关于交错级数的一个审敛准则
第7章 第3讲 交错级数和任意项级数审敛法
=1
=1
因为 = ( + 1 − )= + 1 − 1 → ∞( → ∞时),
=1
∞
所以级数 | | 发散.
=1
25
02
任意项级数审敛法
∞
( + 1 − ) .
(−1)
再考察交错级数
=1
由 +1− =
1
+1+
> 0可得:
数列 { + 1 − } 单调递减
2 →∞
∞
可知 lim ≠ 0,
→∞
故级数 (−1)
=1
1
1 2
(1 + ) 发散．
2
24
02
任意项级数审敛法
∞
例8 判别级数 (−1) ( + 1 − ) 的敛散性．
=1
如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？
∞
∞
解 先考察正项级数 | | = ( + 1 − ) :
=1
∞
1
sin
1
≤ ，当 > 1时， 收敛,
证 因为
=1
∞
∞
=1
=1
sin
sin
故级数
收敛, 从而级数
绝对收敛.
18
02
任意项级数审敛法
注
∞
∞
(1)对于任意项级数 , 如果级数 收敛,
=1
∞
=1
那么级数 一定收敛, 这样可以把一大类级数的敛散
莱布尼茨审敛法
莱布尼茨审敛法
交错级数的审敛法莱布尼茨定理是什么?
交错级数的审敛法莱布尼茨定理也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则，不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数。
交错级数是正项和负项交替出现的级数，形式满足
a1-a2+a3-a4+…+(-1)^(n+1)an+…，或者
-a1+a2-a3+a4-… +(-1)^(n)an，其中an>0。
在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。
最典型的交错级数是交错调和级数。
02-交错级数及其审敛法PPT
定义：正、负项相间的级数称为交错级数，即
8
8
£ (~1)n an，或 £(-1)-1 an，
n=1
n=1
其中对任意n,有an > 0 .
交错级数审敛法(莱布尼茨判别法):
8
若交错级数£ (-1)"T an (匕> 0)的一般项满足：
n=1
① an+i < an (n = L2,…)；
(ii) lim an = 0 .
nT8 8
£ 则⑴ (-1)n-1 an收敛,且其和s满足：0 < s < a1;
n=1
(2)级数的余项rn = s-sn满足|rn| < an+1.
板书少 证明：⑴..・an_1 - an > 0,
•・• s2 n = （a1 一 a2）+ （a3 一 a4）+ …+ （a2 n-1 一 a 2 n）
数列｛ s2〃｝是单调增加的,
又 s2n = a1 一 （a2 一 a3）-----（a2n-2 一 a2n-1）
一 a2n
< "数列｛S2n ｝是有界的，
lim s2n = s < a1. •/ lim a2n+1 = 0,
n—8
n—B
板 书，・・・ lim 5+i = lim(sn + a2w+1) = s,
竺"ns ns
・级数收敛于和S, 且s < a1.
(2)余项 rn =~(an+1 - an+2 + …)， + rn\ = an+1 - an+2 …，
满足收敛的两个条件，...|" < an+!•
交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
交错无穷级数条件收敛
交错无穷级数条件收敛【实用版】目录1.交错级数定义与性质2.交错级数收敛条件3.交错级数的应用正文一、交错级数定义与性质交错级数是指由一系列正负数交替相加而成的级数，形式如下：a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 -...或-a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 +...其中，a_n 称为级数的第 n 项。
交错级数可以是有穷的，也可以是无穷的。
二、交错级数收敛条件对于交错级数，有一个著名的收敛定理，即“交错级数收敛当且仅当其任意一项绝对值小于等于级数项数的 1/2”。
具体来说，如果交错级数满足以下条件，则该级数收敛：1.对于任意正整数 n，有 |a_n| <= 1/2^n2.级数项数趋于无穷三、交错级数的应用交错级数在数学中有广泛的应用，以下是一些例子：1.交错级数求和公式：设交错级数 a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 -...的前 n 项和为 S_n，则有 S_n = (a_1 + a_2 + a_3 +...+ a_n) / 2。
2.交错级数在数列极限中的应用：设数列 {a_n} 的极限为 L，则对于任意ε>0，存在 N，当 n>N 时，有 |a_n - L| < ε。
可以用交错级数的形式表示为：当 n 趋向于无穷时，|a_1 - L| + |a_2 - L| + |a_3 - L| +...< ε。
3.交错级数在函数积分中的应用：设 f(x) 在 [0,1] 上连续，且在(0,1) 内单调，则有积分公式∫[0,1]f(x)dx = (f(0) + f(1)/2) + (f(1/2) + f(3/2)/2) + (f(1/4) + f(3/4)/2) +...通过以上讨论，我们可以看到交错级数在数学中的重要性和应用广泛性。
一类交错级数的审敛法
一类交错级数的审敛法
对一类交错级数求和的审敛法，是一种快速计算一类交错级数总和的数学方法，其历史可以追溯到古希腊时期，当时已有数学家认识到它的重要性并用于求解积分问题。
审敛法使用梯形公式计算一类交错级数的总和，具体的计算步骤如下：
1. 根据一类交错级数的一般项an的表达式，求得中点的值Cn；
2. 计算审核项Sn，Sn=Cn+|An-1|+|An-2|+…+|A1|；
3. 比较Sn和Sn+1，如果Sn<Sn+1，则可以剔除Sn+1，继续往后比较。
比较完所有审核项后，剩下的审核项即为一类交错级数的总和。
审敛法可以很好地求解一类交错级数的总和，且 time complexity 比其他方法低，不易出错。
因此，审敛法在数学中得到了广泛的应用。
例如，它可以被用来求解求解积分问题，也可以被用来计算多元函数的最优值。
本文介绍了一类交错级数求和的审敛法，既简单又有效，在数学中有着重要地位，而且具有很好的可扩展性，一直广泛应用于数学中，是非常有价值的数学方法。
5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛
(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
02-交错级数及其审敛法PPT
( ii
)
lim
n
an
0
.
