2010年浙江高考数学文科试卷带详解

【试题解析】2()log (1)

f αα=+，12α∴+=，故1α=，选

设

为虚数单位

，

则

-=+

( )

A.23i --

B.23i -+

C.23i -

D.23i + 【测量目标】复数代数形式的四则运算.. 【考查方式】考查了复数代数形式的四则运算，给出复数，对其进行化简. 【参考答案】C

【试题解析】5i (5i)(1i)46i

23i 1

i (1i)(1i)2

----===-++-，故选C ， 4.

某程序框图所示，若输出的S=57，则判断框内

为 ( )

A.4?k >

B.5?k >

C.6?k >

D.7?k > 【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】给出部分程序框图，输出值，利用与数列有关的简单运算求判断框内的条件.

【参考答案】A

【试题解析】程序在运行过程中各变量变化如下表：

k S是否继

续循环

循

环

前

24是

第

一

次

311是

第

二

次

426是

第

三

次

557否

第

四

次

故4

k .

设n

S 为等比数列{}n

a 的前n 项和，2580

a +=则52

S S

= ( )

A.11-

B.8

- C.5

D.11

【测量目标】等比数列的通项公式与前n 项和公式.

【考查方式】给出数列中两项关系，求数列的和. 【参考答案】A 【试题解析】通过2

580

a a +=，设公比为q ，将该式

转化为0

8322

=+q a a

，解得2q =-，带入所求式可知答

案选A.

设0＜x ＜π2

，则“2

sin 1

x x <”是“sin 1x x <”的

（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【测量目标】充分条件，必要条件，充分必要条件.

【考查方式】考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能

力.

【参考答案】B 【试题解析】

0,sin 12

x x <<

∴<，故2

sin

sin x x x x

<，结合

2sin x x

与sin x x 的取值范围相同，可知答案选B.

若实数,x y 满足不等式组

330,230,10,x y x y x y +-??

--??-+?

，则

x y +的最大值为（） A.9 B.157

C.1

D.715

【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】给出线性规划条件，求最值. 【参考答案】A

【试题解析】先根据约束条件画出可行域，设

z x y

=+，直线z x y =+过可行域内点()4,5A 时z 最大，

最大值为9，故选A.

若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，

则此几何体的体积是（）

A.35233

cm B.3203 3

cm C.224

cm D.1603

【测量目标】由三视图求几何体的体积.

【考查方式】考查了对三视图所表示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算. 【参考答案】B

【试题解析】由三视图知该几何体是一个上面是正方体，下面为正四棱台的组合体，对应的长方体的长、宽、高分别为4、4、2，正四棱台上底边长为4，下底边长为8，高为2，那么相应的体积为：2

22213204422(4

488)3

??+??++=

.故选B.

已知

x 是函数

1()21x f x x

-的一个零点.若

A.1

()0f x <,2

()0f x < B.1

()0f x <，2

()0f x >

C.1

()0,()0f x f x >< D.1

()0,()0f x f x >>

【测量目标】函数零点的应用.

【考查方式】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断. 【参考答案】B 【试题解析】0

x 是1()2

f x x

-的一个零点，

()0f x ∴=，又

()21x f x x

-是单调递增函数，且()()1

1,,,x x x x ∈∈+∞，

102()()0()

f x f x f x ∴<=<，故选B.

10.

设O 为坐标原点，1

,F F 是双曲线

221(0,0)x y a b a b

-=>>的

焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1

F PF =60°，∣OP ∣=7a

,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x 3y 0= 3x

±y 0= C.x 20

= 2x

±y 0=

【测量目标】双曲线的标准方程及几何性质. 【考查方式】给出双曲线的标准方程形式，结合双曲线与直线的关系，求渐进线方程. 【参考答案】D

【试题解析】假设1

,F P x OP =为12

F F P △的中线，根据

三角形中线定理可知：

222222

(2)2(7)(2)5x a x c a x x a c a ++=+?+=+，由余弦定理可知：

22222

(2)(2)4(2)142x a x x a x c x x a a c ++-+=?+=-，，∴渐

进线为

y ±=.

故选D.

非选择题部分（共100分）

二，填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.

在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中

位数分别是、 .

【测量目标】茎叶图及样本数据的基本的数字特征的提取.

【考查方式】考查了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力. 【参考答案】45;46

【试题解析】由茎叶图中的样本数据可知答案为

45;46

12.

函数2

()sin (2)4

f x x =-的最小正周期是 . 【测量目标】三角函数的几何性质，二倍角. 【考查方式】给出正弦函数，借助三角恒等变换降幂求周期.

