数学建模动态规划
数学建模中的动态规划与贪心算法
在现代数学建模中，动态规划和贪心算法是两种常用的方法。
它们具有重要的理论和实际意义，可以在很多实际问题中得到应用。
动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并反复求解子问题来求解整个问题的方法。
它的核心思想是将原问题分解为若干个规模较小的子问题，并将子问题的最优解合并得到原问题的最优解。
动态规划的求解过程通常包括问题的建模、状态的定义、状态转移方程的确定、初始条件的设置和最优解的确定等步骤。
通过动态规划方法，可以大大减少问题的求解时间，提高求解效率。
举个例子，假设我们有一组物品，每个物品有重量和价值两个属性。
我们希望从中选出一些物品放入背包中，使得在背包容量限定的条件下，背包中的物品的总价值最大化。
这个问题可以使用动态规划来解决。
首先，我们定义一个状态变量，表示当前的背包容量和可选择的物品。
然后，我们根据背包容量和可选择的物品进行状态转移，将问题分解为子问题，求解子问题的最优解。
最后，根据最优解的状态，确定原问题的最优解。
与动态规划相比，贪心算法更加简单直接。
贪心算法是一种通过每一步的局部最优选择来达到全局最优解的方法。
贪心算法的核心思想是每一步都做出当前看来最好的选择，并在此基础上构造整个问题的最优解。
贪心算法一般包括问题的建模、贪心策略的确定和解的构造等步骤。
尽管贪心算法不能保证在所有情况下得到最优解，但在一些特定情况下，它可以得到最优解。
举个例子，假设我们要找零钱，现有的零钱包括若干2元、5元和10元的硬币。
我们希望找出一种最少的方案来凑出某个金额。
这个问题可以使用贪心算法来解决。
首先，我们确定贪心策略，即每次选择最大面额的硬币。
然后，我们根据贪心策略进行解的构造，直到凑够目标金额。
动态规划和贪心算法在数学建模中的应用广泛，在实际问题中也有很多的成功应用。
例如，动态规划可以用于求解最短路径、最小生成树等问题；贪心算法可以用于求解调度、路径规划等问题。
同时，动态规划和贪心算法也相互补充和影响。
有一些问题既可以使用动态规划求解，也可以使用贪心算法求解。
在数学建模中常用的方法
在数学建模中常用的方法数学建模是一种利用数学模型来描述和解决实际问题的方法。
它在科学研究、工程技术和经济管理等领域具有广泛的应用。
在数学建模中，常用的方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、离散事件模拟、蒙特卡洛方法等。
下面将对这些方法进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数的方法。
它适用于有着线性关系的问题，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
线性规划的主要方法是使用线性规划模型将问题转化为数学形式，并通过线性规划算法求解最优解。
2.非线性规划：非线性规划是一种在给定的约束条件下最大化或最小化非线性目标函数的方法。
它适用于有着非线性关系的问题，包括优化设计、模式识别、经济决策等。
非线性规划的主要方法是使用非线性规划模型将问题转化为数学形式，并通过非线性规划算法求解最优解。
3.动态规划：动态规划是一种通过将复杂问题分解为子问题，并利用最优子结构的性质求解问题的方法。
它适用于有着重叠子问题的问题，包括最短路径问题、背包问题、机器调度问题等。
动态规划的主要方法是建立递推关系，通过填表或递归的方式求解最优解。
4.离散事件模拟：离散事件模拟是一种通过模拟系统状态的变化，以评估系统性能的方法。
它适用于有着离散事件发生和连续状态变化的问题，包括排队论、制造过程优化、金融风险评估等。
离散事件模拟的主要方法是建立事件驱动的模拟模型，并通过统计分析得到系统性能的估计。
5.蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于概率统计的模拟方法，通过生成随机样本来估计问题的解。
它适用于有着随机性质的问题，包括随机优化、风险分析、可靠性评估等。
蒙特卡洛方法的主要思想是基于大数定律，通过大量的随机模拟次数来逼近问题的解。
除了上述方法外，在数学建模中还可以使用图论、拟合分析、概率论和统计方法等。
图论可用于描述网络结构和路径问题；拟合分析可用于对实际数据进行曲线或曲面拟合；概率论和统计方法可用于建立概率模型和对数据进行统计分析。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
数学建模动态规划
u5*(E2)F.
