2.4旋转变换
2.4旋转变换OK
平 移 轴对称后旋转
1、旋转变换的概念。 2、旋转变换的性质。 3、旋转变换的作图。
1.作业本2.4
2.课本作业题（选做）鼓励大
部分同学做
3
方法一、先将牌A右下角顶点为旋转中心，将牌A按 顺时针方向旋转90°，再向下作一次平移变换，就得 到牌B. 方法二、先将牌A向下作一次平移变换，平移到牌A的 右下角与牌B的左下角重合，再以牌A的右下角顶点为 旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再就得到牌B.
再举一些生活中常见的旋转变换的例子
（1）左边情景中的转 动现象，有什么共同 特征？ （2）它们在转动过 程中，其形状、大 小、位置是否发生 改变？
1、如图，经过怎样的旋转变换，可由射线OP得到射 线OQ？
P Q O
2、如图所示是一双手的图片。你认为能否经 旋转变换与轴对 旋转变换必须指明: 过一定的旋转变换，使左手的图形与右手的图 形重合？经过轴对称变换呢？你从中得到什么 旋转中心,旋转方 称变换、平移变 结论？用你的左、右手试一试。 向,旋转角度.
等于旋转的角度.
1.作旋转图形的关键是什么? 2.经旋转变换所得的图形和原图形全 等吗? 3.旋转变换后对应点位置的排列次序 有变化吗?
下图由四部分组成， 每部分都包括两个 小“十字”。
红色部分能经过适 当的旋转得到其他 三部分吗？能经过 平移吗？能经过轴 对称吗？还有其他 的方式吗？
旋 转 先平移后旋转
在方格纸上画旋转后的图形
做 一 做
在方格纸上作出 “小旗子”绕 O点按顺时针方向旋转90 度后的图案 ，并简述理由。
O
如图，怎样将右边的图案变成左 边的图案？
下图是由三个正三角形拼成的， 它可以看做是其中一个三角形经 过怎，点A，B分别移 动到什么位置？ ３．AO与DO的长有什么关系？ BO与EO呢？ ４．∠AOD与∠BOE有什么大小 关系？∠COF呢？
北师大版数学四年级上册2.4《旋转与角》教学设计
北师大版数学四年级上册2.4《旋转与角》教学设计一. 教材分析《旋转与角》是北师大版数学四年级上册第2.4节的内容，本节课主要让学生初步理解旋转的概念，学会用方向和角度描述旋转，并能够运用旋转的知识解决实际问题。
教材通过丰富的实例和活动，引导学生探究旋转的性质，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析四年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于旋转这一概念，学生可能比较陌生，需要通过具体的实例和活动来理解和掌握。
此外，学生对于角度的认知可能还不够清晰，需要在教学中加以引导和巩固。
三. 教学目标1.让学生初步理解旋转的概念，学会用方向和角度描述旋转。
2.培养学生运用旋转的知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.旋转的概念及用方向和角度描述旋转。
2.运用旋转的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物和模型展示旋转的现象，让学生直观地感受旋转。
2.采用引导发现法，引导学生通过观察、操作、思考，自主发现旋转的性质和规律。
3.采用实践操作法，让学生动手操作，实际体验旋转的过程。
4.采用问题驱动法，提出问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.准备实物和模型，展示旋转的现象。
2.准备多媒体课件，辅助教学。
3.准备练习题和实际问题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物或模型展示旋转的现象，引导学生关注旋转的特点，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，呈现旋转的实例，引导学生用方向和角度描述旋转。
让学生观察、思考，自主发现旋转的性质和规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践操作，实际体验旋转的过程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生运用旋转的知识解决问题。
教师及时给予反馈，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示实际问题，让学生运用旋转的知识解决。
二年级数学图形变换练习题
