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高等代数 二次型PPT课件
y2 1
k2
y2 2
kn
y2 n
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
11
第11页/共32页
由 于 对 任 意 的 实 对 称 矩阵A, 总 有 正 交 矩 阵P ,
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型,有
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
15
第15页/共32页
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3 2 5 Fra bibliotek2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
16
它的顺序主子式
5 2 4
5 0,
52 1 0,
2
1 2 1 0,
21
4 2 5
故上述二次型是正定的.
高等代数CAI课件.pptx
则 ( y) ( ( y)) (x) y IM( y), 即 IM
∴σ为可逆映射．
2019年7月11
感谢你的观看
24
反之，设 : M M 为可逆映射，则 对y M, 有y 1( y) ( 1( y)) 即, x 1( y) M ,使y ( x). 所以σ为满射.
感谢你的观看
14
例4 判断下列M 到M ´对应法则是否为映射
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4
（不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
（不是）
2）M＝Z，M´＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, n Z τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
例6 任意一个在实数集R上的函数 y＝f(x)
都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是 映射的一个特殊情形．
2019年7月11
感谢你的观看
17
2、映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M ''，乘积
定义为： (a)＝τ(σ(a))
a M
即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个
（双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn （是满射，但不是单射）
2019年7月11
感谢你的观看
20
4）M＝P，M´＝ P nn , P为数域, E为n级单位矩阵
《高等代数》PPT课件
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
2021/8/17
15
三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
2021/8/17
8
二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
2021/8/17
4
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
2021/8/17
1
第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
高等代数课件ppt1.2
仍为数域 P上的多项式．
f ( x) g( x) 0
2) f ( x ), g ( x ) P [ x ]
① ( f ( x ) g ( x )) m ax( ( f ( x )), g ( x ))) ② 若 f ( x ) 0, g ( x ) 0, 则 f ( x ) g ( x ) 0, 且
个非负整数，形式表达式
a n x a n1 x
n n1
a1 x a 0
其中 a 0 , a 1 , a n
P,
称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 等表示．
§1.2 一元多项式
注： 多项式
①
ai x
i
f ( x ) a n x a n1 x
加法： 若 n m , 在 g ( x ) 中令
bn bn 1 bm 1 0
则
f ( x) g( x)
n
( a i bi ) x i . bi ) x i
减法： f ( x ) g ( x )
§1.2 一元多项式
i0 n
(a
i0
i
乘法：
f ( x ) g ( x ) a n bm x
n m
( a n bm 1 a n 1bm ) x
n m 1
( a 1 b 0 a o b1 ) x a 0 b) x
i
s1 i j s
注:
f ( x)g( x)
( f ( x ) g ( x )) ( f ( x )) ( g ( x ))
高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数第11章双线性函数与辛空间PPT优秀课件
量, ,根据f 都唯一对应P中一个数f(,)
满足:
(1) f(, k1 +k2 )= k1f(, 1)+k2f(, 2); (2) f(k11+k22, )= k1f(1, )+k2f(2, )
则称f(,)是V上一个双线性函数.
18
• 例1 欧氏空间V的内积是V上的双线性函数.
• 例2 设f1(,), f2(,) 都是线性空间V上的线性函
f(n,2) f(n,n)
• 为f(,)在基1,2,,n下的度量矩 阵.
20
• 取V的一组基1,2,,n,设
•则
x1
(
1
,
2
,
,
n
)
x2
( 1, 2 , , n ) X
x
n
y1
(
1
,
2
,
,
n
)
y2
( 1 , 2 , , n )Y
y
n
f(, )f i n 1x i i,jn 1yj j i n 1jn 1f(i, j)x ix j
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
an1
an2
ann
• 则A的迹 Tr(A)= a11+a22++ann
• 是Pnn上的一个线性函数.
