江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考试题+数学+Word版含解析
江苏省G4联盟(苏州中学、扬州中学、盐城2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题
G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{－1，0}，B＝{x|－2＜x＜0}，则A∩B＝A．{－1} B．{－1，0} C．{x|－2＜x＜0} D．{x|－2＜x≤0}2．若复数z的共轭复数z满足i⋅z＝4＋3i（其中i为虚数单位），则z z⋅的值为A7B．5C．7D．25 3．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是A．城镇人口与年份星现正相关B．乡村人口与年份的相关系数r接近1C．城镇人口逐年增长率大致相同D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为A．B．C．D．5．若椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为A．13B．33C．23D636．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a ，盆地半径为b （0＜b ＜a ），根据如上事实，可以抽象出的不等关系为A 33322a ba b+<B 22a ba b+< C ．22222a b a b ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．33322a b a b ++⎛⎫<⎪⎝⎭7．在数列{a n }中，()()111sin sin 10n n n n a a a a ++-⋅+=，则该数列项数的最大值为 A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，CA ＝2，点P 在该三角形的内切圆上运动，若AP mAB nAC =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最小值为A ．518B ．13C ．718D ．49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则 A ．114a b+≤B ．2222a b+≥C ．log 2a ＋log 2b ≤－2D ．1sin sin 2sin2a b +≤ 10．已知函数()x a a x f x e e --=+，()x a a x g x e e --=-，则 A ．函数y ＝g （x ）有且仅有一个零点B ．f ′（x ）＝g （x ）且g ′（x ）＝f （x ）C ．函数y ＝f （x ）g （x ）的图象是轴对称图形D ．函数()()g x y f x =在R 上单调递增11．乒乓球（tabletennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），实际比赛局数的期望值记为f （p ），下列说法正确的是 A ．三局就结束比赛的概率为p 3＋（1－p ）3B ．f （p ）的常数项为3C ．1435f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1．G 为PC的中点，M 为平面PBD 上一点下列说法正确的是 A ．MG 的最小值为36B ．若MA ＋MG ＝1，则点M 的轨迹是椭圆C ．若156MA =M 的轨迹围成图形的面积为12π D ．存在点M ，使得直线BM 与CD 所成角为30°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在6x x ⎛- ⎝的展开式中，常数项为 ．14．如图，将绘有函数()sin 2f x M πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭（M ＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A ，B 10φ＝ ．15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n 项和，进而可利用该法求数列{（2n －1）⋅3n }的前n 项和S n ，其操作步骤如下： 由于S n ＝1×31＋3×32＋…＋（2n －1）⋅3n ，()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅，从而()()21232323213n n n S n +=--⨯++⨯+-⋅，所以()1133n n S n +=-⋅+，始比如上方法可求数列{n 2⋅3n }的前n 项和T n ，则2T n ＋3＝ ．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ．若对任意x ∈[1，3]，不等式f （x ＋a ）≤f 2（x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在数列{a n }中，a ＝1，其前n 项和S n 满足2S n ＝（n ＋1）a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）若m 为正整数，记集合22n nn a a m a ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤的元素个数为b m ，求数列{b m }的前20项和．18．（本小题满分12分）在轴截面为正方形ABCD 的圆柱中，M ，N 分别为弧AD ，弧BC 的中点，且在平面ABCD 的两侧．（1）求证：四边形ANCM 是矩形； （2）求二面角B －MN －C 的余弦值．19．（本小题满分12分）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N 个字脱落．（1）若N ＝3，用随机变量X 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X 的分布列及期望；（2）若N ＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率． 20．（本小题满分12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2． （1）若2CD DB =，2AD CB ⋅=，求A ； （2）若23C B π-=，求△ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线C 1：y 2＝4x 上，圆C 2：（x －2）2＋y 2＝r 2（0＜r ＜2）．（1）若r ＝1，Q 为圆C 2上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线m ，n 与圆C 2相切，分别交抛物线C 1于A ，B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 22．（本小题满分12分）若对实数x 0，函数f （x ），g （x ）满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称()()()00,,f x x x F x g x x x <⎧⎪=⎨⎪⎩≥为“平滑函数”，x 0为该函数的“平滑点”．已知()323122x f x ax x x =-+，g （x ）＝bx ln x ． （1）若1是平滑函数F （x ）的“平滑点”， （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点P （2，t ）可作三条不同的直线与函数y ＝F （x ）的图象相切，求实数t的取值范围；（2）对任意b ＞0，判断是否存在a ≥1，使得函数F （x ）存在正的“平滑点”，并说明理由．G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022-2023学年第一学期12月联合调研高三数学答案及其解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 2．【答案】D【解析】4334i z i z i ⋅=+⇒=-，所以25z z ⋅= 3．【答案】B【解析】因为乡村人口与年份望负线性相关关系，所以r 接近－1，故选B 4．【答案】D 5．【答案】C【解析】由题意得22245109436b b a a a ⎧⎧==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以226c a b =-=，故椭圆离心率为23c e a == 6．【答案】D 7．【答案】C 【解析】()()()()()()11112111cos cos sin sin sin 2n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++--+--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⋅+==-21sin 10n a =，所以{}2sin n a 为等差数列，公差为110，所以()2211sin sin 1110n a a n =+-⨯≤，所以110n -211sin 111a n -⇒≤≤≤，故选C 8．【答案】B【解析】()m n AP mAB nAC m n AB AC m n m n ⎛⎫=+=++⎪++⎝⎭，由P 在内切圆上，故APm n m n AB AC m n m n +=⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，则11cos 16A =，所以BC 边上高为15h =圆半径15r =，故由平行线等比关系，可得213h r m n h -+=≥，故选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BCD 【解析】选项A ，应该是114a b+≥，B ：22221a ba b+++≥，B 正确；C ：222log log 2log 22a ba b ++=-≤，C 正确；D ：1sin sin 2sincos 2sin 222a b a b a b +-+=⋅≤，D 正确；答案为BCD 10．【答案】ABD【解析】AB 正确，因为()f x 关于x a =轴对称，()g x 关于(),0a 中心对称，故()()f xg x 为中心对称图形，C 错误：而()()()()()220'g x f x q x f x B x ⎡⎤-=>⎢⎥∠⎣⎦或根据一般得分离常数变形可知D 正确；答案为：ABD 11．【答案】ABD 【解析】 显然A 正确；()()()()()323131223343141151f p p p C p p C p p C p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦()03f =，13328f B ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，D 正确； 求导或根据()f p 关于12对称，且p 越极端，越可能快结束，有11412352--≤，得1435f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：ABD 12．【答案】ABC 【解析】A 选项判断：应用等体积法，可()()min min 11223MG AG =≥，A 正确； B 选项：因为面PBD 不与AG 垂直，也不平行，故轨迹不可能时圆，即为椭圆，B 正确； C 选项判断：设MH ⊥面PBD ，H ∈面PBD ，2151612MA HM =⇒=，故C 正确；D 选项判断：由于CD 与面PBD 夹角θ满足1sin 23θ=>，故[],6πθπθ∉-，D 错误； 综上所述，答案为ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】15【解析】展开式的通项为()()36621661rr rr Tr C x C x x --+⎛==- ⎝，当31602r -=，4r =时，为常数项15 14．【答案】56π【解析】如图，因为()f x 的周期为242T ππ==，所以22T CD ==，22TCD ==，所以22AB AC BC +22410M =+=解得3M =所以()32f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()3032f ϕ==，1sin 2ϕ=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=或56π，又因为函数()f x 在y 轴右侧单调递减，所以56πϕ=． 15．【答案】()2113n n n +-+⋅【解析】2122213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⋅① 222321313233n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅②②－①()()()222222322123123233133n n n T n n n +⎡⎤=-+-⋅+-⋅++--⋅+⋅⎣⎦()()3321333532133n n n n +=--⋅+⋅++-⋅+⋅()()212112333313n n n n n S n S n n n +++=---+⋅=-+⋅=-+⋅所以()212313n n T n n ++=-+⋅16．【答案】[]3,1-． 【解析】()()()()[]2221,3f x a fx f x f x x +==⇒∀∈≤，[]23,1x a a +⇒∈-≤四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 解析：（1）()()()()()111212221212nn n n n n n n n n a S n a a S S n a na n n a na n n---=+⇒=-=+-⇒-=⇒=≥≥11111n n a a a n n -===⇒=- （2）2214222n n a n m m n m a n n ⎛⎫+⇒+⇒-+ ⎪⎝⎭≤≤≤， 因为1422n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2n =时成立， 所以10b =，21b =，当3n ≥，35b =，47b =，59b =，611b =，…，2339b = 所以{}m b 的前20项和为()135739378+++++=．18．