径向基函数及其应用

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径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用

径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用传统的神经网络模型在处理非线性问题时存在一定的限制，而径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）模型则能够有效地处理这类问题。

本文将介绍径向基函数神经网络模型的基本原理，并探讨其在预测系统中的应用。

1. 径向基函数神经网络模型的基本原理径向基函数神经网络模型是一种三层前馈神经网络，包含输入层、隐含层和输出层。

该模型通过将输入向量映射到高维特征空间，并利用径向基函数对输入数据进行非线性变换。

其基本原理如下：1.1 输入层：输入层接收原始数据，并将其传递给隐含层。

1.2 隐含层：隐含层中的神经元使用径向基函数对输入数据进行非线性变换。

径向基函数通常采用高斯函数，其形式为：φ(x) = exp(-(x-c)^2/2σ^2)其中，x为输入向量，c为径向基函数的中心，σ为径向基函数的宽度。

隐含层神经元的输出由径向基函数计算得到，表示了输入数据距离每个径向基函数中心的相似度。

1.3 输出层：输出层根据隐含层的输出和相应的权值进行计算，并生成最终的预测结果。

2. 径向基函数神经网络模型在预测系统中的应用径向基函数神经网络模型在各种预测系统中具有广泛的应用，包括金融预测、气象预测、股票价格预测等。

2.1 金融预测径向基函数神经网络模型能够对金融市场进行有效预测，例如股票价格、外汇汇率等。

通过输入历史数据，可以训练神经网络模型，利用其中的非线性变换能力来预测未来的价格走势。

实验表明，基于径向基函数神经网络模型的金融预测系统能够提供较高的准确度和稳定性。

2.2 气象预测径向基函数神经网络模型在气象预测中的应用也取得了良好的效果。

通过输入历史气象数据，神经网络模型可以学习到不同变量之间的关系，并预测未来的天气情况。

与传统的统计模型相比，径向基函数神经网络模型能够更好地捕捉到非线性因素对气象变化的影响，提高了预测的准确性。

MQ径向基函数的理论、方法及应用

MQ径向基函数的理论、方法及应用MQ径向基函数的理论、方法及应用乔远阳，吴技莲，冯新龙?【摘要】径向基函数方法是近几十年来在计算科学和近似理论研究中热门的研究课题之一,广泛应用于神经网络、图像处理、偏微分方程数值解、机器学习等众多科学领域.该方法作为一个用一元函数描述多元函数的强有力工具,常用于处理大规模散乱数据,并具有较好的逼近能力.本文首先介绍有关径向基函数的发展历程、理论研究和应用背景,其次讨论Multiquadric(MQ)径向基函数方法在检测间断上的具体应用,通过数值实验验证了该方法在一维和二维问题上的有效性和实用性.最后分析MQ径向基函数方法的优缺点并对今后的研究工作提出展望.【期刊名称】新疆大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2015(032)004【总页数】9【关键词】径向基函数方法;Multiquadric径向基函数;检测间断;图像处理基金项目：新疆研究生科研创新项目(XJGRI2014012),新疆大学优秀博士研究生创新项目(XJUBSCX2014006),国家自然科学基金(11271313).0 引言径向基函数(Radial Basis Function,简称RBF)是一个取值仅依赖于离原点距离(本文使用欧氏距离)的实值函数,即或者还可以是到任意点的距离,其中称为中心点,即其研究的主要工作就是研究该函数张成的空间及其性质,并如何利用这个空间来解决一般对象的描述问题.径向基函数是处理多元函数逼近问题的一种有效方法.事实上,它是通过定义在[0,∞)上的一元函数φ与Rd上的欧几里德范数来表示元函数其中向量因此,用径向基函数处理多元函数逼近问题具有效率高,运算简单,易于编程,在计算机中储存方便以及各向同性,不依赖于网格,求解精度高等优点,其在函数逼近、偏微分方程数值解、神经网络、小波、多尺度分析以及地球物理学、测绘学、遥感与信号处理、图像处理、机器学习、天文学与采矿等领域得到了广泛的研究和应用.目前在解决实际问题中常用到的数值方法有:有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法、无网格法等.虽然前四种方法解决了众多的科学和工程计算问题,但它们存在一个共同的缺点:求解过程中每次都需要剖分网格,计算工作量大,尤其是三维问题.所以要想彻底解决这些方法面临的网格重构问题,就应该避免使用网格.于是,无网格思想就被提出来了,并在近年来得到了迅速发展.目前,具有代表性的无网格方法主要有光滑粒子动力学法、无单元Galerkin法、重构粒子法、单位分解法、RBF法等十余种,其中无单元Galerkin法、RBF法和重构粒子法是无网格法研究的主流方向.RBF方法是以径向函数为插值基函数,在求解中采用配点形式,无需背景网格支持的方法.此方法的优点是不受单元形状的限制,在场量变化剧烈的地方,可以很容易地增加中心点的密度,因此避免了网格剖分在求解过程中。

