电路分析基础第八章2006级
电路分析基础作业参考解答
对于第二个分解电路，由分流公式有
由叠加定理得
4-8 题4-8图所示电路中 ， ，当开关 在位置1时，毫安表的读数为 ；当开关 合向位置2时，毫安表的读数为 。如果把开关 合向位置3，则毫安表的读数为多少
题4-8图
解：将上图可知，产生毫安表所在支路电流的原因有电流源和电压源，电流源一直保持不变，只有电压源在变化，由齐次定理和叠加定理，可以将毫安表所在支路电流 表示为
题3-20图
解：选取参考节点如图所示，其节点电压方程为
整理得
因为
， ，
所以
，
故
3-21 用节点电压法求解题3-21图所示电路中电压 。
解：选取参考节点如图所示，其节点电压方程为
其中
解得 。
故
题3-21图
3-22 用节点电压法求解题3-13。
题3-22图
解：（1）选取参考节点如图（a）所示，其节点电压方程为
，
故电压源的功率为
（发出）
电流源的功率为
（发出）
电阻的功率为
（吸收）
1-8 试求题1-8图中各电路的电压 ，并分别讨论其功率平衡。
（b）解：标注电流如图（b）所示。
由 有
故
由于电流源的功率为
电阻的功率为
外电路的功率为
且
所以电路的功率是平衡的，及电路发出的功率之和等于吸收功率之和。
1-10 电路如题1-10图所示，试求：
1. 求电感电流初始值
由换路前电路可得
换路后，将电感开路，求其戴维宁等效电路
2.求开路电压
如下图所示，有
所以
3. 求等效电阻
如上图所示
因为
所以
故
4. 求电感电流终值 及时间常数
《电路分析基础》习题参考答案
《电路分析基础》各章习题参考答案第1章习题参考答案1-1 (1) SOW; (2) 300 V、25V,200V、75V; (3) R=12.50, R3=1000, R4=37.5021-2 V =8.S V, V =8.S V, V =0.S V, V =-12V, V =-19V, V =21.S V U =8V, U =12.5,A mB D 'AB B CU =-27.S VDA1-3 Li=204 V, E=205 V1-4 (1) V A=lOO V ,V=99V ,V c=97V ,V0=7V ,V E=S V ,V F=l V ,U A F=99V ,U c E=92V ,U8E=94V,8U BF=98V, u cA=-3 V; (2) V c=90V, V B=92V, V A=93V, V E=-2V, V F=-6V, V G=-7V, U A F=99V, u c E=92V, U B E=94V, U BF=98V, U C A =-3 V1-5 R=806.70, 1=0.27A1-6 1=4A ,11 =llA ,l2=19A1-7 (a) U=6V, (b) U=24 V, (c) R=SO, (d) 1=23.SA1-8 (1) i6=-1A; (2) u4=10V ,u6=3 V; (3) Pl =-2W发出，P2=6W吸收，P3=16W吸收，P4=-lOW发出，PS=-7W发出，PG=-3W发出1-9 l=lA, U5=134V, R=7.801-10 S断开：UAB=-4.SV, UA0=-12V, UB0=-7.2V; S闭合：12 V, 12 V, 0 V1-12 UAB=llV / 12=0.SA / 13=4.SA / R3=2.401-13 R1 =19.88k0, R2=20 kO1-14 RPl=11.110, RP2=1000第2章习题参考答案2-1 2.40, SA2-2 (1) 4V ,2V ,1 V; (2) 40mA ,20mA ,lOmA 2-3 1.50 ,2A ,1/3A2-4 60 I 3602-5 2A, lA2-6 lA2-7 2A2-8 lOA2-9 l1=1.4A, l2=1.6A, l3=0.2A2-10 11=OA I l2=-3A I p l =OW I P2=-l8W2-11 11 =-lA, l2=-2A I E3=10V2-12 11=6A, l2=-3A I l3=3A2-13 11 =2A, l2=1A ,l3=1A ,14 =2A, l5=1A2-14 URL =30V I 11=2.SA I l2=-35A I I L =7.SA2-15 U ab=6V, 11=1.SA, 12=-lA, 13=0.SA2-16 11 =6A, l2=-3A I l3=3A2-17 1=4/SA, l2=-3/4A ,l3=2A ,14=31/20A ,l5=-11/4A12-18 1=0.SA I l2=-0.25A12-19 l=1A32-20 1=-lA52-21 (1) l=0A, U ab=O V; (2) l5=1A, U ab=llV。
