19.3矩形的定义和性质
矩形的性质及应用
矩形的性质及应用矩形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍矩形的性质及其在日常生活和工程领域中的应用。
一、矩形的定义和性质矩形是一种四边形，具有以下性质：1. 边长相等：矩形的对边两两相等，即AB = CD，BC = AD。
2. 对角线相等：矩形的对角线相等，即AC = BD。
3. 内角为直角：矩形的四个内角均为直角（90度角），即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
4. 互相平行：矩形的对边互相平行，即AB∥CD，AD∥BC。
5. 对边垂直：矩形的对边互相垂直，即AB⊥BC，AD⊥DC。
二、矩形的应用1. 建筑设计：矩形是建筑设计中常用的几何形状之一。
例如，在房屋平面设计中，矩形可以表示房间的墙壁，屋顶的平面形状等。
使用矩形结构可以简化建筑设计过程，使结构更稳定。
2. 产品设计：许多产品的外观设计都使用了矩形的形状。
例如，电视、手机、书桌等产品的外形通常是矩形，因为矩形有较大的空间利用率和良好的稳定性，便于制造和使用。
3. 数学推导：矩形的性质在数学推导中经常被应用。
例如，利用矩形的对角线相等性质，可以推导出勾股定理；利用矩形的内角为直角性质，可以推导出平行线之间的角度关系等。
4. 图像处理：在图像处理和计算机图形学中，矩形常被用作图像的基本单元。
图像可以被划分成一个个矩形像素块，利用矩形的性质和坐标系统进行处理和显示。
5. 地理测量：在地理测量中，矩形常被用来表示土地的边界、建筑物的平面布局等。
通过测量矩形的边长和角度，可以计算土地的面积和建筑物的体积。
6. 电路布局：在电路设计中，矩形的形状可以用来表示电路板的外形和内部布局。
矩形的边界可以作为电路板的导线和器件的连接点，方便电路布线和组装。
7. 几何推理：利用矩形的性质，可以进行一些几何推理和证明。
例如，通过对矩形的两个对角线进行分析，可以证明一个四边形是矩形。
三、总结矩形是一种重要的几何形状，具有明确的性质和广泛的应用。
矩形几何知识点总结
矩形几何知识点总结
1. 矩形的定义
矩形是一种特殊的四边形，具有以下特点：
(1) 四条边两两平行
(2) 四个角都是直角
(3) 两条对角线相等
2. 矩形的性质
(1) 对角线相等：矩形的两条对角线相等。
(2) 内角度数：矩形的每个内角都是90度。
(3) 相对边相等：矩形的对边相等。
3. 矩形的周长
矩形的周长是其四条边的和，可以用公式表示为：周长 = 2*长 + 2*宽。
4. 矩形的面积
矩形的面积是其长度和宽度的乘积，可以用公式表示为：面积 = 长 * 宽。
5. 矩形的对角线
矩形的两条对角线相等，可以用勾股定理求解其长度：对角线的长度= √(长的平方 + 宽的平方)。
6. 矩形的中位线
矩形的中位线是连接对边中点的直线，是一条平行于底边和顶边的线段。
中位线的长度可以直接用底边或顶边的一半来表示。
7. 矩形的特殊情况
当矩形的长度和宽度相等时，即为正方形。
正方形是矩形的特殊情况，具有矩形所有的性质，同时还具有一些特殊的性质，如对角线相等、角度为90度、边长相等等。
8. 矩形的应用
矩形是几何学中的基本图形，广泛应用于物理、工程、建筑等领域。
矩形的周长和面积是计算其它形状的重要基础，对角线和中位线也有着重要的几何意义。
总之，矩形是几何学中一个重要的图形，具有许多重要的性质和特点，对于学习几何学和应用几何学都具有重要的意义。
通过深入理解矩形的定义、性质、周长、面积、对角线、中位线等知识点，可以更好地应用和理解几何学知识。
《矩形》-精品文档
矩形在几何学中具有基础地位，是学习其他几何图形和定理的重要基础。
详细描述
