人教版九年级数学第23章旋转232中心对称讲义

合作探究探究点1(高频考点) 中心对称的概念情景激疑观察课本图23.2-1,你有什么发现?知识讲解(1)像这样,把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点就叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。

(2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；中心对称的两个图形是全等图形。

注意(1)中心对称是旋转的一种特殊情况，是旋转角为180°的旋转,所以它具备旋转的所有性质。

(2)读法和内容与轴对称相似，读作关于某点对称，或图形某某与图形某某中心对称，理解和应用时结合轴对称知识理解。

(3)中心对称的性质与旋转的性质相类似，是旋转性质的变化，主要变化在于对应点在一条直线上，旋转角是固定的180°。

(4)中心对称的性质是中心对称应用的核心，是作图的基础。

典例剖析例1 已知:如图,Rt∆ABC与Rt∆AB′C′关于A点中心对称,∠C=30°。

(1)指出图中的对称点、对称中心；(2)指出图中相等的线段；(3)求∠C′的度数。

解析根据中心对称的概念，确定对称点，而后确定对应线段，再根据性质知道对应线段相等，对应角相等。

答案(1)B与B′,C与C′,A与A是对称点，A是对称中心；(2)相等的线段有：AB=AB′，BC=B′C′，AC=AC′；(3)∠C′=∠C=30°.方法指导根据中心对称的定义分析图形，找出对称点，确定对应关系，再根据性质判断各对应量之间的关系。

类题突破1 已知如下图:四边形ABCD和四边形AB′C′D′关于A点中心对称。

(1)指出图中的对应关系；(2)若AB=3cm,能求出哪条线段的长?答案(1)B与B′,C与C′,D与D′,A 与A是对称点，A 是对称中心，其中线段BC与B′C′,CD与C′D′,AD与AD′，AB与AB′是对应线段，∠DAB与D′AB′，∠D与∠D′，∠B与∠B′，∠DCB与∠D′C′B′是对应角。

(2)AB′=AB=3cm。

点拨关于某一点中心对称的图形，能够重合的点叫对称点；能够重合的角叫对应角；能够重合的线段叫对应线段。

探究点2 中心对称的作图情景激疑大家根据旋转的性质能作出一个图形，根据中心对称的性质你能作出一个图形的中心对称图形吗？知识讲解已知一个图形作它的中心对称图形，关键在于找到它们的对称点，由性质可知，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分，所以只要连接已知点与对称中心并延长，再在延长线上截取相等的线段就可得到对称点，作出所有对称点，顺次连接即可。

典例剖析例2 如图(1)，四边形ABCD,以D为对称中心，作出它的中心对称图形,并简要写出作法。

解析画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点。

答案作法：（1）延长AD，截取DA′=AD。

(2)同样可得:B′D=BD·C′D=CD。

连接A′B′、B′C′,C′D、DA′,则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图(2)。

类题突破2 如下图,已知△A′B′C′与△ABC 是关于某点成中心对称的两个三角形，你能找出它的对称中心吗?答案连接AA′,CC′，交点就是图形的对称中心(图略)。

点拨由中心对称的两个图形的性质(对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分)可知，对称中心一定在对称点的连线上，根据两点确定一条直线，所以连接任意两对对称点，交点即是对称中心。

探究点3(高频考点) 中心对称图形及其应用情景激疑观察教材图23.2-6和23.2-7，把这两个图形绕某点旋转180°你能有什么发现?知识讲解把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

注意中心对称图形和中心对称不同，中心对标是两个圆形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。

典例剖析例1 如下图所示，其中是中心对称图形的是（）解析判断是否是中心对称图形的关键在于能否找到一点作为旋转中心，再就是旋转180°后看能否重合，A图、C图、D图旋转180°后不能与自身重合，所以不是中心对称图形。

答案B规律总结判新是否是中心对称图形的题较多，并且多和轴对称图形相联系，这就要求我们分清轴对称图形和中心对称图形，它们最大的区别在于中心对称图形是绕一点旋转180°后他能与原图形重合，轴对称图形是沿一条直线翻折180°后能与原图形重合。

类题突破3 在英文字母H、I、M、N中，是中心对称图形的英文字母的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C类题突破4 如下图，点0是平行四边形的对称中心，点A，C关于点0对称，有A0=CO,过0点的直线分别交AD，BC于E，F，那么OE=OF吗?答案∵平行四边形是中心对称图形.0是对称中心。

EF经过点0,分别交AD,BC于E,F.∴点E,F是关于点O的对称点，∴0E=OF。

(对称中心平分连接两个对称点的线段)点拨由中心对称图形的概念和性质可知，对称中心平分连接两个对称点的线段，只要说明E,F关于点O中心对称即可，所以用中心对称图形的性质进行证明有时更简单。