（本小题满分12分） 【解析】（1）设轴截面正方形ABCD 边长为2a ，取弧BC 另一侧的中点Q ， 则BC 与NQ 垂直平分，且2BC NQ a ==， 所以四边形BNCQ 为正方形，2BQ NC a ==，因为M 为弧AD 中点，所以MQ AB ∥，四边形ABQM 为矩形， 所以AM BQ ∥，所以AM CN ∥，所以四边形AMCN 为平行四边形， 因为226AN AB BN a =+，2222MN MQ QN a =+=，所以22228AM AN MN a +==，所以AM ⊥AN ，所以四边形ANCM 为矩形； （2）由（1）知，226MB MC MQ QB a ==+=，2BN CN a ==，22MN a =，所以2MNB MNC π∠=∠=所以MNB MNC ∆∆≌，Rt △MBN 斜边MN 上的高626222a a h a==， 作BP ⊥MN ，则CP ⊥MN ，∠BPC 即为二面角B -MN -C 的平面角，6BP CP ==，2BC a =， 在△BPC 中，由余弦定理得222222341cos 233BP CP BC a a BPC BP CP a +--∠===-⨯， 二面角B -MN -C 的余弦值为13- 19．（本小题满分12分） 【解析】（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，12C()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===，随机变量X 的分布列如下表：X 012P110 610 310随机变量X 的期望为()012 1.2101010E X =⨯+⨯+⨯= 法二：随机变量X 服从超几何分布X ～H （3，2，5），所以()26355E X =⨯= （2）设脱落一个“学”为事件A ，脱落一个“好”为事件B ，脱落一个“数”为事件C ，事件M 为脱落两个字M AA BB AB AC BC =++++，()2225110C P AA C ==，()2225110C P BB C ==，()112225410C C P AB C ⋅==，()112125210C C P AC C ⋅==，()112125210C C P BC C ⋅==， 所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为()()()()()()()11413125525P P AA P BB P AB P AC P BC =+⨯+++⨯=+⨯=，法二：掉下的两个字不同的概率为1020.810p -==， 所以标语恢复原样的概率为()110.62p p -+=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）()112123333CD DB AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =⇒=+=+=+-=+ 所以()22212118112cos 233333333AD CB AB AC AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫⋅=+-=--⋅=--⨯⨯=⇒⎪⎝⎭1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=（2）法一：因为23C B π-=，所以562A C π=-，62AB π=-， 因为2c b =，sin 2sinC B =，则5sin 2sin 6262A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得3tan 29A =， 所以22tan332sin 141tan 2AA A ==+ 故面积为133sin 2S bc A == 法二：因为2sin 2sin c b C B =⇒=， 因为23C B π-=， 所以23sin 2sin sin 3B B B B π⎛⎫+=⇒=⎪⎝⎭①， 联立22sin cos 1B B +=②解得3sin 27cos 27B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以3sin 2sin 7C B ==232C B ππ=+> 所以cos 0C <，则2cos 1sin 7C C =-=所以()33sin sin sin cos cos sin 14A B C B C B C =+=+=所以△ABC 的面积为133sin 214ABC S bc A ∆==． 21．（本小题满分12分）【解析】 （1）设()2,2P t t ，则()222212411PQ PC t t --+-≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切， 2241k r k -=+，即()222416160r k k r --+-=，① 设直线AB 为：()()441m x n y -+-=，则与抛物线C 的交点方程可化为： ()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，故：直线AB 恒过()6,7-．22．（本小题满分12分）【解析】 （1）（ⅰ）()21'332f x ax a =-+，()[]'1lng x b x =+， 由题意可知10a -=，且532a b -=， 故解得：1a =，12b =， （ⅱ）进一步()323,122ln ,12x x x x F x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，过点()2,P t 作()F x 的切线，切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x -=-，故题意等价于方程：()()()'2t F x F x x =--有3个不同根，()()()()'2p x F x F x x =--，()()()''2p x F x x =--，代入得1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()p x 单调递减，1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()p x 单调递增，[)2,x ∈+∞时，()p x 单调递减， 故()13,2,ln 228t p x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫∈∈=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ （2）题意等价于：0b ∀>，是否1a ∃≥，使得[]3223ln 221331ln 2x ax x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消a 有：()313212ln 122ln 1x x b x b x ---=-⇒=-，其中由0b >，可得23x e ⎛∈ ⎝， 故题意进一步化简23x e ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()3ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立， 23x e ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+-，()()'83ln q x x x =-， 故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，单调递减，(x e ∈，()q x 单调递增，故：()()10q x q =≥得证，即0b ∀>，31a ≥，使得()F x 存在的“平滑点”．。
江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()2,02,3A B ､，直线l 过定点()1,2P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A .21k -≤≤ B.112k -≤≤C.12k ≤-或1k ≥ D.2k ≤-或1k ≥2.若圆()2221:(4)0O x y r r ++=>与圆222:(2)9O x y -+=相切，则r =（）A.6B.3或6C.9D.3或93.已知直线1:10l x y -+=，2:210l x y --=，则过1l 和2l 的交点且与直线3450x y +-=垂直的直线方程为（）A.3410x y --=B.3410x y -+=C.4310x y --= D.4310x y -+=4.若点(),P a b 在圆221C x y +=：内，则直线1ax by +=与圆C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定5.圆心为(2,1)M -，且与直线2+1=0x y -相切的圆的方程为（）A.22(2)(1)5x y -+-= B.22(2)(1)5x y -++=C.22(2)(1)25x y -++= D.22(2)(1)25x y -+-=6.已知圆224x y +=上有四个点到直线y x b =+的距离等于1，则实数b 的取值范围为（）A.()2,2- B.(C.()1-- D.()1,1-7.已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（）A .1或3- B.1C.3D.1-或38.若圆22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<与圆22:240N x y x y +--=交于A B ､两点，则tan ANB ∠的最大值为（）A.34B.5C.45D.43二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.若直线:2cos 0l x y θ-⋅=与圆22:10E x y +--=交于两点,A B ，则（）A.圆E 的圆心坐标为()-B.圆E 的半径为3C.当1cos 2θ=时，直线l 的倾斜角为π4D.AB 的取值范围是1,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知点P 在22:4O x y += 上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离最大值是125B.满足AP BP ⊥的点P 有2个C.过直线AB 上任意一点作O 的两条切线，切点分别为,M N ，则直线MN 过定点4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2PA PB +的最小值为11.设直线系:cos sin 1m nM x y θθ+=（其中,,m n θ均为参数，{}02π,,1,2m n θ≤≤∈），则下列命题中是真命题的是（）A.当1,1m n ==时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B.当2,1m n ==时，若存在一点(),0A a ，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤C.存在,m n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限D.当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线:1l x my =--，圆22:6890O x y x y ++++=，写出满足“对于直线l 上任意一点A ，在圆O上总存在点B 使得π2ABO ∠=”的m 的一个值______．13.已知二次函数()()223411y x m x m m =+---∈R 与x 轴交于,A B 两点，点()1,3C ，圆G 过,,A B C三点，存在一条定直线l 被圆G 截得的弦长为定值，则该定值为__________.14.如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B两点）上的一个动点，,3,2PB AB AB PB ⊥==，则1)3AP BA QC +⋅（的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线()1:280l m x my ++-=与直线2:40,R l mx y m +-=∈．（1）若12l l //，求m 的值；（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．16.已知C ：()()22124x y -+-=及经过点()1,1P --的直线l .（1）当l 平分C 时，求直线l 的方程；（2）当l 与C 相切时，求直线l 的方程.17.如图，已知(()(),0,0,12,0A B C ，直线(():20l k x y k k +--=∈R .（1）若直线l 等分ABC V 的面积，求直线l 的一般式方程；（2）若(2,P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）､AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程.18.已知圆M 与直线340x -+=相切于点(，圆心M 在x 轴上.（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线()()():21174l m x m y m m +++=+∈R 与圆M 交于,P Q两点，当PQ =数m 的值；（3）过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 分别与直线8x =相交于,C D 两点，记,OAB OCD 的面积为12,S S ，求12S S 的最大值.19.在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；（3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】3-四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）1m =-（2）10x y -+=或20x y -=【16题答案】【答案】（1）3210x y -+=（2）1x =-或51270x y --=.【17题答案】【答案】（1170y +-=；（2）2100x -=.【18题答案】【答案】（1）22(4)16x y -+=（2）23m =-.（3）14.【19题答案】【答案】（1）23；（2）4；（3）证明见解析.。
江苏省扬州中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题 数学 Word版含解析
由题意得抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ．
因为 ，
所以点 是 的重心，故 ，
．
故选：A．
6.已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知函数 为偶函数，且在 上为增函数，由已知可得出 ，解此不等式即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
【答案】B
【解析】
【分析】求导得到导函数，计算 ，再代入 计算得到答案.
详解】 ，则 ， ， .
， .
故选：B
5.设 为抛物线 的焦点， ， ， 为该抛物线上三点，若 ，则 （）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设 ， ， ．由 ，得 是 的重心，从而求得 ，然后由焦半径公式求得结论．
故选：BCD.