径向基函数插值

径向基函数插值
径向基函数插值，也称为放射基函数插值，是一种非线性插值技术，是计算机视觉中广泛应用的一种插值方法。

它将像素点的值基于它们之间的相对位置，而不是照片空间中的绝对位置，来推算出来。

径向基函数插值的一个典型的应用是用于图像放大。

三维软件排布图形或模型元素，经常使用放射基函数插值来从小分辨率到大分辨率的情况下进行更高质量的放大。

当用于从小分辨率到大分辨率的情况下进行放大时，放射基函数插值能够更好地处理图像的轮廓和色调，提供更加平滑与一致的结果，同时保留原始数据的细节，同时降低“像素块”的影响。

径向基函数插值的主要优势在于可以有效地从离散的点数据中提取出有效的信息，而且避免了像素块的影响能够使放大出来的图像更加平滑和自然。

径向基函数插值还可以用于几何改变和图像滤镜，例如旋转、缩放和压缩图像。

它还可以用于三维物体体绘制、矢量化图像处理，以及医学成像分析等。

总而言之，径向基函数插值是一种功能强大的插值技术，它具有计算快速，放大质量高，可用于多个应用的特点，日益成为数字图像处理的重要组成部分。

高斯核函数python实现及运用

高斯核函数python实现及运用高斯核函数（Gaussian Kernel），又称为径向基函数（Radial Basis Function，简称RBF），是一种常用的核函数，广泛应用于机器学习和模式识别领域。

它在SVM（Support Vector Machine）和其他一些机器学习算法中被用作特征映射。

高斯核函数的定义如下：$$K(x, x') = \exp\left(-\frac{\|x - x'\|^2}{2\sigma^2}\right) $$其中，$x$和$x'$表示输入样本的特征向量，$\|.\|$表示向量的欧氏距离，$\sigma$表示高斯核函数的带宽参数，控制了核函数的衰减速度。

为了在Python中实现高斯核函数，可以使用NumPy库提供的函数和操作。

代码如下：``` pythonimport numpy as npdef gaussian_kernel(x, x_prime, sigma):distance = np.linalg.norm(x - x_prime) # 计算欧氏距离return np.exp(-distance**2 / (2*sigma**2)) # 计算高斯核函数值```在使用高斯核函数时，我们可以根据具体的需求选择合适的带宽参数$\sigma$。

较小的$\sigma$会导致高斯核函数衰减较快，较大的$\sigma$则会使其衰减较慢。

通常情况下，我们可以通过交叉验证等方法来选择最优的$\sigma$值。

高斯核函数主要应用于以下两个方面：1. 支持向量机（SVM）：在使用SVM进行分类或回归时，可以将原始特征映射到高维空间，通过高斯核函数计算样本间的相似度。

这样可以更好地处理非线性可分问题，提高模型的分类或回归性能。

2. 图像处理：高斯核函数在图像处理中被广泛应用，如图像模糊、边缘检测等。

通过将高斯核应用于图像的卷积操作，可以实现图像的平滑和去噪。

径向基函数galerkin方法在地下水数值模拟中的应用

径向基函数galerkin方法在地下水数值模拟中的应用径向基函数 (Radial Basis Function, RBF) Galerkin 方法是一种数值模拟方法，它在地下水流和污染物运移模拟中得到了广泛的应用。

