2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列(解析版)
2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列
1．（2020·东北师大附中高三模拟（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A ．-34 B ．-36
C ．-6
D ．6
【答案】B
【解析】设数列{}n a 的公差为d ， ∵286a a +=-， ∴1286a d +=-， 又111a =-， ∴2d =， ∴n S ()112
n n d
na -=+
()111n n n =-+-212n n =-()2
636n =--，
∴当6n =时，n S 有最小值636S =-，故选B 。
2．（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文））在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==， 又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =. 若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，
121n S =Q ，
118112111n a a q q
q q
--==--
解得3q =，18113n -∴=?，解得5n =； 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，
121n S =Q ，
18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，1
18113n -??∴=? ???
，解得5n =. 则此数列的项数n 等于5，故选B 。
3．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，
，则5a =（ ） A ．11 B ．10
C ．7
D ．3
【答案】B
【解析】依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=。
4．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，30a =，则公差d =（ ） A ．-3 B ．3
C ．-2
D ．2
【答案】A
【解析】39S =Q ，30a =，∴132
392
a d ?+
=，120a d +=，则解得公差3d =-，故选A 。 5．（2020·福建省莆田市高三质检（文））设等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 2＝4，S 5＝10，a 5＝（ ） A ．﹣2 B ．0
C ．6
D ．10
【答案】A
【解析】∵等差数列{}n a 前n 项和为n S ，24a =，510S =，
∴2151454
5102a a d S a d =+=????=+=??
， 解得16a =，2d =-，
∴56422a =-?=-，故选A 。
6．（2020·福建省漳州市高三测试（文）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则10S 的值为（ ） A ．-100 B ．-90 C ．90 D ．110
【答案】D
【解析】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2
2
73977777(4)(2)(8)(4)a a a a a d a d a a =?∴=-?+=+?-
78a ∴=，又d =-2，120a ∴=
10109
1020(2)1102
S ?∴=?+
?-=，故选D 。 7．（2020·河北省沧州市高三一模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）
A ．25
B ．35
C ．40
D ．45
【答案】B
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得313127339a a d S a d =+=??=+=?，解得11
4a d =-??=?
，
因此，101919435a a d =+=-+?=，故选B 。
8．（2020·河南省安阳市高三一模（文）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10 B ．14- C ．–18 D ．–20
【答案】D
【解析】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
?=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-，故选D 。 9．（2020·河南省鹤壁市高级中学高三二模（文））数列{}n a 的通项公式cos 2
n n a n π
=，其前n 项和为n S ，则2020S =（ ） A ．1010 B ．2020
C ．5050
D ．0
【答案】A
【解析】对任意的k *∈N ，4342414k k k k a a a a ---+++
()()()()343cos 242cos 241cos 24cos 222k k k k k k k k πππππππ???
?=--+--+--+ ? ?????
()4242k k =--+=，
20204505=?Q ，因此，202025051010S =?=，故选A 。
10．（2020·河南省鹤壁市高级中学高三二模（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ．11
C ．12
D ．13
【答案】C
【解析】∵675S S S >>，∴111657654
6
75222
a d a d a d ???+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()
113137131302
a a S a +=
=<，()
()112126712602
a a S a a +=
=+>，∴满足10n n S S +<的正整数n 的值
为12，故选C 。
11．（2020·河南省开封市高三模拟（文））设等比数列{}n a 满足12131,3,a a a a +=--=-则1a =（ ） A ．1 B ．2
C ．1
5
-
D ．-1
【答案】A
【解析】由12131,3,a a a a +=--=-所以112
111
3
a a q a a q +=-??-=-?，解得11a =，故选A 。 12．（2020·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（文））已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n
b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ??
????
的前6项和为（ ）
A ．
512
B ．
56
C ．
67
D ．
37
【答案】D
【解析】Q 数列{}n a 的通项公式为22n a n =+,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.
记n b 为数阵从左至右的n 列,从上到下的n 行共2n 个数的和
∴11b a =
2123224b a a a a =++=
31234532329b a a a a a a =++++=
......
2n n b n a =?
