1.1.1集合的含义与表示导学案

集合的含义与表示

一．知识梳理

1.集合的概念

（1）集合：元素：

2.集合通常用的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……;元素通常用的拉丁字母表示，如a、b、c、

p、q…

3.常用数集及记法

（1）自然数集（全体非负整数的集合）记作，正整数集（非负整数集内排除0的集）记作或；

全体整数的集合记作；全体有理数的集合记作；全体实数的集合记作.

—

4.元素对于集合的隶属关系:（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

5.集合的特征：

6集合的表示方法

(1)列举法：把集合中的元素，并用括起来表示集合的方法叫列举法

(2)描述法：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在

内写上表示这个集合元素的及取值（或变化）范围，再画，在后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

(3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为。用Venn图、数轴上的区间及直角

坐标平面中的图形等表示集合的方法称为

)

7.含有有限个元素的集合叫，含有无限个元素的集合叫。

题型一集合中元素的特性

例1判断下列命题的正误

（1)高个子同学可组成集合（）

（2){}()

{}

1,21,2

=

（）

（3)0N

∈( )

（4)

{}

21,2

∈

( )

（5)方程

2

(1)0

x x-=的解集为{}

0,11

（）

！

跟踪训练

1、（1）选用适当的符号填空：

{}

|233,

A x x x

=-<4-A

，2-A；

(2)说出下列三个集合的含义：

①{}2

|x y x

=

②{}2

|y y x

=

③

{}2

(,)|x y y x =

2.判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1） >

（2） 大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流；(3)非负奇数；

(4)方程210x +=的解；(5)某校2007级新生；(6)血压很高的人；(7)著名的数学家；(8)平面直角坐标系内所有第三象限的点;(9)全班成绩好的学生

题型二 元素与集合的关系

例2所给下列关系正确的个数是（ ）

（1）12R -∈（2

Q （3）0N +

∈（4）3N +-?

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 跟踪训练

1.下列说法正确的是 ( ) .

A.若,a N b N ∈∈则a b N -∈

B.若

x N +∈，则x Q ∈

C.若0x ≥，则x N ∈

D. 若x Z ?，则x Q ?

2.用符号∈或?填空：（1）0 *N ;（2）2 Z ;(3)2

3

Q ;(4)π Q; 012

=-x 的根 R ；

题型三 集合的表示法 [

例3分别用列举法和描述法表示方程2

320x x -+=的解。

跟踪训练

1.用列举法表示下列集合。 （1）

{}

|,8A x x x x Z x ==∈<且；

（2）

|,,a b B x x a b a b ??==+??

??为非零实数； （3）

6|,3C x Z x N x +??

=∈∈??

-??。

2.请用适当的方法表示下列集合：（1）方程22

=x 的实根组成的集合；（2）大于20的整数组成的集合；

（3）]

（4）

方程组?

?

?=+-=+030

2y x y x 的解的集合.

题型四 注意集合中元素的互异性 例4 已知集合{}

21,3,A a =，若32a A -∈，求实数a 的取值集合。

跟踪训练 1.（1）若{}

221,,x x x ∈+，则实数x 的取值是

|

（2）已知集合

{}

22,21A x x =--，求实数x 的取值范围

2.设A 表示集合}3,2,32{2

-+a a ，B 表示集合|}3|,2{a +，已知A ∈5，且B ?5，求a 。

课时训练

1.集合

{}

*

|5x N x ∈<的另一种表示法是 （ ）

A.

{}0,1,2,3,4 B. {}1,2,3,4 C. {}0,1,2,3,4,5 D. {}1,2,3,4,5

2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 （ ） A.

{}|311,x x x Q -<<∈ B. {}|311x x -<<

<

C.

{}|311,2,x x x k k N -<<=∈ D.{}

|311,2,x x x k k Z -<<=∈

3.下列各个集合是有限集的是 （ ） A.

{}10000小于的自然数 B. {}|01x x << C.

{}10000小于的整数 D.{}|1x x <

4.下列所给关系正确的个数是 （ ）

(1)R π∈ Q (3)*0N ∈ (4)*

4N -?