11.已知 是椭圆 上的一动点，离心率为 ，椭圆与 轴的交点分别为 、 ，左、右焦点分别为 、 .下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）
A.若 、 的斜率存在且分别为 、 ，则 为一定值
B.若椭圆 上存在点 使 ，则
C.若 的面积最大时， ，则
D.根据光学现象知道：从 发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 .若一束光线从 出发经椭圆反射，当光线第 次到达 时，光线通过的总路程为
对于D：圆 圆心 ，半径为 ，圆 圆心 ，半径为 ，若两圆相离，
因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，故D错误.
故选：BC
10.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项，数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列命题正确的是（）
A.数列 的通项公式为 B.
C. 的取值范围是 D.数列 的通项公式
江苏省扬州中学高二数学上学期12月月考试题新人教A版
数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．命题“1,-=∈∃x e R x x”的否定是 ．2．抛物线x y 82=的焦点坐标为 ．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是 ．4．已知函数()sin f x x x =-，则()f x '= ． 【答案】1cos x -. 【解析】试题分析：两函数的差求导数.分别求导再相减.故填1cos x -.正弦函数的导数是余弦函数. 考点：1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3， 4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为,x y．则x y≠的概率为．6．若双曲线221yxm-=的离心率为2，则m的值为．7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．【答案】9 10.【解析】试题分析：如图总共有5个点，所以，每三个点一组共有10种情况.其中不能构成三角形的只有一种共线的情况.所以能够成三角形的占910.本题考查的是线性规划问题.结合概率的思想.所以了解格点的个数是关键.y =1/x3y=xxy考点：1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）10．若“2230x x -->”是 “x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ．11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且0)1(='f ．则c d +的值是 ．12． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线， 则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）． 考点：1.面面平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.13．已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足)(x f '＞)(x f ，则不等式()(1)xef x f e >的解集是 ．14．已知椭圆E ：2214x y +=，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ． 【答案】4. 【解析】3.i)当直线AB 与x 轴垂直的时候ABCD 为矩形面积为23当直线AB 不垂直x 轴时假设直线:(3).:(3)AB CD l y k x l y k x ==.A （11,x y ），B （22,x y ）.所以直线AB 与直线CD 的距离2231kk +.又有22(3)44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩.消去y 可得：2222(41)831240x k k x k +-+-=.2212122834(31)41k k x x x x k -+==+.所以2222222834(31)4(1)()4414141k k k AB k k k -+=-⨯=+++.所以平行四边形的面积S=422283(41)k k k ++2k t =.所以2218383641681169(81)1081t tS t t t t +==++--++-.因为810t -≥时.S 的最大值为4.综上S 的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点：1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）求实数m 的取值组成的集合M ，使当M m ∈时，“q p 或”为真，“q p 且”为假． 其中:p 方程012=+-mx x 有两个不相等的负根；:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实数根．:真q ,044)]2(4[2<⨯--=∆m 即.31<<m …………………10 分①假：真q p ;2-<m②假：真p q .31<<m …………………13分 综上所述：}.312|{<<-<=m m m M 或 …………………14分 考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点3(0,)a 的两直线与抛物线2y ax =-相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线8y =-，垂足分别为D 、C ．（1）若1a =，求矩形ABCD 面积；（2）若(0,2)a ∈，求矩形ABCD 面积的最大值．（2）设切点为00(,)x y ，则200y ax =-,因为2y ax '=-，所以切线方程为0002()y y ax x x -=--, 即20002()y ax ax x x +=--，18．（本小题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AAC C ABCD ⊥平面， 且31AB BC CA AD CD =====，． (1)求证：1BD AA ⊥;(2)在棱BC 上取一点E ，使得AE ∥平面11D DCC ，求BEEC的值．【答案】（1）证明参考解析；（2）1BEEC= 【解析】试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD 全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD 对称.所以可得BD AC ⊥.再由面面垂直即可得直线BD 垂直于平面11ACC A .从而可得1BD AA ⊥.19．（本小题满分16分） 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右两焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，且在x 轴上方，212,PF F F ⊥ 2111,,32PF PF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦． （1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆Q 的截y 轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l 上任一点A 引圆Q 的两条切线，切点分别为,M N ．试探究直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．(1)22222211111c b e a a λλλλ-==-=-=++，∴11e λλ-=+,在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． ∴12λ=时，2e 最小13，13λ=时，2e 最大12，∴21132e ≤≤32e ≤≤． (2) 当2e =2c a =，∴2c b ==，∴222b a =． ∵212PF F F ⊥,∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴1PF=6．又221322622b a PF a a a a a =-=-==，∴4,22a c b ===．∴椭圆方程是221168x y += -------10分20．（本小题满分16分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) ．（1）当4-=a 时，求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当[]e x ,1∈时，讨论方程()0=x f 根的个数．（3）若0>a ，且对任意的[]12,1,x x e ∈，都有()()212111x x x f x f -≤-， 求实数a 的取值范围.【答案】（1）4)()(2max -==e e f x f .e x =；（2）e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根. 2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根. e a 2->时，方程()0=x f 有0个根.（3）221e ea -≤∴.（2）易知1≠x ，故[]e x ,1∈，方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时，方程x x a ln 2=-根的个数． 设()x g =x x ln 2， xx x x x x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' 当()e x ,1∈时，0)(<'x g ，函数)(x g 递减，当]e e x ,(∈时，0)(>'x g ，函数)(x g 递增．又2)(e e g =，e e g 2)(=，作出)(x g y =与直线a y -=的图像，由图像知：当22e a e ≤-<时，即e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根；当2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根；当e a 2->时，方程()0=x f 有0个根； -------10分（3）当0>a 时，)(x f 在],1[e x ∈时是增函数，又函数xy 1=是减函数，不妨设e x x ≤≤≤211，则()()212111x x x f x f -≤-等211211)()(x x x f x f -≤-。
2022-2023学年全国高中高二上数学苏教版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.直线＝的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2. 已知直线与直线互相垂直，则 A.或B.C.D.3. 直线＝和圆＝相交于，两点，则＝（ ）A.B. C.D.4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线＝相切的所有圆中，半径最大的圆的面积为（ ）A. B.3x+y +m 0(m ∈R)30∘60∘120∘150∘ax +y −1=0x +ay −1=0a =()1−11−10l :x −2y −10M :+−4x −6y +4x 2y 20A B |AB |246xOy O mx −y −m −10(m ∈R)ππD.5. 过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有( )A.条B.条C.条D.条6. 是圆＝上的动点，则到直线的最短距离为（ ）A.B.C.D.7. 已知圆：＝，若圆上恰有个点到直线＝的距离为，则实数的值为（ ） A. B.C. D.8. 若圆与圆内切，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 直线与圆相交于，两点，若，则的取值可以是()3πA (16，6)++16x −12y −525=0x 2y 236377274P M :+(y −3x 2)24P 5321C (x −1+(y −1)2)2(r >0)r 2C 3x +y +20r 2364:+−2ax +−9=0(a ∈R)C 1x 2y 2a 2:+C 2x 2+2by +−1=0(b ∈R)y 2b 2ab 2–√2422–√y =kx +3(x −3+(y −2=4)2)2M N MN ≥23–√kB.C.D.10. 下列叙述正确的是( )A.点在圆外B.圆在处的切线方程为C.圆 上有且仅有个点到直线的距离等于D.曲线与曲线相切11. 若，则方程表示的曲线形状可以是()A.两条直线B.椭圆C.圆D.抛物线12. 已知圆＝，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）A.四边形周长的最小值为B.的最大值为C.若，则三角形的面积为D.若（，，则的最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 方程表示的图形是________．−1201P (m,3)+=2(x −2)2(y −1)2+=1x 2y 2(,)123–√2x +y =23–√+=1x 2y 23l :x −y +1=02–√2–√12:++2x =0C 1x 2y 2:+−4x −8y −5=0C 2x 2y 2α∈[0,π]+cos α=1x 2y 2M :+(y −2x 2)21P x P M A B AB MP C PAMB 2+|AB |2P(1,0)PAB Q 0)|CQ |4−+6x −3y =0x 2y 2(x −3+(y +5=)2)2214. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是________.15. 