第8章 相量法
教案课程: 电路分析基础内容: 第八章相量法课时:5学时教师：刘岚教学环节教学过程复习引入新课讲述新课简单回顾上次课的知识点。
到现在为止，我们一直讨论的电路都是常量信号源电路；而在第9章，将要研究时变电流源或电压源电路。
重点讨论电压源或电流源按正弦变化时的电路，之所以要把正弦变化的电压源或电流源以及它们对电路的影响作为重点研究对象，主要有以下几点原因：首先，发电、传输、供电以及耗电基本上都发生在正弦稳态的条件下；其次，了解正弦电路的是分析非正弦电路的前提；第三，正弦问题分析可以简化电力系统的设计。
多媒体课件展示：第八章相量法一、设置悬念、激发探究后面章节所讲述的内容主要依赖于对正弦稳态电路分析方法的全面理解。
前面章节讲述的分析和简化直流电路的方法同样适用于正弦电路，因此本章的的许多内容大家都很熟悉。
正弦分析遇到的主要困难是，建立合理的电路方程以及复杂方程的数学运算。
我们在这一章就将详细学习的建立这类方程与运算的基础，相量法。
二、正弦量多媒体课件展示：8.1 正弦量的基本概念1.正弦量：电路中按正弦规律变化的电压和电流。
一个按正弦规律变化的函数既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示。
下面的讨论中，采用余弦函数，因此一个正弦电流可以表示为：()cos()mi t I tωψ=+。
它是一个周期函数。
2）正弦量的微分，积分运算相量法的优点：（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
多媒体课件展示：8.3 电路定理的相量形式为了利用相量进行正弦稳态分析的需要，这节将导出R、L、C 三种基本元件伏安关系的相量形式。
1. 电阻元件VCR的相量形式电压、电流同相位。
《电路分析基础》第2版-习题参考答案
《电路分析基础》各章习题参考答案第1章习题参考答案1-1 (1) 50W；(2) 300 V、25V，200V、75 V；(3) R2=12.5Ω，R3=100Ω，R4=37.5Ω1-2 V A=8.5V，V m=6.5V，V B=0.5V，V C=−12V，V D=−19V，V p=−21.5V，U AB=8V，U BC=12.5，U DA=−27.5V1-3 电源（产生功率）：A、B元件；负载（吸收功率）：C、D元件；电路满足功率平衡条件。
1-4 (1) V A=100V，V B=99V，V C=97V，V D=7V，V E=5V，V F=1V，U AF=99V，U CE=92V，U BE=94V，U BF=98V，U CA=−3 V；(2) V C=90V，V B=92V，V A=93V，V E=−2V，V F=−6V，V G=−7V，U AF=99V，U CE=92V，U BE=94V，U BF=98V，U CA=−3 V1-5 I≈0.18A ，6度，2.7元1-6 I=4A，I1=11A，I2=19A1-7 (a) U=6V，(b) U=24 V，(c) R=5Ω，(d) I=23.5A1-8 (1) i6=−1A；(2) u4=10V，u6=3 V；(3) P1=−2W发出，P2 =6W吸收，P3 =16W吸收，P4=−10W发出，P5=−7W发出，P6=−3W发出1-9 I=1A，U S=134V，R≈7.8Ω1-10 S断开：U AB=−4.8V，U AO=−12V，U BO=−7.2V；S闭合：U AB=−12V，U AO=−12V，U BO=0V 1-11 支路3，节点2，网孔2，回路31-12 节点电流方程：(A) I1 +I3−I6=0，(B)I6−I5−I7=0，(C)I5 +I4−I3=0回路电压方程：①I6 R6+ U S5 +I5 R5−U S3 +I3 R3=0，②−I5 R5−U S5+ I7R7−U S4=0，③−I3 R3+ U S3 + U S4 + I1 R2+ I1 R1=01-13 U AB=11V，I2=0.5A，I3=4.5A，R3≈2.4Ω1-14 V A=60V，V C=140V，V D=90V，U AC=−80V，U AD=−30V，U CD=50V1-15I1=−2A，I2=3A，I3=−5A，I4=7A，I5=2A第2章习题参考答案2-1 2.4 Ω，5 A2-2 (1) 4 V，2 V，1 V；(2) 40 mA，20 mA，10 mA2-3 1.5 Ω，2 A，1/3 A2-4 6 Ω，36 Ω2-5 2 A，1 A2-6 1 A2-7 2 A2-8 1 A2-9 