高等传热学09

Advanced Heat Transfer
Chap. 9 Laminar external boundary layers
北京建筑工程学院
Beijing University of Civil Engineering and Architecture
Advanced Heat Transfer
§9-1 laminar forced convection over a flat plate 1.The Governing Eqs & BCs 研究对象：常物性，不可压缩流体，2D，忽略黏性耗 散，无内热源，无体积力，u∞，T∞＝const y 主流区 0 x
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aφ xx + bφ xy + cφ yy + dφ x + eφ y + fφ = g ( x, y )
控制方程的 3 种类型 1 控制方程的类型 (根据 b2-4ac的情况分类) 双曲型方程 (问题) ： b2-4ac ＞ 0，过某点 有两条实的特征线。 抛物型方程 (问题) ： b2-4ac = 0，过某点 有一条实的特征线。 椭圆型方程 (问题) ： b2-4ac ＜ 0，过某点 没有实的特征线。
v = − ∂ψ ∂ = − ∂x ∂x
(
f
u ∞ν x
)
⎛1 = −⎜ ⎜2 ⎝
u ∞ν f + x
∂f ∂η ⎞ u ∞ν x ⎟ ⎟ ∂η ∂x ⎠
=
1 2
u ∞ν x
(η
f '− f
)
⎞ 1 −1 ⎟ ⎟= − 2 x η ⎠
u∞ ∂η ∂ ⎛ = y ⎜ ⎜ ∂x ∂x ⎝ νx
⎞ u∞ 1 −1 ⎛ ⎟ ⎟= − 2 x ⎜ ⎜ y νx ⎠ ⎝
(R e x , P r )
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分段拟合：
0 .5 6 4 R e 1x 2 P r 1 2 ,
N u x = 0 .3 3 2 R e 1x 2 P r 1 3 ,
P r < 0 .0 5 P r = 0 .6 − 1 0 Pr > 10
0 .3 3 9 R e 1x 2 P r 1 3 ,
du ∞ ( x ) ∂u ∂u ∂ 2u ρ （u ) = ρ u∞ ( x ) +v +μ 2 dx ∂x ∂y ∂y ∂t ∂t ∂ 2t u +v = a ∂x ∂y ∂y 2
∂v ∂u + = 0 ∂x ∂y
y = 0 : u = 0, v = 0, T = Tw x = 0 : u = u ∞ ( x ) , T = T∞
∂T ) y = 0 : u = 0, v = 0, T = Tw ( q = − λ ∂y y = ∞ (δ ) : u = u ∞ , T = T ∞
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8.边界层微分方程的特点 (1)边界层由椭圆型方程简化到抛物线型。略去动 量方程和能量方程中主流方向的二阶导数项。 (2)方程少了一个，变量少了一个 (3)定解条件：14个减少到7个
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§2-3 Discussion of boundary layer equations 1.略去动量方程和能量方程中主流方向的二阶导数项
(1)数学上，边界层由椭圆型方程简化到抛物线型 (2)物理上，下游温度场对上游无影响 • 一个稳态的二维边界层问题与一个一维的非稳态 导热问题相似（x与时间为单向坐标） • 椭圆型一般由迭代法求解；抛物线型一般用步进 积分法求解。
νx ⎞
u∞ ⎟ ⎟ ⎠
−1
u∞ = y νx
不唯一
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引入流函数 ∂ψ ∂ψ u = ,v = − ∂y ∂x u 1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂η ∂ψ = = = u∞ u∞ ∂y u∞ ∂η ∂y ∂η
∂ u = ∂η u∞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ∂f ⎟ = ∂η u ∞ν x ⎟ ⎠
)
)
∂u ∂ = ∂y ∂y
(
f ' (η ) u ∞
)
=
∂ ∂η
(
f ' (η ) u ∞
∂η ) ∂y = u∞
u∞ f '' (η νx
∂ 2u ∂ ⎛ = u∞ ⎜ 2 ⎜ ∂y ∂y ⎝
u∞ f '' (η νx
2 ⎞ u∞ )⎟ ⎟ = ν x f ''' (η ⎠
)
∂u ∂u ∂ 2u 代入u +v =ν ∂x ∂y ∂y 2
hm 1 = L
∫
L 0
hx d x = 2 hL
Num = 2 NuL h x ∝ x −1 2 , x ↑ , h x ↓
x → 0, hx → ∞ ?