则 (1) (1)n1 an 收敛,且其和 s满足 : 0 s a1;
n1
(2) 级数的余项 rn s sn 满足 rn an1 .
板书
证明：(1) an1 an 0,
s
a1 .
lim n
a2n1
0,
板书
lim n
Hale Waihona Puke s2n1lim (
n
s2n
a2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s a1.
(2) 余项 rn (an1 an2 ), rn an1 an2 ,
满足收敛的两个条件， rn an1 .
s2n (a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2n1 a2n )
数列 s2n是单调增加的 ,
又 s2n a1 (a2 a3 ) (a2n2 a2n1 ) a2n
a1. 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n
n1
n1
验证：{an } 单调递减且趋于0 , 则级数收敛.
交错级数的审敛法
一、交错级数及其审敛法
定义： 正、负项相间的级数称为交错级数，即
(1)n an , 或 (1)n1an ,
n1
n1
其中对任意 n , 有an 0 .
交错级数审敛法（莱布尼茨判别法）：
若交错级数 (1)n1 an (an 0)的一般项满足:
n1
定理证毕.
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关 于 交 错 级 数 的一 个 审 敛 准 则
钱 伟 懿
（ 渤海 大学 数理学院 ，辽宁 锦州 １１ １ ２０ ３）
摘
要 ：关 于交错 级数 的 敛散 性 判 定 ， 出 了一 个 新 的 审敛 准 则 ， 广 了文 南［ ， ］ 于 给 推 尤 １２ 关
交错 级 数 审敛 准则 ， 并选 择 实例 对给 出的审敛 准 则的 可行性 进 行检 验 。 关键 词 ： 交错 级数 ； 审敛 准则 ； 敛散 性
一ｃ＋）＝ ， ，
（ ）若 Ａ＜ １ ０且 ≠ 一∞ ， 则 ｌ当 Ｂ＞ 。 Ａ时 ， 级数 （ ） 敛 ， Ａ＜ １收 且 Ｂ＜ Ｏ时 条件 收敛 ， Ｂ＞０时绝 对 收敛 ， ０时 可能 绝对 收敛也 Ｂ＝
可能条 件 收敛 ；
２当 Ｂ＜ （ 括 Ｂ＝一∞） ， 数发散 ； 。 Ａ 包 时 级
不能判别级数 的发散 。对于这个问题许多学者进行 了深入的研究 本文推广了文［ ］ ２ 的审敛准则 ， １ 和［ ］ 给出了一个新的审敛准则 。 引 理 １４（ 布尼 茨 判别 法 ）若交 错级 数 （ ） 足下 述两 个条 件 ： ［ 莱 １满
（） 列 ｛ 单调 递减 ； ｉ数 ｕ｝
其 中 ： ＞ （， ， ， ）。 Ｍ ０ ／＝１ ２ … ７
（） １
交 错级 数是 数学 分 析和 高等 数学 中的重 要 内容 之 一 ， 多 教 材 中 ， 于 交 错 级 数 （ ） 散 性 判 别 ， 许 关 １敛
只介 绍 了莱 布尼 茨判 别法 ， 个判 别 法 只 能判 别 级 数 （ ） 这 １ 的收 敛 ， 能 判 别 绝 对 收 敛 还是 条 件 收敛 ， 不 也
引理 ３ 当实 数 ＞ 一１ ｉ ， ， ， ） ， ㈩ （ ＝１ ２ … 凡 时 有
（ ＋ ） １ ２ … （ ）兰 ＋ ｌ ２ １ １ （ ＋ ） １＋ 三 １ ＋ ＋… ＋ 。 ＝
收稿 日期 ：００—１ ０ ． ２１ ｌ一 ８
基金项 目： 宁省高等教育 教学改革基金资助项 目（ ｏ ２０ １４ ； 辽 Ｎ ．０ ９ ３ ） 渤海大学教学改革基金资助项 目（ ｏ ２０ ０ ４ Ｎ ：０ ９ ０ ） 作者 简介 ： 钱伟 懿（ ９ ３一） 男 ， １６ ， 教授 ， 博士 ， 从事基础数学教学科研工作．
（ｉ ｌ ＝ ， ｉ ｉ ） ｍｕ ０
， 晓珍等在文 ［ ］ 彭 １ 中给 出了交
