合肥工业大学数理统计历真题

1．设随机变量~()X f x （密度函数），且对任意,()()x f x f x -=,若{}P X u αα≥=，则对满足：

{}P X a α<=的常数a =（ ）

A. u α

B. 1u α-

C. 1

(1)

2u α- D. 1

12

u

α-

2．在假设检验中，记1H 是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ）

A. 1H 为真时，接受1H .

B. 1H 不真时，接受1H .

C. 1H 为真时，拒绝1H .

D. 1H 不真时，拒绝1H .

3. 设15,,X X L 为总体X σ2

～N(0,)的样本，则统计量2212323(2)(3)a X X b X X X θ=-+-+的分布及

常数应该为（ ）

A. a=-1, b=3, ~(2)t θ

B. a=5, b=11 2

~(2)θχ C. a=

2

15σ, b=

2111σ 2

~(2)θχ D. a=2

15σ

, b=2111σ ~(1,2)F θ 4. 设?θ

是θ的无偏估计，且()0,D θ>则22?θθ是的（ ） A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确.

1． 设总体X 的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是：

*

()n F x =???????

.

2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,θ)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估

计值为_______________.

3. 设*

()()n F x F x 、分别是总体X 及样本12,,,n X X X L 的分布函数与经验分布函数，则格列汶科定理指出：在样本容量n →∞时，有 , 4. 若非线性回归函数b

x ae y -+=100(0>b ),则将其化为一元线性回归形式的变换为

________________________.

5. 设12,,,n X X X L 是X 的样本，当方差2

σ未知时，且样本容量很大(n>50)时，则对统计假设：

0010:,:H H μμμμ≥<，0H 的拒绝域是：

6.从总体中抽容量为6的样本，其观测值为-1；1.5；-2.8；2.1；1.5；3.4。则其经验分布函数

___________________.

()n F x =

7.如随机变量~(,)X F n n ，则(1)P X >=—————。

8.单因素方差分析的平方和分解式为——————————————；其中，组内离差平方和是——————————；组间离差平方和是——————————。

9.已知1,,n X X K 独立同服从N （0，1）分布，记2211(),,

n i i Y

Y X Z n S ===∑ 其中，2

21111(),1n n i i i i S X X X X n n ===-=-∑∑，则Z 的分布为____________.

10. 从一大批产品中抽取100件进行检查，发现有4件次品，则该批产品次品率0.95的置信区间为

_____________.

1. 设总体X 服从两点分布，即(1)1(0)p X p p X ===-=，其中p 是未知参数。15(,,)X X K 是从总

体中抽出的简单随机样本，则15(,,)X X K 的联合概率分布15(,,)f x x =L ；如此样本观察值中有3个“1”，2个“0”，则此样本的经验分布函数()n F x =

。

2. 设1,,n X X K 是从总体X 抽取的简单随机样本，11m i i X X m ==∑，且22

1

1()n n i i S X X n ==-∑，在样本容

量很大，总体方差2

σ未知时，则总体数学期望()E X μ=的置信度1α-的置信区间为 。

3. 总体2

~(,)X U μσ，1,,n X X K 是X 的简单随机样本，1

1n i i X X n ==∑，2

211()1n i i S X X n ==--∑，则()E X = ，2()E S = 。

4. 1,,n X X K 是从总体2(,)N μσ抽取的简单随机样本，2

,μσ是未知参数。如1

1n i i X X n ==∑，

2

21

()n

i i Q X X ==-∑，则检验假设：0:0H μ=检验统计量____________T =。

5. 1,,n X X K 是来自均匀分布U θθ（，+1） 0θ>（）总体的简单随机样本，则θ矩估计?θ= ， 且?θ

θ的无偏估计（填入：”是” 或者”不是”）

。 6. 对可化线性回归函数1bx

y Ae =+，作代换u = ，v = ，则对应的线性方程为：

。

1. 设总体X 的一样本为：

2.0, 1.5,

3.0, 2.6, 6.1, 2.0 则对应的经验分布函数是： *()n F x =

2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是总体服从指数分布的简单随机样本，对应的密度函数为

1,0()(0)0,0x

e x

f x x θ

θθ-?≥?=>??

