2019-2020年苏教版数学必修四讲义：第3章+3.1+3.1.2 两角和与差的正弦及答案

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高中数学必修4课件3-1-2-1

高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
题型三变角求值
例 5 已知 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α＋β)
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第三章 3.1 3.1.2 第一课时
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新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 ∵0<α<4π<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35， ∴cos(34π＋α)＝－1123，sin(π4－β)＝－45.
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新课标A版 ·数学 ·必修四
求角的三角函数值时，应先分析所求角和已知角之间的关系，将所求角用已知角的和与差表示．
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第三章 3.1 3.1.2 第一课时
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思考题 4 (1)若 sin(α－30°)＝153，30°<α<90°，则 sinα＝ ________.
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第三章 3.1 3.1.2 第一课时
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【解析】 f(x)＝sin(x＋3π)－ 3cos(x＋3π) ＝2·[12sin(x＋π3)－ 23cos(x＋π3)] ＝2sin(x＋3π－π3)＝2sinx 故 f(x)的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．
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【解析】原式＝sin(α＋β)cosα－12{sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋ β)－α]}
＝sin(α＋β)cosα－12·2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ.

2020学年高中数学第3章三角恒等变换章末复习课讲义苏教版必修4(2021-2022学年)

第3章三角恒等变换求值问题已知taｎα=４3,ｃos(α+β)=－错误!,α，β均为锐角,求ｃoｓβ的值．思路点拨：由tan α求siｎα,由ｃos（α+β)求sin(α＋β),再利用ｃoｓβ=cos[（α+β)-α]展开求解．[解]因为α,β均为锐角,所以0＜α＋β＜π,又coｓ(α+β)=-错误!，所以错误!未定义书签。

<α+β<π,且ｓiｎ（α+β)=错误!.因为tan α＝4错误!未定义书签。

,所以sin α＝错误!,cosα=错误!.所以cos β=cos[(α＋β）－α]=coｓ(α＋β)ｃos α＋sin（α+β)sin α＝错误!未定义书签。

三角函数求值主要有三种类型,即(1）“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式。

(２)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角，要注意角的范围.(3）“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.１.已知sin 错误!s ｉｎ错误!＝错误!未定义书签。

，α∈错误!，求错误!未定义书签。

的值. ［解] ∵sin 错误!sin 错误!=错误!，∴s ｉn 错误!cos 错误!=错误!,ｓin 错误!=错误!,即cos 2α=错误!．又α∈错误!,2α∈(π,2π)，∴sin 2α＝－错误!未定义书签。

＝－错误!＝－错误!.∴错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

=－错误!未定义书签。

化简与证明求证：错误!未定义书签。

＝1+si ｎ 4θ＋cos ４θ１-ｔa ｎ2θ。

思路点拨:先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式.［证明］证明原不等式成立,即证明1+sin 4θ-cos 4θ＝ta ｎ 2θ(1+sin 4θ+ｃos ４θ）成立.∵ta ｎ 2θ(1＋sin 4θ+cos 4θ)＝错误!未定义书签。

必修四数学第3讲教师版两角和与差的三角函数公式

课题：两角和与差的三角函数公式个性化教学辅导教案第3讲两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；（2）cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin αsin_β；（3）tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos__α．（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．（3）tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，＝a 2＋b 2sin(α＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a＝a 2＋b 2·cos(α－φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .三个变化1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，其手法通常是“配凑”．2．变名：通过变换尽可能减少函数种类，降低次数，减少项数，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等． 3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变形用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．1．(必修4 P 127练习T 2改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α为( ) A.210B ．－210C.7210 D ．－7210解析：选A.∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．(必修4 P 130例4(1)改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42° ＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．(必修4 P 135练习T 2改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A.725B ．－725C.1625D ．－1625解析：选A.由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫±352＝1－1825＝725.故选A.4．(必修4 P 138A 组T 19(4)改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：335．(必修4 P 137A 组T 10改编)tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个实数根．α，β均为锐角，则α＋β＝________．解析：由题意知tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，∴tan(α＋β )＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4. 答案：π4两角和与差公式的应用(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________． [解析] 法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62. 法二：sin 15°＋sin 75° ＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝2sin 45°cos 30°＝2×22×32＝62. [答案]62用两角和与差的三角函数公式直接求三角函数值时，只需在α±β中知道α，β的三角函数值，用公式展开后直接代入求值即可．两角和与差的正弦、余弦、正切公式扫一扫进入精品微课1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17C ．－17D ．－7解析：选B.因α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________．解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 答案：4＋3310两角和与差公式的逆向应用(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.[答案] D两角和与差的三角函数的公式的逆向应用，注意两点：①角的统一；②三角函数名称的对应．1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22B ．22C ．32D ．1解析：选B.原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 2.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A.33B ． 3C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A.2 B ．22 C ．12D ．32解析：选 B.原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.利用两角和与差公式求角度设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.[答案] B利用两角和与差的三角函数公式求角度，需要注意：①根据基本关系和公式求出需要求的角的三角函数值；②确定所求角的范围，求出对应的角度．1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α的值为( ) A.π6B ．π3C ．π4D ．5π12解析：选C.由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)，因为β为锐角，所以cos β＋sin β≠0，所以cos α＝sin α，所以tan α＝1.∴α＝π4，故选C.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. ∴β＝π4.故选C.二倍角公式及其应用(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.利用二倍角公式求三角函数值时，应注意：①cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的选择应用； ②高次化简求值时，用cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos2α2降次； ③注意用恒等式(sin α±cos α)2＝1±sin 2α等价转化．1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B ．13C ．12D ．23＝45×22＋35×22＝7210. 答案：7210一、选择题1．(必修4 P 69A 组T 8(3)改编)已知tan α＝3，则(sin α－cos α)2等于( )A.35B ．25C ．75D ．85解析：选B.∵tan α＝3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2sin α cos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2 α＋1＝1－610＝25. 2．(必修4 P 146A 组T 8(3)改编)化简sin 3αsin α－2cos 2α等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．1D ．0 解析：选C.sin 3αsin α－2cos 2α ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α－2cos 2α ＝2cos 2α＋cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α－(2cos 2α－1)＝1.3．(必修4 P 143A 组T 2(2)改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，若tan α＝m tan β，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， ∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan α＝5tan β，∴m ＝5，故选C.二、填空题4．(必修4 P 137A 组T 5改编)已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________．解析：设30°＋α＝t ，∴90°<t <180°，∵sin t ＝35， ∴cos t ＝－45， ∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t －30°)＋150°]＝cos(2t ＋90°)＝－sin 2t ＝－2sin t cos t ＝2425. 答案：2425三、解答题5．(必修4 P 125～126内文改编)用向量法证明cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.证明：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ.于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z .所以cos(α－β)＝cos θ.则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )。