矩形在几何学中占据重要地位，是许多几何概念和定理的基础。通过对矩形性质的学习，可以进一步探索更复杂 的几何图形和定理，如平行四边形、菱形、正方形等。此外，矩形在实际生活中应用广泛，如建筑、设计、工程 等领域都有涉及。
02
性质
总结词
矩形的性质包括对角线相等且互相平分，相对角相等且都是直角，以及相对边相 等。
详细描述
矩形具有多种性质。首先，它的对角线相等且互相平分，这是由于矩形的两组相 对边相等。其次，矩形的相对角相等且都是直角，这是由四个直角的定义决定的 。此外，矩形的相对边也相等，这也是矩形定义的一部分。
矩形在几何学中的地位
计算方法
角度的度量单位是度，角度的大小等 于射线旋转的度数。
角度的应用
几何作图
在几何作图领域，角度是重要的参数之一， 可以用来确定图形的形状和大小。
实际应用
在实际生活中，角度的应用也非常广泛，例 如建筑设计、机械制造、道路规划等领域都 需要用到角度的概念。
06
矩形与其他几何图形的关系
与三角形的关系
要点一
相似性
矩形和三角形都由直线段构成，但矩形有四个直角，而三 角形只有三个。
要点二
面积计算
矩形的面积可以通过长度和宽度来计算，而三角形的面积 则需要底和高。
与平行四边形的关系
边与角的关系
矩形是特殊的平行四边形，其四个角都是直角。
面积计算
平行四边形的面积也可以通过底和高来计算，但矩形有更简单的面积计算公式。
《矩形》
汇报人： 2024-01-10
目录
• 矩形的定义和性质 • 矩形的周长和面积 • 矩形的对角线 • 矩形的对称性 • 矩形的角度 • 矩形与其他几何图形的关系
矩形的性质ppt课件
05
矩形的面积和周长计算
矩形的面积计算公式
公式
如果矩形的长为a，宽为b，那么矩形的 面积S=a×b。
VS
解释
矩形的面积是其长和宽的乘积，这是因为 矩形的长和宽代表了平行四边形的底和高 。
矩形的周长计算公式
公式
如果矩形的长为a，宽为b，那么矩形的周 长P=2×(a+b)。
。如果四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形为矩形。
02
三个角是直角的四边形是矩形
如果一个四边形的三个角都是直角，则该四边形为矩形。
03
对角线相等的平行四边形是矩形
如果一个平行四边形的对角线相等，则该四边形为矩形。
矩形的证明方法
综合法
利用综合法证明三角形全等、平 行线性质等基本定理，以及利用 这些基本定理推导出其他定理，
矩形的边长关系
总结词
矩形的两边长度相等，相对的两边长度也相等。
详细描述
矩形的定义决定了其具有两边长度相等的特点。相对的两边长度也相等，这是由 于矩形的对称性所决定的。这种边长关系在几何学中有着重要的应用和意义。
04
矩形的判定和证明方法
矩形的判定方法
01
定义法
根据矩形的定义，通过测量四条边的长度来判断一个四边形是否为矩形
解释
矩形的周长是矩形四条边的长度之和，两条 长边各为a，两条短边各为b，所以周长 P=2×(a+b)。
矩形面积和周长的关系
关系
矩形的面积和周长之间没有直接的关系，但是它们都与矩形 的长和宽有关。
解释
矩形的面积和周长是两个不同的属性，面积关注的是矩形的 占据的空间大小，而周长关注的是矩形四条边的长度之和。 虽然它们都受到矩形长和宽的影响，但它们之间并没有直接 的关系。
19.3.1矩形的性质
进入第三关
矩形的定义中有两个条件： 一是： 有一个角是直角 二是： 是一个平行四边形
矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ A ）
（A）对角线相等
（B）对边相等
（C）对角相等
（D）对角线互相平分
（请你回答，并说明理由）
在 RtΔABC 中，∠ABC = 90°，AC = 16，
BO 是斜边上的中线，则 BO 的长为 8
A O
B
C
如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O .