错级数的一个新的审敛准则 ， 杨万必在文［ ］ ２ 中改进 了文［ ］ １ 所给的审敛准则 ， 并给出了新 的审敛准则。
则级 数 （ ） １ 收敛 。
引理 ２ （ 默尔判 别 法 ）设 库 ＝ ｃ
２
渤海 大学 学报 （自然科 学版 ）
第３ ２卷
２ 主 要结 果 及 应 用
定理 对交 错级 数 （ ） ｃ， ， ， …是 使级数 １ ， ｃ … ｃ， 发 散 的单 调增 的正数 列 ， 且 （ ） ｃ 一ｃ
＝Ａ Ａ≤ｏ有 限数 或 Ａ ＝一∞ ） 设 ｌ （ ， ｉ ｃ ａ ｒ
ｎ＋１
是正项 级 数 ， ，ｃ， ， ， ｃ， … ｃ …是使 级数 ∑ ：
ｎ
＝ ｌ Ｃｎ
发 散 的正 数 列 。设
一ｃ ， ｌ （ 限或无 限） 那 么 当 川 若 ｍ Ｂ ＝ 有 ｉ ， Ｂ＞ｏ时 级数 收敛 ， Ｂ ＜ 当 ｏ时级数 发散 。
一 一
３ 当 Ｂ＝ 。 Ａ时 ， 级数 可能 条件 收敛也 可能 发散 。
（ ）若 ＝ ， 当 Ｂ＞ ２ ０则 ０时级 数 （ ） １ 绝对 收敛 ， Ｂ＜ 当 ０时级数 （ ） 散 ， １发 当 ＝ ０时级 数 （ ） １ 可能 绝
对收敛 也可 能条 件收敛 还有 可能 发散 。 （ ）若 Ａ＝一∞ ， ３ 则 １当 ≠ 一ａ 时 ， 。 。 级数 （ ） １ 收敛 ， 且 ＞ ０时绝 对 收敛 ， ０时条 件 收敛 ， ０时 可能 绝对 收敛 也 Ｂ＜ Ｂ＝ 可能条 件收敛 ； ２ 当 Ｂ＝一∞时 ， 。 级数 （ ） 能条件 收敛 也可 能发 散。 １ 月 ０１
渤海 大学学报 （自然科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｏａ Ｕ ｉｅｓｙ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖｒｉ Ｎ ｔ ａ ｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｂ ｔ ｕ Ｓｅ ｉ
Ｖ １ ３ Ｎｏ １ ｏ． ２ ．
Ｍａ． ２ ｒ ０１１
Ｃ ＜ｎ
－ ｎ１ Ｏ＋ ＜ 丁
。
（ ｚ ２ ）
Ｂ ＋Ａ
Ｂ ＋Ａ
， ．
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一 一
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ｎｌ 。 ＋ ＋一 ｎ 丁
— — — 。一
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十 —
Ｕ
ｌ
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ｍ Ｃ ５ ｉ ｎ Ｃ＋） Ａ＜ ￣ １ （ － ｎ１ ：
． ＋
＜ ＋ 由保号 性 ， 在 Ⅳ ， ｎ Ⅳ２ Ｂ 丁 Ａ 存 ２当 ≥ 时 ＋ 一ｃ ＞一 。
证 明 （ ）设 Ａ＜ １ ０且 Ａ≠ 一∞。
１ 当 Ｂ＞Ａ时 ， 。 由极 限定义 ， ｓ ： 取 。
＞ ， ０ 存在 自然 数 Ⅳ 当 ｎ ， Ⅳ。 ， 时
ｌ Ｃ 一ｆ０ ’ ｆ －＋Ｂ ８ ， ｎ一Ｉ ： Ｃ ｎ １ 丁 — ＜
即
丁
由式 （ ） 不等 式可 得 ， ｎ 。 ， ２左 当 ＞Ｎ 时
，
。
令 ｒ —－ ｏ ＝ Ａ＞ Ｂ
，
取、 ａ～Ⅳ ，凡 ＞ 寺于 ／ｍ｛，｝ ＞ Ｈ Ｕ ｌ ， ｒ ｘ ２ 当 Ｎ， ｎ ＋ 是 － － － Ｊ ＂ ，
中图分类 号 ： １ ３ １ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３－０ ６ （ ０ １ ｏ 一０ ０ ０ １７ ５ ９ ２ １ ） ｌ ０ １— ４
１ 问题 与 引理
考 虑 如下交 错 级数
∑（ １ 一 Ｍ一２ …＋ 一） …， 一 ） ＝。 Ｈ＋ （ １ 一 ＋ ｕ Ｍ