若直线平分圆的周长，则的值为________.16. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 中，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．求顶点的坐标；求直线的方程．18. 已知点，动点满足.若点为曲线，求此曲线的方程；已知直线在两坐标轴上的截距相等，且与中的曲线只有一个公共点，求直线的方程. 19. 已知圆，直线．（1）求证：直线恒过定点；（2）判断直线与圆的位置关系；（3）当时，求直线被圆截得的弦长．20. 设平面内三点．求；设向量与的夹角为，求．21. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点．（1）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（2）过原点的直线交椭圆于点，，若的面积为，求直线的斜率．22. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若不经过点的直线与椭圆交于、两点且与圆相切，试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．(x −3+(y +5=)2)2r 24x −3y −2=01r 2x +by −4=0+−2x +4y +=0x 2y 23–√b f (x)=+1x 23x +1y =f (x)(−1,f (−1))△ABC A(3,−1)AB CM 6x +10y −59=0∠B BT x −4y +10=0(1)B (2)BC A(−4,0),B(2,0)P |PA|=2|PB|(1)P C (2)l (1)C l C :(x −1+(y −2=25)2)2l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0(m ∈R)l l C m =0l C A (1,0),B (0,1),C (2,5)(1)|2+|AB −→−AC −→−(2)AB AC −→−θcos θxOy F(−,0)3–√D(0,1)A (1,)12P PA M O B C △ABC 2–√BC k C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F M FM −2–√2FM 6–√3C F l :y =kx +m(k <0,m >0)C A B +=1x 2y 2△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于的方程得答案．【解答】解：∵直线与直线互相垂直，∴，即，解得：．故选：．3.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系a ax +y −1=0x +ay −1=01×a +1×a =02a =0a =0D直线与圆相交的性质【解析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用垂径定理求弦长．【解答】由圆＝，得＝，则圆心．圆心到直线＝的距离＝，∴＝．4.【答案】C【考点】圆的切线方程直线与圆的位置关系【解析】求出直线＝所过定点，再求出到原点的距离，代入圆的面积公式得答案．【解答】直线＝为＝，联立，得，则直线＝过定点，∵＝，∴原点到直线＝的最短距离为，则以点为圆心且与直线＝相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为，圆的面积为．5.【答案】C【考点】相交弦所在直线的方程直线与圆的位置关系M :+−7x −6y +4x 2y 24(x −2+(y −8)2)29M(5,3)x −2y −60d |AB |mx −y −m −10P P mx −y −m −10m(x −7)−y −10mx −y −m −20P(1|OP |O mx −y −m −15O mx −y −m −16(m ∈R)【解析】化圆的方程为标准方程的，得到圆心和半径，由题可知过点的最短的弦长为14，最长的弦长为50（分别只有一条），还有长度为15，16，．…．，50的各条，即可得到弦长为整数的条．【解答】解：圆的标准方程是： ，圆心，半径.过点的最短的弦长为，最长的弦长为，（分别只有一条），还有长度为，，…，的各条，所以弦长为整数的共有条．故选．6.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】过作于，当在线段上时，为最短距离，再由点到直线的距离公式求出的长后即可得解．【解答】如图，过作于，当在线段上时，为最短距离，由点到直线的距离公式，知＝，∴＝＝．7.【答案】B【考点】A (16,6)22+2×35=72+=(x +8)2(y −6)2252(−8,6)r =25A (16，6)145015164922+2×35=72C M MA ⊥l A P MA |PA ||MA |M MA ⊥l A P MA |PA ||MA ||PA ||MA |−28直线与圆的位置关系【解析】先求出圆心到直线的距离＝，由圆上恰有三个点到直线的距离都为，得到圆的半径为+，由此能出的值．【解答】如图，圆心，则点到直线的距离＝，又因为圆上恰有三个点到直线的距离为，所以圆的半径＝+＝，8.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】圆．化为，圆心坐标为，半径为圆，化为，圆心坐标为，半径为，圆与圆内切，∴，即．当时取等号，∴ 的最大值为．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】直线与圆的位置关系【解析】(1,1)l d 2l 2r C(1C l d C r 25:+−2ax +−9=0(a ∈R)C 1x 2y 2a 2+=9(x −a)2y 2(a,0) 3.:++2by +−1=0(b ∈R)C 2x 2y 2b 2+(y+x 2b =1)2(0,−b)1∵:+−2ax +−9=0(a ∈R)C 1x 2y 2a 2:+C 2x 2+2by +−1=0(b ∈R)y 2b 2=3−1+a 2b 2−−−−−−√+=4,ab ≤(+)=2a 2b 212a 2b 2a =b =±2–√ab 223–√23–√由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于时，弦长等于，故当弦长大于或等于时，圆心到直线的距离小于或等于，解此不等式求出的取值范围．【解答】解：设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，，∴，即，化简得，∴.故选．10.【答案】A,B,C【考点】直线与圆的位置关系两点间的距离公式点到直线的距离公式圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，点与圆心的距离为：，故点在圆外，故正确；对于，到的距离等于，故正确；对于，圆心到直线的距离为，故圆上有三个点到直线的距离等于，故正确；对于，的圆心为，半径为，的圆心为，半径为，，故相交，故错误.故选.11.【答案】A,B,C123–√23–√1k (3,2)y =kx +3d MN =2≥24−d 2−−−−−√3–√0<d ≤1≤1|3k −2+3|+1k 2−−−−−√8k(k +)≤034−≤k ≤034BC A P (2,1)d =≥2>r =(m −2+(3−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√P B (0,0)l ∶x −y +1=02–√2–√1C (0,0)l ∶x −y +1=02–√2–√d ==r 12122–√2D :++2x =0C 1x 2y 2(−1,0)=1R 1:+−4x −8y −5=0C 2x 2y 2(2,4)=5R 2||=5<+=1+5=6C 1C 2R 1R 2ABC【考点】椭圆的标准方程曲线与方程圆的标准方程双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴当时，表示圆；当时，，即表示两条直线；当时，表示椭圆；当时，表示双曲线.故选．12.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】对于选项：设＝，写出＝，进而可得四边形周长为，即可的当最小时，四边形周长最小，故可判断是否正确．对于选项＝＝，，即可得的取值范围，即可判断是否正确．对于选项：因为，计算，，，，，即可得三角形的面积为，故可判断是否正确，对于选项：设，写出，的方程并联立，得点的坐标，计算再换元法结合二次函数解得最大值，故可判断是否正确．【解答】对于选项：设＝，则＝＝，＝，α∈[0,π]+cos α=1x 2y 2α=0+=1x 2y 2α=π2=1x 2x =±1α∈(0,)π2+=1x 2y 21cos αα∈(,π]π2−=1x 2y 2−1cos αABC A |MP |t |BP ||AP |PAMB 2+2t PABM A B :S PAMB 2S △MAP 2t ≥2|AB |B C P(1,0)|MP ||AB ||AC ||AP ||PC |PAB |AB ||PC |C D P(m,0)AB MP C |CQ |D A |MP |t |BP ||AP ||AP |则四边形周长为，则当最小时，最小值为，对于选项＝＝，所以＝＝，因为，所以，故错误，对于选项：因为，＝，＝，所以三角形的面积为＝，对于选项：设，的方程为＝-，可得，则（，），则＝＝＝+•-，令＝，，则，]，所以＝，对称轴为＝-＝，当＝时，＝（）+＝，则的最大值为，故错误．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】两条相交直线【考点】二元二次方程表示圆的条件【解析】PAMB 2+2t t 6+2B :S PAMB 3S △MAP |MP ||AB ||AB |5t ≥2|AB |∈[B C P(4,0)|AB ||AP |2PAB |AB ||PC |D P(m,0)MP y x +2C |CQ |2u +7≥4m 2u ∈(0|CQ |2−8+u 2u+u u |CQ |2max −9×+2×|CQ |D把方程化为圆的标准形式，发现圆的半径等于，故方程表示一个点．【解答】解：方程即，即∴，可得：或，∴方程表示两条直线．故答案为：两条相交直线．14.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】设圆心到直线的距离为，则由题意可得，利用点到直线的距离公式求出的值，解不等式求得半径的取值范围．【解答】解：设圆心到直线的距离为，则由题意可得．即，解得.故答案为：.15.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】由题意，直线过圆的圆心，所以 .【解答】解：圆，化为标准方程为，圆心为.04−+6x −3y =0x 2y 24(x +−(y +=034)232)24(x +=(y +34)232)22x +=±(y +)32322x −y =02x +y +3=0(4,6)(3,−5)4x −3y =17d r −1<d <r +1d r (3,−5)4x −3y −2=0d r −1<d <r +1r −1<<r +1|12+15−2|54<r <6(4,6)−1(1,−2)2×1−2b −4=0,b =−1∵+−2x +4y +=0x 2y 23–√∴(x −1+(y +2=5+)2)23–√∴(1,−2)+−2x +4y +=022–√直线平分圆的周长，直线过圆的圆心，，解得 .故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，，故所求切线方程为，即．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：设，则的中点在直线上．∴，∴，即，①又点在直线上，则，②由①②可得，，即点的坐标为．设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上．由题知得即．，∵2x +by −4=0+−2x +4y +=0x 2y 23–√∴(1,−2)∴2×1−2b −4=0b =−1−1x −4y +3=0(x)=f ′3+2x x 2(3x +1)2(−1)=f ′14f (−1)=12y −=(x +1)1214x −4y +3=0x −4y +3=0(1)B(,)x 0y 0AB M(,)+3x 02−1y 02CM 6×+10×−59=0+3x 02−1y 023+5+4−59=0x 0y 03+5−55=0x 0y 0B BT −4+10=0x 0y 0=10x 0=5y 0B (10,5)(2)A(3,−1)BT D (a,b)D BC ×=−1，b +1a −314−4×+10=0，a +32b −12{a =1，b =7，D(1,7)===−k BC k BD 7−51−1029−5=−(x −10)2∴直线的方程为，即．【考点】待定系数法求直线方程直线的斜率【解析】（1）设，则的中点在直线上，从而，又点在直线上，则，由此能求出点的坐标．（2）设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上，从而，由此能求出直线的方程．【解答】解：设，则的中点在直线上．∴，∴，即，①又点在直线上，则，②由①②可得，，即点的坐标为．设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上．由题知得即．，∴直线的方程为，即．18.【答案】设，∵点，动点满足.∴，整理得:，∴曲线方程为.设直线的横截距为，则直线的纵截距也为，当时，直线过，设直线方程为.把代入曲线的方程得，，BC y −5=−(x −10)292x +9y −65=0B(,)x 0y 0AB M(,)+3x 02−1y 02CM 3+5−55=0x 0y 0B BT −4+10=0x 0y 0B A(3,−1)BT D (a,b)D BC D(1,7)BC (1)B(,)x 0y 0AB M(,)+3x 02−1y 02CM 6×+10×−59=0+3x 02−1y 023+5+4−59=0x 0y 03+5−55=0x 0y 0B BT −4+10=0x 0y 0=10x 0=5y 0B (10,5)(2)A(3,−1)BT D (a,b)D BC ×=−1，b +1a −314−4×+10=0，a +32b −12{a =1，b =7，D(1,7)===−k BC k BD 7−51−1029BC y −5=−(x −10)292x +9y −65=0(1)P(x,y)A(−4,0),B(2,0)P |PA|=2|PB|=2(x +4+)2y 2−−−−−−−−−−−√(x −2+)2y 2−−−−−−−−−−−√+−8x =0x 2y 2C +−8x =0x 2y 2(2)l a l a a =0l (0,0)y =kx y =kx C +−8x =0x 2y 22−(2a +8)x +=0x 2a 2l C∵直线与曲线只有一个公共点，∴，解得，∴直线的方程为或.