{n a 的前n 项和为n S ,则20S =___;2013S =___.11．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的首项11=a ,前三项之和93=S ,则{}n a 的通项____=n a .三、解答题12．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,对一切正整数n ,点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上,且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k . (1)求数列}{n a 的通项公式. (2)若n k n a b n2=,求数列}{n b 的前n 项和n T .(3)设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ,等差数列}{n c 的任一项n c Q R ∈ ,其中1c 是Q R 中的最小数,11511010<<c ,求}{n c 的通项公式.35691012第13题图13．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知x 轴上有一列点P 1,P 2 P 3,,P n ,,当2≥n 时,点P n 是把线段P n -1 P n +1 作n 等分的分点中最靠近P n +1的点,设线段P 1P 2 , P 2P 3 , P 3P 4,,P n P n +1的长度分别 为A 1,A 2,A 3,,A N ,其中a 1=1.(1)求a n 关于n 的解析式;(2 )证明:a 1 + 2a + a 3 + + a n < 3(3) 设点P(n,na ) {3≥n ),在这些点中是否存在两个点同时在函数)0()1(2>-=k x k y 的图象上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.14．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知数列{}{},n n a b 满足:110,2013a b ==,且对任意1,,,n n n n a a b +和11,,n n n a b b ++均为等差数列. (1)求22,a b 的值;(2)证明:{}n n a b -和{}2n n a b +均成等比数列;(3)是否存在唯一的正整数c ,使得n n a c b <<恒成立?证明你的结论.15．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图,过点P(1,0)作曲线C:)),0((2+∞∈=x x y 的切线,切点为1Q ,设点1Q 在x 轴上的投影是点1P ;又过点1P 作曲线C 的切线,切点为2Q ,设2Q 在x 轴上的投影是2P ;;依此下去,得到一系列点12,3,Q Q Q ⋅⋅⋅n Q ,设点n Q 的横坐标为n a .(1)求直线1PQ 的方程; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)记n Q 到直线1n n P Q +的距离为n d ,求证:2n ≥时,12111.......3nd d d +++>16．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）在数列{}n a 中,10a =,且对任意*21221,,,k k k k N a a a -+∈成等差数列,其公差为2k .(1)证明:456,,a a a 成等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)记2222323n nnT a a a =+++,证明:322(2)2n n T n <-<≥17．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知曲线C:xy=1,过C 上一点A (,)n n n x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点111A (,)n n n x y +++,点列{n A }的横坐标构成数列{n x },其中1117x =.(1)求n x 与1n x +的关系式; (2)求证:数列是等比数列;(3)求证:18．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）数列{}n a 中,13a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n = ，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值;(2)求{}n a 的通项公式;(3)求最小的自然数n ,使2013n a ≥.19．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）设函数1220()x f x x e-=⋅,记0()f x 的导函数01()()f x f x '=,1()f x 的导函数12()()f x f x '=,211a a a312321a a a a a a (1)111211++-+n n n n n n a a a a a a a a a2()f x 的导函数23()()f x f x '=,,1()n f x -的导函数1()()n n f x f x -'=,1,2,n = .(1)求3(0)f ; (2)用n 表示(0)n f ;(3)设231(0)(0)(0)n n S f f f +=+++ ,是否存在*n N ∈使n S 最大?证明你的结论.20．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数()log m f x x =(m 为常数,01m <<),且数列{}()n f a 是首项为2,公差为2的等差数列.(1) 若()n n n b a f a =⋅,当m =,求数列{}n b 的前n项和n S ;(2)设lg n n n c a a =⋅,如果{}n c 中的每一项恒小于它后面的项,求m 的取值范围.21．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设0a >,函数21()f x x a=+.(Ⅰ)证明:存在唯一实数01(0,)x a∈,使00()f x x =;(Ⅱ)定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,*n N ∈. (i)求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<; (ii) 当2a =时, 若10(2,3,4,)2k x k <≤= ,证明:对任意*m N ∈都有:1134m k k k x x +--<⋅.22．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知数列}{n a 满足:21,121==a a ,且=+2n a 121+++n n n a a a (*N ∈n ).(Ⅰ)求证:数列}{1+n n a a 为等差数列;(Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求下表中前n 行所有数的和n S .广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编5：数列参考答案一、选择题 1. C 2. C 3.因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++,故81ii a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++- 111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-,故选C.4. 由129m a a a a =+++ 得5(1)93637m d a d m -==⇒=,选A.5. B 二、填空题6. 