，且X 为样本均值时，()E X 的极大似然估计为 ；

3. 设X 与Y 是来自两个相互独立的正态总体1N μσ21（，）与2N μσ22（，），且容量分别为1n 及2

n 的简单随机样本的样本均值，则Z X Y =-的分布_______________.

4. 某批产品的任取100件其中有4件次品，则这批产品的次品率p 的置信度为0.95的置信区间 .

5. 若非线性回归函数0Bx y a Aa -=+（0a 是已知参数,A 与B 是未知回归参数） 则将其化为一元线性回归时对应的变换为 。

1 总体X 的密度函数是

=),(θx f ??

?<≥--.,0,,)(θθθx x e x ， θ是未知参数，n X X X ,...,21为简单随机样本。 （1）分别求θ的矩估计

^^111(,,)n X X θθ=K ，极大似然估计^^

221(,,)n X X θθ=K

（2）^

1θ，^

2θ是否为θ的无偏估计？并说明理由。

、（本题10分） 考察甲与乙两种橡胶制成轮胎的耐磨性，从甲、乙两种对应的轮胎中各任取8只，这8对轮胎分别安装到任取的八架飞机的左右两边作耐磨试验，经过一段时间的起降，测得轮胎的磨损量如下（单位：mg ）：

甲 490 510 519 550 602 634 865 499 乙 492 490 520 570 610 689 790 501

假设这两中轮胎的磨损量服从正态分布，在α＝0.05下，试检验甲的磨损量比乙是否明显低。

二、（本题10分） 设总体2

~(0,)X N σ，11,,;,,m n X X Y Y K K 是X 的样本，

1）

试证统计量Z C

=服从t 分布，确定其自由度与常数C ，（给出推导过程）；

2） 若t 分布的密度函数为()T f t （附表给出）

，试确定θ=

()f z θ

三、（本题10分）设总体X ??

???

01～1-p p （服从0-1分布）

，1,,n X X K 为X 的样本，试求： ⑴ 参数p 的极大似然估计?L p

；⑵ ?L p 关于p 的的无偏估计性； ⑶?L p 是否关于p 优效（有效）估计，且给出推导过程。

四、（本题12分） 为检验一电子产品在相同环境下的两种不同的试验方案是否有差异，且假设这两种方

。

附录

二、 （10分）设12,,,n X X X K

为来自具有有限方差02>σ的总体X 的简单样本，则

（1）试推导样本方差2S 的数学期望；

（2）如果总体是正态分布2

(,)N μσ其中20σ为已知参数，求未知参数μ的优效估计量。 三、（10分） 总体X 服从正态分布),0(2σN ，m n n n X X X X X ++,...,,,.....,121 是来自总体X 的简

单随机样本。记统计量∑∑++===

m

n n i i

n

i i

X n

X m Y 1

2

1，求2Y 的分布（仅写出服从何种分布，不需密度函数

的表达式）。

四、（12分） 设总体X 具有分布律

其中)10(<<θθ为未知参数。现有样本,1,2,1321===x x x 求参数θ的矩估计值和最大似然估计值。

1、设有一正五面体，各面分别编号为1、

2、

3、

4、5，现任意地投掷直到1号面与地面接触为止，记录其投掷的次数，作为一盘试验。作200盘这样的试验，试验结果如下：

投掷次数： 1 2 3 4 ≥5

频数： 48 36 22 18 76

在α＝0.05时，检验此五面体是否均匀。

1、对一元方差分析模型

i

ij i ij n j r i X ,,2,1,,,2,1,ΛΛ==++=εαμ ,假定

ij

ε相互独立同

服从分布

),0(2

σN , （1）试推导出离差平和分解公式；

（2）如此模型中的因子A 有四个水平, 每个水平做5次试验. 请完成下列方差分析表：

问在显著水平=α0.05下,因子A 不同水平是否有显著差异? 0.05(3,16) 3.24F =

2、设A 、B 、C 、D 四个地区某项经济指标均服从方差相同的正态分布，现从这四地区抽取个数分别为12324,3,2,5,n n n n ====的样本，14n = 经计算得：

⑴ 在α＝0.05时，试检验这四个地区的此项经济指标是否存在显著差异;并完成下面的方差分析表：

⑵试判断哪个地区的指标最高，哪个指标最低（给出理由）。

3、设A、B、C、D四个工厂生产相同的电子产品，假定每个工厂的产品使用寿命均服从方差相同的正态分布，现从四个工厂抽取个数分别为n1=5、n2=

4、n3=

5、n4=6的样本，经计算得：

⑴在α＝0.05时，试检验这四个工厂生产的产品使用寿命是否存在显著差异;

⑵试判断哪个厂的电子产品使用寿命最长，哪个寿命最短（给出理由）。

2012年10月17日所讲题目 1、方差分析的基础是________

A ． 离差平方和分解公式. B. 自由度分解公式. C. 假设检验. D. A 和

B 同时成立.