【考点】圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】设，∵点，动点满足.∴，整理得:，∴曲线方程为.设直线的横截距为，则直线的纵截距也为，当时，直线过，设直线方程为.把代入曲线的方程得，，∵直线与曲线只有一个公共点，∴，解得，∴直线的方程为或.19.【答案】【考点】直线与圆相交的性质恒过定点的直线直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】l C Δ=[−(2a +8)−8=0]2a 2a =4±42–√l x +y −4+4=02–√x +y −4−4=02–√(1)P(x,y)A(−4,0),B(2,0)P |PA|=2|PB|=2(x +4+)2y 2−−−−−−−−−−−√(x −2+)2y 2−−−−−−−−−−−√+−8x =0x 2y 2C +−8x =0x 2y 2(2)l a l a a =0l (0,0)y =kx y =kx C +−8x =0x 2y 22−(2a +8)x +=0x 2a 2l C Δ=[−(2a +8)−8=0]2a 2a =4±42–√l x +y −4+4=02–√x +y −4−4=02–√(0,1)−(1,0)=(−1,1)−→−解：，，∴，∴．．【考点】平面向量的坐标运算向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：，，∴，∴．．21.【答案】【考点】直线与圆锥曲线的关系轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】(1)=(0,1)−(1,0)=(−1,1)AB −→−=(2,5)−(1,0)=(1,5)AC −→−2+=2(−1,1)+(1,5)=(−1,7)AB −→−AC −→−|2+|==5AB −→−AC −→−+(−1)272−−−−−−−−−√2–√(2)cos θ==−1+5×+(−1)212−−−−−−−−−√+1252−−−−−−√213−−√13(1)=(0,1)−(1,0)=(−1,1)AB −→−=(2,5)−(1,0)=(1,5)AC −→−2+=2(−1,1)+(1,5)=(−1,7)AB −→−AC −→−|2+|==5AB −→−AC −→−+(−1)272−−−−−−−−−√2–√(2)cos θ==−1+5×+(−1)212−−−−−−−−−√+1252−−−−−−√213−−√13【考点】直线与圆锥曲线的关系椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
扬州中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学数据含答案
江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期10月月考高二数学试卷满分：150分；考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B −的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1−B ．3−C ．0D ．22．已知,a b 是单位向量，且()2b a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π33．下列说法中错误的是（ ）A ．平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）表示 B ．当0C =时，方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）表示的直线过原点 C ．当0A =，0B ≠，0C ≠时，方程0Ax By C ++=表示的直线与x 轴平行D ．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化4．若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为（ ） A ．1003πB ．2083πC ．5003πD ．4163π5．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．220x y +−= B ．2340x y +−=C ．2340x y −−=D ．3260x y +−=6．将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．4π C ．12π D ．6π7．已知圆()()()22:140C x y m m ++−=>和两点()2,0A −，()10B ,，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（ ） A ．[8，64] B ．[9，64] C ．[8，49]D ．[9，49]8．已知函数f (x )={2x ,x ≤0,lnx,x >0, g (x )=|x(x −2)|，若方程()()()0f g x g x m +−=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m >1 B ．m ≥1C ．m <1D ．m ≤1二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知复数z 满足(i 1)2z −=，给出下列四个命题其中正确的是（ ） A ．z 的虚部为1−B ．||2z =C ．1i z =+D ．22i z =10．已知直线l 过点()11P -，，且与直线1l ：230x y −+＝及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 与直线1l 的倾斜角互补B ．直线l 在x 轴上的截距为12 C ．直线l 在y 轴上的截距为－1D ．这样的直线l 有两条11．已知圆O ：224x y +=和圆C ：()()22231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是( ) A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y −+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y −+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3312．在正方体ABCD —1111D C B A 中，12AA =，点P 在线段1BC 上运动，点Q 在线段1AA 上运动，则下列说法中正确的有( )A．当P 为1BC 中点时，三棱锥P -1ABB B ．线段PQ 长度的最小值为2 C ．三棱锥1D -APC 的体积为定值D ．平面BPQ 截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若直线4y x b =+与坐标轴围成的面积为9，则b =__________．14．已知函数()22,0x x f x −<⎧=⎨，则不等式()()2134f a f a +>−的解集为___________.15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =.延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2121,,,A B B C 和2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4,3,5a b c ===，则由△ABC 生成的康威圆的半径为___________.16．已知直线l ：40x y −+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，计70分.） 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 过点()1,2A . (1)若直线l 的倾斜角为4π，求直线l 的方程； (2)直线:2m y x b =+，若直线m 与直线l 关于直线1x =对称，求b 的值与直线l 的一般式方程.18．(本小题满分12分)已知圆221:230C x y x +−−=与圆222:4230C x y x y +−++=相交于A 、B 两点.(1)求公共弦AB 所在直线方程；(2)求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程.19．(本小题满分12分)已知圆C 与直线30x −=相切于点(P ，且与直线50x +=也相切. (1)求圆C 的方程；(2)若直线:30l mx y ++=与圆C 交于A ，B 两点，且0CA CB ⋅<，求实数m 的范围.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=−. (1)求C 的大小；(2)若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且CD =△ABC 面积的最小值.21．(本小题满分12分)为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.22．(本小题满分12分)已知圆22:16O x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ． (1)已知直线l ：(2)(21)690m x m y m +++−−=与圆22:16O x y +=相切，求直线l 的方程； (2)若点M 满足2QP QM =，求点M 的轨迹方程；(3)若过点(2,1)N 且斜率分别为12,k k 的两条直线与（2）中M 的轨迹分别交于点A 、B ，C 、D ，并满足NA NB NC ND ⋅=⋅，求12k k +的值.参考答案：1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 【详解】令(),0t g x t =≥，当1m =时，方程为()10f t t +−=，即()1f t t =-， 作出函数()y f t =及1y t =−的图象，由图象可知方程的根为0=t 或1t =，即()20x x −=或()21x x −=，作出函数()()2g x x x =−的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误；当0m =时，方程为()0f t t +=，即()f t t =−，由图象可知方程的根01t <<，即()()20,1x x t −=∈，结合函数()()2g x x x =−的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A 错误.9．AD 10．AC 11．AD 12．ABC【详解】对于A ，当P 为1BC 中点时，∵11BCC B 是正方形，∴11B P BC ⊥，∵AB ⊥平面11BCC B ，1B P ⊂平面11BCC B ，∴AB ⊥1B P ， ∵AB ∩1BC =B ，AB 、1BC ⊂平面ABP ，∴1B P ⊥平面ABP ， ∵1B P ⊂平面AP 1B ，∴平面AP 1B ⊥平面ABP ，易知Rt △ABP 外接圆圆心为AP 中点，Rt △AP 1B 外接圆圆心为1AB 中点，则过Rt △ABP 外接圆圆心作平面ABP 的垂线，过Rt △AP 1B 外接圆圆心作平面AP 1B 的垂线，易知两垂线交点为1AB 中点，则三棱锥P -1ABB 的外接球球心即为1AB 中点，外接球半径即为12AB A 正确； 对于B ，如图过P 作PG ⊥BC 于G ，过Q 作QE ⊥PG 于E ，易知PQ ≥QE =AG ≥AB ，故线段PQ 长度的最小值为AB =2，故B 正确； 对于C ，∵1BC ∥1AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，∴1BC ∥平面1ACD ， ∵P ∈1BC ，故P 到平面1ACD 的距离为定值，又1ACD S 为定值，则11D APC P ACD V V −−=为定值，故C 正确；对于D ，易知，截面BPQ 与平面11BCC B 的交线始终为1BC ，连接1AD ，易知1BC ∥1AD ，过Q 作QF ∥1AD 交11A D 于F ，连接1FC 、QB ，则1BQFC 即为截面，其最多为四边形：当Q 与1A 重合，P 与1C 重合，此时截面BPQ 为三角形：平面BPQ 截该正方体所得截面不可能为五边形，故D 错误﹒ 故选：ABC ﹒13．± 14．()5,+∞ 15【详解】设M 是圆心，因为122121AC A B B C ==，因此M 到直线,,AB BC CA 的距离相等，从而M 是直角ABC 的内心，作MN AC ⊥于N ，连接2MC ，则34512MN CN +−===， 2156NC =+=，所以2MC ==16．【详解】由题意设点(),4P t t +，()11,C x y ，()22,D x y ， 因为PD ，PC 是圆的切线，所以OD PD ⊥，OC PC ⊥， 所以,C D 在以OP 为直径的圆上，其圆的方程为:()222244()()224t t t t x y +++−+−=，又,C D 在圆224x y +=上， 将两个圆的方程作差得直线CD 的方程为：()440tx t y ++=－， 即()()410t x y y ++=－，所以直线CD 恒过定点()1,1Q －， 又因为OM CD ⊥，M ，Q ，C ，D 四点共线，所以OM MQ ⊥， 即M 在以OQ 为直径的圆22111()()222x y ++−=上，其圆心为11',22O ⎛⎫− ⎪⎝⎭，半径为2r =，如图所示:所以'minAMAO r ==－所以AM 的最小值为17．