【参考答案】π2

【试题解析】对解析式进行降幂扩角，转化为

()1π1cos 4222f x x ?

?=--+

?，可知其最小正周期为π2

. 13.

已知平面向量,,1,2,(2),==⊥-αβαβααβ则2+αβ的值

是 .

【测量目标】平面向量的数量积、加法、减法及数乘运算.

【考查方式】考查了平面向量的四则运算及其几何意义. 【参考答案】10

【试题解析】

，由题意可知()20?-=ααβ，结合

==，αβ，解得1

αβ，所以

2+=αβ22448210

+?+=+=ααββ，开方可知

答案为

14.

在如下数表中，已知每行、每列

中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行、

第1n +列的数是 .

【测量目标】等差数列的性质与通项公式. 【考查方式】考查了等差数列的概念和通项公

式，以及运用等差关系解决问题的能力. 【参考答案】2

【试题解析】第n 行第一列的数为n ，观察得，第n

行的公差为n ，所以第0

n 行的通项公式为

()0

01n n n a n -+=，又因为为第1n +列，故可得答案为n

15.

若正实数,x y 满足26x y xy ++=，则xy 的最小值

是 .

【测量目标】利用基本不等式求最值.

【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法. 【参考答案】18

【试题解析】运用基本不等式，26226

xy x y xy =+++，

令2

t xy =，可得2

2260

t --，注意到t ＞0，解得t ≥23,

故xy 的最小值为18.

16.

某商家一月份至五月份累计销售额达3860万

元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值 .

【测量目标】利用不等式求最大（小）值.

【考查方式】考查了用一元二次不等式解决实际问题的能力. 【参考答案】20

【试题解析】由2

386050012(1%)2(1%)7000

x x ??++?++?+??

可得

的最小值为20.

17.

在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q

、M 、N 、分别是线段OA 、OB 、OC 、

的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，

则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 . 【测量目标】古典概型的概率.

【考查方式】考查了平面向量与古典概型的综合运用. 【参考答案】34

【试题解析】由题意知，G 点共有16种取法，而只有E 为P 、M 中一点，F 为Q 、N 中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4个，因此概率为4

3. 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.

（本题满分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别

为,,.a b c 设S 为ABC △的面积，满足2

223)S a b c =+-.

（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值.

【测量目标】余弦定理、正弦函数的性质、两角差的正弦.

【考查方式】根据余弦定理求角的大小，利用三角恒等变换化简，确定最大值. 【试题解析】 (Ⅰ)解：由题意可知

13sin 2cos 24ab C ab C =?.

∴tan 3

C = （步骤1）

0<<π

C ，∴π3C =. （步骤2）（Ⅱ

)

解

：

由

已知得

2π

sin sin sin sin(π)sin sin(

A B A C A A A +=+--=+-

31πsin sin 3)3

226

A A A A =+

+=+. （步骤3）

当ABC △为正三角形时取等号，

∴

sin A +sin B 3. （步骤4）

19.

（本题满分14分）设1

,a d 为实数，首项为1

a ，公

差为d 的等差数列{}n

a 的前n 项和为n

S ，满足

56150

S S +=.

（Ⅰ）若5

=，求6

S 及1

a ；

（Ⅱ）求d 的取值范围.

【测量目标】等差数列的前n 项和与通项，一元二次不等式.

【考查方式】由所给条件列求和公式求解，根据求和公式列一元二次不等式求解. 【试题解析】(Ⅰ)解：由题意知6

3S S -=

=-,6658a S S =-=-,

（步骤1）

∴115105,58.

a d a d +=??

+=-? （步骤2）

解得1

=，∴6

13,7

a =-=. （步骤3）

(Ⅱ)解：56150,

S S +=

11(510)(615)150,

a d a d ∴+++= （步骤4）

即221

1291010,

da d +++=

∴221(49)8,

a d d +=- （步骤5）

28,

d ∴ （步骤6）

∴d

的取值范围为22

d -或2 2.

（步骤7）

20.

（本题满分14分）如图，在平行四

边形ABCD 中，2AB BC =， 120

ABC ∠=.E 为线

段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成'

A DE △，使平

面'

A DE ⊥平面BCD ，F 为线段'

AC 的中点.

（Ⅰ）求证：BF ∥平面'

A DE ；

（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE

‘

所成角的余弦值.

【测量目标】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面角.

【考查方式】借助做辅助线，由线线垂直证明线面垂直；借助做辅助线，通过线线垂直得到线面垂直，将线面角转化为三角形中一角，进而求解.

