2020年高考数学试题分类汇编 数列

十、数列一、选择题 1．（天津理4）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110 【答案】D 2．（四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．11【答案】B【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==3．（四川理11）已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为nS ，则lim n n S →∞=A ．3B ．52C ．2D ．32【答案】D【解析】由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-4．（上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为A ．{}n a 是等比数列。

B ．1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列。

C ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列。

D ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同。

【答案】D5．（全国大纲理4）设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D6．（江西理5） 已知数列{na }的前n 项和nS 满足：n m n mS S S ++=，且1a =1．那么10a =A ．1B ．9C ．10D ．55 【答案】A 7．（福建理10）已知函数f （x ）=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④ C ． ②③ D ．②④ 【答案】B 二、填空题 8．（湖南理12）设nS 是等差数列{}n a ()n N *∈，的前n 项和，且141,7a a ==，则9S = ．【答案】259．（重庆理11）在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________【答案】7410．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=______________；12...n a a a +++=____________。

—2【答案】2121--n11．（安徽理14）已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.【答案】31512．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。

【答案】676613．（广东理11）等差数列na 前9项的和等于前4项的和．若141,0k a a a =+=，则k=____________． 【答案】10 14．（江苏13）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________【答案】33三、解答题15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列1}{1=a a n 的首项，前n 项和为nS ，已知对任意整数k ∈M ，当整数)(2,k n k n k n S S S S k n +=+>-+时都成立（1）设52,2},1{a a M 求==的值； （2）设}{},4,3{n a M 求数列=的通项公式本小题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。

解：（1）由题设知，当1112,2()n n n n S S S S +-≥-=+时，即111()()2n n n n S S S S S +----=，从而112222,2,2,2(2)2 2.n n n a a a a n a a n n +-===≥=+-=-又故当时所以5a 的值为8。

（2）由题设知，当{3,4},22n k n k n kk M n k S S S +-∈=>+=+且时,S11122n k n k n kS S S S +++-++=+且，两式相减得11111112,n k n k n n k n k n n ka a a a a a a +++-++++-++-+=-=-即所以当63368,,,,,n n n n n n a a a a a --++≥时成等差数列，且6226,,,n n n n a a a a --++也成等差数列从而当8n ≥时，33662.n n n n n a a a a a +-+-=+=+ （*）且662222,8,2n n n n n n n a a a a n a a a +-+-+-+=+≥=+所以当时，即223113.9,,,,n n n n n n n n a a a a n a a a a +---++-=-≥于是当时成等差数列，从而3311n n n n a a a a +-+-+=+，故由（*）式知11112,.n n n n n n n a a a a a a a +-+-=+-=-即当9n ≥时，设1.n n d a a +=-当28,68m m ≤≤+≥时，从而由（*）式知6122m m m a a a ++=+故71132.m m m a a a +++=+从而76113122()()m m m m m m a a a a a a +++++-=-+-，于是12.m m a a d d d +-=-=因此，1n n a a d+-=对任意2n ≥都成立，又由22({3,4})n k n k k k S S S S k +-+-=∈可知34()()2,92162n k n n n k k S S S S S d S d S +----===故且，解得42173,,.222d a d a d a ===从而 因此，数列{}n a 为等差数列，由11 2.a d ==知所以数列{}n a 的通项公式为2 1.n a n =-16．（安徽理18）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作nT ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和nS .本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k nk k n kk b S.1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((23n n k k n k --+=--+=∑+= 17．（北京理20） 若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2, (1)n a a k n +-==-，数列nA 为E 数列，记()n S A =12...na a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列nA ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列nA 是递增数列的充要条件是na =2020；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列nA ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列nA ；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A5是递增数列， 所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .所以A5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a2000=12+（2000—1）×1=2020. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 ……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2020, 所以a2000=a1+1999. 故nn n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列.综上，结论得证。

（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则因为2111112c c a a c a a ++=++= ……,1211+++++=n n c c c a a所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数,所以要使2)1(,0)(-=n n A S n 必须使为偶数,即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即. 当,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时当nA E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列An ， 使得.0)(,01==n A S a18．（福建理16）已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=133。