且AB = 6，BC = 8. 则 ΔABO 的周长为 16
A
D
O
B
C
下列说法错误的是（ C ）
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等 （C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
如图，已知：矩形 ABCD 的两条对角线
平行四边形
矩形
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形在哪些方面具有哪些特殊性质呢？
A
D
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
O
B
C
符号语言：
∵在RtΔABC中，BO是斜边AC上的中线 ∴BO = 1 AC
2
挑战第一关 （正确回答3道题目可过关）
（快速问答）
请选择
1
5
2
3
4
进入第二关
相交于点 O .∠AOD =120°，AB = 4cm. A
D
求矩形对角线的长.
O
B
C
如图，已知：矩形 ABCD 的两条对角线相交于
点O . ∠AOD =120°.若 AE 平分 ∠BAD .
19.3矩形的定义及性质
A
D
O
B
C
1.理解矩形的定义.
2. 经历探究矩形性质的过程，通过直 观操作和简单推理发展推理论证能力， 培养主动探究习惯．
3. 掌握矩形的性质并能利用它解决简 单的实际问题．
预习效果反馈
一、矩形的定义
有一个角是_直__角___的平行四边形是矩形.
二、矩形的性质
1.矩形除了具有平行四边形所有的性质外，还有：（1）矩
矩形是特殊的平行四边形.
矩形的性质的研究
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形具有 平行四边形的性质
一、矩形的两组对边分别平行 二、矩形的两组对边分别相等 三、矩形的两组对角分别相等 四、矩形的邻角互补 五、矩形 两条对角线互相平分
E。
矩形还有其它的 特殊性质?
A
D
O
B
C
探究1
如图，当□ABCD的一个角变为直角，我们知道，
即矩形的四个角都是直角
矩形的特殊性质
矩形的四个角都是直角
A
D 数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90 °
B
C
探究2
如图，当□ABCD的一个角变为直角，四边形变
为一个矩形。它的两条对角线有什么关系？
猜测： 矩形的两条对角线相等。
证一证
已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。 求证：AC=BD。
A.50 ° B.60 ° C.70 ° D.80 ° B
D OC
D O AC
3.直角三角形中，两直角边分别是
D
12和5，则斜边上的中线长是( )
A.34 B.26 C.8.5 D.6.5
B
C
高三数学矩形知识点总结
高三数学矩形知识点总结矩形是我们数学学科中的一个重要图形，在高三数学中也是一个常见的考点。
熟练掌握矩形的相关知识点对于解题和应对考试都非常有帮助。
本文将总结高三数学中与矩形相关的知识点，帮助同学们更好地理解和记忆。
一、基本概念1. 矩形的定义：矩形是四边形的其中一种，具有两对相等且平行的边。
2. 矩形的性质：具有四个直角和两对对边相等。
3. 矩形的元素：矩形的元素有边长、周长和面积。
二、周长和面积的计算1. 周长计算公式：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即P=2(长+宽)。
2. 面积计算公式：矩形的面积等于长乘以宽，即S=长×宽。
三、特殊情况1. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，所有边长相等。
正方形的周长公式为P=4a，面积公式为S=a²，其中a为边长。
2. 长方形：长方形是一种边长不等的矩形。
长方形的周长公式为P=2(长+宽)，面积公式为S=长×宽。
四、对角线1. 对角线的定义：矩形中连接两个非相邻顶点的线段称为对角线。
矩形有两条对角线，且相等。
2. 对角线的性质：对角线相等，且互相平分。
3. 对角线的求解：对角线的长度可以使用勾股定理来求解。
五、性质和定理1. 矩形的内角和为360度。
2. 矩形是平行四边形的一种特殊情况，具有平行四边形的性质和定理。
3. 矩形的主对角线与副对角线相等。
六、相关例题1. 若一个矩形的周长为20cm，且其中一边长为4cm，求其面积。
解析：设矩形的长为x cm，宽为y cm。
由周长公式可得2(x+y)=20，即x+y=10。
又已知一边长为4cm，设为x，即x=4。
将x=4代入x+y=10中可得4+y=10，解得y=6。
故矩形的长为4cm，宽为6cm，面积为4×6=24 cm²。
2. 一个正方形的对角线长度为10cm，求其面积。
解析：设正方形的边长为a cm。
由对角线性质可知，对角线长度等于边长乘以√2，即a√2=10。
2013-2014学年沪科版八年级数学下19.3矩形、菱形、正方形讲解与例题
矩形菱形正方形1．矩形的定义和性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．两者缺一不可．(2)矩形的性质：①矩形具有平行四边形的所有性质．②矩形的四个角都是直角．如图，在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，又由邻角互补、对角相等可得∠BAD＝∠ADC ＝∠DCB＝∠ABC＝90°推理形式为：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.③矩形的对角线相等．如上图，在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC为公共边，可得△ABC≌△DCB.从而证得AC＝BD.其推理形式为：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.④矩形既是中心对称图形(对称中心是对角线的交点)(20．4节讲到)，又是轴对称图形(有两条对称轴)．①“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证明两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证明线段相等．②矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形．【例1】如图所示，在矩形ABCD中，∠CAD＝30°，CD＝5 cm，求矩形ABCD的周长(精确到0.1)．解：连接BD交AC于点O.在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝10(cm)．在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝102－52＝75≈8.66(cm)．∴AB＋BC＋CD＋DA＝2(AD＋DC)＝2×(8.66＋5)≈27.3(cm)．∴矩形ABCD的周长约为27.3 cm.2．