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§9-2 laminar forced convection with pressure gradients 1.The Governing Eqs & BCs 研究对象：常物性，2D，低速层流
（u ρ ∂x +v ∂r )=− dx + ⎛ ⎞ η r ⎜ ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ⎠
∂t ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂t ⎞ ⎛ ∂t +v ρcp ⎜u ⎟= ⎜λr ⎟ ∂ x ∂ r r ∂ r ∂ r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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6.求解边界层微分方程的经典方法 相似解 级数解 近似解:边界层积分方程 7.相似解：描写速度分布的偏微分方程(x,y)简化为 对η变量的常微分方程 （1）相似解存在的条件 （2）相似变量是否唯一 （3）在存在相似解的前提下，有无寻找相似 解的一般方法
y = ∞ (δ ) : u = u ∞ ( x ) , T = T ∞
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u∞ ( x ) = cx m
m =
y
β
2−β
存在相似解
u ∞ , T∞
x
βπ
du ∞ ( x ) dp 2 m − = ρ u∞ ( x ) = ρ cx m mcx m −1 = ρ u ∞ dx dx x
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∂v ∂u + = 0 ∂x ∂y
du ∞ ∂u ∂u ∂ 2u +v +μ （u ρ ) = ρ ∞u∞ dx ∂x ∂y ∂y 2
∂t ∂t ∂ 2t u +v = a ∂x ∂y ∂y 2
7个BC：
x = 0 : u = u ∞ , T = T∞ y = 0 : u = 0, v = 0, T = Tw y = ∞ (δ ) : u = u ∞ , T = T ∞
Θ = C1 ∫
η
0
Pr exp(− 2
C1 =
∫
η
0
fd η )d η + C 2
C2 = 0
1 ∞ Pr ∫0 e x p ( − 2
∫
η
0
fd η )d η
Pr e x p ( − ∫0 2 Θ = ∞ Pr e x p ( − ∫0 2
η
∫
η
0
fd η )d η fd η )d η
∫
η
0
= F (η , P r)
u∞ Θ ' (η νx
)
∂Θ ∂Θ ∂η = =Θ ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ ∂η = = Θ '' (η ⎜ ⎟ 2 νx ∂y ∂η ⎝ ∂y ⎠ ∂y
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Θ '' +
1 Pr f Θ ' = 0 2
Pohlhausen Eq.
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2.y方向动量方程： 3.方程少了一个，变量少了一个。定解条件：14 个减少到7个 4.应用边界层对流换热微分方程组的前提 一定要符合边界层分析的前提：
δ L 主流区，边界层区； 5.圆管内边界层微分方程(流速较高，管径较大， 管长较短) ∂u ∂u dp 1 ∂ ∂u
5.0 = x Re x
τ w, x
τ w, x
∂u =μ ∂y
y = 0, x
u∞ u f '= , η = y → u∞ νx
u∞
3 2
∂u =μ ∂y
→μ
y = 0, x
νx
f '' (η )
η =0
= 0.332 μ
u∞
3 2
νx
1 − 1 L c f = ∫ c fx dx = 2c f , L = 1.328 Re L 2 L 0
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u = f ' (η ) u∞
∂u ∂ = ∂x ∂x
1 u∞ν v= (η f '− f ) 2 x
∂η 1 −1 = − x η 2 ∂x
∂η 1 u∞ η f '' (η = − ) ∂x 2 x
(
f ' (η ) u ∞
)
=
∂ ∂η
(
f ' (η ) u ∞
1 − τ w, x 2 c fx = = 0.664 Re x 2 2 ρ u∞
上述值与实验测定值符合，证明了Prandtl边界层理论
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3.The heat transfer solution： 引入：
T − Tw Θ = T∞ − Tw
u∞ η = y νx