设n n
n
c b =
,前n 和为n S ()2111111(22)2121n n n n n c b n a n n n n n n ??=
==-?=- ???+++??
66121111111+2122367S c c c ??
=++=-+-+?+- ???L L
113
1277
??=
-= ???，故选D 。 13．（2020·湖北省随州市高三调研（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，且2615a a +=，则4a =( ) A ．8 B ．6
C ．4
D ．2
【答案】B
【解析】当数列{}n a 的公比1q =时，414S a =，2136S a =，423S S ≠，1q ∴≠.
()()421111311a q a q q
q
--∴
=?
--，得2
2q =.
()4262115a a a q +=+=Q ，23a ∴=， 2426a a q ∴==，故选B 。
14．（2020·湖北省武汉市高三质检（文））已知数列{a n }的前n 项之和S n ＝n 2+1，则a 1+a 3＝（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
【答案】B
【解析】已知数列{a n }的前n 项之和S n ＝n 2+1，所以112S a ==，
所以21225,3S a a a =+=∴=， 所以3123310,5S a a a a =++=∴=， 所以a 1+a 3＝7，故选B 。
15．（2020·湖南省长郡中学高三测试（文））已知数列{}n a 满足22164n n a a n --=-,21261n n a a n ++=-,（N n *∈）则数列{}n a 的前40项和40S =( ) A ．1121 B ．1186
C ．1230
D ．1240
【答案】D
【解析】Q 21261n n a a n ++=-，22164n n a a n --=-，
∴两式相减得21213n n a a +-+=，
又22164n n a a n --=-，即22164n n a n a -=-+，
∴()222212161464121n n n n a a n a n a n ++-+=+-++-+=+， ∴2221221124n n n n a a a a n ++-+++=+
∴()()()401234567837383940S a a a a a a a a a a a a =++++++++++++L
()12141234121941213194101240=?++?+++?+=?++++?=L L ，
故选D 。
16．（2020·江西省名师联盟高三第二次大联考（文））在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．
2550100
,,777
B ．
252550,,1477
C ．
100200400,,777 D ．50100200
,,777
【答案】D
【解析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比
1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)
250q +=,故12
50501227a =
=++,2110027
a a ==,2
3120027a a ==. 故选D 。
17．（2020·江西省名师联盟高三调研（文））已知数列{}n a 为等差数列，若2610π
a a a 2
++=，则()39tan a a +的值为( ) A ．0 B 3
C ．1
D 3
【答案】D
【解析】Q 数列{}n a 为等差数列，1610πa a a 2
++=
， 26106πa a a 3a 2∴++==，解得6πa 6
=． 396πa a 2a 3∴+==
， ()39π
tan a a tan 33
∴+==，故选D 。
18．（2020·江西省名师联盟高三一模（文））设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,33a =,714S =,则公差d = A ．
1
2
B ．12
-
C ．1
D ．-1
【答案】D
【解析】由题得1123,1,76
7142a d d a d +=??
∴=-??+=??