(1)10x y −+=(2)0b =，直线l 的方程为240x y +−= （1）因为直线l 的倾斜角为4π， 所以直线l 的斜率为tan14π=，因为直线l 过点()1,2A ，所以直线l 的方程为21y x −=−，即10x y −+= （2）因为()1,2A 在对称轴1x =上， 所以点()1,2A 也在直线:2m y x b =+上， 所以22b =+，得0b =所以直线m 为2y x =，过原点(0,0)O ， 则(0,0)O 关于直线1x =的对称点为(2,0)B ， 所以点(2,0)B 在直线l 上， 所以直线l 的斜率为20212−=−−， 所以直线l 的方程为22(1)y x −=−−，即240x y +−= 18．(1)30x y −−= (2)2230x y x y +−+= （1）22230x y x +−−=，①224230x y x y +−++=，②①-②得2260x y −−=即公共弦AB 所在直线方程为30x y −−=.（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+−−++−++=即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++−++−+= 因为圆过原点，所以330λ−+=，1λ= 所以圆的方程为2230x y x y +−+= 19．(1)()2214x y ++=(2)1m >或7m <−(1)解：设圆C 的方程为()222()x a y b r −+−=，由题意得(2221b a r a b r ⎧⎛⨯=−⎪ ⎝⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，即(22222(1))54a r b b a a r ⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎩+⎪， 解得1a =−，0b =，2r =， 即圆C 的方程为()2214x y ++=. (2)解：由题意，得ACB ∠为钝角或平角， 当A ，B ，C 共线时，3m =，此时ACB ∠为平角； 当A ，B ，C 不共线时，3m ≠，ACB ∠为钝角， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则02d r <<，于是，有0<<，解之得1m >或7m <−，且3m ≠；综上，实数m 的取值范围是1m >或7m <−. 20．(1)π3C=；（1）依题意，sin(2)sin sin A B B A +=−，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+−， 故()sin(π)sin sin A C C A A +−=+−，则()sin()sin sin C A C A A −=+−，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A −=+−， 2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =. （2）依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD中，由正弦定理得πsin sin 6AD A =，在三角形BCDπsin 6BD =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=. 在三角形ACD中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+−⋅=−+， 在三角形BCD中，由余弦定理得222π3cos 336BD a a a =+−⋅=−+，所以2222223333AD b b b BD a a a −+==−+，整理得()()0a b ab a b +−−=， 所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABCS=⨯⨯⨯= 当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥， 当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形11sin 422ABCSab C =≥⨯ 综上所述，三角形ABC21．(1)66.8 (2)73 (3)57（1）由频率分布直方图可知平均数()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，∴第65百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.65x +−⨯=，解得：73x =，∴第65百分位数为73.（3）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为,,,A B C D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为,,a b c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==. 22．．(1)158680x y +−=或40x −= (2)221164x y += (3)0(1)圆22:16O x y +=，圆心()0,0，半径为4，直线l ：(2)(21)690m x m y m +++−−=与圆22:16O x y +=相切，4=，解得122m =或12m =−，故直线l 的方程为158680x y +−=或40x −=.(2)设(,),(,)M x y P x y ''，则2x x y y =⎧⎨=''⎩，又点P 在圆O 上，2216x y ''+=，即()22216x y +=，化简得221164x y +=. (3)设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 所在直线方程为11(2)y k x −=−，联立得1221(2)1164y k x x y −=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2221111148(12)4(12)160k x k k x k ++−+−−=，则()()21111212221181241216,1414k k k x x x x k k −−−+=−=++，NA NB ⋅=()2112122k x x =+−−()()()()()()221111221121212221118141216812124124141414k k k k k x xx x kk k k +−−−=+−++=+++=+++，同理()22228114k NC ND k +⋅=+，由NA NB NC ND ⋅=⋅可得()()2212221281811414k k k k ++=++，化简2212k k =，又12k k ≠，故12k k =−，即120k k +=.。
2022学年江苏扬州中学高二第一次月考试卷试题解析
2022学年江苏扬州中学高二第一次月考试卷试题解析1：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考1） 1：经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则y =( ) A ．1-B ．3-C ．0D ．2方法提供与解析：（浙江湖州赵先海） 解析：由题意可得21(3)3tan424y π+--=-，解得3y =-，故选：B ． 2：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考2）2：已知a ，b 是单位向量，且(2)b a b ⊥+，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 方法提供与解析：（浙江湖州赵先海） 解析：∵(2)b a b ⊥+，∴(2)0b a b ⋅+=，即220a b b ⋅+=，设a 与b 的夹角为θ，则2cos 10θ+=，解得23θπ=，故选D ．3：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考3） 3：下列说法中错误的是( )A ．平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0) 表示B ．当0C =时，方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)表示的直线过原点 C ．当0A =，0B ≠，0C ≠时，方程0Ax By C ++=表示的直线与x 轴平行D ．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化 方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：D 错误，如直线1x =就无法转化成截距式，故选：D ． 4：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考4）4：若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为( ) A ．1003πB ．2083πC ．5003πD ．4163π方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：易得求球的半径为5R =，∴此球的体积为3450033R ππ=，故选：C ．5：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考5）5：过点(2,3)M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．2340x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y +-=方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：因为点(2,3)M 在圆外，所以直线AB 的方程为234x y +=，即2340x y +-=，故选：B ． 6：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考6）6：将函数sin 22y x x =-的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0a >)所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：∵sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，沿x 轴向右平移a 个单位为2sin 223y x a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵2sin 223y x a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭关于y 轴对称，∴2()32a k k Z πππ+=+∈，解得()212k a k Z ππ=+∈，故选C ．7：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考7）7：已知圆()()()22:140C x y m m ++-=>和两点()2,0A -，()1,0B ，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（ ）A ． []8,64B ． []9,64C ． []8,49D ． []9,49方法提供与解析：浙江金华余黎杰解析：令满足2PA PB =的点P 为(),x y2=，即()2224x y -+=，所以圆C 上若存在点P ，则圆C 与()2224x y -+=22949m ≤⇒≤≤， 故选D8：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考8）8：已知函数()2,0ln ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()2g x x x =-，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ． 1m >B ． 1m ≥C ． 1m <D ． 1m ≤方法提供与解析：浙江金华余黎杰解析：令()g x t =，则()()()()0f g x g x m f t t m +-=⇒=-+，因为()g x 图像关于直线1x =对称，所以要使得所有实根之和为4，则必须有4个解，由()g x 图像可知在01t <<时与()g x 的图像有4个交点， 所以()f t t m =-+的解需满足01t <<，由图可知，此时需满足1m <（有负根0t 不影响最终4个解， 因为负根0t 最终取不到），选C9：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考9）9：【多选题】已知复数z 满足()12i z -=，给出下列四个命题其中正确的是（ ）A ． z 的虚部为1-B ． 2z =C ． 1z i =+D ． 22z i =方法提供与解析：浙江金华余黎杰 解析：()21211i z z i i -=⇒==---，对于A ：显然正确；对于B ：z =，所以B 错误； 对于C ：1z i =-+，错误；对于D ：21212z i i =-++=，正确，所以选AD10：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考10）10：【多选题】已知直线l 过点()1,1-P ，且与直线1:230-+=l x y 及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰 三角形，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 与直线1l 的倾斜角互补B ．直线l 在x 轴上的截距为12C ．直线l 在y 轴上的截距为1-D ．这样的直线l 有两条 方法提供与解析：（金华方磊） 解析：（数形结合）大致画出直线在坐标系内的图像，如图．记直线1l 与x 轴的交点为点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭A ，因为底边在x 轴上，故该等腰三角形的另一个顶点是以()1,1-P 为圆心，为PA 半径的圆与x 轴的另一个交点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ，显然A 正确．