径向基函数是一种特殊类型的基函数，其特点是函数值仅与自变量距离原点的距离有关。

径向基函数 Galerkin 方法是基于径向基函数的有限元法，它通过将地下水流或污染物运移方程离散为一系列由径向基函数表示的线性方程组来求解问题。

在地下水数值模拟中，径向基函数 Galerkin 方法的主要应用包括以下几个方面：1. 地下水流模拟：在地下水流模拟中，径向基函数 Galerkin 方法可以用于求解非饱和和饱和地下水流方程，包括地下水的流动、水头分布以及渗透场等特性。

例如，可以通过这种方法对复杂的地下水流场进行建模，包括多层含水层、非均质介质和非等向性等。

2. 污染物运移模拟：在地下水污染物运移模拟中，径向基函数Galerkin 方法可以用于求解对流-扩散方程，研究地下水中污染物的传播、衰减和降解过程。

这种方法对于非线性和非均质介质中的污染物运移模拟有很大优势，可以描述多种类型的污染物（例如溶质、颗粒、多孔介质中的 NAPL 等）在地下水中的迁移和变化过程。

3. 地下水与地表水的相互作用：径向基函数 Galerkin 方法还可以用于研究地下水与地表水之间的交换过程，包括地下水的补给、排泄、溢出等现象。

通过建立地下水与地表水相互作用的数值模型，可以更好地理解两者之间的动态关系，为水资源管理和生态环境保护提供科学依据。

4. 地下水资源评价和管理：通过使用径向基函数 Galerkin 方法进行地下水流和污染物运移模拟，可以评估地下水资源的数量和质量，为地下水资源的合理开发、利用和保护提供依据。