I1 = −1.4 A，I2 = 1.6 A，I3 = 0.2 A2-10 I1 = 0 A，I2 = −3 A，P1 = 0 W，P2 = −18 W2-11 I1 = −1 mA，I2 = −2 mA，E3 = 10 V2-12 I1 = 6 A，I2 = −3 A，I3 = 3 A2-13 I1 =2 A，I2 = 1A，I3 = 1 A，I4 =2 A，I5 = 1 A2-14 V a = 12 V ，I1 = −1 A，I2 = 2 A2-15 V a = 6 V，I1 = 1.5 A，I2 = −1 A，I3 = 0.5 A2-16 V a = 15 V，I1 = −1 A，I2 = 2 A，I3 = 3 A2-17 I1 = −1 A，I2 = 2 A2-18 I1 = 1.5 A，I2 = −1 A，I3 = 0.5 A2-19 I1 = 0.8 A，I2 = −0.75 A，I3 = 2 A，I4 = −2.75 A，I5 = 1.55 A2-20 I3 = 0.5 A2-21 U0 = 2 V，R0 = 4 Ω，I0 = 0.1 A2-22 I5 = −1 A2-23 (1) I5 = 0 A，U ab = 0 V；(2) I5 = 1 A，U ab = 11 V2-24 I L = 2 A2-25 I S =11 A，R0 = 2 Ω2-26 18 Ω，−2 Ω，12 Ω2-27 U＝5 V2-28 I =1 A2-29 U＝5 V2-30 I =1 A2-31 10 V，180 Ω2-32 U0 = 9 V，R0 = 6 Ω，U=15 V第3章习题参考答案3-1 50Hz，314rad/s，0.02s，141V，100V，120°3-2 200V，141.4V3-3 u=14.1sin (314t−60°) V3-4 (1) ψu1−ψu＝120°；(2) ψ1＝−90°，ψ2＝−210°，ψu1−ψu2＝120°（不变）3-5 (1)150290VU=∠︒，25020VU=︒；(2) u3ωt＋45°)V，u4ωt＋135°)V3-6 (1) i1=14.1 sin (ωt＋72°)A；(2) u2=300 sin (ωt－60°)V3-7 错误：(1) ，(3)，(4)，(5)3-8 (1) R；(2) L；(3) C；(4) R3-9 i=2.82 sin (10t−30°) A，Q≈40 var3-10 u=44.9sin (314t−135°) V，Q=3.18 var3-11 (1) I=20A；(2) P=4.4kW3-12 (1)I≈1.4A， 1.430AI≈∠-︒；(3)Q≈308 var，P=0W；(4) i≈0.98 sin (628t−30°) A3-13 (1)I=9.67A，9.67150AI=∠︒，i=13.7 sin (314t+150°) A；(3)Q=2127.4 var，P=0W；(4)I C=0A3-14 (1)C =20.3μF ；(2) I L ＝0.25A ，I C ＝16A第4章 习题参考答案4-1 (a) 536.87Z =∠︒Ω，0.236.87S Y =∠-︒；(b) 45Z =-︒Ω，45S Y =︒ 4-2 Y =(0.06-j0.08) S ，R ≈16.67 Ω，X L =12.5 Ω，L ≈0.04 H 4-3 R 600V U =∠︒，L 8090V U =∠︒，S 10053.13V U =∠︒ 4-4 2036.87I =∠-︒4-545Z =︒Ω，10A I =∠︒，R 1000V U =∠︒，L 12590V U =∠︒，C 2590V U =∠-︒ 4-645S Y =︒，420V U =∠︒，R 20A I =∠︒，L 0.2290A I =∠-︒，C 1.2290A I =∠︒4-7 10245A I =∠︒，S 10090V U =∠︒ 4-8 (a) 30 V ；(b) 2.24 A 4-9 (a) 10 V ；(b) 10 A 4-10 (a) 10 V ；(b) 10 V 4-11 U =14.1 V4-12 U L1 =15 V ，U C2 =8 V ，U S =15.65 V4-13 U X1 =100 V ，U 2 =600 V ，X 1=10 Ω，X 2=20 Ω，X 3=30 Ω4-14 45Z =︒Ω，245A I =∠-︒，120A I =∠︒，2290A I =∠-︒，ab 0V U =4-15 (1)A I =，RC Z =，Z =Ω；(2)10R =Ω，C 10X =Ω 4-16 P = 774.4 W ，Q = 580.8 var ，S = 968 