数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
数学物理方程第一章、第二章习题全解
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数学物理方程及定解问题
这个初始问题有解
u( x, y) n2 sinh ny sin nx
数学物理方法2015.02
D 为扩散系数
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第三节 位势方程
稳定的温度场
a2u f ( x, y, z)
膜平衡方程
2u 2u a 2 2 f ( x, y ) x y
2
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第三节 位势方程
定解条件与定解问题的提法
第一类边界条件： u( x, y, z) g( x, y, z)
b u t2 b t2 u dx dx dt f0dx T0 ux (b, t ) ux (a, t ) dt a a t1 a t1 t t t2 t t t1 b
dt
t1
t2
b
a
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物理模型 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。 假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质 有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。 均匀物体： 物体的密度为常数 各向同性： 物体的比热和热传导系数均为常数
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第二节 热传导方程与扩散方程
数学模型的建立 设： u(x,y,z,t)表示物体于时刻 t 在位置 x,y,z 处的温度 C 表示是比热 (焦耳/度· 千克) 表示密度 (千克/米3)， k 表示导热系数 f 0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克· 秒)
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第一节 波动方程及定解条件
三维波动方程或声波方程
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y
第1章 数学物理方程及定解问题
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
数学物理方程学习指导与习题解答
数学物理方程学习指导与习题解答物理学家说：“学会做习题，是学习数学的最重要环节。
”对于高三学生来说，认真做好数学物理方程的习题，不仅可以使他们了解物理、数学、化学三门课程之间的关系和区别，而且能培养他们独立思考问题和解决问题的能力。
同时，由于物理学科本身就具有严密的逻辑性，解题训练也可以增强学生的逻辑思维能力。
数学物理方程学习指导与习题解答：第一章、概念： 1。
(1)理解能量、机械能守恒定律、机械功、功率、焦耳定律等概念，知道它们之间的关系。
(2)掌握麦克斯韦速率分布律、拉格朗日乘数定律。
(3)掌握动能定理、动量定理、动量守恒定律。
(4)掌握机械能守恒定律和能量守恒定律的内容及适用条件。
(5)理解热力学第一定律的表述及其内容和适用条件。
(6)了解能量转化和守恒定律的主要应用。
(7)了解热力学第二定律的表述及其内容和适用条件。
(8)掌握热力学第二定律的几种情况，能够利用热力学第二定律解决实际问题。
2。
理解气体的摩尔定压、摩尔定容、理想气体常数等概念。
(1)会求下列气体的定容、定压比热容;(2)会计算理想气体混合物的物质的量;2．能够用微分法求解电路中的功率，会用麦克斯韦速率分布律判断和计算物体的温度;(3)能够根据物理量的测量结果，确定物体的位置，并绘制简单的示意图;(4)能够根据物理规律绘制能量流、热量流和质量流示意图;(5)能够根据公式计算、简化或推导出实际应用中常见的物理量;(6)能够根据能量守恒原理计算物体的功;6．(实验类)在盛有一定量水的烧杯中放入一定量食盐，用火加热直至食盐完全溶解。
写出下面有关各量的变化规律：(1)当食盐放入水中时，溶液的温度保持不变; (2)当食盐全部溶解后，过一段时间，液面将不断地上升;(3)当达到饱和时，液面又将不断地下降;(4)当食盐溶解完毕时，烧杯里的食盐溶液质量不变，食盐的总质量不变，其物质的量随着温度的变化而改变;(5)当烧杯中水和食盐全部熔化成蒸汽，食盐溶液逐渐冷却，食盐逐渐凝固成固体，此过程中固体物质的质量不变。
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案 章
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
第一章_波动方程