，故答案为D 。 19．（2020·四川省成都市金堂中学校高三模拟（文））在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（ ） A ．66 B ．132
C ．-66
D ．-132
【答案】D
【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，
6
1111111211()13222
a a a S ??+=
==-，故选D 。
20．（2020·四川省眉山市高三二诊（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9S =
（ ） A ．27 B ．
272
C ．9
D ．3
【答案】A
【解析】因为{}n a 为等差数列，所以476563a a a a a +=+=+，解得53a =，所以
()195
9599292722
a a a S a +?=
===，故选A 。 21．（2020·四川省眉山市高三二诊（文））已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，
则
20202019
20102009
=a a a a --（ ） A ．5 B ．10
C ．25
D ．105
【答案】C
【解析】由题意有162520a a a a ==，因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，
由161612,20,
a a a a +=??=?解得12a =，610a =，设该等比数列的公比为q ，则55q =， 所以
1020202019
20102009
25a a q a a -==-，故选C 。 22．（2020·云南昆明一中高三（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若927S =，则5a =（ ） A ．-3 B ．3
C ．-6
D ．6
【答案】B
【解析】因为927S =，所以
()195
992272
2
a a a +?=
=，所以5927a =，则53a =，故选B 。 23．（2020·云南昆明一中高三（文））已知等比数列{}n a 的各项都是正数，51a =，3119a a =，则{}n a 的公比为_____. 3【解析】因为{}n a 为各项都是正数的等比数列，所以由23117
9a a a ==，得73a = 且27
5
3a q a =
=.，则
3q =
24．（2020·四川省成都市金堂中学校高三模拟（文））等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{lg }n a 的前8项和等于________. 【答案】4
【解析】()()4
12812845lg lg ...lg lg ...lg a a a a a a a a +++== ()454lg 4lg104a a ===。
25．（2020·江西高三（理））记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若
35
7
n n S n T n +=+，则5
7
a b =______. 【答案】
85
【解析】因为357
n n S n T n +=+，所以可设()35n S kn n =+，()7n T kn n =+， 912959S a a a a =+++=Q L ，9
5329
S a k ∴=
=， 131213713S b b b a =+++=Q L ，13
72013
T b k ∴=
=，故5785a b =。
26．（2020·吉林省高三二模（文））已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，113
a =
，2
366a a =，则5S =_______．
【答案】
313
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q 由()
2
251123666a q a a a q ?==
所以16q a =，又11
3
a =
，所以2q =。 27．（2020·湖北省随州市高三调研（文））已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；
②12n n n a a b ++=，2
11n n n b b a ++=.则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.
【答案】
()1
12
n n +
【解析】0n a >Q ，0n b >，2
11n n n b b a ++=，11n n n a b b ++∴
则2n ≥112n n n n n b b b b b -+=，
2n ∴≥112n n n b b b -+=11n n n n b b b b +-=
∴数列
{}n
b 是等差数列.
又1212a a b +=，12b ∴=，222192
a b b =
=， 12b 212
2
d b b ==
， ()()2221122
n b n n =-=+. ()2
112
n b n ∴=
+， ()()111
122
n n n a b b n n ++∴==++.
()1
12n a n n ∴=+，其中11a =适合此式，
()1
12
n a n n ∴=+。
28．（2020·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（文））数列{}n a 满足11a =，()2
212n n n a S S -=(2n ≥，*n N ∈)，
则6a =______. 【答案】2
99
-
【解析】Q ()()2
11212n n n S S S S ---=
化简可得:22
11222n n n n n n S S S S S S ----+=
即:112n n n n S S S S ---=?
可得:
1
112n n S S --= ∴1
n S 是以公差为2,首项为
1
11S =的等差数列
根据等差数列通项公式可得:
1
11
(1)221n n n S S =+-?=- ∴1
21
n S n =
- 由665111999
2
1a S S ==
--=
- ∴6299
a =
-。 29．（2020·福建省莆田市高三质检（文））若数列{a n }满足a 1＝2，a n +11
1n n
a a +=
-，a 2020＝_____. 【答案】
1
3
【解析】Q 数列{}n a 满足12a =，11
1n n n
a a a ++=
-， ∴121
1
31a a a +=
=--，同理可得：()3311132a -+=
=---， 41
1
121312a -+==??-- ???，
51132113
a +==-，
…
∴数列{}n a 是周期为4的数列，
又2020＝505×
4，∴202041
3
a a ==。 30．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））已知数列{}n a 为正项等差数列，其前2020项和
20201010S =，则
22019
11
a a +的最小值为______. 【答案】4
【解析】数列{}n a 为正项等差数列，其前2020项和20201010S =，
∴
202102020()
10102
a a +=，
可得20121920201a a a a +==+，
∴
2019222222019
201920192201922019201911()(121
)224a a a a a a a a a a a a a a =+=+++++g …， 当且仅当201921
2
a a ==
时取等号，故答案为4。 31．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））若数列｛n a ｝的前n 项和2
2n S n n =-，则此数列
的通项公式_______． 【答案】23n a n =-
【解析】数列的前n 项和是不含常数项的关于实数n 的二次函数，据此可得，该数列为等差数
列，其通项公式为：123n n n a S S n -=-=- .