V·A 4-17 I 1 = 5 A ，I 2 = 4 A4-18 I 1 = 1 A ，I 2 = 2 A ，526.565A I =∠︒，26.565V A 44.72S =∠-︒⋅4-19 10Z =Ω，190A I =∠︒，R252135V U =∠︒，10W P = 4-20 ω0 =5×106 rad/s ，ρ = 1000 Ω，Q = 100，I = 2 mA ，U R =20 mV ，U L = U C = 2 V 4-21 ω0 =104 rad/s ，ρ = 100 Ω，Q = 100，U = 10 V ，I R = 1 mA ，I L = I C = 100 mA 4-22 L 1 = 1 H ，L 2 ≈ 0.33 H第5章 习题参考答案5-3 M = 35.5 mH5-4 ω01 =1000 rad/s ，ω02 =2236 rad/s 5-5 Z 1 = j31.4 Ω，Z 2 = j6.28 Ω 5-6 Z r = 3+7.5 Ω 5-7 M = 130 mH 5-8 2245A I =∠︒ 5-9 U 1 = 44.8 V5-10 M 12 = 20 mH ，I 1 = 4 A 5-11 U 2 = 220 V ，I 1 = 4 A 5-12 n = 1.95-13 N 2 = 254匝，N 3 = 72匝 5-14 n = 10，P 2 = 31.25 mW第6章 习题参考答案6-1 (1) A 相灯泡电压为零，B 、C 相各位为220V6-3 I L = I p = 4.4 A ，U p = 220 V ，U L = 380 V ，P = 2.3 kW 6-4 (2) I p = 7.62 A ，I L = 13.2 A6-5 A 、C 相各为2.2A ，B 相为3.8A 6-6 U L = 404 V6-7 A N 20247U ''=∠-︒V6-8 cos φ = 0.961，Q = 5.75 kvar 6-9 33.428.4Z =∠︒Ω6-10 (1) I p = 11.26 A ，Z = 19.53∠42.3° Ω； (2) I p = I l = 11.26 A ，P = 5.5 kW 6-11 U l = 391 V6-12 A t 53.13)A i ω=-︒B t 173.13)A i ω=-︒C t 66.87)A i ω=+︒6-13 U V = 160 V6-14 (1) 负载以三角形方式接入三相电源(2) AB 3.8215A I =-︒，BC 3.82135A I =-︒，CA 3.82105A I =︒A 3.8645A I =∠-︒，B 3.86165A I =∠-︒，C 3.8675A I =∠︒6-15 L = 110 mH ，C = 91.9 mF第7章 习题参考答案7-1 P = 240 W ，Q = 360 var 7-2 P = 10.84 W7-3 (1)() 4.7sin(100)3sin3A i t t t ωω=+︒+ (2) I ≈3.94 A ，U ≈58.84 V ，P ≈93.02 W7-4 m12π()sin(arctan )V 2MU L u t t zRωωω=+-，z =7-5 直流电源中有交流，交流电源中无直流7-6 U 1=54.3 V ，R = 1 Ω，L = 11.4 mH ；约为8%，（L ’ = 12.33 mH ）7-7 使总阻抗或总导纳为实数（虚部为0）的条件为12X R R R ==7-8 19.39μF C =，275.13μF C = 7-9 L 1 = 1 H ，L 2 = 66.7 mH 7-10 C 1 = 10 μF ，C 2 = 1.25 μF第8章 习题参考答案8-6 i L (0+)＝1.5mA ，u L (0+)＝−15V8-7 i 1(0+)＝4A ，i 2(0+)＝1A ，u L (0+)＝2V ，i 1(∞)＝3A ，i 2(∞)＝0，u L (∞)＝0 8-8 i 1(0+)＝75mA ，i 2(0+)＝75mA ，i 3(0+)＝0，u L1(0+)＝0，u L2(0+)＝2.25V8-9 6110C ()2e Ati t -⨯= 8-10 4L ()6e V t u t -=8-11 6110C ()10(1e )V t u t -⨯=-，6110C ()5e A t i t -⨯= *8-12 500C ()115e sin(86660)V t u t -=+︒ 8-13 10L ()12e V t u t -=，10L ()2(1e )A t i t -=- 8-14 21R S ()eV t R Cu t U -=-，3R