探究点4 中心对称图形和轴对称图形的关系知识讲解(1)联系:中心对称图形和轴对称图形都是指的一个图形的关系，它们翻折后或旋转后都能与自身重合。

(2)区别:中心对称图形是绕对称中心旋转180°后与原图形重合.轴对称图形是沿对称轴翻转180°后与原图形重合，区分的关键在于绕一点旋转还是沿一条直线翻折180°后重合。

(3)很多图形既是中心对称图形又是轴对称图形，应注意区分。

典例剖析例4 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A.角B.等边三角形C.线段D.平行四边形解析 关键在于两个条件同时具备，既能找到一点绕这点旋转180°后能重合，又能找到一条直线沿着这条直线翻折180°能重合。

答案 C类题突破5 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案A点拨 根据中心对称和轴对称的概念求解。

探究点5(高频考点) 关于原点对称的点的坐标特点知识讲解(1)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O 的对称点是P ′(-x ，-y ）。

(2)关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质，但它主要是用坐标变化确定图形。

注意 运用时要熟练掌握，可以不用画图和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标。

典例剖析例5 指出下列各点关于坐标原点中心对称的点的坐标。

A(-5,2),B(0,-3),C(-3,-5),D(-43，-6)，E(6,0),F(-a-2，b)，G （-x,-y-1)。

解析 根据关于原点对称的点的坐标的特点知道，纵坐标、横坐标互为相反数，所以只要改变坐标符号即可。

A ′(5,-2),B ′(0,3),C ′(3,5),D ′(43，6)，E ′(-6,0),F ′(a+2,-b),G ′(x,y+1)。

方法指导要充分理解关于原点对称的点的坐标的特点，把握住符号变化，通过改变符号解决此类问题。

类题突破6 下列各点中哪些关于坐标原点中心对称?A(-5,0),B(-x ，3),C(3,-32),D(5,0)，E(x ，3)，F(32，3 )，G(x ，-3）。

答案 A 与D 关于坐标原点中心对称；B 与G 关于坐标原点中心对称。

点拨 如果两个点的横纵坐标均互为相反数，则这两个点关于原点对称。

探究点6 关于原点对称的图形的作法知识讲解(1)关于原点对称的图形的作法是:先根据规律找出关键点的对称点的坐标，根据坐标描出点，顺次连接即可得到所求图形。

(2)坐标系内的中心对称作图有两种方法，一是用中心对称的性质，延长再截取。

二是先找对应点的坐标，再描点画图。

注意 在平面直角坐标系中的对称较多，有关于x 轴、y 轴对称的轴对称，而这里指的是中心对称，作图方法都是先确定坐标，再描点作图，但它们找对称点的坐标的方法不同，应注意区分，以免在坐标点较多时弄错。

典例剖析例6 如下图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB 关于原点对称的图形。

解析 要作出线段AB 关于原点的对称线段，只要找出点A ，点B 关于原点的对称点A ′，B ′的坐标，描出即可。

答案 点P(x,y)关于原点的对称点为 P ′(-x ，-y)。

因此，线段AB 的两个端点A(0, 1),B(3,0)关于原点的对称点分别为A ′(0,1),B ′(-3,0)。

连接A ′B ′,就可得到与线段AB 关于原点对称的线段A ′B ′(图略)。

方法提示坐标系中的中心对称作图，要按照关于原点对称的点的坐标的特点，找出图形关键处的点的坐标，作出图形。

另外也可以按作中心对称图形的方法作图，但不如这种方法简单和准确。

类题突破7 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平而直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4,-1)。

(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1,并写出C1的坐标；(2)以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点0对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标。

答案如下图。

(1)C1(4,4).(2)C2(-4,-4)。

点拨①A,B,C三点的坐标纵坐标加5,横坐标不变即可得到对应点，再顺次连接即可。

②分别找出A1，B1，C1关于原点对称点的坐标，再顺次连接即可。

重点难点重难点1 中心对称的应用中心对称是旋转角为180°的特殊的旋转，它具备旋转所有的性质，因为它的对应点就在一条直线上，所以具有自己独特的性质，即对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，这也是应用较多的地方。

另外对称中心可以是平面上的任一点，两个图形不一定在对称中心的两旁。

例1 求证:如右图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形。

解析 中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段的中点，因此，直接可得到对角线互相平分。

答案 如上图,0是四边形ABCD 的对称中心，根据中心对称的性质线段AC,BD 必过点0,且A0=CO,BO=DO, 即四边形ABCD 的对角线互相平分,因此，四边形ABCD 是平行四边形。

规律总结中心对称是等大小等形状的位置变换，所以中心对称中包含着大量的等量关系，可以用来说明或证明线段、角相等.在应用时关键在于找准对应关系。