直角三角形的一个性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图所示，由矩形的对角线相等可知，AC ＝BD .又因为矩形的对角线互相平分，所以OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD .所以OA ＝OB ＝OC ＝OD .所以在Rt △ABC 中，斜边上的中线OB ＝12AC .直角三角形的这一性质与两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质．这一性质常常用来证明线段的倍分关系．【例2】如图，BD ，CE 是△ABC 的两条高，G ，F 分别是BC ，DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析：有三角形的高就会出现直角三角形，有中点就可以联想到直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形的性质．证明：连接EG ，DG .因为BD ，CE 是△ABC 的两条高，所以△BDC 和△BEC 都是直角三角形． 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝12BC ＝EG ，即△GDE 是等腰三角形．因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线． 所以GF 是底边DE 上的高． 所以FG ⊥DE . 3．矩形的判定(1)定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)方法一：对角线相等的平行四边形是矩形． (3)方法二：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的定义也是矩形判定方法中的一个 矩形的判定可用下图表示：①用定义判定一个四边形是矩形必须具备两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．②用方法一判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就是说，两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．【例3】如图所示，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC与EF互相平分于点O，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．分析：此题要证四边形ABCD是矩形，要先证它是平行四边形，而要证明它是平行四边形，应结合条件确定合适的判定方法，即具体情况具体分析．证明：连接AF，CE.∵EF和AC互相平分，∴四边形AECF是平行四边形．∴AB∥CD，CF＝AE.又∵DF＝BE，∴AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．4．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形．如图，当把平行四边形的一条边平移后，使邻边相等，平行四边形就变成了菱形．菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形.①菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．②菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的判定方法．【例4】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．分析：由菱形的定义去判定，由DE∥AC，DF∥BC可得四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2，证得邻边相等即可．解：四边形DECF是菱形．理由：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.∵DF∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴CF＝DF.∴四边形DECF是菱形．5．菱形的性质菱形具有平行四边形的所有性质，除此之外它也具有自己特殊的性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；(3)菱形是轴对称图形，有两条对称轴即每条对角线所在的直线；(4)菱形的面积等于对角线乘积的一半．①由于菱形对角线互相垂直平分，故菱形可被两条对角线分成四个全等的直角三角形，这样容易与勾股定理联系起来；②菱形的面积除了用对角线计算之外，也可以用底乘以高来计算．即菱形的面积有两种求法．【例5】如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为()．A．5 B．6 C．8 D．10解析：设AC，BD相交于点O，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以AO＝3，BO ＝4，根据勾股定理，AB＝5.答案：A6．菱形的判定(1)定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形．(2)方法一：四边都相等的四边形是菱形．(3)方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形的判定方法可用下图表示：判定一个四边形是菱形时，一定要注意判定前提，即在什么条件下判定．若在四边形的条件下判定，则可证其四边相等，也可先判定其是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；若在平行四边形的条件下判定，则证其一组邻边相等或对角线互相垂直即可．【例6】如图所示，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.又EF是AC的垂直平分线，所以OA＝OC.所以△AOE≌△COF.所以OE＝OF.所以AC与EF互相垂直平分．所以四边形AFCE是菱形．7．正方形的定义有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．正方形与矩形、菱形的关系可用下图表示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；②既是矩形又是菱形的四边形是正方形；③正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．【例7】如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，求证：四边形BEDF是正方形．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB.同理可得DF∥BC.∴四边形BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是菱形．又∠ABC＝90°，∴四边形BEDF是正方形．8．