S (3)e V u U τ-=-8-15 (1) τ＝0.1s ，(2) 10C ()10e V t u t -=，(3) t ＝0.1s 8-16 510C ()109e V t u t -=-8-17 10L ()5e A t i t -=8-18 (a)00()1()1(2)f t t t t t =---；(b)00000()1()1()[1()1(2)]1()21()1(2)f t t t t t t t t t t t t t =------=-⨯-+- 8-19 0.50.5(1)C ()[5(1e )1()5(1e )1(-1)]V t t u t t t ---=--- 8-20 u o 为三角波，峰值为±0.05V*8-21 临界阻尼R ，欠阻尼R ，过阻尼R *8-22 12666L ()[(1e )1()(1e)1(1)2(1e)1(2)]t t ti t t t t -----=-+-----。
【精品】电路分析基础PPT课件第8-14章(共14章)
ak2
bk2；k
arctan bk ak
；
ak Akm cosk；bk Akm sin k
各系数可按 此公式计算
1
a0
T
T
1
f (t)dt
0
T
T
2 T
f (t)dt
2
ak
2 T
T 0
f (t) cosk1tdt
1
2 0
f
(t
)
c
osk1t
d1t
1
f (t) cosk1td1t
u Um
O
2 t
返回
电路分析基础
第8章 非正弦周期电流电路
【解】图示矩形波电压在一个周期内的表达式为
u
u Um u U m
0
1t 1t
2
Um
O
2
各系数为
a0
1
2
2 0
udt
1
2
0 U mdt
2
U
m
dt
0
ak
1
2 0
u
c
os
k1tdt
1
0
U
m
c
os
k1tdt
2
4U m
k
(k为奇数)
u / V 4U m
频谱图
4U m
3
4U m 5
4U m 7
O
1 31 51 71
u
4U m
s
in
1t
1 3
s
in
31t
1 5
sin 51t
返回
电路分析基础
第8章 非正弦周期电流电路
电路分析基础第八章
8-1 复数 8-2 相量 8-3 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 8-4 三种基本电路元件VCR的相量形式 8-5 阻抗、导纳 8-6 电路的相量模型、相量分析法 8-7 相量模型的网孔分析和节点分析 8-8 相量模型的等效
§
1. 复数的表示形式
复数
b 代数式 o
正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) = 2U cos(ωt + θ ) ⇔ U = U∠θ
相量的模表示正弦量的振幅（或有效值） 相量的幅角表示正弦量的初相位
•
例 ：已知 i = 141.4 cos(314t + 30o )A
u = 311.1cos(314t − 60o )V
试用相量表示 i和u。 相量 解： I = 100∠30 A,
+1
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若
F1 F1 θ 1 ， F2 F2 θ 2
jθ1
则: F1 ⋅ F2 = F1 e
⋅ F2 e
jθ2
= F1 F2 e
j(θ1 +θ2 )
= F1 F2 ∠θ1 + θ2
模相乘 角相加
F1 | F1 | ∠ θ1 | F1 | e jθ1 | F1 | j( θ1−θ2 ) = = = e jθ 2 F2 | F2 | ∠ θ2 | F2 | e | F2 | |F1| = |F2| θ1 − θ2
1 2
t
t
1
2
1
两种正弦信号的相位关系 同 相 位
2
ϕ2
1
2
ϕ1
i2
i1
i1
相 位 领 先 相 位 落 后
∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 >
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
电路分析基础第8章课件.ppt
Um
O
2 t
【解】图示矩形波电压在一个周期内的表达式为
u
u Um u U m
0
1t 1t
2
Um
O
2 t
各系数为
a0
1
2
2 0
udt
1
2
0 U mdt
2
U
m
dt
0
ak
1
2 0
u
co
sk1tdt
1
0
U
m
co
sk1tdt
2
U
m
co
s
k1tdt
2Um
0
Um
【例8.2】RLC串联电路如图所示。已知 R 10 ,
