第九章 组合变形
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组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理 说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql q x x 2 Pv x 2 2
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（2）内力分析，确定危险截面
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。
组合变形
Iy
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
第九章组合变形s
F
F F' My
FN (x) F M z(x) F ey M y(x) F ez
f
ymax
FyL3 3EIz
,
x
F''
My
max
Mz Wz
My Wy
y
fy
max
FyL3 3EIz
,
2、偏心拉(压)的计算 （1）、荷载的简化
My
Fy Fcos Mz Fey
x
y
b
（2）、任意横截面任意点的“σ”
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
求解步骤 ①外力分解和简化 ②内力分析——确定危险面。
③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
（2）应力：
Mz k
Mz(x)yk Iz
k kFNkMz
Fx MzFey F
Fy
k z
y
在 FN 作用下： Z
在 Mz 作用下： Z
Y
Mz k
Mz(x)yk Iz
（3）叠加：
f y max
Fy L3 3EIz
,
k kFNkMz
Y
b
a
Z
Z
d
c 3、强度计算
危险截面——固定端
z
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN， l=1m，许用应力[σ ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
最新9组合变形汇总
例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变 形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
F
F
例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如 图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最 大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，I y I z 中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正
多边形，通过形心的轴都是形心主轴，Iy Iz,
此时梁不会发生斜弯曲。
〈四〉强度校核：
对矩形截面，可以直接断定截面的 LmaxYmax必发生在
' '' 具有相同符号的截面角点处。
max
y
zP z iy2
0
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将
ay,0 0, az 代入 k 表达式得：
ay
iZ 2 yP
aZ
iy2 zP
由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该 截面的中性轴。上式表明ay、az 均与yp 、 zp符号相反，所以中性 轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受
曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
目录
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知 圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt 和最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
组合变形PPT课件
（2）内力分析：距自由端为x的任意截面A上引起 的弯矩分别为：
M y Pz x Px sin
Mz
Py x
Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
（M
z
)
Mz Iz
y
（M
y
)
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可
得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
Iy
Iz
Iy
Iz
sin z cos y 0 （9.4）中性轴方程
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截
面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点
可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
强度条件为：
max
( M y
Mz)Βιβλιοθήκη （9.5）maxWy Wz
max （9.7）
例题9.1
§9-2 斜弯曲
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
§9-2 斜弯曲
M y Pz x Px sin
Mz
Py x
Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
（M
z
)
Mz Iz
y
（M
y
)
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可
得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
Iy
Iz
Iy
Iz
sin z cos y 0 （9.4）中性轴方程
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截
面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点
可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
强度条件为：
max
( M y
Mz)Βιβλιοθήκη （9.5）maxWy Wz
max （9.7）
例题9.1
§9-2 斜弯曲
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
§9-2 斜弯曲
9.组合变形
2 y
2 z
设挠度 的方向与Y轴间的夹角 ，则：
z Iz tg tg y Iy
讨论：由上式可看出：要使得 必须：I z I y 即，只 有在 I z I y 的条件下，才是平面弯曲， 否则是斜弯 曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
总目录
本章要点
（1）斜弯曲 （2）偏心压缩 （3）弯扭组合变形
重要概念
组合变形、斜弯曲、偏心压缩、弯扭组合
§9-1 概述
*工程中几种常见的组合变形：
斜弯曲 —————斜屋架上的檩条 拉弯组合 ————冻结管 偏心压缩 ————设有吊车的厂房柱子 弯扭组合变形——机床中靠齿轮传递的轴
由于组合变形是几种基本变形相互组合的结果， 因此，在进行组合变形下的强度和刚度计算时，只 需分别计算形成这种组合变形的几种基本变形下的 应力和变形，然后进行叠加即可得到组合变形下的 应力和变形。 计算组合变形强度问题的步骤如下：
可得中性轴的方程式为：
yP y z P z 1 2 2 0 iz iy
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将 a y ,0 0, az 代入 k 表达式得：
iZ 2 ay yP
aZ
2 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2
将C式代入上式，简化整理后可得：
W 3
2
2 n
代入<a><b>式即可得：
1 W
M W 0.75Tn2
材料力学斜弯曲
Iy z1 Iz y1
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
第九章能量法
第九章 能量法/一 外力功 · 计算
分析与讨论
若先加P，后加mo，则外力功为
1 1 W PcP Pcm m Bm 1 o o o 2 2 2 m m 1 Pl3 1 ol ol P P m o 2 48 EI 16 EI 2 3EI
2 Pm l m P2l3 o o l 96 EI 16 EI 6EI 2
dx
q L
F x ) dx N ( UdU L L 2 EA
2
第九章 能量法/二 变形能
（2）圆截面杆的扭转 m m m
A
L
圆截面杆的变形能
o
B
2 M L 1 UW m n 2 2 GI p
式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； I ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
p
第九章 能量法/二 变形能
叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作 功. 例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭 转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲
引起的转角 上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角 上也
不作功.