31．（2020·东北师大附中高三模拟（文））已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且
12n n a S +=n a =__________．
【答案】21n -
【解析】∵12n n a S +=0n a >，∴()2
14n n a S +=， 当1n =时，()2
111144a S a +==，解得11a =； 当2n ≥时，()21114n n a S --+=，
则()()2
21111444n n n n n a a S S a --+-+=-=， ∴()()1120n n n n a a a a --+--=，
∴12n n a a --=，或10n n a a -+=（舍去）， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()12121n a n n =+-=-。
32．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值
【答案】a n =11-2n,n=5时，S n 取得最大值
【解析】（1）由a n =a 1+（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,（2）由（1）知S n =na 1+(1)
2
n n -d=10n-n 2．因为S n =-（n-5）2+25．所以n=5时，S n 取得最大值．
33．（2020·福建省漳州市高三测试（文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}
n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈. (1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ?}的前n 项和n T .
【答案】（1）21n b n =-；（2）(45)25n
n T n =-+
【解析】（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，22
12[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*
41,n a n n N =-∈.
又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：1
2n n b -=. 故41,n a n =-，1
2n n b -=，*n N ∈. （2）∵41,n a n =-，1
2n n b -=，*n N ∈
∴1122n n n T a b a b a b =+++L 01213272(45)2(41)2n n n n --=?+?++-?+-?L ①
12123272(45)2(41)2n n n T n n -=?+?++-?+-?L ②
由①-②得：1213424242(41)2n n
n T n --=+?+?++?--?L
12(12)
34(41)2(54)2512
n n n n n --=+?--?=-?--
∴(45)25n
n T n =-?+，*n N ∈.
34．（2020·河北省沧州市高三一模（文））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且26n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）123n n a -=；（2）()21318
n n n T -+=
. 【解析】（1）当1n =时，1126S a =-，所以12a =； 当2n ≥时，由26n n S a =-，可得1126n n S a --=-， 上述两个等式相减得12n n n a a a -=-，11
3
n n a a -∴
=， 所以数列{}n a 是以2为首项，以13为公比的等比数列，1
1
12
233
n n n a --??=?=
???
； （2）由（1）可知1
32n n n b -?=，
故011
13233222
n n n T -???=++???+
，① ()1
12
131********
2
n n
n n n T --????=++???+
+.② ①-②，得()()0
1
1
11312311333332222221324
n
n n n
n n n n n T ---?-???-=++???+-=-=
-， 化简得()21318
n n n T -+=
．
35．（2020·河南省安阳市高三一模（文）已知数列{}n a 的各项都为正数，12a =，且11
21n n
n n a a a a ++=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设()2lg log n n b a =????，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg99]1=，求数列{}n b 的前2020项和．
【答案】（Ⅰ）2n
n a =；（Ⅱ）4953
【解析】
（Ⅰ）∵11
21n n
n n a a a a ++=+，∴22
1120n n n n a a a a ++--=，∴()()1120n n n n a a a a +++-=
又∵数列{}n a 的各项都为正数，∴120n n a a +-=，即12n n a a +=．
∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2n
n a =．
（Ⅱ）∵()2lg log [lg ]n n b a n ==???
?，∴0,1101,101002,10010003,10002020
n n n b n n ≤
36．（2020·湖北省武汉市高三质检（文））若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 4﹣a 1＝S 3，a 5﹣a 1＝15． （1）求数列{a n }的首项a 1和公比q ； （2）若a n ＞n +100，求n 的取值范围． 【答案】（1）q ＝2，a 1＝1；（2）n ≥7. 【解析】
（1）∵a 4﹣a 1＝S 3，a 5﹣a 1＝15．显然公比q ≠1，
∴()
()
(
)
3
131********a q a q q a q ?-?-=
?-?
?-=??
，解可得q ＝2，a 1＝1， （2）由（1）可得a n ＝12n -， ∵a n ＞n +100，即12n -＞n +100， 解可得，n ≥7。
37．（2020·吉林省实验中学高三第一次检测（文））在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a +，34a +成等比数列.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{
}2
n
n a -的前n 项和n
S
.
