关于交错级数的一个审敛准则
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第３ ２卷 第 １ 期
２ １ 年 ３ 月 ０１
渤海 大学学报 （自然科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｏａ Ｕ ｉｅｓｙ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖｒｉ Ｎ ｔ ａ ｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｂ ｔ ｕ Ｓｅ ｉ
Ｖ １ ３ Ｎｏ １ ｏ． ２ ．
Ｍａ． ２ ｒ ０１１
证 明 （ ）设 Ａ＜ １ ０且 Ａ≠ 一∞。
１ 当 Ｂ＞Ａ时 ， 。 由极 限定义 ， ｓ ： 取 。
＞ ， ０ 存在 自然 数 Ⅳ 当 ｎ ， Ⅳ。 ， 时
ｌ Ｃ 一ｆ０ ’ ｆ －＋Ｂ ８ ， ｎ一Ｉ ： Ｃ ｎ １ 丁 — ＜
即
丁
由式 （ ） 不等 式可 得 ， ｎ 。 ， ２左 当 ＞Ｎ 时
一ｃ＋）＝ ， ，
（ ）若 Ａ＜ １ ０且 ≠ 一∞ ， 则 ｌ当 Ｂ＞ 。 Ａ时 ， 级数 （ ） 敛 ， Ａ＜ １收 且 Ｂ＜ Ｏ时 条件 收敛 ， Ｂ＞０时绝 对 收敛 ， ０时 可能 绝对 收敛也 Ｂ＝
可能条 件 收敛 ；
２当 Ｂ＜ （ 括 Ｂ＝一∞） ， 数发散 ； 。 Ａ 包 时 级
３ 当 Ｂ＝ 。 Ａ时 ， 级数 可能 条件 收敛也 可能 发散 。
（ ）若 ＝ ， 当 Ｂ＞ ２ ０则 ０时级 数 （ ） １ 绝对 收敛 ， Ｂ＜ 当 ０时级数 （ ） 散 ， １发 当 ＝ ０时级 数 （ ） １ 可能 绝
对收敛 也可 能条 件收敛 还有 可能 发散 。 （ ）若 Ａ＝一∞ ， ３ 则 １当 ≠ 一ａ 时 ， 。 。 级数 （ ） １ 收敛 ， 且 ＞ ０时绝 对 收敛 ， ０时条 件 收敛 ， ０时 可能 绝对 收敛 也 Ｂ＜ Ｂ＝ 可能条 件收敛 ； ２ 当 Ｂ＝一∞时 ， 。 级数 （ ） 能条件 收敛 也可 能发 散。 １可
Ｃ ＜ｎ
－ ｎ１ Ｏ＋ ＜ 丁
。
（ ｚ ２ ）
Ｂ ＋Ａ
Ｂ ＋Ａ
， ．
Ｈ
一 一
＋ ＋丁 １
＝
ｎｌ 。 ＋ ＋一 ｎ 丁
— — — 。一
０
工
十 —
Ｕ
ｌ
Βιβλιοθήκη Baidu
Ｃ
Ｃｎ
ｍ Ｃ ５ ｉ ｎ Ｃ＋） Ａ＜ ￣ １ （ － ｎ１ ：
． ＋
＜ ＋ 由保号 性 ， 在 Ⅳ ， ｎ Ⅳ２ Ｂ 丁 Ａ 存 ２当 ≥ 时 ＋ 一ｃ ＞一 。
２
渤海 大学 学报 （自然科 学版 ）
第３ ２卷
２ 主 要结 果 及 应 用
定理 对交 错级 数 （ ） ｃ， ， ， …是 使级数 １ ， ｃ … ｃ， 发 散 的单 调增 的正数 列 ， 且 （ ） ｃ 一ｃ
＝Ａ Ａ≤ｏ有 限数 或 Ａ ＝一∞ ） 设 ｌ （ ， ｉ ｃ ａ ｒ
中图分类 号 ： １ ３ １ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３－０ ６ （ ０ １ ｏ 一０ ０ ０ １７ ５ ９ ２ １ ） ｌ ０ １— ４