• 例3 设V=P[x], t是P中一个取定的数,定义 P[x]上的函数Lt为:
•
Lt(p(x))=p(t), p(x)P[x]
• 即 P[xL]t(上p(x的))线为性p(x函)在数t.点的值, 则Lt(p(x))是
定义设v是数域p上的线性空间义了一个非退化双线性函数则v称为一当f是非退化对称双线性函数时v称为p当v是n维实线性空间f是非退化对称双线性函数时v称为p上的当f是非退化反对称双线性函数时v称为有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记作v2任一2n阶是非退化反对称矩阵k可把一个数域p上2n维空间v化成一个辛空间故k合同于j
满足:
(1) f(, k1 +k2 )= k1f(, 1)+k2f(, 2); (2) f(k11+k22, )= k1f(1, )+k2f(2, )
则称f(,)是V上一个双线性函数.
18
• 例1 欧氏空间V的内积是V上的双线性函数.
• 例2 设f1(,), f2(,) 都是线性空间V上的线性函
f(n,2) f(n,n)
• 为f(,)在基1,2,,n下的度量矩 阵.
20
• 取V的一组基1,2,,n,设
•则
x1
(
1
,
2
,
,
n
)
x2
( 1, 2 , , n ) X
x
n
y1
(
1
,
2
,
,
n
)
y2
( 1 , 2 , , n )Y
y
n
f(, )f i n 1x i i,jn 1yj j i n 1jn 1f(i, j)x ix j
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
an1
an2
ann
• 则A的迹 Tr(A)= a11+a22++ann
• 是Pnn上的一个线性函数.
• 例3 设V=P[x], t是P中一个取定的数,定义 P[x]上的函数Lt为:
•
Lt(p(x))=p(t), p(x)P[x]
• 即 P[xL]t(上p(x的))线为性p(x函)在数t.点的值, 则Lt(p(x))是
定义设v是数域p上的线性空间义了一个非退化双线性函数则v称为一当f是非退化对称双线性函数时v称为p当v是n维实线性空间f是非退化对称双线性函数时v称为p上的当f是非退化反对称双线性函数时v称为有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记作v2任一2n阶是非退化反对称矩阵k可把一个数域p上2n维空间v化成一个辛空间故k合同于j
高等代数第一讲代数系统PPT课件
带余除法; 带余除法;
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
高等代数ppt课件
1）如果f(x)与g(x)都等于0，那么0就是f(x)和g(x)的一个最大公因 式；
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
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则a0 b0 a1 b1 cos x a2 b2 cos 2x an bn cosnx
注意1,cosx ,cos2x ,…,cosnx这n+1个函数都是 1,cosx,cos2x,…,cosnx这n+1个函数的线性组合。如 果能将集合S1={1,cosx,cos2x,…,cosnx}与 S2={1,cosx ,cos2x ,…,cosnx} 看作向量组，则S2是 S1的线性组合，由定理2.2.6知rank S1 ≤ rank S2。 如果还能证明S2线性无关，则n+1= rank S2 ≤ rank S1。S1的秩为n+1 ，线性无关。
2
2
因而
cosn x b0 b1 cos x bk coskx bn cosnx
其中
b0
1 2 a1,bn
1 2 an1 , bk
1
2 ak1
ak1 ,1
k
n
1
结论成立。
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(2) 设cosn x a0 a1 cos x a2 cos 2x an cos nx b0 b1 cos x b2 cos 2x bn cosnx (2.5.2)
an使 cosn1 x a0 a1 cos x a2 cos 2x an1 cosn 1 x
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此等式两边乘得
cosn x a0 cos x a1 cos2 x ak coskx cos x an1 cosn 1 x cos x
其中
cos kx cos x 1 cosk 1 x 1 cosk 1 x,0 k n 1
补充： 一般的线性空间 第2章
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例1 求原函数 cos4 xdx
解
cos4 x
cos2 x
2
1
cos 2x 2
2
1 4
1 2cos 2x cos2 2x
1 4
1
2 cos
2x
1 2
1
cos
4x
3 8
1 2
cos
2x
1 8
cos
4x
cos
4
xdx
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现在证明S2={1,cosx ,cos2x ,…,cosnx}线性无关。 设由常数λ0, λ1,…, λn使