A. 1个

B. 2个

C. 3个 个 5已知集合

{}

22,4,A x x =-，若6A ∈，则x = 。

|

6用“∈”或“?”填空

（1）{}

2|0A x x x =-=，则1 A ，-2 A 。

（2）{}

|15,B x x x N =≤≤∈，则1 B ， B （3）

{}

|13,C x x x Z =-<<∈，则 C ，3 C

7.在数轴上画出下列集合所表示的范围： （1）{}|1x x >-；

（2）{}|13x x -<≤；

（3）

{}|21x x x ≥<-或。

:

8已知集合

{}

0230A =一条边长为，一个角为的等腰三角形，则A 中元素的个数为 （ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D.无数个 9.已知

{}

21|30x x x a ∈-+=，则实数a = 。

10用列举法表示下列集合： （1）{}|15x N x ∈是的约数

（2）

{}{}{}

,)|1,2,1,2x y x y ∈∈（

(3)2(,)|24x y x y x y ?+=?

????

-=??

? (4)

{}|(1),n

x x n N =-∈

#

(5){}

(,)|3216,,x y x y x N y N +=∈∈

(6)

{}(,)|,4x y x y 分别是的正整数约数

(7)A =};99

|{N N ∈-∈x x (8)B =};|99

{

N N ∈∈-x x

11．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5?B ，求实数a 的值．

…

…

集合间的基本关系 知识梳理

（一） 集合与集合之间的“包含”关系；

【

A={1，2，3}，B={1，2，3，4}

集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；

如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：)(A B B A ??或

读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A

当集合A 不包含于集合B 时，记作A B

用Venn

"

)(A B B A ??或

（二）

A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =

`

即 ?

?

????=A B B

A B A

结论：任何一个集合是它本身的子集

（三） 真子集的概念

若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集

?

记作：A B （或B A ）

读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

（四） 空集的概念

不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：? < 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五） 结论：

○A A ? ○B A ?，且C B ?，则C A ?

题型一 集合间关系的判定 例1下列各式正确的是 。

（1）

{}{}a a ?；（2）{}{}1,2,33,2,1=；

（3）{}0≠??；（4）{}00?；

（5）

{}{}1|5x x ≠

?≤；（6）

{}{}1,33,4≠

?。

【

跟踪训练

1.指出下列各对集合之间的关系： （1）{}{}

21,1,|1A B x N x =-=∈=；

（2）{}{}

|,|A x x B x x ==是等边三角形是三角形；

（3）

{}{}

|14,|50A x x B x x =-<<=-<。

2.如果M={x|x+1>0},则( ) A.?∈M

C.{0}∈M

D.{0}?M

题型二 子集关系的理解应用

~

例2写出满足

{}{},,,,a b A a b c d ??的所有集合A

跟踪训练

1.已知

{}{}

2

|101,0,1x x

A ≠

-=??-，试写出集合A 的子集.

2.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m 2},若B ?A,则实数m= .

题型三 集合相等 .

例3若{}{}21,2|0x x ax b =++=，则a = ,b = .

跟踪训练

1.设,,a b R ∈，集合

{}1,,0,

,b a b a b a ??

+=????，则b a -=

2.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．

课时训练

1.下列关系：(1)

{}

10,1,2∈;(2){}{}10,1,2∈;(3){}0,1,2≠??;(4){}{}0,1,20,2,1?;(5)

{}{}0,1,22,0,1=其中错误的个数为 ( )

A. 1个 个 个 个 | 2.集合

{}

2,4,6M =的真子集的个数为 ( )

个 个 个 个

3.用Venn 图画出表示下列两个集合的关系的图像：

{}{}

(1)0,1,2,1,2,4A B ==

{}{}

(2)0,1,2,3,1,2,3A B ==

4.已知集合{}{}

21,2,,1,2,A x B x ==且A B =,求实数x 的值。

.

5.写出满足{}{},,,,,a b A a b c d e ≠

??的所有集合A .

6.（1）写出集合{}1,2,3的所有真子集。

（2）集合

{}1,2,3的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个.

7.已知集合

|,,|,36k k A x x k Z B x x k Z ????

==∈==∈????

????,则 ( ) ；

A.

A B

≠

? B.

B A

≠

? C. A B = D.A 与B 关系布确定

8.已知集合

{}(,)|0,0,M x y x y xy =+<>{}

(,)|0,0P x y x y =<<，则,M P 的关系是

9.集合{}{}

21,3,,A a B a ==，且

B A

≠

?，求实数a 的取值的集合。

10.已知集合：{}{}|15,|523,

A x x

B x m x m =-<≤=-≤≤+且A B ?求实数m 的取值

范围。

:

11.设集合A={-1,1},集合B={x|x 2-2ax+b=0},若B ≠?,B ?A,求a,b 的值.

