第三章Z变换
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计算机控制系统03 Z变换
教材例315212??zzzzf211221???zczzbzb求得b2b11c2代入????????0011211kkkababkk121211???kkkcpkababktf111221111?????kkkk12??kk注意????11azz????11azzzzkazazzzz111???????1??ka三留数计算法反演积分法fkt等于fzzk1全部极点留数之和1fzzk1中非重极点pi的留数lim1??kipzizzfpzki2fzzk1中中q重极点pj的留数注意
则 Z [ y( kT )] Z [u( kT ) * g ( kT )] U ( z )G ( z )
7 乘ak 后的Z变换 Z[ y( kT )] Y ( z ) 若 Z[a k y( kT )] Y ( a 1 z ) 则 k k k Z [ a y ( kT )] y ( kT ) a z k 0 证：
z 1
∴
y( kT ) lim ( z 1)Y ( z ) y( ) lim z 1 k
( z 1)Y ( z )
的全部极点都在单位圆内，等效于Y(z) 可以 有一个极点为1，在单位圆上,而其余极点必 须全在单位圆内。否则，不能使用终值定理。 例 4： F ( z)
证：按Z变换的定义展开，注意到零初始条件
Z [ y( kT nT )] k 0 y( kT nT ) z k
从k=n项开始展开
n
y( 0) z n y(T ) z ( n1 ) y( 2T ) z ( n 2 )
k 0 y( kT ) z ( n k ) z n k 0 y( kT ) z k z Y ( z )
k 0
则 Z [ y( kT )] Z [u( kT ) * g ( kT )] U ( z )G ( z )
7 乘ak 后的Z变换 Z[ y( kT )] Y ( z ) 若 Z[a k y( kT )] Y ( a 1 z ) 则 k k k Z [ a y ( kT )] y ( kT ) a z k 0 证：
z 1
∴
y( kT ) lim ( z 1)Y ( z ) y( ) lim z 1 k
( z 1)Y ( z )
的全部极点都在单位圆内，等效于Y(z) 可以 有一个极点为1，在单位圆上,而其余极点必 须全在单位圆内。否则，不能使用终值定理。 例 4： F ( z)
证：按Z变换的定义展开，注意到零初始条件
Z [ y( kT nT )] k 0 y( kT nT ) z k
从k=n项开始展开
n
y( 0) z n y(T ) z ( n1 ) y( 2T ) z ( n 2 )
k 0 y( kT ) z ( n k ) z n k 0 y( kT ) z k z Y ( z )
k 0
4第三章Z变换gxsPPT课件
1、环节串联时的脉冲传递函数
a、各线性环节直接串联，之间无理想开关相 隔只有输入端设采样开关。
G (z) T
T
r(t)
G1(s) R(z)
G2(s)
y*(t) Y(z) y(t)
G(s)=G1(s)G2(s) G(z)=Z[G(s)]=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)
先乘积 后变换
即：开环系统的脉冲传递函数，等于两个环节传
1W (z) 1 D(z) •G(z)
e (z)
E(z) R(z)
R(z) Y (z) R(z)
1
Y (z) R(z)
1 (z)
e
(z)
1
1 D(z)
•
G(z)
(z) 1 e (z)
15
§3-4控制系统的稳定性
无论对于连续系统还是离散系统，所谓稳定 就是指在有界的输入作用下，系统的输出也是有 界的。一个系统必须是稳定的才能工作，当然一 个稳定的系统还有工作性能好坏的问题，这是性 能指标。这里要给大家介绍离散系统的稳定性及 稳态误差。 一、离散系统稳定的充分必要条件
图2-6 两个环节并联
G(z)= G1(z)+G2(z)=Z[G1(s)]+Z[G2(s)] 10
三、离散控制系统的闭环脉冲传函
离散控制系统中采样开关的配置有多种形式， 因此控制系统没有唯一的结构，只对几种典型 结构，给出闭还系统的脉冲传函。
1. R(z) + E(s) G(s)
B(z-) T
H(s)
y*(t) Y(z)
7
T r(t)
G (z) T
G1 (s) 1 eTS
Go(s) G2 (s) s
G(z) G1G2 z Z L1 G1 s • G2 s
第三章 Z变换
0 | z | Rx 2 0 | z | Rx 2
j Im[ z ]
左边序列 ROC示意图
Re[ z ]
Rx 2
3．2．5 双边序列的ROC
如果序列在整个区间都有定义，则称之为双边序列或无始无 终序列。
X(z)
如果
n
x (n )z n x (n )z n
n 0
n
1 z | z | 1 1 1 z z 1
