近五年2015年-2019年全国高考数学真题123卷合集(文件有点大共178页打开请等待)

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国一卷

1．设复数z 满足

11z

z

+-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）32-

（B ）32 （C ）12- （D ）12

3．设命题p ：2,2n n N n ?∈>，则p ?为（ ）

（A ）2,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n n N n ?∈

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312

5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2

212

x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?

（A ）（-

33，33） （B ）（-36，3

6） （C ）（223-，223） （D ）（23-，23

）

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛

7．设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r

，则（ ）

（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u u

r u u u r （B ）1433

AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r

（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r （D ）41

33

AD AB AC =-u u u u u u u r

u u u r u u u r

8．函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）1

3(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44

k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44

k k k Z -+∈

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）

（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 10．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

12．设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） （A ）[-

32e ，1） （B ）[-32e ，34） （C ）[32e ，34） （D ）[3

2e

，1）

13．若函数f （x ）=ln(x x 为偶函数，则a=

14．一个圆经过椭圆

22

1164

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.

15．若,x y 满足约束条件10

040

x x y x y -≥??

-≤??+-≤?

，则y x 的最大值为.

16．在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是.

17．（本小题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2

n

n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1

1

n n n b a a +=

,求数列{n b }的前n 项和. 18．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

r y u r w u r 8

8

88

表中i w =，w u r =

1

8

8

1

i i w =∑

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2

4

x 与直线y kx a =+（a

＞0）交与M,N 两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.

21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++

=-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数

}{()min (),()

(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数.

【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由

11z i z +=-得，11i z i

-+=

+=(1)(1)

(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等. 2.【答案】D

【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=

1

2

，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3.【答案】C

【解析】p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C. 考点：本题主要考查特称命题的否定 4.【答案】A

【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ?+=0.648，故选A.

考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A

【解析】由题知12(F F ，22

0012

x y -=，所以12MF MF ?u u u u r u u u u r =

0000(,),)x y x y -?- =222

003310x y y +-=-<，解得033

y -<<，故选A.

考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 6.【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16

3

r =

，所以米堆的体积为211163()5433????=

3209，故堆放的米约为320

9

÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 7.【答案】A

【解析】由题知11()33

AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =

1433

AB AC -+u u u

r u u u r ，故选A. 考点：平面向量的线性运算 8.【答案】D

【解析】由五点作图知，1

+42

53+42

πω?π

ω??=???

?=??，解得=ωπ，=4π?，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜3

24k +，k Z ∈，故单调减

区间为（124k -，3

24

k +），k Z ∈，故选D.

考点：三角函数图像与性质 9.【答案】C

【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=12=0.5,S=S-m=0.5,2

m

m ==0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环， 执行第2次，S=S-m=0.25,2

m

m =

=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环， 执行第3次，S=S-m=0.125,2

m

m =

=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环， 执行第4次，S=S-m=0.0625,2

m

m ==0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环， 执行第5次，S=S-m=0.03125,2

m

m =

=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，

执行第6次，S=S-m=0.015625,2

m

m ==0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，

执行第7次，S=S-m=0.0078125,2

m

m ==0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.

考点：本题注意考查程序框图 10.【答案】C

【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，

其余因式取y,故52x y 的系数为212

53

2C C C =30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 11.【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221

42222

r r r r r r πππ?+?++?=

2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 12.【答案】D

【解析】设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.

因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-

时，()g x '＜0，当1

2

x >-时，()g x '＞0，所以当1

2

x =-时，max [()]g x =1

2-2e -，

当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故

(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得

3

2e

≤a ＜1，故选D.

考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

13.【答案】1

【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以

ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.

考点：函数的奇偶性 14.【答案】22325()24

x y -+=

【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32

a =，故圆的方程为22325()24

x y -+=

. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 15.【答案】3

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y

x

是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故y

x

的最大值为

3.

考点：线性规划解法

16.）

【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE

E C

=

∠∠，

即

o o

2sin 30sin 75BE

=

，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，

sin BF BC =∠，即o o

2

30sin 75BF =，解得AB 的取值

.

考点：正余弦定理；数形结合思想

17.【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11

646

n -

+ 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和. 试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，

当2n ≥时，22

11n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即

111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，

所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =

1111

()(21)(23)22123

n n n n =-++++，

所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++L =

1111111[()()()]235572123n n -+-++-++L =11

646

n -

+.

考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以

,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，

利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨

设GB=1，由∠ABC=120°，可得. 由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，

又∵AE ⊥EC ，∴，EG ⊥AC ，

在Rt △EBG 中，可得，故DF=

2

.

在Rt △FDG 中，可得

在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2可得EF=2

， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ?面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r

为

单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，0），E （1,0,

F（－1,0

，

2），C（0

0），∴AE

u u u r

=（1

CF

uuu r

=（-1，

，

2

）.…10分

故cos,

3

||||

AE CF

AE CF

AE CF

?

<>==

u u u r u u u r

u u u r u u u r

u u u r u u u r.

所以直线AE与CF

所成的角的余弦值为

3

.

