直线与方程(教师版)
高中数学教师备课必备(直线与方程)：专题三 直线的两点式方程说课稿
一、教材分析(一）教材前后联系、地位与作用直线的两点式方程是普通高中课程标准实验教科书(人教版)高一年级数学必修2第三章第二节中的内容。
本节课是在学习直线的点斜式方程的基础上,引导学生根据除了已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径外探讨已知两点来求直线方程。
在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的,而直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。
在推导直线方程的两点式时，根据直线方程的点斜式这一结论，先猜想确定一条直线的条件,再根据已知的两点猜想得到的条件求出直线的方程.在应用直线两点式方程及截距式方程应注意满足的条件。
(二）教学目标根据课程标准的要求和学生的实际情况,我确定本节课的教学目标如下：（1）知识与技能（1）理解直线方程的两点式、截距式的形式特点和适用范围;(2）能正确利用直线的两点式、截距式公式求直线方程。
（3）体会直线的截距式方程的几何意义.（2）过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的两点的基础上，通过师生探讨，得出直线的斜率,然后根据直线的点斜式方程得出直线的两点式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
（3）情感、态度与价值观通过让学生体会直线的点斜式方程与两点式方程的关系，培养学生的知识的互相联系性。
再根据截距的图像性质进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
(三）教学重点与难点根据教学目标的确定，并结合学生的认知水平,我确定本节课的重点和难点如下：重点：直线的两点式方程和截距式方程,两点间的中点公式。
难点：直线的两点式方程和截距式方程的推导及应用。
二、学情分析（1）班学生数学基础比较好，在解题能力特别是抽象思维的能力比较理想。
但本节课对学生的分析能力和分类讨论能力有一定要求，特别是用分类讨论思想来解决问题的能力，学生学习起来可能有一定难度，所以需要老师逐渐的引导。
三、教法与学法（一）教法本节课主要采取“分析法”“讨论法”“归纳法”相结合进行教学,同时还利用多媒体进行辅助,增强动感和直观性.在整个教学过程中,引导学生观察，分析，概括，归纳,使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开。
2021_2022年高中数学第三章直线与方程1
2．两条直线垂直的条件也是在两条直线 的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件 下有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若一条直线的斜率不 存在，而另一条直线的斜率等于 0，则两条直 线也垂直．
3．在两条直线平行或垂直关系的判断中 体会分类讨论的思想．
当堂双基达标
1．下列说法中正确的是( ) A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为－1 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行
【解析】 A 不正确，平行的两条直线可能斜率都不存 在；B 正确；C 不正确，当一条直线斜率为零，另一条直线 斜率不存在时，它们也垂直；D 不正确，斜率都不存在的两 条直线也平行．
【答案】 B
2．已知直线 l1 的斜率 k1＝－85，直线 l2 的斜率 k2＝58，则 l1 与 l2 的位置关系为( )
A．(－1,0)
B．(0，－1)
C．(1,0)
D．(0,1)
【解析】 设 D(x，y)，则 kCD＝yx－ －03＝x－y 3，kAD＝yx＋－11， 又 kAB＝22＋ －11＝3，kCB＝22－ －03＝－2，CD⊥AB，CB∥AD，
∴
kCD·kAB＝x－y 3·3＝－
kCB＝kAD
，∴
3y＝3－x
【提示】 α1＝α2，因为两直线平行，同位角相等．反之 不成立，当 α1＝α2 时，直线 l1 与 l2 可能平行或重合．
2．若直线 l1∥l2，则其斜率 k1＝k2.这种说法对吗？
【提示】 不对，只有在直线 l1 与 l2 都存在斜率时，由 l1∥l2 可以得出 k1＝k2，如图当直线 l1 与 l2 都与 x 轴垂直时， 虽然 l1∥l2 但斜率都不存在．
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》教师版
3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)[导入新知]1．两直线的交点坐标2．两直线的位置关系[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[活学活用]3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|P A|＝|PB|得(x＋1)2＋(0－2)2＝(x－2)2＋(0－7)2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C.23D ．－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝23.[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， ∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． [活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．[解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x －1＝0.当过点A 的直线不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.由|－k ＋2|k 2＋1＝1得k ＝34，故其方程为3x －4y ＋5＝0.故所求的直线方程为x －1＝0，或3x －4y ＋5＝0. 答案：x ＝1或3x －4y ＋5＝0[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455， 所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[课时达标检测]一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22C ．3D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1×(－1)＋1|12＋(－1)2＝322.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 4．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.二、填空题6．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0， 则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝07．