4
6
D2 2
F
3
1
D3
3
E2 u4 *(D 1)E1.
f4(D2)5 u4 *(D 2)E2.
f 3 ( C 2 ) m d 3 ( C 2 , D 1 i ) f 4 n ( D 1 ) d 3 ( { C , 2 , D 2 ) f 4 ( D 2 )}
m 4 i7 ,5 n 5 } { 1 . 0
一、基本概念
阶段：是指问题需要做出决策的步数。阶段总数常记为n，相 应的是n个阶段的决策问题。阶段的序号常记为k，称为阶段 变量，k=1,2, …,n. k即可以是顺序编号也可以是逆序编号， 常用顺序编号。 状态：各阶段开始时的客观条件，第k阶段的状态常用状态
变量 s k 表示，状态变量取值的集合成为状态集合，用 S k
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
D1
3
5 6
D2 2
1
D3
3
u5*(E1)F,
E1
4
3
E2
u5*(E2)F.
F
f 4 ( D 1 ) m d 4 ( D 1 , E 1 i ) f n 5 ( E 1 ) d 4 ( { D , 1 , E 2 ) f 5 ( E 2 )}
到过程终止时的最佳效益。记为
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。 基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
式中opt 可根据题意取 max 或 min. 例如，案例1的基本方程为：
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
数学建模之动态规划
第四章动态规划§1 引言1.1 动态规划的发展及研究内容动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。
20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。
1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。
因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。
因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
例1 最短路线问题下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。
试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。
例2 生产计划问题工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。
经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。
数学建模常用方法
数学建模常用方法数学建模是利用数学工具和方法来研究实际问题，并找到解决问题的最佳方法。
常用的数学建模方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、图论、最优化理论等。
1. 线性规划（Linear Programming, LP）: 线性规划是一种在一定约束条件下寻找一组线性目标函数的最佳解的方法。
常见的线性规划问题包括生产调度问题、资源分配问题等。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）: 非线性规划是指当目标函数或约束条件存在非线性关系时的最优化问题。
非线性规划方法包括梯度方法、牛顿法、拟牛顿法等。
3. 动态规划（Dynamic Programming, DP）: 动态规划方法是一种通过将复杂的问题分解成多个子问题来求解最优解的方法。
动态规划广泛应用于计划调度、资源配置、路径优化等领域。
4. 整数规划（Integer Programming, IP）: 整数规划是一种在线性规划的基础上，将变量限制为整数的最优化方法。
整数规划常用于离散变量的问题，如设备配置、路径优化等。
5. 图论（Graph Theory）: 图论方法研究图结构和图运算的数学理论，常用于解决网络优化、路径规划等问题。
常见的图论方法包括最短路径算法、最小生成树算法等。
6. 最优化理论（Optimization Theory）: 最优化理论是研究寻找最优解的数学方法和理论，包括凸优化、非凸优化、多目标优化等。
最优化理论在优化问题建模中起到了重要的作用。
7. 离散数学方法（Discrete Mathematics）: 离散数学方法包括组合数学、图论、概率论等，常用于解决离散变量或离散状态的问题。
离散数学方法在计算机科学、工程管理等领域应用广泛。
8. 概率统计方法（Probability and Statistics）: 概率统计方法通过对已有数据进行分析和建模，提供了一种推断和预测的数学方法。
概率统计方法在决策分析、风险评估等领域起到了重要的作用。
数学建模常用方法介绍
数学建模常用方法介绍数学建模是指利用数学方法对实际问题进行数学描述和分析的过程。