正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有的性质．(1)边的性质：正方形的四条边都相等，对边平行，邻边垂直；(2)角的性质：正方形的四个角都是直角；(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角．正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴．【例8】如图所示，A，B，C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC.求证：FN＝EC.证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°.因为AB＝2BC，所以EN＝BC.所以△FNE≌△ECB.所以FN＝EC.9．正方形的判定(1)一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等；②先证明它是菱形，再证它有一个角是直角．【例9】如图所示，已知ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．若∠AED＝2∠EAD.求证：四边形ABCD是正方形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝CO.又因为△ACE是等边三角形，所以EO⊥AC，即DB⊥AC.所以平行四边形ABCD是菱形．因为△ACE是等边三角形，所以∠AEC＝60°.所以∠AEO＝12∠AEC＝30°.因为∠AED＝2∠EAD，所以∠EAD＝15°.所以∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.因为四边形ABCD是菱形，所以∠ADC＝2∠ADO＝90°.所以四边形ABCD是正方形．10．矩形、菱形、正方形性质的综合运用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质．应从边、角、对角线三个方面区分它们的性质：(1)从边的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边相等的性质；(2)从角的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都等于90°的性质；(3)从对角线的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质，菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质．【例10】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°.求∠AFE的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA.∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC.(2)解：∵∠DEB＝140°，△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°.∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°.11．矩形、菱形、正方形判定的综合运用几种特殊平行四边形的判定方法可用下图表示：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，当平行四边形的一个内角变为直角时(角特殊化了)，平行四边形变成矩形；当平行四边形的邻边变为相等时(边特殊化了)，平行四边形变成菱形；当平行四边形的一个内角变为直角，一组邻边变为相等时(角、边均特殊化了)，平行四边形变为正方形．【例11】已知如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF.(1)试说明BE＝DF的理由；(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并说明你的理由．解：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.因为AE＝AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF.所以BE＝DF.(2)四边形AEMF是菱形．因为四边形ABCD是正方形，所以∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC.因为BE＝DF，所以BC－BE＝DC－DF.即CE＝CF.又OC为公共边，∴△EOC≌△FOC.所以OE＝OF.因为OM＝OA，所以四边形AEMF是平行四边形．因为AE＝AF，所以平行四边形AEMF是菱形．12．特殊四边形的探究题平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定的综合探究题在中考中常出现．它还能与其他知识综合考查，如等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点，综合运用性质和判定进行推理是解此类题的关键．矩形、菱形、正方形问题在中考中的比重近年来有加大的趋势，不但有选择题、填空题、解答题，也有探究型、开放型试题．解答此类问题，要在牢记矩形、菱形、正方形的性质和判定、弄清它们的特性和共性的基础上，分析图形特征，选择适当的方法．譬如解答正方形问题时，由于正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，所以当证明一些与线段有关的问题时，可以借助旋转或平移实现线段的移位，在正方形中这种移位非常地巧妙、自然，比作其他类型的辅助线要来的简捷、顺畅．_______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 【例12】以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH.(1)如图①，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图②，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状(不要求证明)；(2)如图③，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α(0°＜α＜90°)．①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE＝HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学有所得
A O B D
直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.
C
即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 5 斜边上的中线长为________.