第九章 能量法
三 利用功能原理计算位移
第九章 能量法/三 利用功能原理计算位移
第九章 能量法/二 变形能
例题 计算图示梁在集中力P作用下的变形能
EI
(b) A x
P
B
l
2 2 3 2 l ( Px ) dx P l M dx ( x ) U U b p 02 0 EI 2 EI 6 EI l
第九章 能量法/二 变形能
例题 计算图示梁在集中力偶mo、集中力P共同作用下的变形能
第九章 能量法/四 求位移的卡氏定理
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制作与设计： 高晓芳、张慧英、叶琳、宋晓梅、 邱龙辉、程建文、李旭
第九章 组合变形
主要内容： 概述 第一类组合变形—组合后为单向应力状态 第二类组合变形—组合后为复杂应力状态
§9－1 概 述
组合变形概念
在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的 情况，就是组合变形。
塔器
ห้องสมุดไป่ตู้
搅拌轴
A-A截面的b处，将产生最小拉应力
A-A截面上的应力分布如图所示。由于a点最大应力大于许 用应力，所以钢板的强度不够。 为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在下半 圆槽的对称位置再开一半圆槽，此时截面A-A上的应力
§9－3 第二类组合变形—组合后为复杂应力状态
弯曲与扭转的组合变形
拐轴AB段为等直圆杆,直径为 d ， A 端为固定端约束。现讨 论在力 F 的作用下 AB 轴的受 力情况。 作出圆轴的扭矩图和弯矩图， 如图b、c所示。由图看出，在 固定端截面处的扭矩和弯矩都 为最大值(Mmax=Fl、Fa= Mx)， 故该截面为危险截面。
例 带有缺口的钢板如图所示，已知钢板宽度b=8cm，厚度δ =1cm，上边缘 开有半圆形槽，其半径t=1cm，，已知拉力p=80KN，钢板许用应力[σ] =140MN／m2。试对此钢板进行强度校核。
解：(1)由于钢板在截面且AA处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏 心拉伸，其偏心距之值为：
截面A-A的轴力和弯矩分别为 轴力和弯矩在半圆槽底的a处都引起拉应力，故得最大应力为
第三强度理论：
xd3
第四强度理论：
xd4
M 2 0.75T 2 Wz
[σ] ：塑性材料拉伸时的许用应力； M和T：分别为危险截面上的弯矩和扭矩。
两式不适用于非圆截面杆
例 如图所示的传动轴是由电动机带动,轴长l=1.2 m,中间安装一带 轮，重力G=5kN，半径R=0.6m，平带紧边张力F1=6 kN,松边张 力F2=3kN。如轴直径d=100 mm,材料许用应力[σ]= 50 MPa。试 按第三强度理论校核轴的强度。
构件在垂直于轴线的分力作用下， 将引起各横截面上产生不同的弯矩， 最大弯矩发生在根部A截面处
M max Fl sin
轴在沿轴线的分力Fx作用下将引起各横截面上产生相同的轴向拉力
FN F cos
危险面在根部A截面处
3.应力分析（目的是找到危险面上的危险点） 根部危险截面上由轴向拉 力引起的拉应力均匀分布
解:将作用在带轮上的平带拉力F1和F2向轴线 简化,其结果如图 (b)所示。传动轴所受铅 垂力为F。分别作出弯矩图和扭矩图,如图 (c)、(d)所示,由此可以判断C截面为危险截 面。C截面上的Mmax和T分别为:
根据公式得
转轴的强度足够
解：(1)求最大弯矩，它发生在跨中截面。
(2)分别求出最大弯矩及轴力所引起的最大应力 由弯矩引起的最大正应力 由轴力引起的压应力
最大总压应力
偏心拉压的应力计算
当构件受到作用线与轴 线平行,但不通过横截面 形心的拉力(或压力)作 用时,此构件受到偏心载 荷，称为偏心拉伸(或压 缩 )。 对于单向偏心拉伸杆 件相当于弯曲与轴向 拉伸的组合的杆件， 上述公式仍成立。
转轴
§9－2 第一类组合变形—组合后为单向应力状态 杆件弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形
1.外力分析（目的是判断杆件产生何种组合变形） 将力F分解为轴向分力 Fx和横向分力Fy
Fx F cos
弯曲 轴向拉伸
Fy F sin
梁在F力作用下发生弯曲与轴向拉伸组合变形
2.内力分析（目的是找出危险面）
选“1”点,在“l”点附近取一单元体， 如图所示。在单元体左右两个侧面上 既有正应力又有切应力，则“1”点的 主应力为
对于弯扭组合受力的圆轴，一般用 塑性材料制成，强度条件可写为
对于弯扭组合受力的圆轴，一般用塑性材料制成，得圆 轴在弯曲和扭转组合形下的强度条件为
M 2 T 2 Wz
4. 强度计算
进一步分析可知上边缘各点的拉应力最大
建立强度条件
max
FN M max [ ] A W
对于拉、压许用应力相同的材料，
当FN是拉力时，可由上式计算；
当FN为压力时，则式中的加号变为减号，取绝对值。
例 图示为25 a工字钢简支梁。受均布荷载q及轴向压力FN作用。已 知q=10kN/m ，l=3m,FN=20kN。试求最大应力。
FN Fx F cos A A A
横截面面积 在最大弯矩作用下，危险截 面上的应力按线性规律分布
max
Wmax Fy l W W
抗弯截面模量
min
FN M max A W
危险截面上正应力的最大与 最小值
FN M max A W
该截面的上下边缘上各点是危险点，这些危险点上 的应力都是正应力，亦即是简单应力状态。
第九章 组合变形
主要内容： 概述 第一类组合变形—组合后为单向应力状态 第二类组合变形—组合后为复杂应力状态
§9－1 概 述
组合变形概念
在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的 情况，就是组合变形。
塔器
ห้องสมุดไป่ตู้
搅拌轴
A-A截面的b处，将产生最小拉应力
A-A截面上的应力分布如图所示。由于a点最大应力大于许 用应力，所以钢板的强度不够。 为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在下半 圆槽的对称位置再开一半圆槽，此时截面A-A上的应力
§9－3 第二类组合变形—组合后为复杂应力状态
弯曲与扭转的组合变形
拐轴AB段为等直圆杆,直径为 d ， A 端为固定端约束。现讨 论在力 F 的作用下 AB 轴的受 力情况。 作出圆轴的扭矩图和弯矩图， 如图b、c所示。由图看出，在 固定端截面处的扭矩和弯矩都 为最大值(Mmax=Fl、Fa= Mx)， 故该截面为危险截面。
例 带有缺口的钢板如图所示，已知钢板宽度b=8cm，厚度δ =1cm，上边缘 开有半圆形槽，其半径t=1cm，，已知拉力p=80KN，钢板许用应力[σ] =140MN／m2。试对此钢板进行强度校核。