2019-2020学年度高中数学苏教版必修四教学案：第3章 3

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学苏教版必修四教学案：第3章 3______年______月______日____________________部门第1课时两角和与差的余弦如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．问题1：求A，B两点的坐标．提示：A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)问题2：求·的值．OA OB提示：· ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)OA OB ＝cos αcos β＋sin α·sin β.问题3：若与的夹角为θ，求cos θ.OA OB提示：cos θ＝＝cos αcos β＋sin αsin β.问题4：θ与α、β之间有什么关系？能否用α、β的正、余弦值表示cos(α－β)?提示：θ＝α－β；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.两角和与差的余弦公式(1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.1．公式中的角α、β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)、cos(α＋β)是一个整体．2．公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式． [例1] 求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2).[思路点拨] (1)逆用公式可得角；(2)7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．[精解详析] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝.(2)原式＝－－sin 15°sin 8°cos 8°＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝.[一点通] 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式．1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.解析：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.答案：122．c os 105°＝________.解析：cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝×－×＝.答案：2－643．求的值．解：原式＝＝－－sin 20°cos20°＝＝.[例2] 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ＝，求cos. [思路点拨] 由α＋β，β－的正弦值已知，可用同角三角函数的基本关系式，结合α，β的范围求其余弦值，所以可利用角变换，α＋＝(α＋β)－来求值．[精解详析] ∵α，β∈，∴(α＋β)∈. ∴cos(α＋β)＝＝. 又∈， ∴cos ＝－. ∴cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝×＋×＝－.[一点通] (1)解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(2)在将所求角分解成某两角的和差时，应注意如下变换： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)等．4．已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，则cos(α－β)的值为________．解析：由sin α＝，α∈(，π)，得cos α＝－＝－.又cos β＝－，β是第三象限角，所以sin β＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 答案：－33655．若α∈(0，π)，且cos ＝，则cos α＝________. 解析：∵α∈(0，π)，∴α＋∈，又∵cos＝>0，∴α＋∈. ∴sin ＝.∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝coscos ＋sinsin π3 ＝×＋×＝. 答案：4＋3310[例3] 已知α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，求β的值．[思路点拨] β＝(α＋β)－α，然后求得β的某一三角函数值即可求得结论．[精解详析] ∵α为锐角，且cos α＝， ∴sin α＝＝.又∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.又cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝＝.则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝，∴β＝.[一点通] 解决给值求角型题目，一般分三个步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．6．已知α、β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________．解析：∵α、β均为锐角，sin α＝，cos β＝，∴cos α＝，sin β＝.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又sin α<sin β，∴0<α<β<，从而－<α－β<0.故α－β＝－.答案：－π47．已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．解：∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×－×＝.由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，∴α＋β＝.1．求解给角求值问题的方法(1)给角求值，一般所给出的角都是非特殊角，要仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合三角公式转化为特殊角求解．(2)在解答过程中常会利用诱导公式实现角的前后统一，有时还会用到一些特殊角的三角函数值，如sin＝cos＝，sin＝cos＝，sin＝cos＝等．2．解决给值(或)求值问题的方法对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数的值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”．一般地(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．3．解决给值求角问题的方法先求出所求角的一个三角函数值，再根据所求的范围确定所求角的具体值．课下能力提升(二十三)一、填空题1．cos(x ＋27°)cos(x－18°)＋sin(x ＋27°)sin(x－18°)＝________.解析：原式＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)]＝cos 45°＝. 答案：222．若sin α＝，α∈，则cos 的值为________．解析：∵sin α＝且α∈， ∴cos α＝－，∴cos ＝coscos α＋sinsin α＝－. 答案：－2103．已知＜β＜α＜，sin(α＋β)＝－，cos(α－β)＝，则cos 2α的值为________．解析：∵＜β＜α＜，∴－＜－β＜－. ∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜. ∴sin(α－β)＝1－α－β＝＝，cos(α＋β)＝－1－α＋β＝－＝－.于是cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)·cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β)＝·－·⎝ ⎛⎭⎪⎫513＝－.答案：－33654.sin －cos ＝________. 解析：原式＝sinsin －coscos π12＝－cos ＝－cos ＝－.答案：－225．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos(α－β)＝________.解析：将两条件等式平方后相加得 (cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2 ＝2－2cos(α－β)＝＋＝，∴cos(α－β)＝. 答案：5972二、解答题6．(广东高考)已知函数f(x)＝cos ，x∈R. (1)求f 的值；(2)若cos θ＝，θ∈，求f. 解：(1)f ＝cos ＝cos ＝1. (2)∵cos θ＝，θ∈， ∴sin θ＝－＝－， ∴f ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝＝－.7．在△ABC 中，已知cos A ＝，sin B ＝，求cos C.解：∵△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，由cos A＝知sin A＝.又0＜＜，∴A＞.又sin B＝，且＜＜，若B为锐角，则＜B＜，此时cos B＝.若B为钝角，则＜B＜.由于A＞，故B不可能为钝角．∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝.8．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)∵f(x)＝2cos，ω>0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.