C 200μF, L 100mH, f 50Hz,
u 20 20 2 cost 10 2 cos 3t 90 V .
试求：(1)电流；(2)外加电压和电流的有效值；(3)电 路中消耗的功率。
i
【解】(1)利用叠加定理求 i。
R
A0 a0；Akm
ak2
bk2；k
arctanbk ak
；
ak Akm cosk；bk Akm sin k
各系数可按 此公式计算
1
a0
T
T
1
f (t)dt
0
T
T
2 T
f (t)dt
2
ak
2 T
T 0
f (t) cosk1tdt
1
2 0
f
(t) cosk1td1t
1
4U m 7
O
1 31 51 71
u
4U m
sin
电路分析基础第五版第8章
u (t) R U m e e j( t[ )] RU m e e je j[ t]
令 Um Umej, 则
u(t)RU em e[jt]RU em [t]
由此通过数学方法，把一个实数范围内的正弦
时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应 起来。该复指数函数包含了正弦量的三要素。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值
1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
同理： U1 2U m0.70 U m 7 U m 2 U 通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
有效值可作为正弦量“三要素”之一。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
其中
UmUmej Um
是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电
压的振幅，辐角为该正弦电压的的初相，它包含 了该正弦电压“三要素”中的两项。
如果给定角频率，则
UmUmej Um
可以完全地确定一个正弦电压，称之为相量。
2、相量定义：相量就是一个能够表示正弦时间函 数的复数。
(1)电压相量：幅值相量
压源为 us(t)U sm co ts(s)V ，求开关闭合后电容电
压uC(t)。 微分方程：
RC ddC utuCUsm cost(s)
电路分析基础 第5版 第8章 电路的暂态分析
1/6/2022
3
8.1.2 换路定律
由于能量不能发生跃变，与能量有关的状态变
量iL和uC，在电路发生换路后的一瞬间，其数 值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。即：
换路定律
iL (0) iL (0) uC (0) uC (0)
换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路还 未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换路。(0-) 时刻、(0+)时刻 和0时刻的时间间隔趋近零但不等于零。
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RL一阶电路的零输入响应
图示电路在换路前已达稳态。t=0时开关闭合。
R
开关闭合将电流源短路，暂态过程在R和
＋ uR －
Байду номын сангаас
iL
＋
L构成的回路中进行。
对电路列KVL方程：
RiL
+
L
diL dt
=0
IS t=0 S
L uL
－
以iL为待求响应，可得上式的解：iL (t)
=
-Rt
iL (0+ )e L
工程实际一般认为：经历了3~5τ的时间过渡过程基本结束
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阅读理解
1. 时间常数τ是用来表征一阶电路过渡过程进行的快慢程度的 物理量。
2. 时间常数τ仅由电路参数决定，RC一阶电路中，τ＝RC；RL 一阶电路中，τ＝L/R。τ的大小反映了电路的特性，与换路情况 和外加电压无关。
3. 时间常数τ是已经完成了过渡过程63.2%所经过的时间。在 工程计算中，一般认为经历了3～5τ时间，过渡过程基本结束。
1. 一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零 的，这实际上反映了在没有外激励(电源)的作用下，储能元 件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程。