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
数学物理方程
第一章 波动方程
回 答 下 列 方 程 是 线 性、 的非 线 性 的 ？ 齐 次 非次 齐？ 阶 数 ？
(1)
4u
4
x x y y u u ( 2)u xy 0 x x
2u
2
2
4u
2 2
4u
4
0
四阶线性齐次 一阶非线性，拟线性的 二阶线性齐次的 二阶线性非齐次的 三阶非线性
要在区域 ( 0 x l ,t 0 )上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x 轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件 (2.3)和 (2.4)。 一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷 （Dirichlet）边界条件。
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播 ………等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。
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第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
（它由n 个空间坐标＋1个时间坐标，称为1+n 个自变量）。
本书仅讨论二阶2-3维常系数线性偏微分方程，在特殊函数中也讨论部分二阶变系数线性常微分方程的问题，即1维常系数线性微分方程。
为节省篇幅，以后不说明一维x 与n 维),,(1n x x x ⋅⋅⋅=的不同。
△算子 为书写简便，通常把从一个函数类（定义域）到另一个函数类（值域）的映射称为算子（或算符）。
如二阶微分算子L 及t L 为∑∑==+∂∂+∂∂∂=nj i n i i i j i ij c x b x x a L 1,12 (1.1.4) 22L a b t t t ∂∂=+∂∂ (1.1.5)特例，拉普拉斯算子∆（当下标为３时常略去下标）：∑=∂∂=∆ni i n x 122； （或222222x y z ∂∂∂∆=++∂∂∂） (1.1.6)⒉ 三类基本方程在众多二阶数学物理方程中，以下三类方程被经常使用：波动方程（或称双曲型方程）：2tt u a u f =∆+传导方程（或称抛物型方程）：2t u a u f =∆+泊松方程（或称椭圆型方程）：f u =∆波动方程和传导方程因与时间的未来变化相关，将它们统称为发展方程；另将与时间无关的泊方程称为稳定方程。
它们的共性是：①都是线性方程，②都是常系数方程，③都是二阶方程。
⒊ 简单方程的一些解法任何一个在自变量的区域内满足方程的函数称为微分方程的解。
方程的解可以通过观察发现而验证得到，也可通过使用数学方法求得。
例1（直接积分法）：求解方程：0=xy u解：首先通过方程两边对x 直接积分，得)(y h u y =上式两边对y 积分，得)()()()(y g x f x f dy y h u +=+=⎰其中，由于u 满足方程，因此函数)(x f 与)(x g 必须二阶可导。
这是一个简单的二阶线性偏微分方程，式中)(x f 与)(x g 为任意函数，故称其为通解。
例2（变量替换法）：求解一维波动方程：xx tt u a u 2=解：作变量替换at x +=ξ，at x -=η原方程可化为：0=ξηu由例1得原方程的解为)()()()(at x g at x f g f u -++=+=ηξ不难看出，本例题是上一例题的应用。
（注意方法与结果）例3（降维法）：解方程：t x u u t x xt 22=+解：令x u v =，则原方程为t x v v t t 22=+不难得到[]23/3/2)(t t x t G v += 故)()(3122t H x F t t x u ++=-例4（待定系数法）：求解二维调和方程：20xx yy u u u ∆=+=解：该方程的解难以直接求得。
由复变函数知：对z x iy =+，任意一个解析函数)(z f 的实部与虚部均满足调和方程。
即若)(Re z f u =或)(Im z f u =，则02=∆u 。
如取n z z f =)(，容易验证，以下各函数（,r θ为极坐标）均满足02=∆u 。
θn r n cos 、θn r n sin 、r ln或：ay e ax cos 、bx e by cos 、by ax e u +=（其中：022=+b a ）等。
它们的线性组合也是方程的解。
通过上述例题不难看出：①一个偏微分方程的解是不唯一的，甚至可能为无穷多个（通）解。
②要使得方程的解是唯一的，必须对解附加一定的限制（称为约束条件）。
§1.2 数学物理方程的导出本节讨论：①数学物理方程的导出，②定解条件的分类与特点，⒈ 三类方程的导出方程的导出，是指将物理现象用数学语言（公式）表述出来。
表述的方法可按如下步骤进行。
▲方程导出的步骤（1）：确定所要研究的物理量u 。
（2）：用“微元法”研究系统的一小部份，根据物理过程分析邻近部份与这个小部份间的相互作用；略去微量即可。