１ 问题 与 引理
考 虑 如下交 错 级数
∑（ １ 一 Ｍ一２ …＋ 一） …， 一 ） ＝。 Ｈ＋ （ １ 一 ＋ ｕ Ｍ
其 中 ： ＞ （， ， ， ）。 Ｍ ０ ／＝１ ２ … ７
（） １
交 错级 数是 数学 分 析和 高等 数学 中的重 要 内容 之 一 ， 多 教 材 中 ， 于 交 错 级 数 （ ） 散 性 判 别 ， 许 关 １敛
只介 绍 了莱 布尼 茨判 别法 ， 个判 别 法 只 能判 别 级 数 （ ） 这 １ 的收 敛 ， 能 判 别 绝 对 收 敛 还是 条 件 收敛 ， 不 也
（ｉ ｌ ＝ ， ｉ ｉ ） ｍｕ ０
， 晓珍等在文 ［ ］ 彭 １ 中给 出了交
错级数的一个新的审敛准则 ， 杨万必在文［ ］ ２ 中改进 了文［ ］ １ 所给的审敛准则 ， 并给出了新 的审敛准则。
则级 数 （ ） １ 收敛 。
引理 ２ （ 默尔判 别 法 ）设 库 ＝ ｃ
ｎ＋１
是正项 级 数 ， ，ｃ， ， ， ｃ， … ｃ …是使 级数 ∑ ：
ｎ
＝ ｌ Ｃｎ
发 散 的正 数 列 。设
一ｃ ， ｌ （ 限或无 限） 那 么 当 川 若 ｍ Ｂ ＝ 有 ｉ ， Ｂ＞ｏ时 级数 收敛 ， Ｂ ＜ 当 ｏ时级数 发散 。
一 一
不能判别级数 的发散 。对于这个问题许多学者进行 了深入的研究 本文推广了文［ ］ ２ 的审敛准则 ， １ 和［ ］ 给出了一个新的审敛准则 。 引 理 １４（ 布尼 茨 判别 法 ）若交 错级 数 （ ） 足下 述两 个条 件 ： ［ 莱 １满
（） 列 ｛ 单调 递减 ； ｉ数 ｕ｝
引理 ３ 当实 数 ＞ 一１ ｉ ， ， ， ） ， ㈩ （ ＝１ ２ … 凡 时 有
（ ＋ ） １ ２ … （ ）兰 ＋ ｌ ２ １ １ （ ＋ ） １＋ 三 １ ＋ ＋… ＋ 。 ＝
收稿 日期 ：００—１ ０ ． ２１ ｌ一 ８
基金项 目： 宁省高等教育 教学改革基金资助项 目（ ｏ ２０ １４ ； 辽 Ｎ ．０ ９ ３ ） 渤海大学教学改革基金资助项 目（ ｏ ２０ ０ ４ Ｎ ：０ ９ ０ ） 作者 简介 ： 钱伟 懿（ ９ ３一） 男 ， １６ ， 教授 ， 博士 ， 从事基础数学教学科研工作．
，
。
令 ｒ —－ ｏ ＝ Ａ＞ Ｂ
，
取、 ａ～Ⅳ ，凡 ＞ 寺于 ／ｍ｛，｝ ＞ Ｈ Ｕ ｌ ， ｒ ｘ ２ 当 Ｎ， ｎ ＋ 是 － － － Ｊ ＂ ，
关 于 交 错 级 数 的一 个 审 敛 准 则
钱 伟 懿
（ 渤海 大学 数理学院 ，辽宁 锦州 １１ １ ２０ ３）
摘
要 ：关 于交错 级数 的 敛散 性 判 定 ， 出 了一 个 新 的 审敛 准 则 ， 广 了文 南［ ， ］ 于 给 推 尤 １２ 关
交错 级 数 审敛 准则 ， 并选 择 实例 对给 出的审敛 准 则的 可行性 进 行检 验 。 关键 词 ： 交错 级数 ； 审敛 准则 ； 敛散 性
２ １ 年 ３ 月 ０１