(2)由(1)知f(x)＝2cos，而α，β∈，f＝－，f＝，∴2cos＝－，2cos＝，即cos＝－，cos β＝，于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.第2课时两角和与差的正弦问题1：诱导公式cos＝sin α，sin＝cos α，其公式作用是什么？提示：正弦、余弦的互化．问题2：你能把sin(α＋β)，sin(α－β)表示为余弦的形式吗？提示：能．sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋βsin(α－β)＝cos.问题3：你能推导一下两角和与差的正弦公式吗？提示：sin(α＋β)＝cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β＝coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋β ＝sin αcos β－cos αsin β两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β) ＝＋β_cos α_sin β_sin α_cosα，β∈R两角差的正弦S (α－β)sin(α－β) ＝－β_cos α_sin β_sin α_cosα，β∈R1．与两角和与差的余弦公式一样，公式中的角α、β是任意角，其特点也是用单角的三角函数表示复角的三角函数，其中sin(α－β)、sin(α＋β)是一个整体．2．公式的特点：公式右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相同，可记为“和角正弦异名积之和，差角正弦异名积之差”．[例1] 已知0＜β＜，＜α＜，cos ＝，sin ＝，求cos(α＋β)的值．[思路点拨] 注意－＝＋(α＋β)，可通过求出＋β和－α的正，余弦值来求cos(α＋β)．[精解详析] ∵＜α＜，∴－＜－α＜0，∴sin ＝－＝－.又∵0＜β ＜，∴＜＋β ＜π，∴cos ＝－＝－，cos(α＋β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sincos －cossin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝×－×＝－.[一点通] 解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．1．设α∈，若sin α＝，则sin＝________.解析：∵α∈(0，)，sin α＝，∴cos α＝45∴sin(α＋)＝(sin αcos ＋cos αsin )＝sin α＋cos α＝＋＝.答案：75 2．已知sin α＝，sin β＝，且α、β为锐角，求α－β的值．解：∵sin α＝，α为锐角，∴cos α＝＝.∵sin β＝，β为锐角，∴cos β＝＝.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝·－·＝.∵α、β为锐角，∴－<α－β<.∴α－β＝.3．在△ABC中，若sin A＝，cos B＝－，求sin C的值．解：由△ABC中，cos B＝－，可知B为钝角，从而A为锐角，∴sin B＝＝，cos A＝＝.∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝·(－)＋·＝.[例2] (1)化简求值：①sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；②(tan 10°－).(2)已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tanα. [思路点拨] 对于①可利用诱导公式凑成两角和的正弦问题，②利用＝tan 60°，然后利用切化弦、通分化简．对于(2)要注意α＋β＝(2α＋β)－α，α＝(2α＋β)－(α＋β)．[精解详析](1)①原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.②(tan 10°－)＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝＝·cos 10°sin 50°＝－＝－2.(2)证明：∵2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，∴sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，而5sin β＝5sin[(α＋β)－α]＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α.由已知得sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α.∴2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α，等式两边都除以cos(α＋β)cos α，得2tan(α＋β)＝3tan α.[一点通] (1)化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数的种数最少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含有三角函数．(2)证明三角恒等式时，要注意分析等式两边函数名及角之间的关系，以便确定证明方向．4．求值：sincos－cossin＝________.解析：原式＝sincos－cossinπ6＝sin＝sin ＝.答案：225．求下列各式的值．(1)；(2).解：(1)原式＝－＋cos 60°sin 19°－－sin 60°sin 19°＝sin 60°cos 19°－cos 60°sin 19°＋cos 60°sin 19°cos 60°cos 19°＋sin 60°sin19°－sin 60°sin 19°＝＝tan 60°＝.(2)原式＝＋－sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°＋2cos 60°sin 20°－sin 20°cos 20°＝＝.6．证明：＝tan(α＋β)．证明：左＝α－β＋2cos αsin β－2sin αsin β＋α－β＝sin αcos β－cos αsin β＋2cos αsin β－2sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝＝＝tan (α＋β)＝右．∴原式得证.[例3] 已知函数f(x)＝2sin (x＋)－2cos x，x∈，求函数f(x)的值域．[思路点拨] 先将函数f(x)化简为f(x)＝asin x＋bcos x的形式，然后化为f(x)＝ sin(x＋φ)的形式解决．[精解详析] f(x)＝2sin－2cos x＝ sin x－cos x＝2sin，∵≤x≤π，∴≤x－≤.∴≤sin≤1.∴函数f(x)的值域为[1,2]．[一点通] (1)a sin x＋b cos x＝，令cos φ＝，sin φ＝，则有a sin x＋b cos x＝(cos φ sin x＋sin φ cos x)＝ sin (x ＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角．(2)涉及 a sin x ＋b cos x 的最值、图象等性质问题时，常利用两角和与差的三角函数公式先把该式转化成f(x)＝sin(ωx ＋φ)的形式；再利用研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的相关方法去求f(x)的有关性质．7．求值：(sin 15°＋cos 15°)＝________.解析：(sin 15°＋cos 15°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin 15°＋22cos 15°＝2(cos 45°sin 15°＋sin 45°cos 15°)＝2×sin 60°＝.答案：38．(江西高考)设f(x)＝sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x)|≤a，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f(x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 3x ＋12cos 3x＝2sin.所以函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，即|f(x)|≤2，所以要使|f(x)|≤a 恒成立，则a≥2.即数a 的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)9．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈. 求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．解：(1)因为cos α＝，且α∈，所以sin α＝，因为α，β∈，所以－<α－β<，所以cos(α－β)＝＝，所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝×－×＝.(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，又因为β∈，所以β＝.1．公式C α±β与S α±β的联系公式C α±β、S α±β的联系：四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，因为它们同出一脉：cos(α－β)cos(α＋β)()()2παβαβ−−−−−−−→以－＋＋换sin(α＋β)sin(α－β)这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式． 2．“构造法”化单一三角函数形如f(x)＝asin x ＋bcos x(a ，b 不同时为零)的三角函数，我们常常将其变形为Asin(x ＋φ)的形式，即变为“一个三角函数”的形式，然后研究其性质．考虑到此类函数中的角是两项之“和”的形式，所以可想办法构造并利用两角和或差的正、余弦公式进行化简．asin x＋bcos x进行变形可得asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，也可变形为asin x＋bcos x＝cos(x－φ)．课下能力提升(二十四)一、填空题1．