二年级数学图形变换练习题1. 小明看到了一幅由各种图形组成的图案，他想把这个图案分别进行旋转、翻转和镜像变换，来观察图形的变化。
下面是他的练习题：1.1 旋转变换：a) 把一个正方形逆时针旋转90°，结果是什么图形？b) 把一个长方形顺时针旋转180°，结果是什么图形？c) 把一个三角形逆时针旋转270°，结果是什么图形？d) 把一个圆形逆时针旋转360°，结果是什么图形？1.2 翻转变换：a) 把一个正方形沿水平方向翻转，结果是什么图形？b) 把一个长方形沿垂直方向翻转，结果是什么图形？c) 把一个三角形沿斜对角线翻转，结果是什么图形？d) 把一个圆形翻转，结果是什么图形？1.3 镜像变换：a) 把一个正方形沿着垂直中线进行镜像变换，结果是什么图形？b) 把一个长方形沿着水平中线进行镜像变换，结果是什么图形？c) 把一个三角形沿着斜对角线进行镜像变换，结果是什么图形？d) 把一个圆形沿着任意直线进行镜像变换，结果是什么图形？2. 小明在学习中还遇到了一些具体的图形变换题目，让我们一起来解决这些问题：2.1 变换1：小明有一个正方形，边长为5厘米。
如果将这个正方形分别进行顺时针旋转90°、顺时针旋转180°和逆时针旋转270°，那么这些旋转后的图形的边长分别为多少？2.2 变换2：小明的朋友小红有一个矩形，长为8厘米，宽为4厘米。
小红想将这个矩形沿着长边分别进行水平翻转、垂直翻转和沿对角线翻转，那么这些翻转后的图形的长和宽分别是多少？2.3 变换3：小明看到了一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为3厘米和4厘米。
小明想将这个直角三角形分别进行水平镜像、垂直镜像和沿对角线镜像，那么这些镜像后的图形的两条直角边分别是多少？2.4 变换4：小明在数学课上学到了一个等边三角形，它的边长为6厘米。
小明想将这个等边三角形分别进行水平镜像、垂直镜像和沿对角线镜像，那么这些镜像后的图形的边长是多少？通过这些练习题，小明和我们一起学习了数学图形的变换。
旋转变换-高中数学知识点讲解
旋转变换1．旋转变换【知识点的知识】1、线性变换我们把形如{푥푦′′ == 푎푐 푥푥 ++ 푑푏푦푦（※）的几何变换叫做线性变换，（※）式叫做这个线性变换的坐标变换公式，P ′（x ′，y ′）是 P （x ，y ）在这个线性变换作用下的像．（2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换．（3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点 P ，都有σ（P ）＝ρ（P ），则称这 个两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设，所对应的二阶矩阵分别为 A ，B ，则 A ＝B ．2、旋转变换P （x ，y ）绕原点逆时针旋转 180°得到 P ′（x ′，y ′），称 P ′为 P 在此旋转变换作用下的象．变换的坐标 公式和二阶矩阵为：【解题方法点拨】1．几种常见的线性变换（1）恒等变换矩阵 M ＝ ；（2）旋转变换 R θ 对应的矩阵是 M ＝ ；1 / 2（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．2．线性变换的基本性质设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M（α+β）＝Mα+Mβ．（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．2/ 2。
第二章 数学基础
2.1.3 位姿描述
要完全描述刚体B在空间的位姿,通常将物体B与某一坐 标系{B}相固接.{B}的坐标原点一般选在物体B的特征点 上,如质心等.相对参考系{A},坐标系{B}的原点位置和坐 标轴的方位,分别由位置矢量和旋转矩阵描述.这样,刚体 B的位姿可由坐标系{B}来描述,即有:
{B } = {
例2.2 试用齐次变换方法求解例2.1中的 P
A
3
2.3.2 平移齐次坐标变换
{B}分别沿{A}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平 移齐次变换矩阵写为:
1 0 Trans ( a , b , c ) = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c 1
n
o
θi
a
2.1 位置和姿态的表示