【答案】（1）26n a n =+（2）21722n n n ++-+ 【解析】（1）∵{}n a 的公差为2d =, ∴212a a =+,134a a =+.
∵11a +,22a +,34a +成等比数列, ∴()()()2
111184a a a ++=+, 解得18a =,
从而()82126n a n n =+-=+. （2）由（1）得26n a n =+,
2(26)2n n n a n ∴-=+-
()()281026222n n S n L ∴=++???++-+++.
()826222212
n
n n ++-?=-
- ()()1722n n n +=+--
21722n n n +=+-+。
38．（2020·河北衡水中学高三调研）已知首项为2的数列{}n a 满足1
1221
n n n na a n +++=
+. （1）证明：数列2n n na ??
?
???
是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1
211
2222
n n S n n +=++- 【解析】
（1）证明:因为11221
n n n na a n +++=
+,所以1
1(1)22n n n n a na +++=+, 所以
11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n
n a na +++-=,因为12a =,所以1
12a =, 故数列2n n na ??
?
???
是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知
()112
n
n na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+,
则123n n S b b b b =+++?+()()()
23(21)22232n
n =++++++++L
(
)
232222(123)n
n =+++++++++L L (
)212(1)12
2
n
n n ?-+=
+-1
211
2
222
n n n +=++-. 39．（2020·陕西省西安中学高三二模（文））已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足
12111
==3
n n n n b b a b b nb +++=1，，．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和． 【答案】(Ⅰ)3n-1;(Ⅱ)见解析.
【解析】（Ⅰ）由已知，1221121
,1,,3
a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和11n n n n a b b nb +++=得13n n b b +=
，因此{}n b 是首项为1，公比为1
3
的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则11
1()313.122313
n
n n S --==-?- 40．（2020·江西省名师联盟高三调研（文））设数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且
()n 1n 1
n n 1n 1
a a 2n 2a a a -+-++=≥ (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设数列11
b 2
=
，n n 1n 4b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T .证明：n T 1<． 【答案】（1）n 2
a n 1=+；（2）证明见解析.
【解析】
(1)Q 数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且
()n 1n 1
n n 1n 1
a a 2n 2a a a -+-++=≥， n n 1n 1
211
a a a -+∴
=+， 又1a 1=，213a a 1-=，
121131,a a 2∴
==，21111a a 2
∴-=， n 1a ??∴????
是首项为1，公差为1
2的等差数列，
()()n 111
1n 1n 1a 22
∴
=+-=+， n 2
a .n 1
∴=
+ (2)证明：Q 数列11
b 2
=
，n n 1n 4b a a -=， ()n 111
b n n 1n n 1
∴=
=-++，
n 12n 1111
11T b b b 111223n n 1n 1??????∴=++?+=-+-+?+-=-< ? ? ?
++??????
． 故n T 1.<。
数列历年高考真题分类汇编
专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a ==
所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++ 专题六 数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 数列 1（2017山东文）（本小题满分12分） 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2（2017新课标Ⅰ文数）（12分） 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 3（（2017新课标Ⅲ文数）12分） 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4（2017浙江）（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n N *∈）． 证明：当n N *∈时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1? x n ≤12 n n x x +； （Ⅲ）112 n -≤x n ≤212n -． 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N ． 5（2017北京理）（本小题13分） 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???， 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时， n c M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列． 6（2017新课标Ⅱ文）（12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 7（2017天津文）（本小题满分13分） 已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于 0， 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019年 1.解析 （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 依题意得2 662,6124q d q d =+?? =+?解得3 .2d q =??=? 故14(1)331, 6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?. 所以，{}n a 的通项公式为(){}31, n n a n n b *=+∈N 的通项公式为() 32n n b n *=?∈N . （Ⅱ）（i ）()()()() 22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-. 所以，数列(){} 221n n a c -的通项公式为()() 221941n n n a c n *-=?-∈N . （ii ） ()()22221 1 1 1 2211n n n n i i i i i i i i i i i i c a c a a c a a ====-??=+-=+??∑∑∑∑ () () 12212439412n n n n i i =??- ?=?+?+?- ??? ∑ ( )( )21 1 41432 52 914 n n n n ---=?+?+? -- ()211* 2725212 n n n n --=?+?--∈N . 2010-2018年 1．【解析】∵113 n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列 又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ，故选C ． 2．D 【解析】由数列通项可知，当125n 剟，n N +∈时，0n a …，当2650n 剟， n N +∈ 时，0n a …，因为1260a a +>，2270a a +>???∴1250,,,S S S ???都是 历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=，所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ） 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、（全国新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时， 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. （Ⅱ）由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和．已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和T n ． . 4、（辽宁卷）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m . 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （ ） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=。例如：用1，2，3可得数阵 如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ，那么，在 用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++Λ=_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ， 高考数列选择题部分 （2016全国I ）（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 （2016上海）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条 件中，使得() * ∈ 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 A ．