它是数学与实际问题相结合的一种科学研究方法。
在数学建模中，常用的方法有线性规划、非线性规划、动态规划、数值模拟、统计分析等。
下面将介绍这些常用的数学建模方法。
1.线性规划线性规划是一种优化问题的数学描述方法，可以用于求解最优化问题，例如最大化利润或最小化成本。
线性规划的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性目标函数和线性约束条件，寻找最优解。
线性规划常用的算法有单纯形法、内点法等。
2.非线性规划非线性规划是一种在约束条件下求解非线性最优化问题的方法。
与线性规划不同，非线性规划中目标函数和/或约束条件是非线性的。
非线性规划的求解方法包括梯度下降法、牛顿法等。
3.动态规划动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法，它可以用于求解具有重叠子问题结构的问题。
动态规划将原问题分解为一系列子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而降低计算复杂度。
动态规划常用于求解最短路径问题、背包问题等。
4.数值模拟数值模拟是通过数值方法对实际问题进行计算机模拟和仿真的方法。
数值模拟在现代科学和工程中得到广泛应用。
数值模拟方法包括有限差分法、有限元法、蒙特卡洛方法等。
5.统计分析统计分析是通过数理统计方法对数据进行分析和推断的方法。
统计分析可以帮助我们了解数据的分布、关系和趋势，并做出科学的推断和预测。
统计分析方法包括假设检验、方差分析、回归分析等。
除了以上常用方法，还有一些其他常用的数学建模方法，例如图论、随机过程、优化算法等。
不同的问题需要选用不同的数学建模方法。
为了解决实际问题，数学建模需要结合实际背景和需求，在数学建模的过程中运用合适的数学方法，建立准确的模型，并通过数学分析和计算机辅助求解，得到符合实际情况的解答和结论。
数学建模的过程不仅仅是将数学工具应用于实际问题，更要注重问题的形式化、合理性和可行性。
在实际建模过程中，需要对问题进行适当的简化和假设，并考虑到模型的稳定性和可靠性。
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4
• 显然，这种方法是不经济的，特别是当阶 段数很多，各阶段可供的选择也很多时。 • 由于我们考虑的是从全局上解决求A到E 的最短路问题，而不是就某一阶段解决最 短路线，因此可考虑 • 从最后一阶段开始计算，由后向前逐步 推至A点：
5
B1
2
6 3 2
7 4
C1 C2
3 4 6 3
D1
3
A
3
4
B2
f 1 A min AB 3 f 2 B 3 12
f 2 B 3 min B 3 C 2 f 3 C 2 9
f 3 C 2 min C 2 D 2 f 4 D 2 7
f 4 D 2 min[ D 2 E f 5 ( E )] 4 f5 (E ) 0
j k
n
则有
f k ( s k ) OPt v k ( s k , d k ) f k 1 ( s k 1 ) , d k D k ( s k ) k n , n 1, 1 f n 1 ( s n 1 ) 0 ( 边界条件 )
f 3 C 2 min C 2 D 2 f 4 D 2 7
f 2 B 3 min B 3 C 2 f 3 C 2 9
f 1 A min AB 3 f 2 B 3 12
21
11 B1 12 A
2 4 3 6 3 2 4 6 2 5
9
第一阶段，由A B，有三种选择，即：
AB 1 f 2 B1 2 11 f 1 A min AB 2 f 2 B 2 min 4 9 12 决策点为B3 AB 3 f 2 B 3 3 9 *
6
7 4
C1
7 C2 6 C3
3
4 6
9 B2 9 B3
3 D1
3
3
3 3
E
4 D2
4
22
5、基本方程（递推关系式） 从引例求A到E的最短路的计算过程中可以看出，在求解 的各个阶段，我们利用了k阶段与k+1阶段之间的递推关系
f k s k min v k s k , d k f k 1 s k 1 d k s k D k S k , k 4 ,3 , 2 ,1 f 5 s 5 0
动态规划
（Dynamic Programming)
动态规划是1951年由美国数学家贝尔曼（ Richard Bellman)提出，它是解决一类多阶段 决策问题的优化方法，也是考察问题的一种 途径，而不是一种算法（如LP单纯形法）。 因此它不象LP那样有一个标准的数学表达式 和明确定义的一组规则，而必须对具体问题 进行具体分析处理。
本方程是策略最优性的充要条件。由此可见，基本方程是 动态规划理论与方法的基础。
动态规划模型的建立与求解
一、构成动态规划模型的条件
26
应用动态规划解决问题时必须首先建立动态规划模型， 再用逆序或顺序算法求解。写一个问题的动态规划模型一 般包含以下6个步骤：
7
6 3 2 7 4
B1
0 A
2 4 3
C1 5 C2 8 C3
3 4 6 3 3 3
4 B2 3 B3
4 6
10 D1
8 D2
3
E
4
12
2 5
13
•
各阶段选取的决策，一般与“时序”有 关，决策依赖于当前的状态，又随即引起 状态的转移，整个决策序列就是在变化的 状态中产生出来，故有“动态”含义。因 此，把这种方法称为动态规划方法。