1
|z| > 1
序列的单边ZT可以用双边ZT表示
Z[x(n)] Z B [x(n)u(n)]
而且，一个序列是因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u ( n )
一个序列是反因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u (— n — 1 )
（3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0
除外)
3．2．2 有限长序列的ROC
X(z)
n n1
x (n )z n
n2
（1） n1<0，n2>0 时，收敛域为 0 < | z | <∞( |z|=0, ∞ 除外) （2）n1<0， n2 ≤ 0 时， 收敛域为 0 ≤ | z | < ∞ ( |z|=∞ 除外) （3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0 除外)
a n , (n 0) x 1 (n ) 0, (n 0)
的ZT为：
X1 ( z)
n
x ( n) z
1
n
a z
Z变换ppt课件
F (s)
C0
C1 s s1
C2 (s D2 ) s2 A2s B2
L
线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：
特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统） f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），
分别查表，得到z变换式，再求和。
注意：一般不能用 F *(s) s 1 ln z F (z) T 5
f *(t) 11 (t T ) 29 (t 2T ) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L
得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析
7
2. 查表法(部分分式展开法)
F (z) A1z A2z L An z
z z1 z z2
z zn
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
nm，可实现条件
例： G(z) Y (z) z z , Y (z) zR(z)
R(z)
1
y(t) r(t)=(t)
t -T 0
若r(t)=(t), R(z)=1, 则Y(z)＝z, y(t)= (t+T)
输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上 不存在
17
2 差分方程与脉冲传递函数
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L anc(k n)
即
e*(t) r *(t) c*(t)
25
反馈通道有采样开关
G(z)
R(s)
_
E(s) T E(z)
G(s)
Y(s) T
Y(z)
F(s)
T
Y(z)
Y(z) G(z)E(z)
E(z) R(z) F(z)Y (z) R(z) F(z)G(z)E(z)
第3章 Z变换
一. Z变换的定义
双边z变换 双边 变换
X ( z ) = ZT [ x(n)] =
n =−∞
∑
∞
x ( n) z − n
其中： 为复变量 以其实部为横坐标， 为复变量， 其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐 标构成的平面称为z平面 平面。 标构成的平面称为 平面。
X ( z ) = ZT [ x(n)] = ∑ x( n) z − n
X ( z) =
n =−∞
∑ −a u(−n −1) z
n
∞
−n
=
n =−∞
−a z = ∑ −a z = −∑ (a −1 z)n ∑
n −n −n n n =1 n=1
−1
∞
∞
此等比级数在|a-1z|<1，即|z|<|a|处收敛。 因此 此等比级数在 ， 处收敛。 处收敛
− a −1 z 1 z X ( z) = = = −1 1 − a z z − a 1 − az −1 | z |<| a |
n =0 ∞
单边z变换 单边 变换
数字信号处理
第三章 Z变换
二．Z变换的收敛域 1．收敛域的定义：对任意给定序列 ．收敛域的定义：对任意给定序列x(n)，使其 ，使其z 变换收敛的所有z值的集合称为 变换收敛的所有 值的集合称为X(z)的收敛域。 的收敛域。 值的集合称为 的收敛域 2. 收敛条件：X ( z ) = 收敛条件：
X ( z) =
n = −∞
∑
∞
x ( n) z
−n
= ∑ x ( n) z
n =0
∞
−n
+
n = −∞
x ( n) z − n ∑
双边z变换 双边 变换
X ( z ) = ZT [ x(n)] =