2.1.1 位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
A
P = [ px
py
p z ]T
图2.1 位置表示
2.1.2 方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此 物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相 对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素,不改变特性. 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 3 7 1 4 2 3 2 1 6 0 9 1
[例]: 例
v v v v V = 3i + 4 j + 5k
可以表示为： 可以表示为： V=[3 4 5 1]T 或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
旋转翻转与平移的变换知识点总结
旋转翻转与平移的变换知识点总结几何变换是数学中一个重要且常见的概念，对于图形的旋转翻转与平移等操作，能够使得图形在平面内发生变化。
本文将对旋转翻转与平移的变换知识点进行总结，以便更好地理解和应用这些概念。
一、旋转变换旋转变换是指将图形按照一定的角度围绕某一点旋转。
在平面几何中，旋转变换包括顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
1. 顺时针旋转：顺时针旋转是将图形按照顺时针方向进行旋转，一般以正角度表示。
例如，将一个图形按照顺时针旋转90度，就是将原始图形的每个点绕着旋转中心点顺时针旋转90度。
2. 逆时针旋转：逆时针旋转是将图形按照逆时针方向进行旋转，一般以负角度表示。
与顺时针旋转类似，逆时针旋转也是将原始图形的每个点绕着旋转中心点逆时针旋转一定角度。
旋转变换可以用矩阵表示，其中旋转角度为θ，旋转矩阵为：cosθ -sinθsinθ cosθ二、翻转变换翻转变换是指将图形按照某一轴进行对称，常见的有水平翻转和垂直翻转两种方式。
1. 水平翻转：水平翻转是将图形按照水平轴进行对称，即以水平轴为对称轴，上下颠倒图形。
例如，将一个图形按照水平轴进行翻转，原先在上部的图形点转移到下部。
2. 垂直翻转：垂直翻转是将图形按照垂直轴进行对称，即以垂直轴为对称轴，左右颠倒图形。
例如，将一个图形按照垂直轴进行翻转，原先在左侧的图形点转移到右侧。
翻转变换可以用矩阵表示，其中水平翻转可用矩阵表示为：-1 00 1垂直翻转可用矩阵表示为：1 00 -1三、平移变换平移变换是指将图形沿着平面平行移动一段距离。
平移变换可以将图形从一个位置移动到另一个位置，而不改变图形的大小和形状。
平移变换通常用向量表示，其中平移向量为：(dx, dy)。
图形的每个点都将根据平移向量的数值进行水平和垂直方向上的移动。
四、综合应用旋转翻转与平移的变换在实际生活中有广泛的应用，尤其是在计算机图形学和计算机视觉领域。
在计算机图形学中，通过对图像进行旋转、翻转和平移等变换，可以实现图像的缩放、旋转和平移操作。
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4旋转变换
长叹
固执
可彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，
通
有子存焉；子又生孙，孙又生子；
子又有子，子又有孙；子子孙孙，无
穷尽
穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”
担心什么铲不平？
河曲智叟亡以应。
没有。通“无”
译文：
北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽 固到了不通事理的程度，连寡妇孤儿都不如。 即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子， 孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子； 子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增高加大， 还担心什么挖不平？”智叟没有话来回答。
“方七百里”
山的面积
“高万仞”
山的高度
“本在冀州之南，河阳之北” 地理位置
作用：衬托移山的艰难，更能突出愚公的品质。 这是故事的背景，为下文愚公移山埋下伏笔。
