山东财经大学 微积分课件 2.2
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山东财经大学 微积分课件§2-1
x x0
.
f ( x0 ) lim
y x
x 0
lim
f ( x0 x ) f ( x0 )
x 0
x
（1）
4
若极限不存在， 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处不可导.
若 lim
y x
x 0
, 也说函数 f ( x ) 在点 x0 的导数为无穷大.
y0
T
割线 MN 的极限位置 MT 称为 曲线 L 在点 M 处的切线。 当 x 0 时,
o
x0 x x1
x
2
一、引例 —— 切线问题
求曲线L：y f ( x ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处切线的斜率。 割线 MN 的斜率为：
x x 割线 MN 的极限位置 MT 称为 曲线 L 在点 M 处的切线。 当 x 0 时,
x
f ( x ) f ( x0 ) x x0
结论
f ( x0 ) lim
x x0
函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等.
9
例2.求函数 f ( x ) | x | 在 x 0 处的导数.
x, 解 f ( x ) | x | x , x0 x0
x
lim ( 4 x ) 4
x 0
问题
函数 y x 在 x=3 处的导数?
2
函数 y x 在 x = x0 处的导数?
2
f
X
2
2x
6
导函数
若函数 y f ( x )在区间 I 内每一点都可导, 则称函数 f ( x ) 在区间 I 内可导. 对任一 x I , 都对应一个确定的导数值. 构成了一个新的函数, 这个函数称做原来函数 y f ( x )的 dy df ( x ) 导函数. 记作: f ( x ), y , dx dx
.
f ( x0 ) lim
y x
x 0
lim
f ( x0 x ) f ( x0 )
x 0
x
（1）
4
若极限不存在， 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处不可导.
若 lim
y x
x 0
, 也说函数 f ( x ) 在点 x0 的导数为无穷大.
y0
T
割线 MN 的极限位置 MT 称为 曲线 L 在点 M 处的切线。 当 x 0 时,
o
x0 x x1
x
2
一、引例 —— 切线问题
求曲线L：y f ( x ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处切线的斜率。 割线 MN 的斜率为：
x x 割线 MN 的极限位置 MT 称为 曲线 L 在点 M 处的切线。 当 x 0 时,
x
f ( x ) f ( x0 ) x x0
结论
f ( x0 ) lim
x x0
函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等.
9
例2.求函数 f ( x ) | x | 在 x 0 处的导数.
x, 解 f ( x ) | x | x , x0 x0
x
lim ( 4 x ) 4
x 0
问题
函数 y x 在 x=3 处的导数?
2
函数 y x 在 x = x0 处的导数?
2
f
X
2
2x
6
导函数
若函数 y f ( x )在区间 I 内每一点都可导, 则称函数 f ( x ) 在区间 I 内可导. 对任一 x I , 都对应一个确定的导数值. 构成了一个新的函数, 这个函数称做原来函数 y f ( x )的 dy df ( x ) 导函数. 记作: f ( x ), y , dx dx
大学微积分总复习课件.ppt
函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续.
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
闭区间上连续函数的性质
定理1(最值和有界性定理) 在闭区间上 连续的函数一定有最大值和最小值.
故该函数在闭区间内一定是有界函数.
y log a x a y x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4. 三角函数 正弦函数y sin x (注意：x用弧度表示)
y sin x
o
余弦函数 y cos x
o
y cos x
正切函数 y tan x
余切函数 y cot x
正割函数 y sec x
1
20 lim (1 f (x)) f (x) e. 某过程
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()；
(２) 如果lim ，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
2
n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、 对、幂、指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
函数连续点的等价定义
f ( x)在x0连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim [
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
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非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
山东财经大学 微积分课件 §2-4j
n
特别地, ( x )
n!
m m 1
一般,对于多项式 p( x ) a0 x a1 x
am1 x am
p
(n)
a0m!, ( x) 0,
nm nm
4
例3. y sin x 求 y 解
(n)
y
y cos x 2
t
t
2e cos t
t
3
例2. 解
y x , 求 y(n)
y x
1
2
3
y ( 1) x
y ( 1)( 2) x
y
(n)
( 1)( 2)( n 1) x
n (n)
k k 0
( n k )
[v ( x )]
(k )
上式称为莱布尼茨(Leibniz)公式 其中, Cn
k
n! k! ( n k )!
6
例4.
解
yx e
2
2x
, 求 y
2
( 20)
设 u e ,v x ,
2x
则
u
(k )
(e ) 2k e 2 x (k 1,2,,20)
x 20(e )
20
2 x (19)
( x )
2
20 19 2!
(e )Biblioteka (18)( x )
2
18 2 x 2 e x 20 2 e x 20 19 2 e
2x
2
2x
2 e ( x 20 x 95).