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝08．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1， 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 则c ＝3＋(－1)2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为 3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得 |3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：(1)点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ， 则|m ＋16|10＝310， 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310， |n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.直线与方程一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·嘉兴高一检测)点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( ) A ．(－4,3) B ．(5，－6) C ．(3，－3)D.⎝⎛⎭⎫12，－32 解析：选A 设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎨⎧2＋x ′2＝－1，－3＋y ′2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4，y ′＝3. 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°.3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1B ．2C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.a ＝－5.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．－9解析：选D 由题意知k AB ＝k BC即b －1－2－3＝11－b8＋2，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( ) A ．(4，－2) B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1)解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋4＝－12，y 0＋22＝2·x 0－42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝－2. 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4， k BP ＝－2－1－3－1＝34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34，或k ≤－4.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫－2＋02，3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：1012．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。
10.2直线与方程2(教师版)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 10.2直线与方程2考纲定位 能运用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；了解常见直线系方程；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；掌握点关于点对称、点关于直线对称及直线关于直线对称的相关问题.一、两条直线的位置关系：1．判断下列各组直线的位置关系，如相交，则求出交点的坐标（1）12:10,:10l x y l x y -+=--=； （2）12:10,:10l x y l x y -+=+-=；（3）12:210,:220l x y l x y -+=-+=； （4）12:210,:3630l x y l x y -+=-+=；【考点整合】1、如果两直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+；（1）12//l l ⇔ ； （2）12l l ⊥⇔ ； （3）12l l 与相交⇔ .2、如果两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=；（1）12//l l ⇔ ； （2）12l l ⊥⇔ .（3）12l l 与相交⇔ .3、几种常见的直线系方程：（1）过定点P 00(,)x y 的直线系方程： .（2）平行于直线0Ax By C ++=的直线系方程为 .（3）垂直于直线0Ax By C ++=的直线系方程为 .（4）过两条已知直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=交点的直线系方程为 .二、距离公式1．两点(3,5),(2,1)---间的距离为 ；2．点(3,1)-到直线0x =的距离为 ；3．点(3,1)-到直线0y =的距离为 ；4．点(3,1)-到直线10x y -+=的距离为 ；5．两条直线12:10,:10l x y l x y -+=--=间的距离为 ；6．两条直线12:10,:2210l x y l x y -+=--=间的距离为 .【考点整合】1、两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离为： .2、点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为： .3、两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为 .三、对称问题1．点(2,1)-关于点(0,0)对称的点为 ；点(2,1)-关于点(2,0)对称的点为 ；2．点(2,1)关于y 轴对称的点为 ；点(2,1)关于x 轴对称的点为 ；点(2,1)关于直线y x =对称的点为 ；【典型例题】例1：求经过直线12:3210,:5210l x y l x y +-=++=的交点，且垂直于直线3:3560l x y -+=的直线l 的方程.【答案】：3560x y -+=.例2：（1）求点(2,1)关于直线10x y -+=对称点的坐标；（2）求直线1:0l x y -=关于直线2:10l x y -+=对称的直线l 的方程；（3）求直线1:2310l x y --=关于直线2:10l x y -+=对称的直线l 的方程.【巩固提升】1、已知直线1l 过点(-2,0)和(1,3m)，直线2l 过点(0,1)和(m,-2m).（1）若12//l l ，则m= ；（2）若12l l ⊥，则m= .2、已知k R ∈，则直线:(1)30l kx k y +-+=经过的定点坐标为（ ）AA.(-3,-3)B.(-3,0)C.(1,1)D.(0,0)3、若直线1:(4)l y k x =-与直线2l 关于点(2,1)对称，则直线2l 经过定点（ ）BA.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)【课后反思】。