13()2n -7. 9 1n n -8. 809. 【解析】等差数列{}n a 中,有67873a a a a ++=,71374,1352S a a ∴=∴== ,故此数列的前13项之和为52.10. 36;398111. 12-n . 三、解答题12.解:(1) 点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上,∴2*2()n S n n n N =+∈,当n 2≥时,12 1.n n n a S S n -=-=+当1n =时,113a S ==满足上式,所以数列}{n a 的通项公式为2 1.n a n =+ (2)由x x x f 2)(2+=求导可得()22f x x '=+过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ,22n k n ∴=+.24(21)4n k nn n b a n ∴==⋅+⋅. 12343445447421)4nn T n ∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+4（ ① 由①×4,得2341443445447421)4n n T n +=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+4（ ②①-②得:()23134342444-21)4nn n T n +⎡⎤-=⨯+⨯++⋅⋅⋅++⨯⎣⎦（2114144342-21)414n n n -+⎡⎤-=⨯+⨯+⨯⎢⎥-⎣⎦（）（26116499n n n T ++∴=⋅-(3){22,},{42,}Q x x n n N R x x n n N **==+∈==+∈ ,Q R R ∴= . 又n c Q R ∈ ,其中1c 是Q R 中的最小数,16c ∴=. {}n c 是公差是4的倍数,*1046()c m m N ∴=+∈.又10110115c << ,*11046115m m N<+<⎧∴⎨∈⎩,解得27m =,所以10114c =, 设等差数列的公差为d ,则1011146121019c cd --===-，6(1)12126n c n n ∴=++⨯=-,所以{}n c 的通项公式为126n c n =-13.14.15.解:(1)令2111(,)Q a a ,由'2y x =得112PQ kx =即2111021a a a -=- 故12a =∴14PQ k =,则切线1l 的方程为:440x y --=(2)令2(,)n n nQ a a ,则1221111110(,),(,0),2n n n n n n n n P Q n n n a Q a aP a k a a a --------∴==-化简得12,(2)n n a n a -=≥,故数列{}n a 是以2为首项2为公比的等比数列 所以2nn a =(3)由(2)知)0,2(nn P ,)2,2(2211+++n n n Q ,)2,2(2nn n Q故112222221202,:22022n n n n n n n n P Q P Q n nk l x y +++++++-==∴--=-42424n nn nd ∴<=⋅142nnd ∴>12故21211[1()]111111221.......4[()()]44[1()]42221212n n n n d d d -+++>+++=⋅=->-16.证明:(Ⅰ)因为01=a ,且*∈∀N k ,12-k a ,k a 2,12+k a成等差数列,其公差为k 2.即121222+-+=k k k a a a ,ka a a a k k k k 2212122=-=-+-所以,分别取3,2,1=k 代入解得18,12,8654===a a a ,显然满足6425a a a =,即4a ,5a ,6a 成等比数列; (Ⅱ)由题意可知:,41212k a a k k =--+对*∈∀N k 恒成立所以)(.....)()()(1212573513112-++-++-+-+-+=k k k a a a a a a a a a ak 4......12840+++++==)1(22)40)(1(+=++=k k k k又ka a k k 2212=-+,所以ka a k k 2122-=+=222)1(2k k k k =-+所以数列{}n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=)2(,2)12(,2122k n n k n n a n , *∈N k或写为*∈--+=Nn na nn ,41)1(22(注意:以上三种写法都给全分)(Ⅲ)先证右边:(1)当2=n 时,2=n T ,22222=-⨯=-n T n 显然满足结论.(2)当2>n 时,因为n 为奇数时,212-=n a n ,所以212222>-=n na nn,且⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--=-111112222n n n a nn 当n 为偶数时,22na n =,22=na n,022=-na n综上可知)1(2 (3)223222-≥+++=n a na a T nn ,当2=n 时取等号所以2)1(222=--≤-n n T n n 对任意的*∈≥N n n ,2成立.再证左边:因为n T n n 22=-) (3)2(23222na na a +++-)2(...)32()22(223222na na a -++-+-+=所以(1)当*∈+=N k k n ,12时 2322123221212)22121(....)6141()4121(21)12(20 (1)72015201320222222>++=⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++-+--=-+-++--+--+--+=-k k k k k T n n(2)当*∈=N k k n ,2时 23212321212)21221(....)6141()4121(201)12(20 (1)72015201320222222>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--++-+--=+---++--+--+--+=-kk k k k T n n综上可知对2,≥∈∀*n N n ,2223≤-<n T n 成立.17.18.解:(1)13a =,23a c =+,333a c =+,∵1a ,2a ,3a 成等比数列,∴2(3)3(33)c c +=+, 解得0c =或3c =当0c =时,123a a a ==,不符合题意舍去,故3c =(2)当2n ≥时,由21a a c -=,322a a c -=,1(1)n n a a n c --=-, 得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=又13a =,3c =,∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+= ，，当1n =时,上式也成立,∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈(3)由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥,即213400n n --≥∵n N ∈*,∴2n ≥141813622+⨯>=令37n =,得3720012013a =<,令38n =得3821122013a => ∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n = 19. ⑴易得,()1221122xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()12221224xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()122313382xf x x x e-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,所以3(0)3f =- ⑵不失一般性,设函数()21111()x n n n n f x a x b x c e λ----=++⋅的导函数为()2()xn n n n f x a x b x c eλ=++⋅,其中1,2,n = ,常数0λ≠,0001,0a b c ===.