朗读课文，说说写了愚公移山的哪些内容。
原因： “惩山北之塞，出入之迂也”。 目的： “指通豫南，达于汉阴”。 倒土的地点： “投诸渤海之尾，隐土之北”。 具体的行动： “遂率子孙……运于渤海之尾”。
五、特殊句式 1.甚矣，汝之不惠 倒装句 2.本在冀州之南，河阳之北 省略句 3.且焉置土石 倒装句，疑问代词“焉”提前。
4.遂率子孙荷担者三夫 省略句，省略主语愚公。倒装句，定语“三 夫”后置。
5.告之于帝 倒装句，状语“于帝”后置。
6.帝感其诚 被动句，译为：天帝被他的诚心所感动。
细读感悟
年且九十 且焉置土石
且焉置土石 始一反焉
面山而居 何苦而不平 而山不加增
将近 况且
疑问代词，哪里。 加强语气
表修饰 表承接 表转折
三、古今异义 1.河阳之北 （古：山之南，水之北 2.惩山北之塞 （古：苦于 3.达于汉阴 （古：山之北，水之南
2.4旋转与角(小学课件)
创新小功能 课文朗读 词语听写 笔顺动漫手写演示 必背古诗 拼音帮学 纯正美/英教材听力 单词听写 国际音标发音教程 英文儿歌Tony教唱
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《教材帮》系列图书配套PPT课件版权声明
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课堂作业
1 折一折。
和同桌比一比、说一说，你们折得一样大吗？
（1）折一个直角。 （2）折一个钝角。
课堂作业
2 分别剪出一个三角形和平行四边形纸片，把三角形的各个角撕下来拼 在一起，与同伴说一说，你发现了什么？把平行四边形的各个角撕下 来拼在一起呢？
小学数学 基础到培优，名师一帮到底
教学资源 优质课件 职称评定 教学评语 教学影音资源 名师示范课 活动板报 主题班会 常用表格 课堂纪律口令 家长会发言稿
新知探究
观察旋转过程中所形成的角，认一认，说一说，你发现了什么？
周角
周角与射线的关系：
周角是由一条射线旋转到另一条射线 组成的角,它是由两条重合的射线组 成的,而射线是一条线
新知探究
找一找，说一说生活中的平角和周角。
课堂练习
1 下面的角各是哪一种角？写出角的名称。
（钝角 ） （平角）
（直角） （锐角）
线与角
第4课时 旋转与角
2.4图形的变换(3)课件
老师希望你在这节课掌握以下几个 本领：
①了解什么是旋转变换 ②会描述一个旋转变换 ③会作简单图形的旋转变换 ④理解图形变换的性质
2、旋转变换不改变图形的大小和形状
你知道三转 实 例 形状 大 小 方 向
不变 不变 不变
不变 不变 不变
改变 不变 改变
1、 如图是一
块墙砖，它可 以看做是一个 菱形通过几次 旋转得到的?每 次分别旋转了 多少度?
2、如图所示，AB是
长为4的线段，且 CD⊥AB于O。你能 借助旋转变换的知 识，求出图中阴影 部分的面积吗？说 说你的做法。
A
.
O
B
例2 O是△ABC外一点，以O为旋转中心， 将△ABC 按逆时针方向旋转60∘，作出经旋 转变换后的像。
A
B C
O
观察例2中的原图形和像，请问： （1）AO与A’O，BO与B’O，CO与C’O 分别相等吗？ （2）∠AOA’ ，∠BOB’和 ∠ COC’相等 吗？若相等，都等于几度？
1、对应点到旋转中心的距离相等。对 应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转 的角度。 旋转变换改变图形的大小和形状吗？
1、以下旋转现象有什么共同点？
物体绕着一个固 定点按同一个方向 旋转！
2、结合刚才的发现你能给 出“旋转变换”的概念吗？
物体绕着一个固 定点顺着一个方向旋 转！
在旋转变换的过程中，原 图形上的所有点都绕一个固 定的点，按同一个方向，转 动同一个角度。
3、在“旋转变换”的概念中， 你认为有哪几点是必不可少的？
1、下列哪个是旋转变换？ A B
C
2、如图，经过怎样的旋转变换，可由 线段OP得到线段OP’？ 解：线段OP以点O为
旋转中心，按顺时针方 P’ 向，旋转75°得到线 段OP’ P和P’为对应点
2.4 旋转变换
轴对称变换、平移变换和旋转变换的异同：
特征 变换 轴对称 平 旋 移 转
形状
不变
不变 不变
大小
不变
不变 不变ຫໍສະໝຸດ 方向改变不变 改变
平移 ______变换
旋转 ______变换
如图，圆B可以看作圆A 经什么变换得到的像？
m A B
P
右边国旗能否由左边的国旗经 轴对称变换或平移变换得到? 如果不能，那么你认为应该通 过怎样的变换才能得到?