0 1 cos x 2 cos2 x n cosn x 0
即对自变量x的所由值，cosx都是如下方程的根：
f y 0 1 y 2 y2 n yn
3 8
1 2
cos
2
x
1 8
cos
4
x
dx
3 x 1 sin 2x 1 sin 4x C
84
32
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例2 (1) 对任意非负整数n是否都存在常数a0， a1，…，an使
cosn x a0 a1 cos x a2 cos 2x an cosnx 2.5.1
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数组与几何向量的共同点
1、空间中的几何向量可以相加，可以与数相乘。 同维数的数组也可以相加，可以与数相乘。 2、几何向量与数组的上述运算就，虽然参加运 算的对象不同，运算的法则不同，但同样都满 足§2.3所列的8条运算律(A1)~ (A4)，(M1)， (M2)，(D1)，(D2)。
如果λ0, λ1,…, λn不全为零，则f(y)是次数不超过n 的非零多项式，至多有n个不同的根。但cosx显 然可以取无穷多个不同的值，都是f(y)的根。这 说明f(y)只能零多项式。这就证明了S2线性无关， 从而S1={1,cosx,cos2x,…,cosnx}线性无关，(2.5.1) 中的系数a0,a1 ,…,an由cosnx唯一决定
(2) 以上表达式(2.5.1)如果成立，其中的系数a0， a1，…，an是否由cosnx唯一决定？为什么？ 解 (1) 对每个非负整数n，存在有理常数a0， a1，…，an使(2.5.1)成立。一下对n作数学归纳 证明这一结论。 当n=1，cos0x=1，结论成立。 设结论对n−1成立。即存在有理数a0，a1，…，
在F中的数与V中的元素之间按照某种方式定 义了乘法，使得可以由任意λ∈F和任意α∈V相 乘得到唯一一个λ α∈V。F与V的元素之间的这 种乘法也称为向量的数乘。
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2、V中定义的以上加法与数乘两种运算满足如下 的运算律： (A1) 加法交换律：
α+β=β+α (A2) 加法结合律：
(α+β)+γ=α+(β+α) (A3) 零向量：
θ + α = α + θ = α θ称为零向量 (A4) 负向量：
α + β = β + α = θ β称为α的负向量
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(D1) 数乘对向量加法的分配率： λ(α+β)=λα+λβ
(D2) 数乘对纯量加法的分配率： (λ+μ)α=λα+μα
(M1) ： λ ( μ α ) = λ μ (α)
(M2) ： 1α = α
以上8条基本运算规律可以推出我们熟悉的其他 一些运算性质。
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例3 设V是数域F上的线性空间，则一下，命题成 立： (1) V中的零向量唯一； (2) 每个α的负向量唯一； (3) 设λ∈F,0∈V,则λα = 0λ = 0或α= 0； (4) 对任意的α∈V，有(－1) α = － α 。
有鉴于此，我们应当将向量的概念加以扩充。
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定义2.5.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。 如果满足了以下两个条件，则V称为F上的线性 空间，也称为向量空间，V中的元素称为向量， F中的数称为标量。有时候，为了强调V是F上的 线性空间，也将V记为V(F)。
1、在V中按照某种方式定义了加法，使得可以 将V中的任意两个元素α、β∈V，得到唯一一个 α+β∈V；
证明 (1) 设01， 02都是V中的零向量。则 01 = 01 + 02 = 02 (2) 设β1，β2都是α的负向量，则
1 0 2 1 1 1 2
1 1 1 2 0 1 0 2 1 2
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
注意1,cosx ,cos2x ,…,cosnx这n+1个函数都是 1,cosx,cos2x,…,cosnx这n+1个函数的线性组合。如 果能将集合S1={1,cosx,cos2x,…,cosnx}与 S2={1,cosx ,cos2x ,…,cosnx} 看作向量组，则S2是 S1的线性组合，由定理2.2.6知rank S1 ≤ rank S2。 如果还能证明S2线性无关，则n+1= rank S2 ≤ rank S1。S1的秩为n+1 ，线性无关。
2
2
因而
cosn x b0 b1 cos x bk coskx bn cosnx
其中
b0
1 2 a1,bn
1 2 an1 , bk
1
2 ak1
ak1 ,1
k
n
1
结论成立。
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(2) 设cosn x a0 a1 cos x a2 cos 2x an cos nx b0 b1 cos x b2 cos 2x bn cosnx (2.5.2)
an使 cosn1 x a0 a1 cos x a2 cos 2x an1 cosn 1 x