若M＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°，N＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°，则M＋N＝________.解析：M＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－.N＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝22∴M＋N＝0.答案：02．化简：＝________.解析：sin 24°cos 6°－sin 66°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39°＝sin 24°cos 6°－cos 24°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39°＝＝＝－1.答案：－1 3．已知sin α－cos β＝，cos α－sin β＝，则sin(α＋β)＝________.解析：将条件等式两边平方相加得sin2 α＋cos2 β－2sin αcos β＋cos2 α＋sin2 β－2cosαsin β＝＋，即2－2·sin(α＋β)＝，∴sin(α＋β)＝.答案：59724．要使sin α－cos α＝有意义，则实数m 的取值范围是________．解析：∵sin α－cos α＝2sin.∴2sin ＝.∴sin ＝2m －34－m∴≤1，解得－1≤m ≤.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，735．计算：(tan 10°－)·＝________.解析：(tan 10°－)·cos 10°sin 50°＝(tan 10°－tan 60°)·cos 10°sin 50°＝·cos 10°sin 50°＝·cos 10°sin 50°＝·＝＝－2.答案：－2 二、解答题6．已知α，β是锐角，cos α＝，cos β＝，求α＋β的值．解：法一：∵α，β是锐角，cos α＝，cos β＝，∴sin α＝＝，sin β＝＝.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.∵0＜α＜，cos α＝＜＝cos，∴由余弦函数性质可知＜α＜.同理，＜β＜，∴＜α＋β＜π，∴α＋β＝.法二：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝. 7．已知<β<α<，cos＝，sin＝－，求sin 2α的值．解：∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.由sin(α＋β)＝－，得cos(α＋β)＝－；由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝.∵2α＝(α－β)＋(α＋β)，∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－.8．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<.(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．解：(1)f(x)＝(1＋tan x)·cos x＝cos x＋··cos x＝cos x＋sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin π6cos x ＋cos π6sin x＝2 sin.(2)∵0≤x<，∴≤x＋<，由x ＋≤，得x≤.∴f(x)在上是单调增函数，在上是单调减函数．∴当x ＝时，f(x)有最大值为2.第3课时两角和与差的正切问题1：我们学会了两角和与差的正弦、余弦公式，很自然地想到正切，能否用tan α和tan β的值表示tan (α＋β)和tan (α－β)的值？提示：tan(α＋β)＝＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝.tan(α－β)＝α－βα－β＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝.问题2：公式中α、β、α＋β、α－β是任意实数吗？提示：不是，α、β、 α＋β、α－β≠k π＋(k∈Z)．两角和与差的正切公式名称简记符公式使用条件号两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β) ＝tan α＋tan β1－tan α tan βα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切T(α－β)tan(α－β) ＝tan α－tan β1＋tan α tan βα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)1．公式T(α±β)只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的．2．当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T(α±β)处理有关问题，但可用诱导公式或其他方法．[例1] 求下列各式的值：(1)；(2)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°. [思路点拨] (1)可将化成tan 60°，再逆用两角差的正切公式求解．(2)变形应用两角和的正切公式，将非特殊角转化为特殊角求值．[精解详析] (1)∵tan 60°＝，∴原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.(2)∵tan 30°＝tan(20°＋10°)＝，∴tan 20°＋tan 10°＝tan 30°(1－tan 20°·tan 10°)．原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋tan 60°·tan 30°·(1－tan 20°tan10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. [一点通] (1)要熟记两角和与差的正切公式的结构特征，灵活应用公式化简求值．(3)注意公式的变形应用，当化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．1．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°＋tan 40°＝________.解析：∵tan(20°＋40°)＝，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°.∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .答案：32.＝________.解析：＝＝tan(32°＋88°)＝tan 120°＝－.答案：－3 3．(1)已知α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)；(2)利用(1)的结果求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan3°)…(1＋tan 45°)的值．解：(1)∵tan(α＋β)＝＝1，∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. (2)由(1)知，α＋β＝45°时，(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝2.∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan43°)＝…＝(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2.∴原式＝222·2＝223.[例2] 已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α，tan 2β，tan. [思路点拨] 利用已知条件中的角α＋β与α－β表示所求式中的角，不难看出2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan可用tan 2α表示出来．[精解详析] tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝α＋β＋α－β1－α＋βα－β＝＝－，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝，tan＝＝＝. [一点通] 在求两角和与差的正切值时，若已知的是α、β的正、余弦的值，此时求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正、余弦而后应用商数关系；②是先求tan α、tan β，而后应用α±β的正切公式，若已知的是α、β的正切，则直接应用正切公式求解即可．4．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，β∈，求tan(α－β)．解：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－，∴tan α＝－.又tan(π－β)＝，β∈，∴tan β＝－.∴tan(α－β)＝tan α－tna β1＋tan αtan β＝＝－.5．已知tan(α＋β)＝，tan ＝，求tan.解：tan ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝＝＝.[例3] 已知tan α、tan β是方程x2＋3x ＋4＝0的两根，且α、β∈，求α＋β.[思路点拨] 利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan (α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．[精解详析] 因为tan α、tan β是方程x2＋3x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，所以tan α<0，tan β<0.又因为α、β∈，。

