高中数学必修一第五章 §2 实际问题中的函数模型

第五章函数应用§2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为()A.120B.210C.225D.300x,宽为y,则以x为底的三角形和该锐角三角形相似,可得x30=30-y30⇒y=30-x,则矩形面积S=xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,当矩形长x=15时,面积S最大,为225.故选C.2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( ) A.6B.9C.8D.7解析设经过n 次过滤,产品达到市场要求,则2100×23n ≤11000,即23n ≤120,由n lg 23≤-lg20,即n (lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n ≥1+lg2lg3-lg2≈7.4.4.已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖 个.t=0.5时,y=2,∴2=e 12k ,∴k=2ln2,∴y=e 2t ln2.当t=5时,y=e 10ln2=210=1024.1 0245.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10 m 处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m 时,球到达最高点,此时球高3 m,已知球门高2.44 m 并且球按抛物线飞行, 踢进球门(填“能”或“不能”).,拋物线经过点(0,0),顶点为(6,3).设其解析式为y=a (x-6)2+3,把x=0,y=0代入,得a=-112,∴y=-112(x-6)2+3. 当x=10时,y=-112(10-6)2+3=53<2.44.∴球能射进球门.6.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下: 方案一:每年植树1万平方米; 方案二:每年树木面积比上年增加9%. 你觉得哪个方案较好?方案一)5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).(方案二)5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.7.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从第几年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)y 万吨,n 表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n =400×32n,当y=4000时,有32n=10,两边取对数可得n (lg3-lg2)=1,∴n (0.4771-0.3010)=1,0.1761n=1,解得n ≈6,∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.8.(2021山东聊城高一期末)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,聊城市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等),对国家级湿地公园——东昌湖进行进一步净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例,对水生植物的生长进行了科学管控,并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查,测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45 m 2,四月底浮萍覆盖面积为80 m 2,八月底浮萍覆盖面积为115 m 2.若浮萍覆盖面积y (单位:m 2)与月份x (2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=ka x (k>0,a>1)与y=m log 2x+n (m>0)可供选择. (1)你认为选择哪个模型更符合实际?并解释理由;(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m 2?可能用到的数据:log 215≈3.9,√2393≈1.37,320√23≈66.72若选择数据(2,45)和(4,80),由{mlog 22+n =45,mlog 24+n =80,解得{m =35,n =10, 则y=35log 2x+10.当x=8时,y=35log 28+10=115,与实际情况相符. 由{k ·a 2=45,k ·a 4=80,解得{a =43,k =40516,则y=40516×43x . 当x=8时,y=40516×438=2048081>115,与实际情况差别较大. 故选函数模型y=35log 2x+10.(2)因为35log 215+10≈35×3.9+10=146.5,35log 216+10=150, 而146.5<148<150,所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m 2.关键能力提升练9.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费);超过3 km 但不超过8 km 时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km 时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( ) A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元 B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元C.某人乘出租车行驶5 km 两次的费用超过他乘出租车行驶10 km 一次的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 kmA 中,出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A 错误;在B 中,出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B 正确;在C 中,乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C 正确;在D 中,设出租车行驶x km 时,付费y 元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D 正确.10.某工厂生产A ,B 两种成本不同的产品,用于市场销售,A 产品连续两次提价20%,同时B 产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A ,B 产品各一件,则盈亏情况为( ) A.亏5.20元 B.亏5.92元 C.盈6元D.盈5元A ,B 的成本价分别为x 元、y 元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B .11.已知有A,B 两个水桶,桶A 中开始有a L 水,桶A 中的水不断流入桶B,t min 后,桶A 中剩余的水符合指数衰减曲线y 1=a e -nt ,那么桶B 中的水就是y 2=a-a e -nt (n 为常数).假设5 min 时,桶A 和桶B 中的水量相等,再过 min,桶A 中的水只有a 8L .5min 时,桶A 和桶B 中的水量相等,所以a ·e -5n =a-a ·e -5n , 所以e -5n =12.令a ·e -nt =a 8, 则e-nt=18=(12)3=e -15n,故有t=15.所以再过10min,桶A 中的水只有a 8L .12.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度x 和震级y 的模拟函数关系可以选用y=a lg x+b (其中a ,b 为常数).利用散点图可知a 的值等于 .(取lg 2≈0.3进行计算)x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.所以{5.0=alg (1.6×1019)+b ,5.2=alg (3.2×1019)+b ,①②②-①,得0.2=a lg3.2×10191.6×1019,0.2=a lg2.所以a=0.2lg2=0.20.3=23.13.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y 与净化时间t (单位:月)的近似函数关系:y=a t (t ≥0,a>0,且a ≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t 1,t 2,t 3,则t 1+t 2=t 3.其中所有正确的叙述是 .(填序号),当t=2时,y=49,即a 2=49,解得a=23.故y=(23)t .所以当t=4时,有害物质的剩留量为y=(23)4=1681<15,所以①正确; 第一个月的减少量为1-(23)1=13;第二个月的减少量为23−(23)2=29,显然两者不同,所以②错误;③由已知(23)t 1=12,(23)t 2=14,(23)t 3=18,所以(23)t 1+t 2=(23)t 1×(23)t 2=12×14=18,即(23)t 1+t 2=(23)t 3,所以t 1+t 2=t 3,故③正确.14.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-12t 2万元.(1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?当0<x ≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,f (x )={(5x -12x 2)-(0.5+0.25x ),0<x ≤5,(5×5-12×52)-(0.5+0.25x ),x >5, 即f (x )={-12x 2+4.75x -0.5,0<x ≤5,12-0.25x ,x >5.(2)当0<x ≤5时,f (x )=-12x 2+4.75x-0.5,所以当x=4.75时,f (x )有最大值,f (x )max =10.78125. 当x>5时,f (x )<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大.15.科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I (单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L (单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I 满足关系式:L=a ·lg II 0(a 是常数),其中I 0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝. (1)已知生活中几种声音的强度如下表:求a 和m 的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I 的最大值.将I 0=1×10-12瓦/平方米,I=1×10-11瓦/平方米代入L=a ·lg II 0,得10=a lg1×10-111×10-12=a lg10=a ,即a=10,m=10lg1×10-101×10-12=10lg100=20.(2)由题意得L ≤50,得10lg I1×10-12≤50,得lg I1×10-12≤5,即I1×10-12≤105,即I ≤105×10-12=10-7.所以此时声音强度I 的最大值为10-7瓦/平方米.学科素养拔高练16.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y (单位:毫克)与时间t (单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y 与t 的函数解析式为y=(18)t -a(a 为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y 与时间t 之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y (单位:毫克)是关于时间t (单位:小时)的一个分段函数:当0≤t ≤0.1时,函数的图象是一条经过O (0,0)的线段,设其方程为y=kt (k 为待定系数), 又因为A (0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A 的坐标得k=10,所以当0≤t ≤0.1时,y=10t. 当t>0.1时,函数解析式为y=(18)t -a ,而A (0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=(18)0.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=(18)t -0.1.综上,血液中麻醉剂的含量y 与时间t 之间的解析式为y={10t ,0≤t ≤0.1,(18)t -0.1,t >0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y ≤0.125=18.当t>0.1时,由(18)t -0.1≤18,得t-0.1≥1,解得t ≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.。