n =−∞
∑
∞
x ( n) z − n
其中： 为复变量 以其实部为横坐标， 为复变量， 其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐 标构成的平面称为z平面 平面。 标构成的平面称为 平面。
X ( z ) = ZT [ x(n)] = ∑ x( n) z − n
X ( z) =
n =−∞
∑ −a u(−n −1) z
n
∞
−n
=
n =−∞
−a z = ∑ −a z = −∑ (a −1 z)n ∑
n −n −n n n =1 n=1
−1
∞
∞
此等比级数在|a-1z|<1，即|z|<|a|处收敛。 因此 此等比级数在 ， 处收敛。 处收敛
− a −1 z 1 z X ( z) = = = −1 1 − a z z − a 1 − az −1 | z |<| a |
n =0 ∞
单边z变换 单边 变换
数字信号处理
第三章 Z变换
二．Z变换的收敛域 1．收敛域的定义：对任意给定序列 ．收敛域的定义：对任意给定序列x(n)，使其 ，使其z 变换收敛的所有z值的集合称为 变换收敛的所有 值的集合称为X(z)的收敛域。 的收敛域。 值的集合称为 的收敛域 2. 收敛条件：X ( z ) = 收敛条件：
X ( z) =
n = −∞
∑
∞
x ( n) z
−n
= ∑ x ( n) z
n =0
∞
−n
+
n = −∞
x ( n) z − n ∑
第三章 Z变换ppt课件
（5）有限长序列
an, 0nN-1,
x[n]= 0,
其它
z变换：
N -1
N -1
X (z)= an 0
n=0
1- az-1
= 1-az-1
N
=
1 z N -1
z N -a N z-a
,
收敛域的条件：
N -1
az -1
n
<
n=0
有限长序列的收敛域：整个z平面（z = 0和z = ∞由具体序列定）
傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
x[n] z n ,
n
x[n]rn ,
n
傅立叶不收敛
z变换收敛
若z = z1在ROC内，︱z︱= ︱z1︱的值也一定在ROC内， 表示收敛域的形状：
查表求得：
其它几种情况： （1）M ≥ N
Br 系数通过长除法获得。对应的z反变换为：Brδ[n-r] （2）M ≥ N，且有多重极点
若X(z)有一个s阶极点：z = di (其余极点均为一阶) 则X(z)可以展开为：
Cm系数：
几点说明： （1）
项对应于 (dk)nu[n]
取决于收敛域
(dk)nu[n1]
3.0 引言
连续时间信号与系统： 时域频域（傅立叶变换）；复频域（s域，拉氏变换） 离散时间信号与系统： 时域频域（傅立叶变换）；复频域（z域，z变换） 引入z变换的主要原因：
傅立叶变换的收敛性（更广泛的信号） z变换概念的方便性（分析研究信号、系统） 傅立叶变换与z变换的关系： 推广形式（数学、物理意义上） 分析上的全面性（稳态、动态、瞬态、静态）
第三章 Z变换-精品
如收敛域为|z|>Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展
成Z的负幂级数。
若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成
Z的正幂级数。
例:
试用长除法求 X(z)
z2
,1z 4
(4z)(z1) 4
的z反变换。
4
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
1 / 15 z 1
4
X ( z ) 16 15
z 1 4 z 15
z z 1
4
1 ( 16 z z ) 15 4 z z 1 4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
) 4-Z 16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3
Z3 - —14 Z 4
相减则相加则进行运算则对序列返回25三序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和返回25四两个基本性质则有如果返回25则有如果返回25五序列的实虚部与其傅氏变换偶奇部的关系1
二.变换域分析法
成Z的负幂级数。
若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成
Z的正幂级数。
例:
试用长除法求 X(z)
z2
,1z 4
(4z)(z1) 4
的z反变换。
4
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
1 / 15 z 1
4
X ( z ) 16 15
z 1 4 z 15
z z 1
4