直线的方程为21=--y x ，故B 错误，C 正确．显然这样的直线与且仅有一条，D 错误．故选AC ．11：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考11）11：【多选题】已知圆22:4+=O x y 和圆()()22:231-+-=C x y ．现给出如下结论，其中正确的是（ ） A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5+=x y 或10-+=x y C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300-+=x yD ．P 、Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 133133 方法提供与解析：（金华方磊） 解析：（数形结合）对于A ：圆O 与圆C 的圆心坐标分别为()0,0O 、()2,3C ，半径分别为12=r 、11=r ， 所以1213=>+OC r r ，即圆O 与圆C 外离，故它们有四条公切线，A 正确； 对于B ：显然直线3:2=OC y x 过C 且在两坐标轴上截距相等，B 错误； 对于C ：由于点在圆外，故过点且与圆相切的直线必有两条，C 错误；对于D ：易知1212--≤≤++OC r r PQ OC r r 133133≤≤PQ ，D 正确．故选AD ．12：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考1）12：【多选题】在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点P 在线段1BC 上 运动，点Q 在线段1AA 上运动，则下列说法正确的有（ ）A ．当P 为1BC 中点时，三棱锥1P ABB -2B ．线段PQ 长度的最小值为2C ．三棱锥1D APC -的体积为定值D ．平面BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形 方法提供与解析：（杭州戴伟） 解析：对于A ：ABP ∆是以AP 为斜边，1AB P ∆是以1AB 为斜边，则外接球是以1AB 为直径的球，则半径122AB =，A 正确；对于B ：过Q 作1BB 垂线QM ，过M 作1MN BC ⊥，则22222PQ QM MN MN ++， 即MN 最小值PQ 最小为2AB =，B 正确；对于C ：由1D AC S ∆为定值，且11//BC AD ，则P 到面1ACD 的距离 为定值，则1P D AC V -为定值，C 正确；对于D ：当Q 与1A 重合，P 与1C 重合时，此截面为三角形， 过点Q 作1//QF AD ，连接1,FC QB ，则1BQFC 即为截面四边形，五边形不存在，D 错误；故选ABC13：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考13）13：若直线4y x b =+与坐标轴围成的面积为9，则b = 方法提供与解析：（杭州戴伟）解析：当0x =时，y b =，当0y =时，4bx =-；则219248b b S b =⨯⨯==得62b =±62±14：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考14）14：已知函数()22,02,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则不等式()()2134f a f a +>-的解集为 方法提供与解析：（杭州戴伟）解析：由()y f x =是单调递减，则2134a a +<-得：5a >；故填：()5,+∞ 15：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考15）15：“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内 容是这样的：如图，ABC △的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =．延长线 段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2A ，1B ，2B ，1C 和2C ，那么这六个 点共圆，这个圆称为康威圆．已知4a =，3b =，5c =，则由ABC △生成的康威圆 的半径为________．方法提供与解析：（浙江杭州罗彪） 解析：利用内切圆转化∵213112A B A C AC ==，∴O （康威圆的圆心）到三边AB 、BC 、CA 的距离d 相等，∴O 即ABC △的内心， ∵222a b c +=，∴ABC △是直角三角形，内切圆半径12a b c d +-==，∴康威圆半径2212372A C r d =+ 3716：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考16）16：已知直线l ：40x y -+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线， 切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为________．方法提供与解析：（浙江杭州罗彪） 解析：切点弦方程设(,4)P t t +，则切点弦CD 所在直线方程为：(4)4tx t y ++=，即()4(1)0t x y y ++-=过定点(1,1)B -， ∵OM BM ⊥（垂径定理），且B 在圆224x y +=内部，∴M 在以OB 为直径的圆Q 上，圆心11,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2r OQ ==(4,0)A -，则52AQ =，因此，22AM AQ r ≥-=217：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考17） 17：在平面直角坐标系中，直线l 过点()1,2A ．（1）若直线l 的倾斜角为4π，求直线l 的方程； （2）直线:2m y x b =+，若直线m 与直线l 关于直线1x =对称，求b 的值与直线l 的一般式方程．方法提供与解析：（嘉兴吕佳杰） 解析：（1）因为直线l 的倾斜角为4π，所以直线l 的斜率为tan 14π=，因为直线l 过点()1,2A ，所以直线l 的方程为21y x -=-，即10x y -+=（2）因为()1,2A 在对称轴1x =上，所以点()1,2A 也在直线:2m y x b =+上，所以22b =+，得0b =， 所以直线m 为2y x =，过原点(0,0)O ，则(0,0)O 关于直线1x =的对称点为(2,0)B ， 所以点(2,0)B 在直线l 上，所以直线l 的斜率为20212-=--， 所以直线l 的方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=18：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考18）18：已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点． （1）求公共弦AB 所在直线方程；（2）求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程．方法提供与解析：（嘉兴吕佳杰） 解析：（1）22230x y x +--=①，224230x y x y +-++=②，①－②得2260x y --= 即公共弦AB 所在直线方程为30x y --=．（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=， 即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++-++-+=，因为圆过原点，所以330λ-+=，1λ=，所以圆的方程为2230x y x y +-+=．19：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考19）19：已知圆C与直线30x +-=相切于点(0P，且与直线50x ++=也相切． （1）求圆C 的方程；（2）若直线30l mx y ++=：与圆C 交于A B 、两点，且0CA CB ⋅<，求实数m 的范围．方法提供与解析：（浙江杭州杨宏斌） 解析：（1）∵切线30x -=与切线50x +=平行，∴圆心C在直线10x ++=上，过点(0P与直线30x -=0y -，由100x y ⎧++=⎪-=得圆心(10)C -，，2r =，∴圆C 的方程为22(1)4x y ++=； （2）∵0CA CB ⋅<，∴圆心C 到直线l的距离d <d <得7m <-或1m >．20：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考20）20：在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin(2)sin sin A B B A +=-． （1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =，求ABC ∆面积的最小值．方法提供与解析：（浙江杭州杨宏斌） 解析：（1）sin(2)sin()sin A A C A C A ππ+--=---得sin()sin()sin C A A C A -=+-，∴sin 2cos sin A C A =， ∵sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=； （2）∵o 30ACD BCD ∠=∠=且CD =，∴D CA D CB d d →→==，∴)ABC ACD BCD S S S a b ∆∆∆=+=+， ACD ∆中，2233AD a a =+-，BCD ∆中，2233BD b b =+-，∴22223333a a a b b b -+=-+得()()0a b a b ab -+-=，①当0a b -=时，易得ABC ∆为等边三角形，此时ABC S ∆ ②当0a b ab +-=时，111a b =+≥得4ab ≥，∴4a b +≥，∴()minABC S ∆=；综上所述，ABC ∆21：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考21）21：为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛， 从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50， 第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90， 第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息， 回答下列问题：（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；（3）已知学生成绩评定等级有优秀，良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从 第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．方法提供与解析：（杭州唐慧维） 解析：（1）由频率分布直方图可知平均数()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）∵成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，∴第65百分位数位于[)70,80，设其为x ， 则()0.56700.030.65x +-⨯=，解得：73x =，∴第65百分位数为73．（3）第5组的人数为500.008104⨯⨯=人，可记为A ，B ，C ，D ；第6组的人数为500.006103⨯⨯=人， 可记为a ，b ，c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==． 22：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考22）22：已知圆22:16O x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．（1）已知直线:(2)(21)690l m x m y m +++--=与圆22:16O x y +=相切，求直线l 的方程； （2）若点M 满足2QP QM =，求点M 的轨迹方程；（3）若过点(2,1)N 且斜率分别为12k k ，的两条直线与（2）中M 的轨迹分别交于点 A B C D 、、、， 并满足NA NB NC ND ⋅=⋅，求12k k +的值．方法提供与解析：（绍兴+陈波）解析：（1）圆22:16O x y +=，圆心(0,0)，半径为4，直线:(2)(21)690l m x m y m +++--=与圆22:16O x y +=4=得122m =或12m =-，故直线l 的方程为158680x y +-=或40x -=． （2）设()(,),M x y P x y ''，，则2x x y y '=⎧⎨'=⎩，又点P 在圆O 上，2216x y ''+=，即22(2)16x y +=得221164x y +=．（3）设()()1122,,A x y B x y AB ，，所在直线方程为11(2)y k x -=-，联立得1221(2)1164y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()()()222111114812412160k x k k x k ++-+--=，则()()111221211221812144121614k k x x k k x x k ⎧-+=-⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，，NA NB ⋅=()()()()()()221111221121212221118141216812124124141414k k k k k x x x x k k k k +---=+-++=+++=+++，同理()22228114k NC ND k +⋅=+，由NA NB NC ND ⋅=⋅可得()()2212221281811414k k k k ++=++，化简2212kk =，又12k k ≠，故12k k =-，即120k k +=．。