【试题解析】 (Ⅰ)证明：取'

A D 的中点G ，

连接,GF CE ，由条件易知

∥CD ，12

FG CD =. BE

∥CD ,12BE CD =. （步骤1） ∴FG

∥,.BE FG BE = （步骤2）故四边形BEGF 为平行四边形,

∴BF

∥EG , （步骤3）

又

EG ?

平面'

A DE ，BF ?平面'

A DE

∴BF

//平面'

A DE （步骤4）

（Ⅱ）解：在平行四边形ABCD 中，设BC a =,

则2,,AB CD a AD AE EB a ===== （步骤5）连接CE , 120ABC ∠= 在BCE △中，可得3,

CE a = (步骤6)

在ADE △中，可得,DE a = （步骤7）

在CDE △中，

222,CD CE DE =+CE DE

∴⊥. (步骤8)

在正'

A DE △中，M 为DE 中点，∴'

AM DE ⊥. （步骤9）由平面'

A DE ⊥平面BCD ,

可知'

AM ⊥平面'

,BCD A M CE ⊥. （步骤10）

取'

A E 的中点N ，连线NM 、NF ，

∴',NF DE NF A M

⊥⊥. （步骤11）

交'

AM 于M ,

∴NF

⊥平面'

A DE , （步骤12）

则FMN ∠为直线FM 与平面'

A DE 所成角. 在Rt FMN △中，NF =

a , M N =12

a , FM =a , 则1cos 2

FMN ∠=，（步骤13） ∴

直线FM 与平面'

A DE 所成角的余弦值为12

. （步骤14）

21.

（本题满分15分）已知函数

2()()f x x a =-()a b -(,R,)

a b a b ∈<.

（I ）当1,2a b ==时，求曲线()y f x =在点（2，()f x ）处的切线方程.

（II ）设1

,x x 是()f x 的两个极值点，3

x 是()f x 的一个

零点，且3

x ≠，3

x ≠.

证明：存在实数4

x ，使得1

,,,x x x x 按某种顺序排列后的等差数列，并求4

x .

【测量目标】函数的几何意义、导数的应用、曲线的切线方程、等差数列的等差中项.

【考查方式】根据导数的几何意义求切线方程，利用导数与极值关系，求极值点，并根据等差数列的概念证明.

【试题解析】(Ⅰ)解：当1,2a b ==时， '

()(1)(35)f x x x =--

∴'(2)1,(2)0f f ==，（步骤1）

∴()

f x 在点()2,0处的切线方程为2y x =-. （步骤2）

（Ⅱ）证明：

'2()3()(),3

a b

f x x a x +=--

由于a b <，.故23a b a +<.

∴()

f x 的两个极值点为x ＝a ，x ＝23a b +. （步

骤3）

不妨设x 1＝a ，x 2＝23a b +，

x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点，∴x 3

＝b . （步骤4）又

a b +－a ＝2（b －23a b +），

x 4＝12（a ＋23a b +）＝23

a b

+， ∴

a ，23a

b +，23a b +，b 依次成等差数列，（步骤5）

∴

存在实数x 4满足题意，且x 4＝23a b +. （步

骤6）

22.

（本题满分15分）已知m 是非零实数，抛物线 2

:2C

y ps =(0)p >

的焦点F 在直线

m l x my --=上.

（I ）若2m =，求抛物线C 的方程（II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B ，

2AA F △,1BB F

△的重心

分别为,G H . 求证：对任意非零实数m ,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外.

【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系.

【考查方式】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解，利用直线与抛物线的位置关系、不等式的综合应用证明.

【试题解析】(Ⅰ)解：焦点(,0)2

P F 在直线l 上，∴2

p m = （步骤1）

又

2m =,∴4

p =

∴

抛物线C 的方程为2

22y

m x

= ，则抛物线C 的方程

为2

=. （步骤2）

（Ⅱ）设1

(,),(,)A x y B x y ，由

22,22,m x my y m x ?=+??

?=?

消去x 得2

3420,

m y m --=

m ≠，∴?6

4440

m +>=，

且有34

122,y y

m y y m +==-，（步骤3）

设1

,M M 分别为线段1

,AA BB 的中点，

由于12

2G ,2,M C F M H HF ==可知1

2(,)33x y G ，2

2(,)33

x y

H ， ∴2421212(),6636x x m y y m m m +++==+3

12222,63

y y m += （步骤

4）

∴GH

的中点

4222,363m m m M ??

+ ?

. （步骤5）