1 ( 16 z z ) 15 4 z z 1 4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
) 4-Z 16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3
Z3 - —14 Z 4
相减则相加则进行运算则对序列返回25三序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和返回25四两个基本性质则有如果返回25则有如果返回25五序列的实虚部与其傅氏变换偶奇部的关系1
二.变换域分析法
第3章Z变换-PPT精选
n
n
n 0
3.1.5 双边序列的Z变换
双边序列的Z变换收敛域 ROC：Rx<|z|<Rx+，
这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。
3.1.5 双边序列的Z变换
图3-4 双边序列及其收敛域
例题3-1
求序列x(n)＝(n)的Z变换X(z)及其ROC。
解：这是n1＝n2=0时的有限长序列，且
第三章 Z变换
Chapter 3 The Z-Transform
§ 3.1 z 变换 § 3.2 z 反变换 § 3.3 z 变换的性质
本章的主要内容
1、掌握z变换及其收敛域 2、会运用任意方法求z反变换 3、理解z变换的主要性质
第三章作业 习题3-1 （1）（2）（4） 习题3-2 （1） 采用长除法、围线积分法与部分分式法 求取 习题3-4
有z值的集合称为X(z)的收敛域 （ROC,Region of
Convergence）。根据级数理论，式(3-1)中级数收 敛的充要条件是
x(n)zn M
n
（3-3）
3.1 Z 变换
如果X(z)在收敛域内是一个有理函数，
X (z) P(z) （3-4） Q( z )
当X(z)=0，即P(z)=0的z称为X(z)的零点； 当X(z)为无穷大，即Q(z)=0的z称为X(z)的极点， 另外，零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。
|z|>1 |z|>1
z2z 22 zzcco o 00s s112 1z1 zc 1co 0 o s 0zs2
(easi n0)z1 12(eacos0)z1e2az2
|z|>1
z ea
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N i
H ( z)
B( z )
i 0
i
1 bi z
i 1
N
i
X ( z ) A0
i
1 Pz 1 i
步骤：1.求出 X ( z ) 的所有极点 pi ，并展开为部分分式； 2.收敛域是每一部分分式收敛域的公共部分。 3.利用常用变换对和Z变换性质求出每项的反变换。 如果为右边序列，则 x(n) A0 (n) Ai Piinu (n) 若为左边序列，则 x(n) A0 (n) Ai Piinu (n 1)
二．Z变换的收敛域（ROC）
收敛域对Z变换是一个重要的概念。序列的Z变换是一幂
级数，
n
x(n) z n 并不一定对任何Z值都收敛，只有当该幂级
数收敛时，Z变换才有意义。
所以Z变换的存在与序列 x(n) 本身及Z值范围都有关系。 由于收敛域的不同，可能代表了不同序列的Z变换，因此为了 单值地确定Z变换所对应的时域序列，不仅要给出序列的Z变 换函数，而且必须同时说明它的收敛域。也就是说，信号的Z 变换与收敛域一起才能构成与时域信号一一对应的关系。 收敛域 — Z平面上那些能使 X ( z )收敛的所有Z值的集合,就构 成了 X ( z )的收敛域，用“ROC”表示。
结 论：
1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X ( z ) 收敛。 2）仅仅由 X ( z )的表达式不能唯一确定一个信号，
只有 X ( z )连同相应的ROC一道，才能与信号建 立一一对应的关系。
3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的 环形区域。
n
n
1 b u ( n) , z b 1 1 bz
n
1 b u (n 1) , z b1 1 b1 z 1
n
在 b 1 时，两部分收敛域无公共部分，表明 此时 X ( z )不存在。
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
使得级数一致收敛的充分必要条件是:
n
x ( n) z n
Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。
Rx Z Rx ,
Rx 、Rx
称为收敛半径。收敛半 径与序列有密切关系， 对于不同形式的序列其 收敛域不同。
x ( n) a n u ( n) 例1:
极点：z a (一阶)
z 0 (N-1阶)
z 零点： ae
j
2 k N
(k 0,1 N 1)
ROC : z 0
3.左边序列