渤海 大学学报 （自然科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｏａ Ｕ ｉｅｓｙ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖｒｉ Ｎ ｔ ａ ｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｂ ｔ ｕ Ｓｅ ｉ
Ｖ １ ３ Ｎｏ １ ｏ． ２ ．
Ｍａ． ２ ｒ ０１１
证 明 （ ）设 Ａ＜ １ ０且 Ａ≠ 一∞。
１ 当 Ｂ＞Ａ时 ， 。 由极 限定义 ， ｓ ： 取 。
＞ ， ０ 存在 自然 数 Ⅳ 当 ｎ ， Ⅳ。 ， 时
ｌ Ｃ 一ｆ０ ’ ｆ －＋Ｂ ８ ， ｎ一Ｉ ： Ｃ ｎ １ 丁 — ＜
即
丁
由式 （ ） 不等 式可 得 ， ｎ 。 ， ２左 当 ＞Ｎ 时
一ｃ＋）＝ ， ，
（ ）若 Ａ＜ １ ０且 ≠ 一∞ ， 则 ｌ当 Ｂ＞ 。 Ａ时 ， 级数 （ ） 敛 ， Ａ＜ １收 且 Ｂ＜ Ｏ时 条件 收敛 ， Ｂ＞０时绝 对 收敛 ， ０时 可能 绝对 收敛也 Ｂ＝
可能条 件 收敛 ；
２当 Ｂ＜ （ 括 Ｂ＝一∞） ， 数发散 ； 。 Ａ 包 时 级
３ 当 Ｂ＝ 。 Ａ时 ， 级数 可能 条件 收敛也 可能 发散 。
（ ）若 ＝ ， 当 Ｂ＞ ２ ０则 ０时级 数 （ ） １ 绝对 收敛 ， Ｂ＜ 当 ０时级数 （ ） 散 ， １发 当 ＝ ０时级 数 （ ） １ 可能 绝
对收敛 也可 能条 件收敛 还有 可能 发散 。 （ ）若 Ａ＝一∞ ， ３ 则 １当 ≠ 一ａ 时 ， 。 。 级数 （ ） １ 收敛 ， 且 ＞ ０时绝 对 收敛 ， ０时条 件 收敛 ， ０时 可能 绝对 收敛 也 Ｂ＜ Ｂ＝ 可能条 件收敛 ； ２ 当 Ｂ＝一∞时 ， 。 级数 （ ） 能条件 收敛 也可 能发 散。 １可
Ｃ ＜ｎ
－ ｎ１ Ｏ＋ ＜ 丁
。
（ ｚ ２ ）
Ｂ ＋Ａ
Ｂ ＋Ａ
， ．
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一 一
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＝
ｎｌ 。 ＋ ＋一 ｎ 丁
— — — 。一
０
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十 —
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ｍ Ｃ ５ ｉ ｎ Ｃ＋） Ａ＜ ￣ １ （ － ｎ１ ：
． ＋
＜ ＋ 由保号 性 ， 在 Ⅳ ， ｎ Ⅳ２ Ｂ 丁 Ａ 存 ２当 ≥ 时 ＋ 一ｃ ＞一 。
２
渤海 大学 学报 （自然科 学版 ）
第３ ２卷
２ 主 要结 果 及 应 用
定理 对交 错级 数 （ ） ｃ， ， ， …是 使级数 １ ， ｃ … ｃ， 发 散 的单 调增 的正数 列 ， 且 （ ） ｃ 一ｃ
＝Ａ Ａ≤ｏ有 限数 或 Ａ ＝一∞ ） 设 ｌ （ ， ｉ ｃ ａ ｒ
中图分类 号 ： １ ３ １ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３－０ ６ （ ０ １ ｏ 一０ ０ ０ １７ ５ ９ ２ １ ） ｌ ０ １— ４