12.已知集合A={x|1≤x ≤2},B={x|1≤x ≤a,a ≥1}. (1)若A

B,求a 的取值范围.

(2)若B ?A,求a 的取值范围.

^

13.已知集合,,31

2,,61?

?????∈-==??????∈+

==Z n n x x Z z m m x x M ,612{+==p x x P

}Z p ∈，则M,N,P 满足的关系是:

$

集合的基本运算

知识梳理

1． 并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B的并集（union set）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即

{}

,

A B x x A

?=∈∈

或x B

用Venn图表示：

-

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系

A∪A＝, A∪Ф＝, A∪B B∪A

A∪B＝A ?, A∪B＝B?.

巩固练习：

$

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝;

②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝。

2．交集的定义：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A、B 的交集（intersection set），记作A∩B（读“A交B”）即：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）

)

常见的五种交集的情况：

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系

A∩A＝A∩Ф＝A∩B B∩A

"

A∩B＝A ?A∩B＝B?

巩固练习：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝;

②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝。

3．全集的定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

4.补集的定义：

[

A B

A(B)A B#

A

B A

对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，

读作：“A 在U 中的补集”，即

{},U C A x x U x A =∈?且

用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）

讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系→借助Venn 图分析

,

,()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??== ,U U C U C U =??=

￥

巩固练习：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ；

②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； ③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。 题型一 交集与并集的运算

例1 若集合

{}{}|22,|03,

M x x N x x =-≤≤=<<求,M N M N ??。

|

跟踪训练 1，已知集合

{}{}

22|43,,|28,M y y x x x R N y y x x x R ==-+∈==-++∈，

求M N ?。

2.设集合{}{}12,13A x x B x x =-<<=<<，求A ∪B ．

题型二 集合交、并、补的综合运算

~

例2 已知全集{}

1,2,3,4,5,6U =，集合

{}{}

1,2,54,5,6u A C B ==，则集合A B ?=

A.

{}1,2 B.{}5 C . {}1,2,3 D. {}3,4,6

跟踪训练

1.设集合

{}{}

4,5,7,9,3,4,7,8,9A B ==，全集U A B =?,则集合()U

C A B ?中的元素共

有 ( )

A. 3个

B. 4个 个 个

题型三 补集的运算

例3设

{}|52,25,U x x x x Z =-≤<-<≤∈或,

{}

2

|2150,A x x x --={}

3,3,4B =-,求

,U U C A C B .

》

跟踪训练

1.已知集合{}{}

|13,|40A x x x B x x =><-=-<<或,求

,(),(.R R A B A C B C A B ???）

2.设集合,{|15},{|39},,

()U

U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求

、

课时训练

1.若集合

{}{}

2|22,|30M x x N x x x =-≤≤=-=,则M N ?= ( )

.A {}3 .B {}0 .C {}0,2 .D {}0,3

2.设集合

{}{}{}

1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===,则()A B C ??= ( )

.A {}1,2,3 .B {}1,2,4 .C {}2,3,4 .D {}1,2,3,4

3.满足

{}{}1,31,3,5A ?=的所有集合A 的个数是 （ ）

.A 1 个 .B 2 个 .C 3 个 .D 4个

4.设全集

{}

1,2,3,4,5U =，集合

{}{}

1,4,1,3,5M N ==,则

()U N C M ?=

/

.A {}1,3 .B {}1,5 .C {}3,5 .D {}4,5

5.设集合

{}{}

1,2,4,8,|2M N x x ==是的倍数,则M N ?= ( )

.A {}2,4 .B {}1,2,4 .C {}2,4,8 .D {}1,2,8

6.设集合

{}{}

|01,|22M x x N x x =<<=-<<，则 ( )

.A M N ?=? .B M N M ?= .C M N M ?= .D M N R ?=

7.设集合

{}

1,2A =，则满足

{}

1,2,3A B ?=的集合B 的个数是 （ ）

.A 1 个.B 3 个.C 4 个.D8 个8.下列各式中，正确的是（）

"