左边序列 x(n) 只在 n n2 时有值， n2 时， (n) 0 。 x n 左边序列的Z变换为：
X ( z)
左边序列的Z变换的收敛域一定位于最内部极点的内部， 其收敛域为：
4）如果 x(n) xi (n) ，则其ROC是各个 xi ( n) 的 ROC的公共区域。如果没有公共区域则表达式
i
x(n)的Z变换不存在。
5）当 X ( z ) 是有理函数时，其ROC的边界总是由
X ( z ) 的极点所在的圆周界定的。
6）若 X ( z ) 的ROC包括单位圆，则有
X (e ) X ( z ) |z e j
例2．有一序列的Z变换为
X ( z) 11 7 z 1 z 2 6 5 z 1 z 2
11 7 z 1 z 2
1 2
|z|>1
求：X(z)的反变换 x(n) 。 解：X ( z )
6 5z z ( 2 z 1 )(3 z 1 ) 1 1 1/ 2 1/ 3 1 1 1 1 2 z 1 3 z 1 1 z 1 1 z 1 2 3
第三章
z变换
Z变换是分析离散系统的一个极为重要的数学工具。在连 续时间信号与系统中，频域分析用傅立叶变换,复频域分析用 拉普拉斯变换，而在离散时间信号与系统中，序列的傅立叶 变换用以进行频域分析,而Z变换则主要是进行复频域分析。
§2.2 Z变换的定义与收敛域
一．Z变换的定义
序列 x(n) 的Z变换定义为
1
c
X ( z )Z n 1dz ,
c ( Rx , Rx )
式中积分表示对X(z)Zn-1进行的围线积分，积分路径C是一 条在X(z)收敛域 ( Rx , 围线，如图所示:
Rx )以内，逆时针环绕原点一周的单
反变换的求取方法： 1. 部分分式展开法： 当 X ( z )是有理函数时, a z Ai A( z )
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。 把H(z)表示成两个多项式之比
H ( z) 2z2 5 z 2
z 2
z2
5 z 1 2
解法一：H(z)是Z的有理函数，其分子分母阶次都是2， 因此该系统是因果的。反之，如果H(z)分子的阶次高于分 母的阶次，则该系统是非因果的。
j
对于不同形式的序列其收敛域不同。下面我们结合一些 典型情况讨论Z变换的收敛半径与序列的关系：
1. 有限长序列 x(n)
x ( n) x ( n) 0
n1 n n2 n n1 , n n2
其Z变换为 X ( z )
1 nn
n2
x(n) z n x(n1) z n1 x(n2 ) z n2
A 1 az 1 a 2 z 2 (az 1 ) n A X ( z) z a X(z)的封闭形式 1 1 az
收敛域指在这个范围内表达式是解析的。
1 例3： x(n) [u (n) u (n 8)] 3
8 n
例3. X ( z )
1 1 1 (1 z )(1 2 z 1 ) 3 极点： z1 1 3 , z2 2
零点： z 0 （二阶）
在有限 Z平面上极点 总数与零点总数相同
若其ROC为： 1 z 2 则 x ( n)为右边序列,且是因果的,但其傅氏 变换不存在。 2 z 1 3 时x (n) 是左边序列,且是反因果的,其傅 氏变换不存在。
n
n2
x ( n) z n
n
0
x ( n) z n x ( n) z n
n 1
n2
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
X ( z)
n
x ( n) z
n
x ( n) z
1 ROC : z 2 2
对双边序列， X ( z ) 的ROC是Z平面上一个以 原点为中心的圆环。
[注意]
( 左边序列从 , 1)
右边序列从(0, )
比较例1和例2，它们的Z变换完全一样，只
是收敛域不同，所以对应的时域序列不同。因 此，Z变换与收敛域一起才能构成与信号一一对 应的关系。 X ( z ) 的表达式再结合ROC一起才能 唯一的确定信号。
X ( z)
n
x ( n) z n
其中 z re j 是复变量,它所在的复平面称为Z平面。以上 定义的变换称为双边Z变换，另外一种称为单边Z变换。
单边Z变换求和限从零到无穷大，单边Z变换定义为：
X ( z ) x ( n) z n
n 0
在大多数情况下，我们可以把 x(n) 的单边Z变换看作是因果 序列 x(n)u (n) 情况下的双边Z变换。因此，除了用Z变换解 差分方程需要考虑序列的初始条件时要用单边Z变换外，以 下我们都只考虑双边Z变换。
i 1
N
i 1
若为双边序列，则由左边序列和右边序列相加而得到。
例1： X ( z )
5 1 3 z 6
1 1 1 1 (1 z )(1 z ) 4 3 1 2 X ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
1 1 z 4 3
1 n 1 n x(n) ( ) u (n) 2( ) u (n 1) 4 3
n n 1
1
a 1 z 1 1 1 a z 1 az 1
z a