高中数学苏教版必修四《3.2二倍角的三角函数》课件

解由 tan α＋tan1 α＝52得，
sin cos
αα＋csoins
αα＝52，则sin22α＝52
∴sin 2α＝45，又 α∈π4，π2
∴2α∈2π，π
∴cos 2α＝－35
∴sin2α＋π4＝sin
2α·cosπ4＋cos
π 2α·sin4
＝45×
22＋－35×
22＝
2 10
.
题型二化简求值
解 (1)∵f(x)＝sin24π＋x＋cos2 x＋12 ＝1－cos22π＋2x＋1＋c2os 2x＋12 ＝12sin 2x＋12cos 2x＋32 ＝ 22sin2x＋4π＋32. ∴f(x)的最大值为 22＋32，最小值为－ 22＋32；最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由(1)知要使 f(x)≥32，只需 22sin2x＋4π≥0，即 sin2x＋4π≥0，由 2kπ≤2x＋4π≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π(k∈Z)，又 x∈[0，π]， ∴0≤x≤38π或78π≤x≤π.
＝
1－sin 2α＝
17 3.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)
＝13×－
317＝－
17 9.
tan 2α＝csoins 22αα＝81717.
法二 ∵sin α＋cos α＝13，平方得 sin αcos α＝－49， ∴sin α、cos α 可看成方程 x2－13x－49＝0 的两根，解方程 x2－13x－49＝0，得 x1＝1＋6 17，x2＝1－6 17， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＞0，
[思路探索] 属于倍角公式的直接应用．

2019-2020学年人教A版数学必修四课件：第3章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公

第十六页，编辑于星期六：二十三点十三分。
1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°；
(2)sin150°＋cos 530°.
[解]
(1)cos
36°cos
72°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°
＝s4isnin14346°°＝14.
第二十七页，编辑于星期六：二十三点十三分。
2．若本例(2)中的条件变为 tanπ4－x＝152，其他条件不变，结果如何？
[解] 因为 tanπ4－x＝152，所以 sinπ4－x＝152cosπ4－x，
第二十八页，编辑于星期六：二十三点十三分。
又 sin2π4－x＋cos2π4－x＝1，故可解得 cosπ4－x＝1123，原式＝2cosπ4－x＝2143.
第十七页，编辑于星期六：二十三点十三分。
(2)原式＝cossi5n05°＋0°co3ss5in0°50°
＝2121cos
50°＋
23sin
50°
2×2sin 50°cos 50°
＝12sin 80°＝21sin 80°＝4. 2sin 100° 2sin 80°
第十八页，编辑于星期六：二十三点十三分。
第二十一页，编辑于星期六：二十三点十三分。
【例 2】 (1)已知 α∈－π2，π2，且 sin 2α＝sinα－π4，求 α. (2)已知 sinπ4－x＝153，0＜x＜π4，求cocsosπ4＋2xx的值．思路点拨：(1)2α＋2π－2α＝π2，用诱导公式联系求解． (2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解．
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2019_2020学年高中数学模块复习课讲义苏教版必修4

模块复习课一、三角函数1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝y x(x ≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．平行四边形法则(1)平面向量基本定理①定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝5．向量的投影向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b|b |. 6．向量的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ，a·b ＝b·a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，a －b －c ＝a －(b ＋c )，(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )．(3)分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .(4)重要公式：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，(a±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β. sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α. 4．降幂公式cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin 2x ＝1－cos 2x 2.5．和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．6．辅助角公式y ＝a sin x ＋b cos x 其中φ为辅助角，tan φ＝ba )(或a sin x ＋b cosx ＝a 2＋b 2cos(x －φ)，tan φ＝ab)．1．终边与始边重合的角是零角．(×)[提示] 终边与始边重合的角是360°的整数倍．2．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关．(×) [提示] 与圆的半径长短无关．3．角α是三角形的内角，则必有sin α＞0，cos α≥0.(×)[提示] 当α是钝角时cos α＜0.4．同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(√) 5．对任意角α，sin αcos α＝tan α都成立．(×)[提示] 只有cos α≠0时才成立． 6．诱导公式中的角α一定是锐角．(×)[提示] 只要角α使代数式有意义即可，不一定是锐角． 7．在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ．(√)8．函数y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位得到函数y ＝cos x 的图象．(×)[提示] 应为向左平移π2个单位．9．函数y ＝cos x 的图象关于x 轴对称．(×)[提示] 关于y 轴对称，所有对称轴可表示为x ＝k π(k ∈Z )． 10．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，则π2是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．(×)[提示] 若T 是一个函数的周期，对任意的x 必有f (x ＋T )＝f (x )成立．如sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2≠sin π3，故π2不是y ＝sin x 的周期．11．函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．(×)[提示] 函数若具备奇偶性首先要满足定义域关于原点对称． 12．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(×)[提示] 正弦函数、余弦函数有单调区间，但在定义域内单调性不一致，不是单调函数． 13．正切函数的定义域和值域都是R .(×)[提示] 正切函数的值域是R ，定义域为{x |x ≠π2＋k π(k ∈Z )}．14．把函数y ＝cos x 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝cos 3x 的图象．(×)[提示] 应得到y ＝cos 13x 的图象．15．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .(×) [提示] 最大值应为|A |.16．向量AB →与向量BA →是相等向量．(×)[提示] AB →与BA →大小相等，方向相反，是相反向量．17．任意两个向量的和仍然是一个向量．(√) 18．两个相等向量之差等于0.(√) 19．实数λ与向量a 的积还是向量．(√) 20．若m a ＝m b ，则a ＝b .(×) [提示] m ＝0时，a ＝b 不成立． 21．任意两个向量都可以作为基底．(×) [提示] 不共线的两个向量才可以作为基底．22．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√) 23．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.(√) 24．两个向量的数量积仍然是向量．(×) [提示] 两个向量的数量积是数．25．|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．(√) 26．若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0.(×) [提示] 只有∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0成立．27．对任意α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(√) 28．存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(√)29．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4能用公式tan(α＋β)展开．(×) [提示] 展开式中有tan π2，此式无意义．30．若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.(√)1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →A [法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB→－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0B [a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B.]3．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．[答案] －44．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.5．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．[解] (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.。