《直线与方程》教案例题精析
《直线与方程》教案例题精析一、教学目标1. 让学生理解直线的斜截式、点斜式、一般式等方程的定义及表示方法。
2. 培养学生运用直线方程解决实际问题的能力。
3. 通过对典型例题的解析，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线的斜截式方程：y = kx + b（k为斜率，b为截距）2. 直线的点斜式方程：y y1 = k(x x1)（k为斜率，(x1, y1)为直线上的一点）3. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0（A、B、C为常数，且A、B不为0）4. 直线的斜率与倾斜角的关系：k = tanθ（θ为直线的倾斜角）5. 直线与坐标轴的交点：x轴交点为(-b/k, 0)，y轴交点为(0, b)三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生掌握直线方程的基本概念和求解方法。
2. 利用多媒体课件，形象地展示直线方程的图象，增强学生对直线方程的理解。
3. 设计具有代表性的例题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的见解，提高学生的合作能力。
四、教学准备1. 准备PPT课件，包括直线方程的图象、典型例题及解题步骤。
2. 准备相关练习题，用于巩固学生对直线方程的掌握。
3. 准备黑板、粉笔，用于板书直线方程的重要知识点。
五、教学过程1. 导入新课：回顾一次函数的图象和性质，引导学生过渡到直线方程的学习。
2. 讲解直线方程的基本概念：斜截式、点斜式、一般式，以及斜率与倾斜角的关系。
3. 演示直线方程的图象，让学生直观地理解直线方程表示的直线在坐标平面上的位置。
4. 解析典型例题：引导学生运用直线方程解决实际问题，如求直线与坐标轴的交点、直线与直线的交点等。
5. 练习环节：让学生独立完成相关练习题，巩固对直线方程的掌握。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对直线方程的理解程度和掌握情况。
2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估他们对直线方程的应用能力。
《直线与方程》复习课件(17张ppt)
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0
10.1直线与方程1(教师版)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 10.1直线与方程1考纲定位 理解直线的倾斜角和斜率的概念及对应关系；灵活运用直线方程的点斜式、两点式及一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.一、直线的倾斜角与斜率：1．一直线倾斜角为30°，则其斜率为 ；2．一直线斜率为3-，则其倾斜角为 ；3．由点(6,9),(14,1)所确定直线的斜率为 ；4．直线310x y -+=的斜率为 ；倾斜角为 .【考点整合】1、直线的倾斜角θ：（1）定义： ；倾斜角θ的范围： .2、直线的斜率k ：（1）定义：（2）斜率k 的计算公式： ； ；斜率k 的范围： .3、直线的倾斜角与斜率之间的关系：当θ为锐角时，k 0；当θ为钝角时，k 0；当θ=0时，k 0；当θ为直角时，k .二、直线方程1．过点(2,1)-且斜率为3的直线方程为 ；2．经过两点(3,5),(2,1)---的直线方程为 ；3．斜率为2，且与y 轴的截距为-1的直线方程为 ；4．与x 轴，y 轴的截距分别为2，-3的直线方程为 ；5．经过两点(1,0),(2,0)的直线方程为 ；此时倾斜角为 ；斜率为 .6．经过两点(1,1),(2,1)的直线方程为 ；此时倾斜角为 ；斜率为 .【考点整合】直线方程的几种形式：（1）点斜式： ； 两点式： ；（2）斜截式： ； 截距式： ；（3）一般式： ；三、两直线平行或垂直时，斜率之间的关系：1．过点(2,1)-，且与直线10x y -+=平行的直线方程为 ；2．过点(2,1)-，且与直线10x y -+=垂直的直线方程为 ；3．过点(2,1)-，且与直线1x =平行的直线方程为 ；4．过点(2,1)-，且与直线1x =垂直的直线方程为 ；5．过点(2,1)-，且与直线0y =平行的直线方程为6．过点(2,1)-，且与直线0y =垂直的直线方程为【考点整合】1、如果两直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+；（1）12//l l ⇔ ； （2）12l l ⊥⇔ .2、如果两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=；（1）12//l l ⇔ ； （2）12l l ⊥⇔ .例1：已知(1,2),(5,6)A B -,直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】：50230x y x y +-=-=或例2：若三点A （2，3），B （3，2），C （1,2m ）共线，则实数m= .92【高考真题】1、（2011 安徽）若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ）BA.-1B.1C.3D.-32、（2012 辽宁）将圆222410x y x y +--+=平分的直线是（ ）CA.10x y +-=B.30x y ++=C.10x y -+=D.30x y -+=3、（2010 安徽）过点（1，0）且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）AA.210x y --=B.210x y -+=C.220x y +-=D.210x y +-=4、（2009 安徽）过点（-1，2）且与直线2340x y -+=垂直的直线方程是（ ）AA.3210x y +-=B.3270x y ++=C.2350x y -+=D.2380x y -+=5、（2012 湖北）过点P(1,1)的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）AA.20x y +-=B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=6、（2012 浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线12:210:(1)40l ax y l x a y +-=+++=与直线平行”的（ ）AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、（2011 浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m= .18、（2008 广东）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程为 .10x y -+=【课后反思】。
新人教A版必修高中数学第三章《直线与方程》
七、易错题辨析 【典例7】 已知直线l过点A(1,2),且原点到直线l的距离为1,求直线l的 方程.