１ 问题 与 引理
考 虑 如下交 错 级数
∑（ １ 一 Ｍ一２ …＋ 一） …， 一 ） ＝。 Ｈ＋ （ １ 一 ＋ ｕ Ｍ
其 中 ： ＞ （， ， ， ）。 Ｍ ０ ／＝１ ２ … ７
（） １
交 错级 数是 数学 分 析和 高等 数学 中的重 要 内容 之 一 ， 多 教 材 中 ， 于 交 错 级 数 （ ） 散 性 判 别 ， 许 关 １敛
只介 绍 了莱 布尼 茨判 别法 ， 个判 别 法 只 能判 别 级 数 （ ） 这 １ 的收 敛 ， 能 判 别 绝 对 收 敛 还是 条 件 收敛 ， 不 也
（ｉ ｌ ＝ ， ｉ ｉ ） ｍｕ ０
， 晓珍等在文 ［ ］ 彭 １ 中给 出了交
错级数的一个新的审敛准则 ， 杨万必在文［ ］ ２ 中改进 了文［ ］ １ 所给的审敛准则 ， 并给出了新 的审敛准则。
则级 数 （ ） １ 收敛 。
引理 ２ （ 默尔判 别 法 ）设 库 ＝ ｃ
ｎ＋１
是正项 级 数 ， ，ｃ， ， ， ｃ， … ｃ …是使 级数 ∑ ：
ｎ
＝ ｌ Ｃｎ
发 散 的正 数 列 。设
一ｃ ， ｌ （ 限或无 限） 那 么 当 川 若 ｍ Ｂ ＝ 有 ｉ ， Ｂ＞ｏ时 级数 收敛 ， Ｂ ＜ 当 ｏ时级数 发散 。
一 一
不能判别级数 的发散 。对于这个问题许多学者进行 了深入的研究 本文推广了文［ ］ ２ 的审敛准则 ， １ 和［ ］ 给出了一个新的审敛准则 。 引 理 １４（ 布尼 茨 判别 法 ）若交 错级 数 （ ） 足下 述两 个条 件 ： ［ 莱 １满
（） 列 ｛ 单调 递减 ； ｉ数 ｕ｝
引理 ３ 当实 数 ＞ 一１ ｉ ， ， ， ） ， ㈩ （ ＝１ ２ … 凡 时 有
（ ＋ ） １ ２ … （ ）兰 ＋ ｌ ２ １ １ （ ＋ ） １＋ 三 １ ＋ ＋… ＋ 。 ＝
收稿 日期 ：００—１ ０ ． ２１ ｌ一 ８
基金项 目： 宁省高等教育 教学改革基金资助项 目（ ｏ ２０ １４ ； 辽 Ｎ ．０ ９ ３ ） 渤海大学教学改革基金资助项 目（ ｏ ２０ ０ ４ Ｎ ：０ ９ ０ ） 作者 简介 ： 钱伟 懿（ ９ ３一） 男 ， １６ ， 教授 ， 博士 ， 从事基础数学教学科研工作．
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令 ｒ —－ ｏ ＝ Ａ＞ Ｂ
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取、 ａ～Ⅳ ，凡 ＞ 寺于 ／ｍ｛，｝ ＞ Ｈ Ｕ ｌ ， ｒ ｘ ２ 当 Ｎ， ｎ ＋ 是 － － － Ｊ ＂ ，
关 于 交 错 级 数 的一 个 审 敛 准 则
钱 伟 懿
（ 渤海 大学 数理学院 ，辽宁 锦州 １１ １ ２０ ３）
摘
要 ：关 于交错 级数 的 敛散 性 判 定 ， 出 了一 个 新 的 审敛 准 则 ， 广 了文 南［ ， ］ 于 给 推 尤 １２ 关
交错 级 数 审敛 准则 ， 并选 择 实例 对给 出的审敛 准 则的 可行性 进 行检 验 。 关键 词 ： 交错 级数 ； 审敛 准则 ； 敛散 性