解：(1)由于钢板在截面且AA处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏 心拉伸，其偏心距之值为：
截面A-A的轴力和弯矩分别为 轴力和弯矩在半圆槽底的a处都引起拉应力，故得最大应力为
第三强度理论：
xd3
第四强度理论：
xd4
M 2 0.75T 2 Wz
[σ] ：塑性材料拉伸时的许用应力； M和T：分别为危险截面上的弯矩和扭矩。
两式不适用于非圆截面杆
例 如图所示的传动轴是由电动机带动,轴长l=1.2 m,中间安装一带 轮，重力G=5kN，半径R=0.6m，平带紧边张力F1=6 kN,松边张 力F2=3kN。如轴直径d=100 mm,材料许用应力[σ]= 50 MPa。试 按第三强度理论校核轴的强度。
构件在垂直于轴线的分力作用下， 将引起各横截面上产生不同的弯矩， 最大弯矩发生在根部A截面处
M max Fl sin
轴在沿轴线的分力Fx作用下将引起各横截面上产生相同的轴向拉力
FN F cos
危险面在根部A截面处
3.应力分析（目的是找到危险面上的危险点） 根部危险截面上由轴向拉 力引起的拉应力均匀分布
解:将作用在带轮上的平带拉力F1和F2向轴线 简化,其结果如图 (b)所示。传动轴所受铅 垂力为F。分别作出弯矩图和扭矩图,如图 (c)、(d)所示,由此可以判断C截面为危险截 面。C截面上的Mmax和T分别为:
根据公式得
转轴的强度足够
解：(1)求最大弯矩，它发生在跨中截面。
(2)分别求出最大弯矩及轴力所引起的最大应力 由弯矩引起的最大正应力 由轴力引起的压应力
最大总压应力
偏心拉压的应力计算
当构件受到作用线与轴 线平行,但不通过横截面 形心的拉力(或压力)作 用时,此构件受到偏心载 荷，称为偏心拉伸(或压 缩 )。 对于单向偏心拉伸杆 件相当于弯曲与轴向 拉伸的组合的杆件， 上述公式仍成立。
转轴
§9－2 第一类组合变形—组合后为单向应力状态 杆件弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形
1.外力分析（目的是判断杆件产生何种组合变形） 将力F分解为轴向分力 Fx和横向分力Fy
Fx F cos
弯曲 轴向拉伸
Fy F sin
梁在F力作用下发生弯曲与轴向拉伸组合变形
2.内力分析（目的是找出危险面）
选“1”点,在“l”点附近取一单元体， 如图所示。在单元体左右两个侧面上 既有正应力又有切应力，则“1”点的 主应力为
对于弯扭组合受力的圆轴，一般用 塑性材料制成，强度条件可写为
对于弯扭组合受力的圆轴，一般用塑性材料制成，得圆 轴在弯曲和扭转组合形下的强度条件为
M 2 T 2 Wz
4. 强度计算
进一步分析可知上边缘各点的拉应力最大
建立强度条件
max
FN M max [ ] A W
对于拉、压许用应力相同的材料，
当FN是拉力时，可由上式计算；
当FN为压力时，则式中的加号变为减号，取绝对值。
例 图示为25 a工字钢简支梁。受均布荷载q及轴向压力FN作用。已 知q=10kN/m ，l=3m,FN=20kN。试求最大应力。
FN Fx F cos A A A
横截面面积 在最大弯矩作用下，危险截 面上的应力按线性规律分布
max
Wmax Fy l W W
抗弯截面模量
min
FN M max A W
危险截面上正应力的最大与 最小值
FN M max A W
该截面的上下边缘上各点是危险点，这些危险点上 的应力都是正应力，亦即是简单应力状态。