错解:由题意设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0.因为原点到直
线 l 的距离为 1,所以 | k 2 | =1,解得 k= 3 .所以所求直线 l 的方程为
8 所以- n =-1,所以 n=8.故 m=0,n=8.
8
规律方法 两直线平行与垂直的判定
(1)两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2斜率都存在,l1∥l2⇔k1=k2且 b1≠b2;l1⊥l2⇔k1·k2=-1,斜率不存在时单独考虑,即k1,k2中有一个为零,另 一个不存在,则两条直线垂直,若k1,k2均不存在,则两直线平行. (2)当两条直线给出一般式时,平行与垂直关系利用系数关系解决.即
4 6
, ,
因为 P'(x',y')在直线 m 上,所以 3· 5x 12 y 4 -2· 12x 5y 6 -6=0,
13
13
化简得 9x-46y+102=0.
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.
解:(3)设点 Q'(a,b)是直线 l 上任意一点,点 Q'(a,b)关于点 A(-1,-2)的对
三、两条直线的位置关系 【典例3】 已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使: (1)l1与l2相交于点(m,-1); (2)l1∥l2;
解:(1)因为l1与l2相交于点(m,-1),所以点(m,-1)在l1,l2上,将(m,-1)代入 l2的方程,得2m-m-1=0,解得m=1. 所以直线l1的方程为x+8y+n=0,所以n=7.
高二数学-直线与方程典型习题(教师版)
【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的围000180α≤<（2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点四 直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
2021_2022年高中数学第三章直线与方程3
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：夹在两条平行直线间_公__垂__线__段___的长叫做这两 条平行直线间的距离．
(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一 条直线上任取一点，这点点到到另直一线条直线的距离就是这两条平行 直线间的距离．
探索延拓
探究方向三：距离公式的应用
两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕 着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d， (1)求d的变化范围； (2)求当d取得最大值时的两条直线方程．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2， 则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2， 即bb12＝＝23－k－61k，， 而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0， 由于 k∈R， 所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
[解析] (1)用数形结合法容易得到，当直线 l⊥AB 时，d 取最大值，当 l 经过 A、B 时，d 取最小值，
∴0≤d≤5. (2)当 d＝5 时，kl＝－k1AB， kAB＝1－4－－13＝34， ∴l 方程 y－1＝－43(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.
(3)设 l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0， 由 A(1,4)到 l 距离为 4 知 |k－41＋＋3kk2＋1|＝4，∴k＝－274， 故所求直线方程为：7x＋24y－3＝0.