{}n S 是等差数列 B ．2 {}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的 零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ， 4a ，8a 成等比数列，则（ ） A. 2020年高考试题分类汇编（数列） 考法1等差数列 1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心由一块圆心石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一层多 9块， 已知每层的环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块 2.（2020·全国卷Ⅱ·文科）记n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，若12a =-，262a a +=，则10S = . 3. （2020·山东卷）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 ． 4.（2020·上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910 a a a a +++= . 5.（2020·浙江卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠， 11a d ≤．记12b S =，122n n n b S S ++=-，n N *∈，下列等式不可能成立的是 A.4262a a a =+ B.4262b b b =+ C. 2428a a a =? D.2428b b b =? 6.（2020·北京卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12n n T a a a =（1,2,n =），则数列{}n T A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 2017年高考试题分类汇编之数列 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则 {}n a 的公差为（ ）1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0>d ”是 “5642S S S >+”的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家 学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2，接下来的两项是1 2,2，再接下来的三项是2 1 2,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ） 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题（将正确的答案填在题中横线上） 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ， 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知， 则=_______________． {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =+++L ，求数列{}n b 的通项公式． 解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、（2010新课标卷理） 2008年高考数学试题分类汇编 数列 一． 选择题： 1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3 2的无穷等比数列，且{a n }各项的 和为a ，则a 的值是（B ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5 4 3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么 10a 等于（ C ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞ 5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11 ln(1)n n a a n +=++，则n a = A A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128 2017年高考试题分类汇编（数列） 考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 D 单元 数列 D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1 －a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n ，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n － 1，求数列{a n }的前n 项和S n . 17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32 ＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得 －2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ. (2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1. 若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2. 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明???? ??a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32 . 17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3? ???a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以???? ??a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n 2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12 . (2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1 . 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3 n －1，即1a n ＝23n －1≤13n －1. 历年数列高考题大全答 案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113 a =，公比1 3q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =++ +，求数列{}n b 的通项公式． 解：（Ⅰ）因为.31)3 1 (311 n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2 ) 1(+- =n n 所以}{n b 的通项公式为.2 ) 1(+- =n n b n 2、(2011全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以21 9 q = 。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ?）111111log log ...log n b a a a =+++ 故 1211 2()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21 n n -+ 3、（2010新课标卷理） 设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= 数列专题 高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1， ， ，其中为常数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由. (2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列 满足=1， . （Ⅰ）证明是等比数列，并求 的通项公式； （Ⅱ）证明： . (2015·I)（17）（本小题满分12分） 为数列的前项和.已知， （Ⅰ）求的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列 的前项和。 (2015·I I)（4）等比数列 满足 ，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 (2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列 前9项的和为27， ，则 （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 (2016·I)（15）设等比数列满足 的最大值为 __________。 (2016·II)（17）（本题满分12分） S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记 ，其中表示不超过的最大整数， 如 . （I ）求，， ； （II ）求数列的前1 000项和. (2016·III)（12）定义“规范01数列” 如下： 共有项，其中项为0，项为1，且对任意， 中0的个数不少于1的个数.若 ，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 (2016·III)（17）（本小题满分12分） 已知数列的前项和 ，其中 （I ）证明是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 ，求. (2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 (2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列2015高考数学分类汇编数列
2017高考试题分类汇编-数列
2018年高考数学试题分类汇编数列
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