.A

{}

2|2

x x

?≤.B{}{}

|1(,)|1

x y x x y y x

=+==+

.C

{}{} |41,|21,

x x k k Z x x k k Z =±∈≠=+∈

.D

{}{} |31,|32,

x x k k Z x x k k Z =+∈==-∈

9.已知

{}{}

2

2,5,|0,

A B x x px q

==++=,

A B A

?={}5

A B

?=

，求

,p q的值。

10.设全集

{}{}

2

2,3,23,21,2

U a a A a

=+-=-

，

{}5

U

C A=

,求实数a的值。

！

￥

集合的综合问题

题型一利用集合之间的关系求字母参数的取值范围

例1设

{}{}

|40,|12

A x x p

B x x x

=+<=<->

或

，若A B

?，求p的取值范围。

跟踪训练(

设集合

{}{}{}

|3,|2,|0,

M x x N x x Q x x a

=<=>-=-≥

令

,

P M N

=?若

P Q Q

?=，求实数a的取值范围。

题型二 集合交、并、补的综合运算

例2设

{}1,2,3,4,5,U =,A B 为U

的子集，若{}{}2,()4U A B C A B ?=?=，

{}

()()1,5U U C A C B ?=,则下列结论正确的是 （ ）

.A 3,3A B ?? .B 3,3A B ?∈ .C 3,3A B ∈? .D 3,3A B ∈∈

跟踪训练

|

设{}{}{}

0,2,4,6,1,3,1,3,1,0,2U U A C A C B ==--=-,求B .

题型三 分类讨论解集合问题

例3已知

{}{}

322322,4,27,1,3,22,37A a a a B a a a a a a =--+=+-++++,且

{}

2,5A B ?=，求A B ?。

:

跟踪训练

已知集合

{}{}

21,3,,1,32A a B a ==-,是否存在实数a 使得B A ?若实数a 存在，求集合

A 和

B ；若实数a 不存在，请说明理由。

课时训练 1已知集合

{}{}

|12,|11A x x B x x =-<<=-<<，则 ( )

/

.A

A B

≠

? .B

B A

≠

? .C A B = .D A B ?=?

2下列五个关系式：(1){}0=?;(2)0?=;(3){}0??;(4)0∈?;(5){}0?≠,其中正确的个

数 （ ）

.A 1 个 .B 2 个 .C 3 个 .D 4 个

3.下列语句：

(1)0与{}0

表示同一个集合；

（2）由1,2,3组成的集合可表示为{}

1,2,3

或

{}

3,2,1

；

（3）方程

22

(1)(2)0

x x

--=的所有解的集合可表示为{}

1,1,2

；

（4）集合{}

|45

x x

<<

是有限集。

正确的是（）

.A只有（1）和（4）.B只有（2）和（3）.C只有(2) .D以上语句都不对

4.已知全集

{}

1,2,3,4,

U=

集合

{}{}

1,2,2,3

A B

==

，则

()

U

C A B

?=

（）

.A {}

1,2,4.B{}

3,4.C{}3.D{}4

5.设方程

20

x px q

--=的解集为A，方程20

x qx p

+-=的解集为B，若{}1

A B

?=

，，

则p q

+=（）

.A2.B0.C1.D1-

6.设集合

{}{}

22

|20,,|20,

M x x x x R N x x x x R

=+=∈=-=∈

，则M N

?=

.A {}0.B{}

0,2.C{}

2,0

-.D{}

2,0,2

-

7.设集合

{}{}

3,4,5,4,5,6,7

P Q

==

，定义

{}

(,)|,

P Q a b a P b Q

*=∈∈

，则

P Q

*中元素

个数为( )

.A 3 个.B 4 个.C7 个.D12 个

8.已知集合

{}{}

|13,|3

A x x

B x a x a

=≤≤=≤≤+

，若A B

?，则实数a的取值范围是

9.已知集合

{}{}

22

,1,3,3,21,1

A a a

B a a a

=+-=--+

，若

{}3

A B

?=-

，求实数a的值。

10.已知集合

{}{}{} |37|210,|

A x x

B x x

C x x a =≤≤=<<=<

.

（1）求A B

?;

（2）求

)

R

C A B

?

（

;

（3）若A A A

?=,求a的取值范围。

11.已知{}{}222190,|560A x ax a B x x x =-+-==-+=x|, {}

2280C x x =+-=x| ①.若A B A B ?=?,求a 的值. ②.若A C C ?=,求a 的值.