此外，通过模拟地下水开采、人工补给等人类活动对地下水系统的影响，可以为地下水资源管理提供支持。

总之，径向基函数 Galerkin 方法在地下水数值模拟中的应用广泛而有效，为地下水流动、污染物运移以及水资源管理等问题的研究提供了一种强大的数值工具。

科学与工程计算中的径向基函数方法

科学与工程计算中的径向基函数方法
径向基函数方法是一种在科学和工程计算中广泛应用的数值计
算方法。

它基于一组以原点为中心的径向基函数，通过线性组合来逼近实际函数。

这种方法具有许多优点，如高精度、收敛快、易于实现等。

在科学计算中，径向基函数方法广泛用于数值求解偏微分方程、计算流体力学、图像处理等领域。

在工程计算中，它被广泛用于计算机辅助设计、结构优化、信号处理等领域。

径向基函数方法的核心是选择合适的径向基函数。

传统的径向基函数包括高斯函数、多项式函数等。

近年来，越来越多的新型径向基函数被提出，如球形径向基函数、变分径向基函数等，这些方法为实际问题的求解提供了更好的精度和效率。

在实际应用中，径向基函数方法经常与其他数值方法相结合，如有限元法、有限差分法等。

这种方法的研究仍在不断深入，未来它将继续在科学和工程计算中发挥重要作用。

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径向基函数

径向基函数径向基函数是一种常用的函数类型，通常用于数学计算、信号处理、图像处理及机器学习等领域。

它们的主要特点是具有局部特性和无限可微性，因此能够适应多种复杂数据的建模需求。

下面，我们来逐步阐述径向基函数的相关概念和应用。

第一步：径向基函数的定义径向基函数（Radial Basis Function，简称RBF）是以某一点为中心，以此点到其他所有数据点的距离为核心的一类函数。

常见的径向基函数有高斯径向基函数、多孔径向基函数等。

高斯径向基函数的公式为：φ(r) = e^(-r^2/2σ^2)其中r为点到中心点的距离。

第二步：径向基函数的应用径向基函数在多个领域有着广泛的应用。

以下是其中几个领域的应用举例：1. 信号处理：在信号处理中，径向基函数可以用于特征提取和去噪处理。

例如，将信号分解为多个径向基函数的线性组合，可以提取出信号中的有用信息。

2. 图像处理：在图像处理中，径向基函数可以用于图像配准、图像分割和图像重建等方面。

例如，将图像中的每个像素点看作一个数据点，使用多个径向基函数将图像进行拟合，可以得到更清晰的图像信息。

3. 机器学习：在机器学习中，径向基函数可以用于分类、聚类和回归等方面。

例如，在支持向量机中，径向基函数可以用于定义支持向量的核函数，以实现非线性分类。

第三步：径向基函数的优点与其他函数类型相比，径向基函数具有以下优点：1. 局部特性：径向基函数在计算权重时只使用局部数据点，可以适应非线性和复杂的数据分布。

2. 无限可微性：径向基函数是无限可微的函数类型，可以在数据中心点处获得连续可导的导函数，因此可大幅降低过拟合的可能性。

3. 灵活性：径向基函数可以使用不同的核参数，如高斯核、多孔核等，以适应不同数据类型和建模需求。

总之，径向基函数在多个领域有着广泛的应用，并且具有许多优点。

不过，在使用径向基函数时也需要注意其参数的选择和模型调参，以获得更好的建模效果。

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径向基函数及其应用
近年来国际上比较认可的处理多元问题的函数基有两种：楔形基（ｒｉｄｇｅｂａｓｉｓｆｕｎｃｔｉｏｎ）和径向基（ｒａｄｉａｌｂａｓｉｓｆｕｎｃｔｉｏｎ）．这两种基有一个共同的特点：就是用事实上的一元函数来描述多元函数．用它们在计算机里表现多元函数就有明显的储存及运算简单的优点．楔形基较多地应用在发展型方程、动力系统的求解上．径向基则利用一个一元函数作用在欧几里得距离上，然后作平移，从而比较适用于物理上各向同性的问题．
用函数描述实际对象首先需要一个函数空间．我们最熟悉的是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ项式函数空间和三角多项式函数空间．人们经常使用这两个函数空间，不仅因为它们的函数形式十分简单，具有本质上只用一个简单函数来生成函数空间的特点，更重要的是这两个函数空间都可以逼近几乎所有的函数，也就是说它有非常强的函数表现能力．
如何选取这个空间的一组基是当一个函数空间取定以后十分重要的问题．早期采用古典函数空间，在不同应用中采用不同的基．如多项式函数空间可以有一般的单项式基底｛，），也可以选取正交多项式基底如切比契夫多项式．在计算机辅助几何设计中，人们更多地采用伯恩施坦函数基．这些古典的函数空间也有一些缺点，一般认为上述两个函数空间都刚性太强，一个地方的小的扰动会在远处产生非常大的影响．所以在上世纪的六、七十年代样条函数开始逐渐流行起来，并被应用界广泛地接受．简单地说，样条函数就是分段或分片多项式．它既有多项式表达简单并且可以逼近几乎所有函数的优点，又改正了多项式刚性太强的缺点．一般地说，我们可以在样条函数空间找到Ｂ．样条基，它是局部支撑的，从而它是样条函数空间中的一个较好的函数基．在偏微分方程数值解中的有限元方法就是把偏微分方程的解用分片的多项式逼近，或者说在样条函数空间中找近似解．事实上，有限元法是样条函数基在偏微分方程数值解中的一个最好的应用．