1 n x(n) ( ) u (n) 2n u (n 1) 例3. 2
1 n n 1 n n X ( z) ( ) z 2 z n0 2 n 1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2
收敛域是 Rx z
。
右边序列不一定是因果序列，只有在 n1 0 时，ROC包 含 z 点时才是因果序列。因此，因果序列的收敛域一 定包括 z 点。 因果序列的收敛域为：
Rx z
z 2
例1．考虑一系统，其中 H ( z)
1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2 判断其是否为因果系统？
X (z )是有限项级数之和，只要级数的每一项有界， 这个级数就收敛。显然，有限长序列的收敛域是除了 Z=0及 z 两点外的有限Z平面。即: 0 z
n 如果 n1 、 2 选择不同，收敛域可以进一步扩展。
当 n1 0, n2 0 时,
0 z
当 n1 0, n2 0 时,
1 3
j 2 K 8
8个零点
j Im[ z ]
z0 z
1 3
7阶重极点
一阶极点
Re[z ]
例4. x(n)
N 1 n 0
H ( z)
B( z )
i 0
i
1 bi z
i 1
N
i
X ( z ) A0
i
1 Pz 1 i
步骤：1.求出 X ( z ) 的所有极点 pi ，并展开为部分分式； 2.收敛域是每一部分分式收敛域的公共部分。 3.利用常用变换对和Z变换性质求出每项的反变换。 如果为右边序列，则 x(n) A0 (n) Ai Piinu (n) 若为左边序列，则 x(n) A0 (n) Ai Piinu (n 1)
二．Z变换的收敛域（ROC）
收敛域对Z变换是一个重要的概念。序列的Z变换是一幂
级数，
n
x(n) z n 并不一定对任何Z值都收敛，只有当该幂级
数收敛时，Z变换才有意义。
所以Z变换的存在与序列 x(n) 本身及Z值范围都有关系。 由于收敛域的不同，可能代表了不同序列的Z变换，因此为了 单值地确定Z变换所对应的时域序列，不仅要给出序列的Z变 换函数，而且必须同时说明它的收敛域。也就是说，信号的Z 变换与收敛域一起才能构成与时域信号一一对应的关系。 收敛域 — Z平面上那些能使 X ( z )收敛的所有Z值的集合,就构 成了 X ( z )的收敛域，用“ROC”表示。
结 论：
1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X ( z ) 收敛。 2）仅仅由 X ( z )的表达式不能唯一确定一个信号，
只有 X ( z )连同相应的ROC一道，才能与信号建 立一一对应的关系。
3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的 环形区域。
n
n
1 b u ( n) , z b 1 1 bz
n
1 b u (n 1) , z b1 1 b1 z 1
n
在 b 1 时，两部分收敛域无公共部分，表明 此时 X ( z )不存在。
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
使得级数一致收敛的充分必要条件是:
n
x ( n) z n
Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。
Rx Z Rx ,
Rx 、Rx
称为收敛半径。收敛半 径与序列有密切关系， 对于不同形式的序列其 收敛域不同。
x ( n) a n u ( n) 例1:
极点：z a (一阶)
z 0 (N-1阶)
z 零点： ae
j
2 k N
(k 0,1 N 1)
ROC : z 0
3.左边序列
左边序列 x(n) 只在 n n2 时有值， n2 时， (n) 0 。 x n 左边序列的Z变换为：
X ( z)
左边序列的Z变换的收敛域一定位于最内部极点的内部， 其收敛域为：
4）如果 x(n) xi (n) ，则其ROC是各个 xi ( n) 的 ROC的公共区域。如果没有公共区域则表达式
i
x(n)的Z变换不存在。
5）当 X ( z ) 是有理函数时，其ROC的边界总是由
X ( z ) 的极点所在的圆周界定的。
6）若 X ( z ) 的ROC包括单位圆，则有
X (e ) X ( z ) |z e j
例2．有一序列的Z变换为
X ( z) 11 7 z 1 z 2 6 5 z 1 z 2
11 7 z 1 z 2
1 2
|z|>1
求：X(z)的反变换 x(n) 。 解：X ( z )
6 5z z ( 2 z 1 )(3 z 1 ) 1 1 1/ 2 1/ 3 1 1 1 1 2 z 1 3 z 1 1 z 1 1 z 1 2 3
第三章
z变换
Z变换是分析离散系统的一个极为重要的数学工具。在连 续时间信号与系统中，频域分析用傅立叶变换,复频域分析用 拉普拉斯变换，而在离散时间信号与系统中，序列的傅立叶 变换用以进行频域分析,而Z变换则主要是进行复频域分析。