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u c ( t ) cos t i L ( t ) sin t
6
因为这两个式子显然符合初始条件，而且在t≥0时：
du
c
(t )
d dt
dt di L ( t ) dt
cos t sin t i L ( t )
d dt
s in t cos t u c ( t )
+ U0 -
C
(e)
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4
由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构 成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移， 电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成振 荡。这种电路中不含电阻由初始储能维持的振荡是种 等幅振荡。 如果电路中含有电阻，在能量转移过程中要被电 阻消耗，振荡将不可能是等幅的，幅度会逐渐衰减而 趋于零。这种振荡称为阻尼振荡。 如果电路电阻较大，在能量初次转移过程中大部 分能量就被电阻消耗，将不可能产生振荡。
8
§8-2 RLC串联电路的零输入响应 右图中已知：Uc(0)=U0 , i(0)=I0 根据KVL及各元件的VCR可得
d U dt
2 2
LC
c
RC
dU dt
c
U
c
0
U
c
(0 ) U
0
i(t ) C
dU dt
c
dU dt
c t0
i (t ) C
t0
I0 C
U L (t ) L
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２、 LC电路中振荡的方式 右图中，L=1H 、C=1F，uc(0)=1V、iL(0)=0。 + 根据元件的VCR可得：
du dt
c
iL
Uc -
C
iL
di L dt
uc
上述两个联立的一阶微分方程表明：电压的存在要求有电流的 变化，电流的存在要求有电压的变化 。因此电压、电流都必须处 于不断的变化状态之中。 结合初始条件：uc(0)=1V、iL(0)=0。 可以猜想到：
上述两式表明：
u c ( t ) cos t i L ( t ) sin t
满足元件的VCR。
因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。
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7
3、 LC电路中的储能 根据电容和电感的储能公式，可得LC回路的储能为：
w (t ) 1 2 Li
2
(t )
1 2
Cu
C
(a) I
C
(b)
U0 +
C
(c)
3
(d)当电容电压达到U0的瞬间，电容通过电感
又开始放电，只是放电电流与上一次放电电流
方向相反。随放电电流的增加，能量逐渐又转 移到电感的磁场中，电流又达到最大值。
(d)
C
I
(e)当电感电流达到最大值的瞬间，电容在该电
流的作用下又被充电，当电感电流下降到零的
瞬间，能量又全部转入到电容之中，电容电压 又达到U0，电路状态又和初始时刻相同，这意 味着上述过程将不断地重复进行。
此时，S1,S2为一对共轭复数，即 其中：
S 1, 2 j d
d
R 2L
1 LC ( R 2L )
2
0
2
2
0
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1 LC
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U c (t ) e
t
( K 1 cos d t K 2 sin d t )
t
或
U c ( t ) Ke
c
( 形式与 U c ( t ) 相同 )
K1 U (0)
利用初始条件可求出:
K
c
K1 K 2
2
2
K
2
i(0 )
Arctg
K2 K1
0
C
从Uc(t)和i(t)的表达式可知, Uc(t)和i(t)都为等幅振荡响应. 由于R=0,能量不能被消耗,只能反复由电场能转换为磁场能, 再由磁场能转换为电场能,这种电路称为LC自由振荡电路。
di ( t ) dt
LC
d Uc dt
2
2
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特征方程为：LCS2+RCS+1=0 特征根为：
RC ( RC ) 4 LC