23
f k s k min v k s k , d k f k 1 s k 1 d k s k D k S k , k 4 ,3 , 2 ,1 f 5 s 5 0
一般地，若
V k ,n v j S j , d j ,
2
动态规划的基本概念和最优化原理
一、引例（最短路问题） B1
2
6 3 2 4 6 7 4
C1 C2
3 4 6 3
D1
3
A
3
4
B2 B3
E
4
3
2 5
D2
C3
3
假如上图是一个线路网络，两点之间连线上的数字表示 两点间的距离（或费用），我们的问题是要将货物从A地运 往E地，中间通过B、C、D三个区域，在区域内有多条路径 可走，现求一条由A到E的线路，使总距离最短（或总费用 最小）。 3
7 4
B1
2
C1 C2
3 4 6 3
6 3 2
D1
3
A
3
4
B2
4 6
E
4
3
2 5
D2
B3
C3
3
17
11 B1
6
6 3 2 7 4
C1
3 4 6 3 3 3
3
12 A
2 4 3
9 B2
9 B3
4 6
7 C2
6 C3
D1
4 D2
3
E
4
2
5
18
动态规划方法就是要从允许策略集中找出 最优策略。 所谓策略：就是一个决策序列的集合
16
状态 状态变量和状态集合 : S k 表示第k阶段的状态变量， 也表示第k阶段具体的 常用 阶段:阶段变量k=1,2,3,4
某一状态。第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合
S 1 A ， S 2 B1 , B 2 , B 3 ， S 3 C1 , C 2 , C 3 ， S 4 D1 , D 2
f 3 C 2 min C 2 D 2 f 4 D 2 7
f 4 D 2 min[ D 2 E f 5 ( E )] 4 f5 (E ) 0
11
11
6
6 3 2 7 4
B1
12 A
2 4 3
C1
7 C2 6 C3
3
4 6 3 3 3
9 B2 9 B3
，决策点为D2
,决策点为D1
7
B1
2
6 3 2
7 4
C1 C2
3 4 6 3
D1
3
A
3
4
B2
4 6
E
4
3
2 5
D2
B3 A B
C3 C
3
D
E
f1
f2
f3
f4
8
第二阶段(B
C) ,由Bj到Cj分别均有三种选择，即：
B 1 C 1 f 3 C 1 7 6 f 2 B1 min B1C 2 f 3 C 2 min 4 7 * 11 B 1 C 3 f 3 C 3 66
B 3 C 1 f 3 C 1 6 6 f 2 B 3 min B 3 C 2 f 3 C 2 min 2 7 * 9 B 3 C 3 f 3 C 3 56
决策点为C2
决策点为C2
B 2 C 1 f 3 C 1 3 6 * 决策点 * 9 f 2 B 2 min B 2 C 2 f 3 C 2 min 2 7 为C1或C2 B 3 C 3 f 3 C 3 46
，决策点为D1
C 2 D 1 f 4 D 1 63 f 3 C 2 min min 7 3 4 * C 2 D 2 f 4 D 2
C 3 D 1 f 4 D 1 3 3 * f 3 C 3 min min 6 3 4 C 3 D 2 f 4 D 2
19
4、阶段指标、指标函数和最优指标函数 （1）衡量某阶段决策效益优劣的数量指标，称为阶段指标 ，用vk(Sk,dk)表示第k阶段的阶段指标。 在不同的问题中，其含义不同。它可以是距离、利润、成本 等 。在 引 例中 ， vk(Sk,dk) =dk 表示在 第 k阶段由 点 Sk 到点
Sk+1=dk(Sk)距离。如d2(B3,C1)=6。
f1（A）=12说明从A到E的最短距离为12，最短路线的确 定可按计算顺序反推而得。即 A→B3→C2→D2→E 上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图形直观的 表示出来：
10
f 1 A min AB 3 f 2 B 3 12
f 2 B 3 min B 3 C 2 f 3 C 2 9
4 6
3 D1 4 D2
3
E
4
2 5
图中各点上方框的数，表示该点到E的最短距离。图中 红箭线表示从A到E的最短路线,并且找到了从各点到终点 的最短路线. 从引例的求解过程可以得到以下启示： ①对一个问题是否用上述方法求解，其关键在于能否将问 题转化为相互联系的决策过程相同的多个阶段决策问题。
12
2
25
2、最优化原理
动态规划方法基于R· Bellman等人提出的最优化原理：
作为整个过程的最优策略具有这样的性质，即无论过去的 状态和决策如何，对于先前的决策所形成的状态而言，余 下的诸决策必须构成最优策略。简言之，“一个最优策略 的子策略总是最优的”。
但是，最优化原理仅是策略最优性的必要条件，而基
1
• 动态规划方法是现代企业管理中的一种重 要决策方法。如果一个问题可将其过程划 分为若干个相互联系的阶段问题，且它的 每一阶段都需进行决策，则这类问题均可 用动态规划方法进行求解。 • 根据多阶段决策过程的时序和决策过程 的演变，动态规划方法有以下四种类型： 离散确定型、离散随机型、连续确定型和 连续随机型。