－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0. 综上所述，所求直线 l 的方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0. [总结] 当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率
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直线与方程
一、【知识梳理】
1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线
l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为o 0
②倾斜角α的范围为[o o 180,0]
（2）直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即
k =________，倾斜角是90︒的直线斜率________．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式为k =______________________．当21x x =时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系
当α为锐角时，α越大⇔k 越____；当α为钝角时，α越大⇔k 越____；
2
3．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，则12//l l ⇔________⇔_______⇔ 特
别地，当直线的斜率1l 、2l 都不存在时，1l 与2l ________． （2）两条直线垂直
如果两条直线斜率1l 、2l 存在，设为1k 、2k ，则1
2l l ⊥⇔___________⇔__________当一条直线斜率为
零，另一条直线斜率不存在时，两直线________． 4．两直线相交
交点：直线1l ：1110A x B y C ++=和2l ：222
0A x B y C ++=的公共点的坐标与方程组
1112220
A x
B y
C A x B y C ++=⎧⎨
++=⎩的解一一对应． 相交⇔方程组有__________，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组________；
重合⇔方程组有______________．
5．三种距离公式
（1）点()11,A
x y 、()22,B x y 间的距离：AB =
（2）点()00,P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =
（3）两平行直线1l ：111
0A x B y C ++=与2l ：2220A x B y C ++= （12C C ≠）间的距离为d =
二、【课前热身】
1．已知0a >，若平面内三点23(1,),(2,),(3,)A a B a C a -共线，则a = ( 1+2)
2已知250x y ++=的最小值是 (5)
3. ．直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 ．),4
3[
]4
,
0[ππ
π
⋃ 4．若直线1l ：()4y k
x =-与直线2l 关于点()2,1对称，则直线2l 恒过定点是 (0,2)．
5．经过点(1,4)P 的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程 2x+y-6=0
6．设直线l 经过点A ()1,1-，则当点B ()2,1-与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为 2x+3y-1=0 三、【范例导航】
例1 已知直线:20l mx y m -++=(R m ∈)与以()2,3A --、()3,0B 为端点的线段相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．),5[]2
1,(+∞⋃--∞
变式训练：在上述条件中，若P 点坐标为()3,2-，则直线l 的斜率的取值范围有何变化？
]3
1,5[--
例2 求适合下列条件的直线方程：
（1） 过点(1,3)A --，斜率是直线3y x =的斜率的1
4
-
(3x+4y+15=0) （2） 经过点(3,2)P ，且在两坐标轴上的截距相等(2x-3y=0,x+y-5=0)
（3） 过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =(x=1,3x+4y+1=0)
变式训练： 求满足下列条件的直线l 的方程： （1） 过点(0,2)A ，它的倾斜角的正弦值是
3
5
；(3x-4y+8=0,3x+4y-8=0)
（2） 过点(2,1)A ，它的倾斜角是直线1:3450l x y ++=的倾斜角的一半；(3x-y-5=0) （3） 过点(2,1)A 和直线230x y --=与2320x y --=的交点．(5x-7y-3=0)
例3. （1）已知两直线1l ：2
60x m
y ++=，2l ：()2320m x my m -++=，若12//l l ，求实数m 的值；
（2）已知两直线1l ：260ax y ++=和2l ：()()
2
110x a y a +-+-=．若1
2l l ⊥，求实数a 的值．
(1)m=0或m=-1
（2）3
2
=a
例4． 直线l 被两条直线1l ：430x y ++=和2l ：3550x y --=截得的线段的中点为()1,2P -，求直线l 的方
程．
．3x+y+1=0
例5．已知直线():120l kx y k k -++=∈R ．
（1）证明直线l 过定点；
（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
（3）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求使AOB ∆面积最小时直线l 的方程． (1)(-2,1) (2)),0[+∞ (3)x-2y+4=0
例6已知直线l ：2310x y -+=，点()1,2A
--．求：
（1）点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；()13
4
,1333(-
) （2）直线m ：3260x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程；9x-46y+102=0
（3）直线l 关于点()1,2A --对称的直线l '的方程．2x-3y-9=0
四【高考再现】
1、若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，，则（ D ） A ．221a b +≤B ．22
1a b +≥C ．22111a b +≤D ．22111a b
+≥
2、已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是（C ）
A ．1或3
B ．1或5
C ．3或5
D ．1或2
3.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ） A ．11
33
y x =-
+ B ．113y x =-
+ C ．33y x =- D ．1
13
y x =+ 4.已知点A （0,2），B （2,0）．若点C 在函数y = x 2的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）
A.4 B ．3 C ．2 D ．1
5. 若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为m 的倾斜角可以是
①15
②30
③45
④
60 ⑤75
其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号）①⑤
五【课后小结】。