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此等式两边乘得
cosn x a0 cos x a1 cos2 x ak coskx cos x an1 cosn 1 x cos x
其中
cos kx cos x 1 cosk 1 x 1 cosk 1 x,0 k n 1
补充： 一般的线性空间 第2章
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例1 求原函数 cos4 xdx
解
cos4 x
cos2 x
2
1
cos 2x 2
2
1 4
1 2cos 2x cos2 2x
1 4
1
2 cos
2x
1 2
1
cos
4x
3 8
1 2
cos
2x
1 8
cos
4x
cos
4
xdx
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现在证明S2={1,cosx ,cos2x ,…,cosnx}线性无关。 设由常数λ0, λ1,…, λn使
0 1 cos x 2 cos2 x n cosn x 0
即对自变量x的所由值，cosx都是如下方程的根：
f y 0 1 y 2 y2 n yn
3 8
1 2
cos
2
x
1 8
cos
4
x
dx
3 x 1 sin 2x 1 sin 4x C
84
32
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例2 (1) 对任意非负整数n是否都存在常数a0， a1，…，an使
cosn x a0 a1 cos x a2 cos 2x an cosnx 2.5.1
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数组与几何向量的共同点
1、空间中的几何向量可以相加，可以与数相乘。 同维数的数组也可以相加，可以与数相乘。 2、几何向量与数组的上述运算就，虽然参加运 算的对象不同，运算的法则不同，但同样都满 足§2.3所列的8条运算律(A1)~ (A4)，(M1)， (M2)，(D1)，(D2)。
如果λ0, λ1,…, λn不全为零，则f(y)是次数不超过n 的非零多项式，至多有n个不同的根。但cosx显 然可以取无穷多个不同的值，都是f(y)的根。这 说明f(y)只能零多项式。这就证明了S2线性无关， 从而S1={1,cosx,cos2x,…,cosnx}线性无关，(2.5.1) 中的系数a0,a1 ,…,an由cosnx唯一决定
(2) 以上表达式(2.5.1)如果成立，其中的系数a0， a1，…，an是否由cosnx唯一决定？为什么？ 解 (1) 对每个非负整数n，存在有理常数a0， a1，…，an使(2.5.1)成立。一下对n作数学归纳 证明这一结论。 当n=1，cos0x=1，结论成立。 设结论对n−1成立。即存在有理数a0，a1，…，
在F中的数与V中的元素之间按照某种方式定 义了乘法，使得可以由任意λ∈F和任意α∈V相 乘得到唯一一个λ α∈V。F与V的元素之间的这 种乘法也称为向量的数乘。
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2、V中定义的以上加法与数乘两种运算满足如下 的运算律： (A1) 加法交换律：
α+β=β+α (A2) 加法结合律：
(α+β)+γ=α+(β+α) (A3) 零向量：
θ + α = α + θ = α θ称为零向量 (A4) 负向量：
α + β = β + α = θ β称为α的负向量
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(D1) 数乘对向量加法的分配率： λ(α+β)=λα+λβ
(D2) 数乘对纯量加法的分配率： (λ+μ)α=λα+μα
(M1) ： λ ( μ α ) = λ μ (α)
(M2) ： 1α = α
以上8条基本运算规律可以推出我们熟悉的其他 一些运算性质。
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例3 设V是数域F上的线性空间，则一下，命题成 立： (1) V中的零向量唯一； (2) 每个α的负向量唯一； (3) 设λ∈F,0∈V,则λα = 0λ = 0或α= 0； (4) 对任意的α∈V，有(－1) α = － α 。
有鉴于此，我们应当将向量的概念加以扩充。
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定义2.5.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。 如果满足了以下两个条件，则V称为F上的线性 空间，也称为向量空间，V中的元素称为向量， F中的数称为标量。有时候，为了强调V是F上的 线性空间，也将V记为V(F)。
1、在V中按照某种方式定义了加法，使得可以 将V中的任意两个元素α、β∈V，得到唯一一个 α+β∈V；
证明 (1) 设01， 02都是V中的零向量。则 01 = 01 + 02 = 02 (2) 设β1，β2都是α的负向量，则
1 0 2 1 1 1 2
1 1 1 2 0 1 0 2 1 2
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