§2.2 Z变换的定义与收敛域
一．Z变换的定义
序列 x(n) 的Z变换定义为
1
c
X ( z )Z n 1dz ,
c ( Rx , Rx )
式中积分表示对X(z)Zn-1进行的围线积分，积分路径C是一 条在X(z)收敛域 ( Rx , 围线，如图所示:
Rx )以内，逆时针环绕原点一周的单
反变换的求取方法： 1. 部分分式展开法： 当 X ( z )是有理函数时, a z Ai A( z )
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。 把H(z)表示成两个多项式之比
H ( z) 2z2 5 z 2
z 2
z2
5 z 1 2
解法一：H(z)是Z的有理函数，其分子分母阶次都是2， 因此该系统是因果的。反之，如果H(z)分子的阶次高于分 母的阶次，则该系统是非因果的。
j
对于不同形式的序列其收敛域不同。下面我们结合一些 典型情况讨论Z变换的收敛半径与序列的关系：
1. 有限长序列 x(n)
x ( n) x ( n) 0
n1 n n2 n n1 , n n2
其Z变换为 X ( z )
1 nn
n2
x(n) z n x(n1) z n1 x(n2 ) z n2
A 1 az 1 a 2 z 2 (az 1 ) n A X ( z) z a X(z)的封闭形式 1 1 az
收敛域指在这个范围内表达式是解析的。
1 例3： x(n) [u (n) u (n 8)] 3
8 n
例3. X ( z )
1 1 1 (1 z )(1 2 z 1 ) 3 极点： z1 1 3 , z2 2
零点： z 0 （二阶）
在有限 Z平面上极点 总数与零点总数相同
若其ROC为： 1 z 2 则 x ( n)为右边序列,且是因果的,但其傅氏 变换不存在。 2 z 1 3 时x (n) 是左边序列,且是反因果的,其傅 氏变换不存在。
n
n2
x ( n) z n
n
0
x ( n) z n x ( n) z n
n 1
n2
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
X ( z)
n
x ( n) z
n
x ( n) z
1 ROC : z 2 2
对双边序列， X ( z ) 的ROC是Z平面上一个以 原点为中心的圆环。
[注意]
( 左边序列从 , 1)
右边序列从(0, )
比较例1和例2，它们的Z变换完全一样，只
是收敛域不同，所以对应的时域序列不同。因 此，Z变换与收敛域一起才能构成与信号一一对 应的关系。 X ( z ) 的表达式再结合ROC一起才能 唯一的确定信号。
X ( z)
n
x ( n) z n
其中 z re j 是复变量,它所在的复平面称为Z平面。以上 定义的变换称为双边Z变换，另外一种称为单边Z变换。
单边Z变换求和限从零到无穷大，单边Z变换定义为：
X ( z ) x ( n) z n
n 0
在大多数情况下，我们可以把 x(n) 的单边Z变换看作是因果 序列 x(n)u (n) 情况下的双边Z变换。因此，除了用Z变换解 差分方程需要考虑序列的初始条件时要用单边Z变换外，以 下我们都只考虑双边Z变换。
i 1
N
i 1
若为双边序列，则由左边序列和右边序列相加而得到。
例1： X ( z )
5 1 3 z 6
1 1 1 1 (1 z )(1 z ) 4 3 1 2 X ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
1 1 z 4 3
1 n 1 n x(n) ( ) u (n) 2( ) u (n 1) 4 3
n n 1
1
a 1 z 1 1 1 a z 1 az 1
z a
1 n x(n) ( ) u (n) 2n u (n 1) 例3. 2
1 n n 1 n n X ( z) ( ) z 2 z n0 2 n 1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2
收敛域是 Rx z
。
右边序列不一定是因果序列，只有在 n1 0 时，ROC包 含 z 点时才是因果序列。因此，因果序列的收敛域一 定包括 z 点。 因果序列的收敛域为：
Rx z
z 2
例1．考虑一系统，其中 H ( z)
1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2 判断其是否为因果系统？
X (z )是有限项级数之和，只要级数的每一项有界， 这个级数就收敛。显然，有限长序列的收敛域是除了 Z=0及 z 两点外的有限Z平面。即: 0 z
n 如果 n1 、 2 选择不同，收敛域可以进一步扩展。
当 n1 0, n2 0 时,
0 z
当 n1 0, n2 0 时,
1 3
j 2 K 8
8个零点
j Im[ z ]
z0 z
1 3
7阶重极点
一阶极点
Re[z ]
例4. x(n)
N 1 n 0