关键词：径向基函数；Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｅ；插值；拟插值；散乱数据拟合
径向基函数及其应用
ＲａｄｉａｌＢａｓｉｓＦｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＴｈｅｉｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｆｏｒｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｔｒｅａｔｍｅｎｔｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｍａｎｙｖａｒｉａｂｌｅｓ．ｒａｄｉａｌｂａｓｉｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅ
学位论文题目：弛茎垫型叠匿美乞！强
作者签名导师签名
日日期期：：递五罩西年二Ｕ月Ｌ月上—上坐日日
大连理工大学学位论文独创性声明
作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。
同样样条函数基也有一些缺点，特别针对多元（多于４个变元）散乱数据问题，关于散乱数据的三角剖分就是一个非常复杂的拓扑问题，如果还要求这个三角剖分上的样条函数基有高阶连续性，那么其构造是非常困难的．这正是人们很难看到用有限元解高于４个变量的高阶偏微分方程问题的根木原因．国际上最近非常流行的还有小波基，它是样条
大连理工大学硕士学位论文径向基函数及其应用姓名：李艳申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：朱春钢
20090625
大连理工大学硕士学位论文
摘要
径向基函数（ＲａｄｉａｌＢａｓｉｓＦｕｎｃｔｉｏｎ）是处理多元问题的～种有效方法。实质上，它是
通过定义在【ｏ，栅）上的一元函数驴与ＲＪ上的欧几里德范数№来表示ｄ元函数 ≯（忙一川，），其中ｘ，Ｙ∈Ｒｄ。因此用径向基函数来处理多元问题具有效率高，以及在计
Ｓｃｈａｂａｃｋ，Ｗｅｎｄｌａｎｄ，Ｐｏｗｅｌｌ，ＢｅａｓｔｏｎａｎｄＺｏｎｇ．ＭｉｌｌⅥ，ｕｅｔａ１．
Ｓｃａｔｔｅｒｅｄｄａｔａｆｉｔｔｉｎｇｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｆｏｃｕｓｅｓｏｆｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｂａｓｉｃｔｈｅｏｒｉｅｓｏｆＲＢＦａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｆｏｒｓｃａｔｔｅｒｅｄｄａｔａｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｎｄｆｉｔｔｉｎｇ．Ｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓｏｆａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｕｓｉｎｇｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ—ｕｓｅｄＧａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄＭｕｌｔｉ—Ｑｕａｄｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｔｈｅｉｒ
ｕｎｉｖａｒｉａｔｅｓｅｔｔｉｎｇ．ＴｈｅｒｅａｒｅｏｂｖｉｏｕｓａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｓｔｏｒａｇｅａｎｄｓｉｍｐｌｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｕｓｅＩ氇ＦｓｉＩｌｃｏｍｐｕｔｅｒｔｏｏｐｅｒａｔｅｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＲＢＦｓｈａｖｅａｗｉｄｅｒａｎｇｅｏｆａｐｐｌｉｃａｔｉＯｉｌＳｉｎｔｈｅｓｃａｔｔｅｒｅｄｄａｔａｆｉｔｔｉｎｇ，ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ．Ｉｎｒｅｃｅｎｔｙｅａｒｓ．ｔｈｅｔｈｅｏｒｉｅｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆＲＢＦｈａｖｅｂｅｅｎｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｔｈｏｒｏｕｇｈｌｙｂｙ
大连理工大学硕士学位论文
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本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