数学必修4第3章

高一数学必修4 第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第一课时【学习目标】1. 会用向量的数量积推导两角差的余弦公式；2. 会用余弦的差角公式余弦的和角公式，理解化归思想；3. 能用和差角的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明. 【学习重点】余弦差角公式的推导及运用. 【学习难点】余弦差角公式的推导及运用. 【学习过程】一、自主学习阅读课本P124—P126，完成下列问题1. 如何用任意角,αβ的正弦、余弦值来表示cos()αβ-；2. 如何求出cos15 的值；3. 会求sin75 的值吗？4.（1）试用计算器求值：cos45,cos30,cos15 （2）验证cos(4530)cos45cos30-=- 是否成立？5. 在平面直角坐标系中（1）怎样作出角,,αβαβ-的终边？（2）怎样作出角αβ-的余弦线OM ？（3）怎样利用几何直观寻找OM 的表示式？二、合作探究例1. 利用差角的余弦公式求cos15 的值.例2. 已知45sin ,(,),cos ,5213πααπββ=∈=是第三象限角，求cos()αβ-的值.x变式训练：15sin ,17θθ=是第二象限角，求cos()3πθ-的值.【练习】课本第127页.三、达标检测1. 利用两角和（差）的余弦公式，求cos75,cos105 .2. 求值 cos75cos30sin 75sin30+ .3. 化简cos()cos sin()sin αββαββ+++.4. 已知,αβ均为锐角，1cos sin()7ααβ=+，cos β.四、小结与反思高一数学必修4 第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第二课时【学习目标】1. 理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2. 初步运用公式求和角、差角的三角函数值.【学习重点】两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程及运用. 【学习难点】两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 【学习过程】一、自主学习自学课本P128—P129，完成以下问题 1. 完成课本中的各公式.2. 已知3sin ,5θ=若θ是第一象限角，则sin()4πθ-=_________；若θ是第四象限角，则sin()4πθ-=_________.3. 已知tan 2,θθ=是第三象限角，则tan()6πθ-=__________.4. 已知21tan(),tan()54αβαβ+=-=-，那么tan()5πα+的值是A. －318B.318C.1312 D.3223. 在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用. 如 sin cos cos sin sin()αβαβαβ+=+.tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-. 二、合作探究例1. 已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin(),cos(),tan()444πππααα-+-的值.例2. 利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos42cos72sin 42- ；（2）cos20cos70sin 20sin 70- ；（3）1tan151tan15+-.【练习】课本第131页.三、达标检测1. sin 7cos37sin83sin37- 的值是A. B. 12- C.12D.2. 21tan 75tan 75-的值是A.B.C. -D. 3. 若sin 2sin 3cos 2cos3x x x x =，则x 的值是A.10πB.6πC.5πD.4π 4. 若13cos ,(,2)52πθθπ=∈，则sin()3πθ+=_________.5.6. ()()cos cos sin sin αββαββ+++=__________.7. 已知α为第二象限角，3sin 5α=，β是第一象限角，5cos 13β=，求tan(2)αβ-的值.8. 已知412sin(),cos()25213βααβ-=-=-，且2βα-是第二象限角，2αβ-是第三象限，求tan2αβ+.四、小结与反思高一数学必修4 第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第三课时【学习目标】1. 掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，明确角的取值范围.2. 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明.【学习重点】二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.【学习难点】二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.【学习过程】一、自主学习：自学课本P132—P133，完成以下问题.利用和角的正弦、余弦、正切公式，可以得到sin2α=______________；cos2α=______________；tan2α=______________.思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα形式的式子呢？二、合作探究例1. 已知5sin2,,1342ππαα=<<求sin4,cos4,tan4ααα的值.例2. 已知1tan2,3α=求tanα的值.【练习】课本第135页.三、达标检测1．若sin 2α=错误！未找到引用源。