对1()n f x -求导得:2111111()[(2)()]x n n n n n n f x a x a b x b c e λλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅故由1()()n n f x f x -'=得:1nn a a λ-=⋅ ①, 112n n n b a b λ--=+⋅ ②, 11n n n c b c λ--=+⋅ ③由①得:,nn a n N λ=∈ , 代入②得:112n n n b b λλ--=⋅+⋅,即112nn nn b b λλλ--=+,其中1,2,n =故得:12,n n b n n N λ-=⋅∈代入③得:212n n n c n c λλ--=⋅+⋅,即1212nn nn c c nλλλ--=+,其中1,2,n = .故得:2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈,因此(0)n f =2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈.将12λ=-代入得:21(0)(1)()2n n f n n -=--,其中n N ∈(2)由(1)知111(0)(1)()2n n f n n -+=+-,⎧⎪⎨⎪⎩当2(1,2,)n k k == 时,21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<,2212210,k k k k S S S S --∴-<<,故当n S 最大时,n 为奇数当21(2)n k k =+≥时,21212221(0)(0)k k k k S S f f +-++-=+又2221(0)(21)(22)()2k k f k k +=++-,21211(0)2(21)()2k k f k k -+=+-221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-211(21)(1)()02k k k -=+--<,2121k k S S +-∴<,因此数列{}21(1,2,)k S k += 是递减数列又12(0)2S f ==,3234(0)(0)(0)2S f f f =++=, 故当1n =或3n =时,n S 取最大值132S S ==20. (1) 证:由题意()2(1)22n f n n a =+-⨯=,即log 2m n n a =,2n n m a =∴2()2nn n n b a f a n m=⋅=⋅,当m =,11()()2n n n n b a f a n -=⋅=⋅∴012111111()2()3()()2222n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ , ①123111111()2()3()()22222nn S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②,得012311111111()()()()()()2222222n nn S n -=+++++-⋅ 11(1())12()121()2nnn ⨯-=-⋅- ∴11(2)()42n n S n -=-+⋅+(2) 解:由(1)知,2lg 2lg nn n n c a a n mm =⋅=⋅,要使1n n c c +<对一切n N *∈成立,即2lg (1)lg n m n m m <+对一切n N *∈成立201,lg 0(1)m m n n m <<∴<∴>+ ,对一切n N *∈恒成立,只需2min ()1nm n <+,1111n n n =-++单调递增,∴当1n =时,min 1()12nn =+ ∴212m <,且01k <<, ∴0m <<综上所述,存在实数m ∈满足条件21. (Ⅰ)证明: ①3()10f x x x ax =⇔+-=令3()1h x x ax =+-,则(0)10h =-<,311()0h aa=>,∴1(0)()0h h a⋅<又/2()30h x x a =+>,∴3()1h x x ax =+-是R 上的增函数 故3()1h x x ax =+-在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点, 即存在唯一实数010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()f x x = ②当1n =时, 10x =,211()(0)x f x f a===,由①知010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即102x x x <<成立; 设当(2)n k k =≥时, 2102k k x x x -<<,注意到21()f x x a=+在()0,+∞上是减函数,且0k x >,故有:2102()()()k k f x f x f x ->>,即2021k k x x x +>> ∴2021()()()k k f x f x f x +<<,即21022k k x x x ++<<.这就是说,1n k =+时,结论也成立. 故对任意正整数n 都有:2102n n x x x -<< (2)当2a =时,由10x =得:211()(0)2x f x f ===,2112x x -=222132222221211122(2)(2)x x x x x x x x --=-=++++22121211114244x x x x x x -+⎛⎫<=⋅-= ⎪⎝⎭当2k ≥时,102k x <≤, ∴22112222111122(2)(2)k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14k k x x --<2212321144k k k x x x x ---⎛⎫⎛⎫<⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14k⎛⎫< ⎪⎝⎭对*m N ∀∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++-1121m k m k m k m k k k x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-1122111114444k k m m x x +--⎛⎫≤+++++- ⎪⎝⎭111114141141134343414mk k k k m k k x x x x ++--⎛⎫=-=⋅-⋅-<⋅= ⎪⋅⎝⎭-22.解:(Ⅰ)由条件21,121==a a ,=+2n a 121+++n n n a a a ,得=++12n n a a 11+++n n n a a a ⇒-++21n n a a 11=+n na a∴ 数列}{1+n n a a 为等差数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得11)1(211+=⋅-+=+n n a a a a n n∴⋅=211a a a a n⋅32a a !321n n a a nn =⋅⋅⋅=⋅-∴!1n a n =(Ⅲ)=++-11n k n k a a akn C k n k n 1)!1(!)!1(+=+-+ (n k ,,2,1 =)∴ 第n 行各数之和 1111211++-++++n n n n n n a a a a a a a a a22112111-=+++=++++n nn n n C C C ( ,2,1=n )∴ 表中前n 行所有数的和)22()22()22(132-++-+-=+n n S231(222)2n n +=+++-22(21)221nn -=--2224n n +=--.。