（3）：将这种关系用数学算式表达出来，化简并整理即得数学物理方程。
▲波动方程的建立例1（均匀弦的微小横振动） 设有一条密度均匀的柔软弦，在张力的作用下处于平衡状态，除重力外不受外力影响。
求在微小横向扰动下弦的振动规律。
设弦与x 轴重合，振动的位移为u 轴，弦在坐标系中的位置为[0,]l 。
由于振动的位移u 与时间t 与位置x 相关，即(,)u t x 。
考虑弦中某微小长为ds 的弧段的运动12M M ，运动中两端受的张力为1T 与2T ；在x 轴方向上任一点受力的总和为1122cos cos αα-T T ，当弦仅作横向振动时，有1122cos cos 0αα-=T T而在u 轴方向上任一点受力的总和为2211sin sin ααρ--T T gds ，这里ρgds 为该弧段的重力，负号表示方向向下。
由牛顿第二定律得222112sin sin ()ααρρ∂--=∂uT T g ds ds t当120,0αα≈≈时，有1cos 1α≈，2cos 1α≈，11(,)sin tan αα∂≈=∂u t x x ，22(,)sin tan αα∂+≈=∂u t x dx x，=dx ds 此时12==T T T 并且22(,)(,)ρρ∂+∂∂⎡⎤--=⎢⎥∂∂⎣⎦∂u t x dx u t x u T g dx dx x x t 将上式进一步地利用近似式22(,)(,)∂+∂∂-≈∂∂∂u t x dx u t x u dx x x x代入上式略去微量dx 可得：2222ρ∂∂≈-∂∂uT ug t x采用记号2/ρ=a T 、(,)=-f t x g ，故可将上式用等式表示为一维波动方程：22222(,)∂∂=+∂∂uu a f t x t x图1.1 例1的示意图▲热传导方程的建立例2（物体的热传导过程） 当某一可导热的物体内各处的温度不均匀时，热量就要从高温处向低温处流动，该现象称为热传导。
设物体内的温度分布为(,,,)u t x y z ，即温度的分布与时间与空间位置相关。
考虑体内微元（体元）内的温度，由热传导的富里叶定律知，在某一时段内从物体表面流入到区域内热量∆Q 与时间∆t 、表面积∆S 以及温度沿法向方向的变化率∇u 三者的积成正比。
即∆=∇⋅∆⋅∆Q k u S t 或： ∂=∂u dQ k dSdt nk 为热传导系数。
于是，流入到物体内的全部热量1Q 为211⎡⎤∂=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰t t S u Q k dS dt n当热量流入后物体内的温度发生变化。
即[](,,,)(,,,)ττρτρτ∂+∆-≈∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰u c u t t x y z u t x y z d c dtd t全部温度变化所需的总热量为212τρτ⎡⎤∂=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰t t u Q c d dt t 流入到物体内的全部热量1Q 与全部温度变化所需的总热量2Q 相等，故有τρτ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰S u u kdS c d n t 另一方面，由奥－高公式，有ττ∂=∆∂⎰⎰⎰⎰⎰S u kdS k ud n 。
因此，可得ρ∂=∆∂u c k u t ，记2/()ρ=a k c ，则上式写成为22222222⎛⎫∂∂∂∂=∆=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭u u u u a u a t x y z 这是热传导过程中物体内的温度分布与变化规律所满足的方程式。
特别地，当经过长时间的温度流动后，温度的分布与时间无关，形成稳定的分布状态。
此时方程变为：2222220∂∂∂++=∂∂∂uuux y z即，稳定的热“传导”过程中温度分布规律满足拉普拉斯方程。
⒉ 三类方程与定解条件的特点▲数学方程与物理现象 三类不同的数学物理方程各表示不同的物理过程或状态。
（1）：双曲型方程（也称波动方程）：它描述物理学中的振动和波动过程。
主要有①连续介质（弦、杆、膜、气体）的振动问题，以及②电磁学中的波动过程。
如：一维波动方程，它表示弦的（横）振动过程；同理杆受压（松开）后的（纵）振动过程也是一维波动方程。
（2）：抛物型方程（也称传导方程、扩散方程、输运方程）：它描述物理学中的传输过程。
它研究①热的传导、扩散，②电介质内的电磁场的传播，③粘性液体流动等。
如：一维传导方程可描述杆（棒）的温度传播过程。
（3）：椭圆型方程（也称调和方程）：它描述恒稳的过程（与时间无关）。
如①固定的电磁场（电位（势）：静电学、静磁学、直流电场），②不可压缩液体的位流，③稳定的热场（温度场）。
如：可用二维稳定方程描述上下表面绝热平板的稳定热现象。
▲物理过程与数学物理方程 对一些物理现象可用相应的数学物理方程来描述。
①均匀弦的自由横振动方程。
分析：“弦”暗指一维，“横振动”指波动方程，“自由”指齐次方程。