【苏教版】高中数学必修四：第3章三角恒等变换学生版

第三章三角恒等变换【学习导航】1．本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

2．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。

学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。

3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。

以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。

知识结构学习要求1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。

tan （α+β）=tan （α-β）=cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin βsin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α- sin 2α=2cos 2α-1=1-2 sin 2αtan2α=3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式)(βα+C ，求三角函数值. 3．培养探索和创新的能力和意识. 【自学评价】1．探究βαβαcos cos )cos(+≠+ 反例：6cos 3cos )63cos(2cosπππππ+≠+=问题：βαβαcos ,cos ),cos(+的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2．探究：在坐标系中α、β角构造α+β角 3．探究：作单位圆，构造全等三角形 4．探究：写出4个点的坐标)0,1(1P ，)sin ,(cos 2ααP))sin(),(cos(3βαβα++P ，))sin(),(cos(4ββ--P ，5．计算31P P ，42P P31P P = 42P P =6．探究由31P P =42P P导出公式[]22cos()1sin ()αβαβ+-++学习札记[][]22cos()cos sin()sin βαβα=--+--展开并整理得所以可记为 )(βα+C 7．探究特征①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用 ③公式记号)(βα+C 8．探究 cos(α-β)的公式以-β代β得：公式记号)(βα-C【精典范例】例1 计算① cos105︒ ②cos15︒③cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π【解】例2已知sin α=53，cos β=1312求cos(α-β)的值. 【解】例3已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值。

苏教版数学必修四同步讲义：3.1 3.1.1 两角和与差的余弦

3．1两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程．2.理解两角和与差的余弦公式的意义与公式结构特征．3．掌握运用两角和与差的余弦公式进行三角式的化简、求值与证明．1．两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． (2)两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． [注意]2.π2±α，3π2±α的诱导公式 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α． (2)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α．(3)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α． (4)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α．名称变化：正弦――→转化余弦，余弦――→转化正弦．符号变化：公式右边的函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立．( ) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )解析：(1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)正确．结论为两角和的余弦公式．(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. ★答案★：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32★答案★：C3．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________．解析：因为cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫152＝265.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin α·sin π3＝15×12－265×32＝1－6210. ★答案★：1－6210两角和与差的余弦公式的应用计算下列各式的值：(1)cos13π12； (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．【解】 (1)cos13π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π12－2π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6 ＝－⎝⎛⎭⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.两角和与差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和或差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和或差的余弦公式求解．1.化简下列各式的值．(1)cos 40°cos 20°－cos 70°cos 50°；(2)32cos 75°＋12sin 75°.解：(1)cos 40°cos 20°－cos 70°·cos 50°＝cos 40°cos 20°－sin 20°sin 40°＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝1 2.(2)32cos 75°＋12sin 75° ＝cos 30°cos 75°＋sin 30°sin 75° ＝cos(30°－75°) ＝cos(－45°) ＝22. 给值求值问题设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos 3α－3β2. 【解】因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. 所以cos 3α－3β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β －sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53－459×23＝－53.解答给值求值题目应注意的两点(1)拆拼角技巧先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦，认真考虑角的整体运用，恰当运用拆角、拼角等技巧，如α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；π2＝⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α等．(2)角的范围问题许多题都给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．2.(1)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．(2)已知sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求cos(α－β)的值．解：(1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0＜α＋β＜π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365，又sin α＝45，所以cos α＝35，所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×35＋6365×45＝204325. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝23，所以cos α＝－1－sin 2α＝－53. 又β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，cos β＝－34，所以sin β＝－1－cos 2β＝－74. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×⎝⎛⎭⎫－74＝35－2712. 给值求角问题(1)已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，则α－β＝________． (2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β的值．【解】 (1)因为α，β均为锐角，所以sin α＝55，sin β＝31010，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α＜sin β，所以0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜0.故α－β＝－π4.故填－π4.(2)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.求解给值求角的三个步骤(1)求所求角的一种三角函数值．(2)确定所求角的范围．(3)在所求角的范围内，根据三角函数值确定角．3.(1)已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值． (2)已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，0＜α＜β＜π，求α－β 的值．解：(1)由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.又由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－1213×1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又因为α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以2β＝π，所以β＝π2.(2)因为(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝⎛⎭⎫452，以上两式展开两边分别相加得 2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0，所以α－β＝－2π3.对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差角(和角)的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式(差式)，可用口诀“余余正正，符号相反”记忆公式．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2 ”相当于公式中的角β. (3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β.cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β.②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]，cos α＝cos[(α－β)＋β]，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．若α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________．【解析】因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝1－sin 2（α＋β）＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，由sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，得cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫12132＝－513，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213 ＝－5665.【★答案★】－5665(1)解答本题，易因忽视角α＋β，β－π4的范围的计算，导致由正弦值计算余弦值时符号选择出错，也容易因不能发现已知角α＋β，β－π4和所求角α＋π4之间的关系，导致无法对角α＋π4进行正确变形，进而计算cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4出现错误． (2)①应用两角差(和)的余弦公式计算三角函数值时，经常由正(余)弦值计算余(正)弦值，此时要特别注意计算角的范围，从而判断终边位置．②正确分析已知角与所求角的关系是探究解题思路的关键．1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( ) A ．32B ．12C ．1＋32D ．3－12解析：选B ．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B ．2．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为__________．解析：cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. ★答案★：323．sin 195°＝__________．解析：sin 195°＝sin(90°＋105°)＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝22×12－22×32＝2－64. ★答案★：2－644．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________．解析：因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)且sin α＝255＞35＝sin(α＋β)，所以cos α＝55，cos(α＋β)＝－45，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525.★答案★：2525[学生用书P120(单独成册)])[A 基础达标]1．cos π12cos π6－sin π12·sin π6＝( )A ．12B ．22C ．32D ．1解析：选B ．cos π12cos π6－sin π12sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝cos π4＝22，故选B ． 2．若cos 5x cos(－2x )－sin(－5x )sin 2x ＝0，则x 的值可能是( ) A ．π10B ．π6C ．π5D ．π4解析：选B ．因为cos 5x cos(－2x )－sin(－5x )·sin 2x ＝cos 5x cos 2x ＋sin 5x sin 2x ＝cos(5x －2x )＝cos 3x ＝0，所以3x ＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π6＋k π3，k ∈Z ，所以当k ＝0时，x ＝π6.3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C ．6365D ．3365解析：选A ．因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513.因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A ． 4．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解析：选B ．由sin αsin β＝1可知，sin α＝1，sin β＝1或sin α＝－1，sin β＝－1，此时均有cos α＝cos β＝0，从而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.5．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos (2π－β)的值为( )A ．3365B ．－3365C ．5465D ．－5465解析：选A ．因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos (2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. 6．已知cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于__________．解析：由已知知cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.★答案★：347．若三角形两内角α，β满足tan α·tan β＞1，则这个三角形是__________．解析：因为tan α·tan β＞1，所以α，β均为锐角，sin αsin βcos αcos β＞1，所以cos αcos β－sin αsinβ＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．★答案★：锐角三角形8．已知x ∈R ，sin x －cos x ＝m ，则m 的取值范围为________．解析：sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin 3π4sin x ＋cos 3π4cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，因为x ∈R ，所以x －3π4∈R ，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4≤1，所以－2≤m ≤ 2. ★答案★：－2≤m ≤ 2 9．求下列各式的值：(1)sin 44°sin 16°－cos 44°cos 16°； (2)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°.解：(1)原式＝－(cos 44°cos 16°－sin 44°sin 16°) ＝－cos(44°＋16°) ＝－cos 60°＝－12.(2)原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35° ＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝22. 10．已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010. (1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解：(1)因为sin α＝55，α为锐角．所以cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255；因为cos β＝31010，β为锐角．所以sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×1010＝7210. (2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 因为α、β均为锐角，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.[B 能力提升]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos A ＝________．解析：由A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，可知A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，则cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210，cos A ＝cos[⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4]＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4· cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝⎝⎛⎭⎫－210×22＋7210×22＝35. ★答案★：352．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：b ＝cos 5°－3sin 5°＝ 2⎝⎛⎭⎫12cos 5°－32sin 5°＝2cos 65°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°.因为函数y ＝cos x 在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos 67°<cos 66°<cos 65°，所以b >a >c .★答案★：b >a >c3．已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017， f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫π3＝2得A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝2，即A ·cos π4＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6.由⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，得⎩⎨⎧2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝－3017，2cos ⎝⎛⎭⎫β －π6＋π6＝85，解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝817， sin β＝1－cos 2β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 4．(选做题)已知sin α＋sin β＝22，求(cos α＋cos β)2的取值范围．解：由sin α＋sin β＝22，平方可知， sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝12.① 设cos α＋cos β＝m ，平方可知，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝m 2.②①＋②得sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＋cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝m 2＋12，整理得m 2＝32＋2cos(α－β)．又由于cos(α－β)∈[－1，1]，所以m 2∈⎣⎡⎦⎤－12，72，即得0≤m 2≤72. 所以(cos α＋cos β)2的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，72.。