2022-2023学年江苏省扬州一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省扬州一中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 经过A （1，3），B （﹣2，4）两点，则直线l 的斜率是（ ） A ．13B ．−13C ．3D ．﹣32．直线√3x −y +1=0和直线y =√3x +3之间的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知点A （﹣2，0），B （0，2），则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝8 B ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝8C ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝2D ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝24．抛物线x ＝2y 2的准线方程是（ ） A ．x =−12B ．x =−14C ．x =−18D ．x =−1165．过点A （1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．x ﹣y +1＝0 B ．x +y ﹣3＝0 C ．y ＝2x 或x +y ﹣3＝0 D ．y ＝2x 或x ﹣y +1＝06．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点为F 1，过F 1作一倾斜角为30°的直线交双曲线右支于P 点，且满足△POF 1（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（ ） A ．e =√3+1B ．e ＝2C ．e =√2D ．e =4√337．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则椭圆的面积为（ ） A ．36√2πB ．18√2πC ．9√2πD ．6√2π8．设P ，Q 分别为圆x 2+（y ﹣6）2＝2和椭圆x 210+y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ）A ．5√2B ．√46+√2C ．7+√2D ．6√2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期12月考高二数学2022.12试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）公众号高中僧试题下载1．已知点)2A ，1(0,)B -，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°2．已知函数()22f x x =+，则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．在等比数列{}n a 中，已知3578a a a =，则19a a =（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．18x =-B ．18y =-C ．116x =-D ．116y =-5．已知圆E ：()()()22250x a y a r r -++=>与x 轴相切，且截y 轴所得的弦长为，则圆E 的面积为（ ） A ．254π B ．1256π C ．252πD ．25π6．已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线右支上一点，则1PA PF +的最小值为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．117．已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++-=，0n a ≠且1231a a ==，则7a =（ ） A ．163B ．165C ．1127D ．11298．已知1,3A ⎛- ⎝⎭，1,3B ⎛- ⎝⎭，()00,P x y 为椭圆C ：22132x y +=上不同的三点，直线l ：2x =，直线P A 交l 于点M ，直线PB 交l 于点N ，若PAB PMN S S ∆∆=，则0x =（ ）A ．0B ．54C ．53D二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列说法中，正确的有（ ） A ．直线32y x =-在y 轴上的截距是2 B ．直线250x y -+=经过第一、二、三象限C ．过点()5,0，且倾斜角为90°的直线方程为50x -=D ．过点()1,2P 且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-= 10．过点()1,4且与圆()2214x y ++=相切的直线的方程为（ ）A ．10x -=B ．40y -=C ．34130x y -+=D ．4380x y -+=11．已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为6π的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且1MP MF =，下列判断正确的是（ ） A ．123F PF π∠=B ．E的离心率等于C．双曲线渐近线的方程为y =D ．12PF F ∆的内切圆半径是13⎛-⎝⎭12．已知数列{}n a 满足2212352222nn n na a a ++++=，设数列{}n c 的前n 项和为n S ，其中21112n n n n c a a ++=⋅⋅，则下列四个结论中，正确的是（ ）A ．1a 的值为2B ．数列{}n a 的通项公式为()312n n a n =+⨯C ．数列{}n a 为递减数列D ．1216n nS n =+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线的斜率为 ．14．已知数列{}n a 首项为2，且()*132N n n a a n +=+∈，则n a =15．已知直线1l ：3mx ny m n +=+与直线2l ：30nx my n m --+=（m ，n R ∈）相交于点M ，点N 是圆C ：()()22334x y +++=上的动点，则MN 的取值范围为 ．16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点()(),0F c b c >和上顶点B ，若斜率为65的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，且满足0FB FP FQ ++=，则椭圆的离心率为 ．四、解答题（本大题共6小题，计70分．）17．已知二次函数()22b f ax x ax =+-，其图象过点()2,4-，且()'13f =-． （1）求a 、b 的值；（2）设函数()ln g x x x =，求曲线()y g x =在1x =处的切线方程．18．已知抛物线C ：()220y px p =>上的点()01,A y 到抛物线C 的焦点的距离为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线l ：y x m =+与抛物线交于P ，Q 两个不同的点，若OP OQ ⊥，求实数m 的值． 19．已知数列{}n a 前n 项和2n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．已知圆C ：()()222516x y ++-=．（1）若直线l 过点()1,2A -且被圆C截得的弦长为l 的方程；（2）若直线l 过点()3,4B 且与圆C 相交于M ，N 两点，求△CMN 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程． 21．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，21691n n a S n +=++．各项均为正数的等比数列{}n b 满足11b a =，32b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>1l 过椭圆C 的两个顶点，且原点O 到直线1l． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点()0,1A ，过点()2,1-的直线l 不经过点A ，且与椭圆C 交于M ，N 两点，证明：直线AM 的斜率与直线AN 的斜率之和是定值．参考答案：1．B【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率k ，即可知直线的倾斜角．【详解】由题意可知A ，B 两点间的斜率21k --==，设直线AB 的倾斜角为α，[)0,απ∈则tan k α==60α=︒ 故选：B 2．A【分析】根据平均变化率的定义直接求解． 【详解】因为函数()22f x x =+， 所以该函数在区间[]1,3上的平均变化率为()()()223212314312f f +-+-==-，故选：A 3．A【分析】用基本量1a ，q 表示出来可以求；或者考虑下标和公式． 【详解】在等比数列{}n a 中，335758a a a a ==，解得52a =，则21954a a a ==． 故选：A ． 4．D【分析】由抛物线定义，求出p ，则可求准线方程．【详解】抛物线的方程可变为214x y =，由11248p p =⇒=，则其准线方程为1216p y =-=-． 故选：D ． 5．A【分析】根据圆E 与x 轴相切，可得5r a =，再结合圆心到y 轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解．【详解】∵圆E ：()()()22250x a y a rr -++=>与x 轴相切，截y轴所得的弦长为，∴圆心为(),5a a -，半径为5r a =，圆心到y 轴的距离为a ， ∴()2265a a +=，解得12a =±， ∴552r a ==，即圆E 的面积为：2252524r πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．故选：A ． 6．C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理1PA PF +，利用三角形三边关系，可得答案．【详解】由双曲线22145x y -=，则24a =，25b =，即2229c a b =+=，且()13,0F -，()23,0F ，由题意，作图如下：1222249PA PF PA a PF AF a +=+++==≥，当且仅当A ，P ，2F 共线时，等号成立．故选：C ． 7．C【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出11n a +，进而得到数列{}n a 的通项公式，即可得到答案．【详解】因为211232n n n n n n a a a a a a ++++-=， 所以12132n n n n n a a a a a +++=-，则121132132n n n n n n na a a a a a a ++++-==-，有21111112n n n n a a a a +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，2为公比的等比数列，则1111222n n n na a -+-=⨯=， 所以11111121111111111222121n n n n n n n n a a a a a a a a -+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则11121n n a ++=-，所以771121127a ==-． 故选：C ．【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。
比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等，其中待定系数法较为常见．一、倒数变换法，适用于1nn n Aa a Ba C+=+（A ，B ，C 为常数）二、取对数运算 三、待定系数法 1、构造等差数列法 2、构造等比数列法①定义构造法。
利用等比数列的定义1n na q a +=通过变换，构造等比数列的方法． ②1n n a Aa B +=+（A ，B 为常数）型递推式可构造为形如()1n n a A a λλ++=+的等比数列．③1nn n a Aa Bc +=+（A ，B ，C 为常数，下同）型递推式，可构造为形如()11n nn n a c A a c λλ+++=+的等比数列．四、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法． 8．B【分析】根据三角形面积公式及APB MPN ∠=∠或APB MPN π∠+∠=得PA PB PN PM =，再应用相交弦长公式列方程，即可求0x ． 【详解】由PAB PMN S S ∆∆=，则11sin sin 22APB PA PB MPN PN PM ∠⋅=∠⋅由图知：当P 位置变化时，APB MPN ∠=∠或APB MPN π∠+∠=，故sin sin APB MPN ∠=∠， 所以PA PB PN PM =，而直线AP 、BP 斜率存在且不为0（01x ≠±），故0011PA PB x x =+-，0022PN PM x x =--，所以()220012x x -=-，即22000144x x x -=-+或22000144x x x -=-+，当22000144x x x -=-+，化简得054x =． 当22000144x x x -=-+时，2002430x x -+=，显然16200∆=-<，无解．所以054x =． 故选：B ． 9．BC【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。