本文共分四章。第一章介绍了研究径向基函数的背景。第二章介绍径向基函数的基本理论。其中包括径向基函数的基本概念，几种常用的径向基函数，径向基函数插值理论，以及径向基函数的应用。第三章介绍Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｅ函数插值及其拟插值算子理论。对已有的四种Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｃ拟插值算子做出了详细的介绍。第四章给出了径向基函数在散乱数据拟合中的应用实例。利用ＭＱ函数与Ｇａｕｓｓ函数进行散乱数据插值、拟插值，以及数值微分与数值积分实验，对结果进行分析与比较。
ｕｓｅｆｕｌｔｏｏｌｓ．Ｔｈｅｙｈａｖｅｎｌｅｆｏｒｍ妒（０ｘ一州Ｉ，）ｆｏｒｖｅｃｔｏｒｓｘ，ｙ∈Ｒ“ｗｉｔｈａｕｎｉｖａｒｉａｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎ妒ｄｅｆｉｎｅｄｏｎ【ｏ，∞）ａｎｄｔｈｅＥｕｃｌｉｄｅａｎｎｏｒｍ№ｏｎＲｄ．Ｔｈｉｓａｌｌｏｗｓｔｏｗｏｒｋ
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若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。
学位论文题目：盈鱼生迄：数丑是色２豁
作者签名：茎整ｒＪ
日期：—珥年—≯月－１世日
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１引言
人们经常用函数来定量化地描述应用或工程中所考察的实际对象，而用方程来描述各对象之间的关系．一个非常重要的任务就是如何用合适的函数来描述实际的对象和如何解这些方程．
散乱数据拟合一直是计算几何研究的焦点内容之一，本文主要介绍径向基函数的基本理论及其在散乱数据插值与拟合中的应用．对常用的Ｇａｕｓｓ函数与Ｍｕｌｔｉ—Ｑｕａｄｒｉｃ函数列举大量实例，对其参数进行分析与比较．并对径向基函数拟插值在数值积分与数值微分中的应用进行了尝试。
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２径向基函数的基本理论
ｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｒｅｇｉｖｅｎ．
田６ＬｉＳｔｈｅｓｉｓｉｎｃｌｕｄｅｓｆｏｕｒｃｈａｐｔｅｒｓ．ＴｈｅｆｉｒｓｔＣｈａｐｔｅｒｇｉｖｅｓｔｈｅｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆＲＢＦ．
Ｃｈａｐｔｅｒ２ｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｂａｓｉｃｔｈｅｏｒｉｅｓｏｆＲＢＦ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆＲＢＦ．ｓｅｖｅｒａｌｃｏｍｍｏｎｌｙｕｓｅｄＲＢＦＳ．ＲＢＦｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ，ａｓｗｅｌｌａｓｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉＯＩＩＳｏｆＲＢＦ．Ｃｈａｐｔｅｒ
ａｎｄｔｈｅｑｕａｓｉ．ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．
ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＲａｄｉａｌＢａｓｉｓＦｕｎｃｔｉｏｎｓ；Ｍｕｌｔｉ—Ｑｕａｄｒｉｃ；Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；Ｑｕａｓｉ—ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；Ｓｃａｔｔｅｒｅｄｄａｔａｆｉｔｔｉｎｇ
由于大量科学和工程问题的数学模型都归结为偏微分方程的定解问题，而且问题复杂，计算量巨大，所以对偏微分方程数值方法的研究已经成为当前计算数学的主流方向，它也是大规模科学与工程计算中具有前沿性的主要东西．偏微分方程数值解方法按离散时是否使用有规则的网格分为网格方法和无网格方法．近一二十年来，人们的主要目标是寻找各种各样的无网格方法，其原因是无网格方法对于边界条件和初始条件有很强的适应性．利用径向基函数解微分方程的方法就是一种近年来受到普遍关注的无网格方法．径向基函数除在大地测量学，地球物理学，测绘学等诸多反面有应用外，在神经网络，材料科学等方面也有应用．总之，随着研究的进一步深入，径向基函数的应用越来越广泛．
函数的一个发展，样条小波是小波基的一个重要的组成部分小波基一般说来也只适用于
网格数据的情形，而很难处理多元散乱数据问题．
在实际应用中，我们经常会碰到高维的问题．譬如股票走势模拟就可能是一个几百个变元的问题．如果这个问题还是散乱数据的，对函数空间及函数基来说都是一个非常困难的问题．