考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

19.

【答案】（Ⅰ）y c

=+y关于年宣传费用x的回归方程类型；（Ⅱ）

$100.6

y=+46.24

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）

令w=先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，y c=+适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.

（Ⅱ）

令w=先建立y关于w的线性回归方程，由于$

8

1

8

2

1

()()

()

i i

i

i

i

w w y y

d

w w

=

=

--

=

-

∑

∑

=

108.8

=68

16

，

∴$

c y dw

=-

$=563-68×6.8=100.6.

∴y关于w的线性回归方程为$100.668

y w

=+，

∴y关于x的回归方程为

$100.6

y=+

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值

$

100.6

y=+，

576.60.24966.32

z=?-=

$.

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

0.2(100.620.12 z x x

=+-=-+

$，

13.6

=6.8

2

，即46.24

x=时，z$取得最大值.

故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

20.0

y a

--=0

y a

++=（Ⅱ）存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a

=+代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出,a b关系，从而找出适合条件的P 点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得)

M a，()

N a

-，或()

M a

-，)

N a.

∵1

2

y x

'=，故

2

4

x

y=在x=C在,)a处的切线方程为

y a x

-=-0

y a

--=.

故2

4

x

y=在x=-处的到数值为C在(,)a

-处的切线方程为

y a x

-=+0

y a

++=.

y a

--=0

y a

++=.

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，

11

(,)

M x y，

22

(,)

N x y，直线PM，PN的斜率分别为12

,k k.

将y kx a

=+代入C得方程整理得2440

x kx a

--=.

∴

1212

4,4

x x k x x a

+==-.

∴121212y b y b k k x x --+=

+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()

k a b a

+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

21..【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当3

4

a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当53

44

a -<<-时，()h x 有三个零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究

()h x 的零点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论.

试题解析：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，

即3

0020

104

30

x ax x a ?++=???+=?，解得013,24x a ==. 因此，当3

4

a =

时，x 轴是曲线()y f x =的切线. （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点.

当x =1时，若54a ≥-

，则5

(1)04

f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f

g g ===,故x =1是()

h x 的零点；若54a <-，则5

(1)04

f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f

g f ==<,

故x =1不是()h x 的零点.

当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数. （ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）

单调，而1(0)4f =

，5

(1)4

f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.

（ⅱ）若30a -<<，则()f x 在（01）单调递

增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14.

①若f ＞0，即3

4

-

＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.

②若f =0，即3

4

a =-

，则()f x 在（0,1）有唯一零点；

③若f ＜0，即334a -<<-

，由于1(0)4f =，5

(1)4

f a =+，所以当

5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当5

34

a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分

综上，当34a >-

或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或5

4a =-时，()h x 有两个零点；当53

44

a -<<-时，()h x 有三个零点.

考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国二卷

一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分

1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}

(1)(20B x x x =-+<,则A B =I （ ）

A ．{}1,0A =-

B ．{}0,1

C ．{}1,0,1-

D ．{}0,1,2 2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ）

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现

C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4．已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= （ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5．设函数21

1log (2),1,()2,1,

x x x f x x -+-

≥?,2(2)(log 12)f f -+=（ ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A ．

81 B ．71 C ．61 D ．5

1 7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ） A ．26 B ．8 C ．46 D ．10

8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

9．已知B A ,是球O 的球面上两点，ο90=∠AOB ,C 为该球面上的动点，若三棱锥

ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）

A ．π36 B.π64 C.π144 D.π256

10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，

点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则

()y f x =的图像大致为（ ）

11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A

．5 B ．2 C ．3 D ．2

12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

(D

(C)

(B)(A)

x

y

π4

π2

3π4

π

2

2

π

3π4

π2

π4

y

x

x

y

π4

π2

3π4

π

2

2π

3π4

π2

π4

y

x

A ．(,1)(0,1)-∞-U

B ．(1,0)(1,)-+∞U

C ．(,1)(1,0)-∞--U

D ．(0,1)(1,)+∞U 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r

平行，则实数λ=_________． 14．若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥??

-≤??+-≤?

，，则z x y =+的最大值为____________．

15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．

16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 三、解答题

17．（本题满分12分）ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ?面积是ADC ?面积的2倍． （Ⅰ） 求

sin sin B

C

∠∠；

（Ⅱ）若1AD =

，DC =

BD 和AC 的长． 18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．

19．（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，

18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

20．（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l 过点(

,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．

21．（本题满分12分）设函数2()e mx f x x mx =+-． （Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．

C

A

1

A 参考答案

1．A

【解析】由已知得{}

21B x x =-<<，故{}1,0A B =-I ，故选A ． 考点：集合的运算． 2．B

【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算． 3．D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ． 考点：正、负相关． 4．B

【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以

4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．

考点：等比数列通项公式和性质． 5．C

【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又

2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，

故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 考点：分段函数． 6．D

【解析】由三视图得，在正方体1111

ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则1113311

132

6

A A

B D V a a -=?=，故剩余几何体体积为3331566

a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51

，

故选D ．