已知: 如图，矩形ABCD的 A 两条对角线交于点O, AB= 4cm ，∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 B
C
推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。
练一练
1. 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线. 6 (1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝; 10 ㎝, (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____ 5 ㎝. BD＝_____
A D
┓BC学海源自无涯2.在 Rt ABC 中，斜边AC上的中线 和高分别是6cm和5cm，则 Rt ABC 的 面积S=（ 30cm2 ）。
在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
O
B
C
公平,因为OB=OD = OA=OC
A
在 Rt ABC 中，∠ABC=900 ， BO是斜边AC上的中线 O
D
B
1 1 1 OB=OD OB = OA=OC = 2 AC= 2 BD = 2 AC
§19.3矩形的定义、性质
矩形
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性 中心对 称图形
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 边形 且相等 邻角互补 相平分
细心观察平行四边形内角的变化
学习新知
定义：有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形．
1、是平行四边形 2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、 矩形的关系
∴AC与BD相等且互相平分。 ∴ OA = OB。 又 ∠AOB=60°， B ∴ ΔOAB是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） ∴ AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）
600 1200
O
C
变式：若BD=8cm,∠AOD=120°，求边AB的长。
问题: 体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站
四边形 矩形 平行四边形 四边形 平行四边形 矩形
A
四边形 平行四边形 矩形
B
四边形 矩形 平行四边形
C
D
在操作过程中,请你思考下列问题: 1、平行四边形变成矩形时，图形的内角 有何特征？ 2、平行四边形变成矩形时，两条对角线 的长度有什么关系？
A
D
求证:矩形的对角线相等
O
B 已知：矩形ABCD中， 对角线AC和BD相交于点O, 求证：AC=BD
C 证明一：∵四边形ABCD是矩形 矩形的性质： ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB ∴△ABC≌△ DCB 1、矩形的四个角均为直角 ∴AC=BD 证明二：∵四边形ABCD是矩形 2、矩形的对角线相等 ∴ ∠ABC=∠DCB=90°， AB=CD 2 2 2 2 2 2 AC AB BC , BD CD BC ∴ 注：矩形还含有平行四边形的所有性质 ∴AC=BD
边
角
对角线 对角线互 相平分
对称性 中心对 称图形
平行四 边形
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补 对边平行 四个角 且相等 为直角
对角线互相 中心对称图形 平分且相等 轴对称图形
O
这是矩形所 特有的性质
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是（ A ）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.
为直角三角形的有关 问题进行解答.
∴BC=7
∴矩形ABCD的周长为22cm
说说：
今天的收获……
你还有什么不明白的地方……
1、矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形的对边平行且相等 2、矩形 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等
3、直角三角形的一个重要性质：斜边上的中线 等于斜边的一半； 4、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用 直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。
A
A
D E
B
C
3.在Rt⊿ABC中， ∠C=90°，
AB=2AC. 求∠ A 、 ∠B 的度数.
19
四边形
作
P95练习题 习题19.2 复习题19
业
1、2、3 4、9、
3、
学海
无涯
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（A ） A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
试一试
已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形和 等腰三角形. Rt△ADC、 Rt△DCB、 C D Rt△DAB、 Rt△ABC、
O
A
B
△ADO、 △DOC、 △COB、 △AOB、
矩形的问题可以 转化到直角三角形或 等腰三角形来解决．
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点Ｏ， AB=4cm,∠AOB=60°,求矩形对角线的长。 D 解：∵四边形ABCD是矩形， A
A B A O D
第1题
D
C
B
第2题
C
3、矩形ABCD中,AC、BD相交于点O， 16 AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____
A
O B C
D
如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E， ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。 A D 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C＝∠B=∠BAD=90°,AB=DC ∵DE=5,EC=3 ∴DC2=DE2-EC2=52-32,即：DC=4 B C ∵AE平分∠BAD E ∴∠BAE=45° 注:解决矩形的有关问 题时,常根据性质转化 ∴AB=BE＝4
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
D O C
图中我们常见的特殊 ∴OA=OD， 又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） ∴矩形的对角线AC=BD=2OA=8 ( cm ) .
三角形有哪些？
1、如图，矩形ABCD的对角线的长为2， ∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______. 3 2、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 7.2 cm. 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____