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3.1.2 两角和与差的正弦两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β. 2．两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β. 3．辅助角公式 a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )tan φ＝ba ，φ为辅助角．思考1：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ [提示] sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.思考2：如何推导两角差的正弦呢？ [提示] 可以由sin(α－β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(α－β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋β得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．1．思考辨析(1)sin 150°＝sin 120°＋sin 30°.( ) (2)sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝12.( )(3)α，β∈R 时，sin(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( ) (4)sin 54° cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [解析] (1)公式错误．(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin 90°＝1. (3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)原式＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24° ＝sin(54°－24°)＝sin 30°.[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．sin π12－3cos π12＝________. －2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝－2sin π4 ＝－2.]3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于________．12 [原式＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.]两角和与差的正弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2)2cos 55°－3sin 5°sin 85°.思路点拨：(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值． (2)注意角的差异与变换：55°＝(60°－5°)，85°＝90°－5°.[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝12. (2)原式＝2cos (60°－5°)－3sin 5°sin (90°－5°)＝cos 5°＋3sin 5°－3sin 5°cos 5°＝cos 5°cos 5°＝1.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．求下列各式的值：(1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ 6－24.(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.给值求值【例2】已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．思路点拨：注意⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos(α＋β)．[解] 由0＜β＜π4，π4＜α＜34π得－π2＜π4－α＜0，34π＜34π＋β＜π. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365.解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.2．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值． [解] ∵α是锐角，且sin α＝437， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17. 又∵cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32.形如a sin x ＋b cos x 的函数的化简及应用[探究问题]1．把12sin x ＋32cos x 化成A sin(ωx ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2. 提示：12sin x ＋32cos x ＝cos π3sin x ＋sin π3cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.2.3sin x ＋cos x 如何化成A sin(ωx ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2？提示：3sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.【例3】已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．思路点拨：先将函数f (x )化简为f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后化为f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式解决． [解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x －π6≤5π6.∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1.∴函数f (x )的值域为[1,2]．一般地，对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取a2＋b2，化为A sin(ωx ＋φ)的形式，公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a2＋b2cos(α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.教师独具1．本节课的重点是两角和与差的正弦公式，难点是公式的灵活应用．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用两角和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，运用恰当的公式快速求解．1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A .12B ．－12C .32D ．－32 A [原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.]2．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－7210[∵cos α＝－45，α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]3．若α是锐角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则sin α的值为________．3＋226[∵α是锐角，∴0＜α＜π2， ∴－π6＜α－π6＜π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝13×32＋223×12 ＝3＋226.]4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的值域．[解] f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin2x sin π3＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12cos 2x －32sin 2x ＝cos 2x . (1)T ＝2π2＝π.(2)∵cos 2x ∈[－1,1]， ∴f (x )∈[－1,1]．。