20 2x 2
大学微积分课件(版)
大学微积分课件(版)一、教学内容本节课我们学习的是大学微积分中的一元函数微分学。
具体包括：导数的定义、基本导数公式、求导法则、高阶导数、隐函数求导和微分。
二、教学目标1. 理解导数的定义，掌握基本导数公式和求导法则；2. 能够求解一元函数的一阶、二阶导数；3. 学会使用微分方法解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 导数的定义和求导法则；2. 高阶导数的求解；3. 隐函数求导；4. 微分的应用。
四、教具与学具准备1. 投影仪；2. 微积分教材；3. 练习题；4. 计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：以物体运动的速度为例，引入导数的概念，引导学生思考如何求解速度的变化率。
2. 导数的定义：通过实例讲解导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
3. 基本导数公式：讲解基本导数公式，让学生掌握常见函数的导数。
4. 求导法则：介绍求导法则，包括和、差、积、商的导数法则，让学生学会求解一般函数的导数。
5. 高阶导数：讲解高阶导数的概念，让学生掌握求解高阶导数的方法。
6. 隐函数求导：介绍隐函数求导的方法，让学生学会求解隐函数的导数。
7. 微分：讲解微分的概念和方法，让学生学会使用微分解决实际问题。
8. 随堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 导数的定义；2. 基本导数公式；3. 求导法则；4. 高阶导数；5. 隐函数求导；6. 微分。
七、作业设计（1）f(x) = x²；（2）f(x) = x³；（3）f(x) = sin(x)。
（1）f(x) = (x² + 2x + 1)²；（2）f(x) = (sin(x))²。
（1）y = x² + 2x + 1；（2）y = sin(x)。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了导数的定义、基本导数公式、求导法则、高阶导数、隐函数求导和微分的方法，能够在实际问题中应用微积分知识；2. 拓展延伸：下一节课我们将学习一元函数的积分学，包括不定积分和定积分的概念和方法。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
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[u ( x) v( x)] u( x) v( x) u ( x)v( x)
说明 推广到有限个的情形.
(u v w) uvw uvw uvw
特别地, ( cu )
cu
( C 为常数)
[ xf ( x )] f ( x ) xf ( x )
2
3). y ln tan x y ln u, u tan x 2 dy dy du 1 sec x 1 2 sec x dx du dx u tan x sin x cos x
6
说明
如,设 则
复合函数的求导法则可以推广到多个函数的情形.
y f (u ), u (v ), v ( x )
第二节 求导法则
一、导数的四则运算 设函数 u u(x ), v v ( x ) 在点 x 处可导，则 1、代数和的导数
[ u( x ) v ( x )] u( x ) v( x )
说明 推广到有限个的情形. 如,
(u v w) u v w
1
2、乘积的导数 设函数 u u(x ), v v ( x ) 在点 x 处可导，则
7
小结
1）.对复合函数求导时,应先利用初等变换将函数化简,
然后再求导.这样可以简化计算.
2). 在求导过程中必须搞清函数是怎样复合的.
求导时由外到里逐层求导.
注意:一定要到底,不要遗漏 , 不要重复.
8
例3. y f (sin 解
1 x
)
求
y
1 x 1
2
y ( f (sin (cos 1 x )( 1
dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 )
y f [ ( x )]
一般，若 y f (u ), u (x )
dy du f ( u ) ( x ) dx du dx
5
dy
例1. 求下列函数的导数：
1). y sin x , 2). y sin 2 x, 3). y ln tan x,
2
3、商的导数 设函数 u u(x ), v v ( x ) 在点 x 处可导，( v ( x ) 0) 则
(
u( x ) v( x )
)
u ( x )v ( x ) u ( x )v ( x ) v (x)
v ( x ) v (x)
2
2
说明
(
c v( x )
) c
2
解. 1). y sin x
2
y sin u, u x 2
dy
dy du cos u 2 x 2 x cos x 2du
y u , u sin x x du 2u cos x 2 sin x cos x sin 2 x dx
dy
y f { [ ( x )]}
dy du dv f ( u ) ( v ) ( x ) dx du dv dx
例2.
y ln cos( e ) 求
x
dy
dx x u cos v, v e x . 解 y ln cos( e ) y ln u, dy dy du dv 1 x ( sin v ) e dx du dv dx u x sin e x x x e e tan e . x cos e
4
三、复合函数的求导法则
求下列函数的导数：
1). y sin x , 2). y sin x, 3). y ln tan x,
2 2
定理2.2.2 若 u (x ) 在点 x 可导， 0 而 y f (u )在点 u0 ( x0 ) 可导， 且其导数为： 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x 可导， 0
3
二、反函数的导数 定理2.2.1 (反函数的导数) 若函数 y f ( x )在区间I 内单调、可导且 f ( x ) 0 , x
则其反函数 x ( y ) 在对应区间 I y 内可导，且有
dx
1 dy dy dx
即 ( y )
1 f ( x )
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
1 x
)) f (sin 1 )
) (sin
1 x
)
注意:
x x x x 1 1 ( f (sin ))与 f (sin )的区别 x x
) f (sin
cos
1
f (sin
1 x
)
9