（A）
（B）
（C）
（D）
随堂练习：
本图案可以看做是一个菱形通过几次 旋转得到的？每次旋转了多少度？
C
B
D A E O
F
例
如图,O是ΔABC外一点,以点O为旋转 中心,将ΔABC按顺时针方向旋转80°,作 出经旋转变换后的像.
C
ΔDEF就是所求的像.
A B D F
O E
1. 旋转变换不改变原图形的 形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离 相等。 3. 对应点与旋转中心连线所 成的角度等于旋转的角度。
旋转变换三要素：
1、旋转中心； 2、旋转的方向； 3、旋转的角度. 三者缺一不可
。
A
75
B
o
答：以O为旋转中心， 按顺时针方向，旋转 75°.
做一做：
1、如图，经过怎样的旋转变换， 可由射线OP得到射线OQ？
Q P
O
答：以O为旋转中心，按顺时针方向，旋转90°
1、将第一个图形按顺时针方向旋转90°后 的图形是（ D ）
右边国旗能否由左边的国旗经 轴对称变换或平移变换得到? 如果不能，那么你认为应该通 过怎样的变换才能得到?
浙 教 版 • 七 年 级《 数 学( 下 ) 》
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B
P
“体验型课堂”学习方案 数学（七年级下册）班级： 姓名： 学号：
2.4旋转变换
编写人：施玲玲 审核人：任纪勋
[学习导言]
由现实生活中图形感受图形的旋转和图形旋转变换的概念；知道图形的旋转变换的性质；会按要求作出简单平面图形旋转变换后的图形。
课前学习:尝试体验(对话课文、记下重点与问题、尝试练习)
[对话课文]:通读教材§2.4 [记下重点与问题]：
1．由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上的所有点都绕____________，按____________，转动_____________，这样的图形改变叫做图形的__________，简称，这个固定的点叫做__________，转动的角度称为____________。
2．图形的旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的__________；
对应点到_________的距离相等。
对应点与旋转中心连线所成的角等于3．写明根据哪一句话或哪一段内容所想到的问题。
[尝试练习]
1．如图，经过怎样的旋转变换，可由射线OP 得到射线OQ?
2．下列各图中，正确表示将正方形X 绕点O 按顺时针方向旋转60°的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，以点O 为旋转中心，将线段AB 按顺时针旋转60°， 作出经旋转变换后所得的像，并求出像与线段AB 的锐角的度数。
课内学习：合作体验（检评预习、审视问题 、尝试例题、独立练习）
[检评预习]：同桌交换学案，检查评价
批语：____________________________________________________________ [审视问题]：审视下面的学习要点，思考提出的问题
C
O
B
[尝试例题]
例1 如图，O是△ABC外一点。
以O为旋转中心，将按逆时针方向旋转80°，作出经旋转变换后的像。
解：解题关键作出点A、B、C关于点O旋转变换的像。
[独立练习]
A组
1、下列各图中，从左到右的变换分别是什么？
（1）（2）（3）
变换名称__________, ___________, ___________
2、分别按下列要求作出经旋转变换后的图形：
（1）如图，O是线段AB上一点。
以O为旋转中心，将线段AB按逆时针方向旋转100°（2）如图，以点O为旋转中心，将扇形P按顺时针方向旋转90°.
(1) (2)
3、请描述从3：15到4：00，时针和分针所作的变换。
B组
5、如图，怎样变换图形A，使变换后的像与图形B恰好
拼成一个长方形？
课后学习：反审体验（审查错误原因，检查练习，完成作业）
【反思审查】再仔细审查学案，用红笔作出示意。
【作业练习】作业本。