2、设一正五面体，分别涂成红（R ）、黄（Y ）、蓝（Bu ）、白（W ）与黑色(Bl)，现任意的抛掷200次，面朝下的颜色的结果记录如下： 抛掷次数 R Y Bu W Bl 频数 28 48 32 56 36 试检验在α＝0.05时，此五面体是否均匀。

3、用某种计算机程序产生随机个位数，在300次试验中，0,1,2,3，…,8,9相应出现了22,28,41,35,19,25,25,40,30,35.问在显著水平05.0=α时，0至9这十个数字是否等可能由此计算机产生？说明理由。

4、设

12,,,n

X X X L 为总体X σ2～N(0,)的样本，试确定统计量21

1()n

i i T X n ==∑

的分布，求其密度函数。

5、设总体X ～0-1分布，⑴ 试求参数p 的极大似然估计L θ；⑵ L θ关于p 的无偏估计性; ⑶ L θ是否为p 的优效（有效）估计。

6、为了研究色盲是否与性别有关,随机抽取1000人进行调查，结果如

下：

(1)试据此判断色盲是否与性别有关（0.01α=）；(2)你认为是男性还 是女性更容易患色盲？

10月29日所讲题目

1、设对变量x 、y 作了7次观测见下表：

满足回归模型：

i i i

y x αβε=++ 其中：

2(0,)

i N εσ: (1,2,,7)i =L 相互独立，试求：

⑴ 经验回归直线； ⑵ 对方差2

σ作估计；⑶ 对x 、y 的线性性作显著性检验(可以挑选一种检验方法)；⑷ 对0x =4.8时作y 的预测区间。（其中：在α＝0.05）

2、 对一元线性回归模型中

,Y x αβε=+＋2

~(0,)N εσ，(,)(1,2,,)i i x Y i n =L 是一组观测值，则

,i i i Y x αβε=+＋而2~(0,)i N εσ 1,2,,i n

=L 且相互独立，且参数β的最小

二乘估计是?

β，试作： ⑴ 证明?

β是β的无偏估计； ⑵ 推导出?

β的分布

3、在钢线碳含量x 对于电阻效应y 的研究中, 得到了以下数据:

（1）求出y 对x 的经验回归直线方程； （2）对回归直线的显著性进行检验。

（3）求06x =时，0y 的置信水平为0.95预测区间

4、两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为2700,2600==y x ，（单位：元）。样本标准差相应为

105,8121==s s 。假设年存款余额服从正态分布，试比较两家银行的储户的平均年

存款余额有无显著差异。

(注：10.0=α，31.1)35(,69.1)35(,57.2)20,15(,33.2)15,20(10.005.005.005.0====t t F F )

5、在钢丝的含碳量（x ）对于电阻（Y ）的效应研究中，得以下数据：

满足回归模型：

i i i

y x αβε=++ 其中：

2(0,)

i N εσ: (1,2,,5)i =L 相互独立，试求：

⑴ 经验回归直线方程； ⑵ 对方差2

σ作无偏估计；⑶ 对x 、y 的线性性作显著性检验(可以挑选一种检验方法)；⑷ 对0x =0.6时作y 的0.95预测区间。（其中：显著水平α＝0.05）

6、对一元线性回归模型中,Y x βε=+2

~(0,)N εσ，(,)(1,2,,)i i x Y i n =L 是一组观测值，

误差 i ε 1,2,,i n =L 独立同分布。⑴ 求参数β的最小二乘估计是?β；（2）问?β是

否为β的无偏估计，并确定?