2
S 1, 2
R 2L
(
R 2L
)
2
1 LC
2 LC
0
2
2
其中：
R 2L
; 0
1 LC
。 0 称为电路的谐振角频率
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U c ( t ) U 0 (1 t ) e i ( t ) I 0 (1 t ) e
t
t
2
I0 C
te
t
说明： Uc(t)和i(t)的波形仍为非振荡情况
3、 (
R 2L
)
2
1 LC
,即 R 2
L C
(电阻较小
) 时，称为欠阻尼情况
c t0 0
K 1 1 K 2 2
I0 C
K1 K2
2U
0
2 1
1U
0
I0 ( 2 1 ) C I0 ( 2 1 ) C
2 1
代入 U c ( t ) K 1 e t K 2 e
1
2t
即可求出 Uc(t) 和 i(t)。
RLC串联电路的齐次二阶微分方程
LC
d U dt
2
2
c
RC
dU dt
c
U
c
u 0 C ( t ) RLC串联电路的非齐次二阶微分方程
作业:
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3、 5
22
§8-3 RLC串联电路的全响应 1）列出微分方程及初始条件：
a df
2
(t )
2
b
df ( t ) dt
dt df ( t ) dt
cf ( t ) F s ( t )
F (0)
/ t0
f (0 ) F (0)
2）求齐次解 fh(t) 特征方程为:as2+bs+c=0.
2
(t )
将 u、i、 L=1H 、C=1F代入上式, 可得在任何时刻储能均为常量,
这就表明: 储能不断地在电场和磁场之间往返,永不消失。
w (t ) 1 2
w (0) 1 2 Li
2
(sin
2
t cos t )
2
1 2
2
J
(0) 1 2 J
(0)
1 2
Cu
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2012-11-9 17
当R=0时的特殊情况:
此时, S 1 S 2 j
1 LC , 0, d 0 1 LC
U c ( t ) ( K 1 cos 0 t K 2 sin 0 t ) K cos( 0 t ) i (t ) C dU dt
第八章 二阶电路
LC电路中的正弦振荡 B RLC串联电路的零输入响应 B RLC串联电路的全响应 B GCL并联电路的分析 C 一般二阶电路 C
计划学时：4 -学时
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1
第八章
二阶电路
包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感
的动态电路称为二阶电路。二阶电路可用一个二阶微分方 程或两个联立的一阶微分方程来描述。 本章主要分析含一个电容和一个电感的二阶电路，这 类电路的响应可能出现振荡的形式。
Ke e
t
cos( t )
t
( K 1 cos t K 2 sin t )
特解的形式与Fs(t)及特征根有关. 4) 求通解：f(t)=fh(t)+fp(t)
§8-4 GLC并联电路的分析 设含电容和电感的二阶电路，若N1用诺顿定理等 效，便可得到GLC并联电路。
21
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GLC并联电路的非齐次二阶微分方程也可根据对偶性质 由RLC串联电路的非齐次二阶微分方程求出。
d iL (t ) dt
2
2
LC
2
GL
di L ( t ) dt
dU dt
i L ( t ) i sc ( t ), t 0
LC
d U dt
2
c
RC
c
U
c
0
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10
1、当
(
R 2L
)
2
1 LC
,即 R 2
L C
L C
时，
称为过阻尼情况
Rd 2
Rd：阻尼电阻
此时S1,S2为不相等的负实根。令：S1= -α1, S2= - α2 则：
U c ( t ) K 1e
1t
K 2e
2t
利用初始条件：
U c ( 0 ) K 1 K 2 U dU dt
根据KCL和元件的VCR 可得到电路的非齐次二阶微 分方程。
ic C dU dt LC d iL dt
2 2
iG
iL
ic
isc(t)
G
C
iG Gu GL
di L dt
LC
d iL (t ) dt
2
2
GL
di L ( t ) dt