β的分布

一、填空题（15分，每题3分）

1. 设12,,....n X X X 独立同服从正态分布2

(,),N μσ ， 则

2

1

2

()~n

i

i X

μσ=-∑ ________ 。

2.已知总体X 服从参数(0)λ> 的泊松分布,即.(),0,1,2,....,!

x

e P X x x x λλ-==

= ，12(,,....)n X X X 为一个简单随机样本，则样本的联合概率分布_______________________ 。

3. 在某项试验的1000个电子元件中，共有100个失效，则以95% 的置信水平，这批产品失效率p 的置信区间是______________________ 。

4. 方差分析实际上是一个假设检验问题，它是检验 _______________ 正态总体、______________ 是否相等的统计分析方法， 常用的检验是______ 检验法。

5. 把回归方程121,1x

y e ββ--=

+ （12,ββ是未知参数）化为线性回归方程的变换是

_______________________________ 。

二（12分）、设总体X 分布密度函数为(),(,)0,x e x f x x θθ

θθ--?≥=?

,θ是未知参

数，12,,,n X X X L 是其简单随机样本。

(1) 求θ的极大似然估计?θ； (2) 问?θ是否为无偏估计？说明理由。

三（18分）、设p 表示每次投硬币出现正面的概率(01)p <<，现独立投掷硬币n 次，第i 次投掷硬币的

情况记为i X ：若出现正面，1i X =；若出现反面，0i X =，即12,,,n X X X L 是从两点分布0

11p p ?? ?-??

的

总体中抽取的简单随机样本。 （1）试求p 的矩估计^

p 。

（2）问^

p 是否为p 的优效估计，说明理由。

（3）若投掷次数100n =，其中正面出现的次数为60次， 问该枚硬币是否均匀？即检验： 原假设01: 2H p =

? 备择假设11

: 2

H p ≠。

（05.0=α）。

四（12分）、某公司使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样本22件，测得其平均质量为2.36（kg ）,样本标准差0.57（kg ）。取使用原料B 生产的样本24件，测得其平均质量为2.55（kg ）,样本标准差0.48（kg ）。设产品质量服从正态分布，且两个样本独立。问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著增大？（取显著水平0.05α= ）

五（12分）、 按Mendel 遗传定律，让开淡红花的豌豆随机交配，子代可开出红花、淡红花、白花三类，其比例为1:2:1， 为验证这一理论，先特别安排了一个实验， 得到的开红花、淡红花、白花的豌豆株数分别为26、66、28，问在显著水平05.0=α时，这些数据与Mendel 遗传定律是否一致?

六（16分）、现今越来越多的外国人学习汉语，某孔子学院设计了3种汉字讲授的方法，随机抽取了16个汉语基础相近的学生进行试验。试验后对每一位学生的汉字理解记忆水平打分，满分为10分，16名学生的分数如下：

(1) 指出方差分析中的因素、水平；

(2) 分别计算3种汉字讲授方法下学生相应分数的平均值

1,y 2,y 3y 以及所有参加测试的学生的平均得分

,y 并填入上表；

(3) 在显著性水平0.05下，完成下列方差分析表，并指出三种讲授方法对学生的汉字理解记忆水平有无显著性差异；若有显著性差异，指出哪种方法更好。

七（15分）为研究学生在期末考试前用于复习某课程的时间X (单位:小时)和考试成绩Y (单位:分) 是

否有关系, 一名研究者抽取了8名学生构成一个简单随机样本，取得数据如下：

(1)求出Y 对X 的经验回归直线方程；

(2)对建立的回归方程做显著性检验（0.05α=）；

(3)求25X =时，考试成绩Y 置信水平为0.95的预测区间。

附：相关上分位点数值：(0.05)α=

2

1.64, 1.96;u u αα== 2222

22

(2) 5.99,(3)7.81,(2)7.38,(3)9.35.ααααχχχχ====

2

2

2

(9) 1.8331,(10) 1.8125,(9) 2.2622,(10) 2.2281,(6) 1.9432,(6) 2.4469

t t t t t t αααααα======

2

(8) 1.8595,(8) 2.3060,(44) 1.64.t t t ααα===

2

2

2

2

(2,13) 3.81,(2,13) 4.97,(3,16) 3.24,(3,16) 4.08,

(1,6) 5.99,(1,6)8.81,(21,23) 2.34

F F F F F F F ααααααα=======

说明：本试卷涉及的样本方差为2

21

1()1n

i i S X X n -==--∑ 。