§10-6--多自由度体系的强迫
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§10-7 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动解析
m212 1 m2 22 2
m1 21
幅值方程的 系数行列式
m111
1 2
1P 2 P m212 D2 D0
m1 21 Y2 1 m111 2 m1 21
1 m2 22 2
5.求各个质量惯性力的幅值
惯性力：
I1 (t ) m1 y1 2m1Y1 sin t I 2 (t ) m2 y2 2m2Y2 sin t
2
F2 k12 k22 2m 2
D2 D0
k21
5.共振
当 ＝1 （或＝2）时， D0＝0
y1 则 y2
∞
6.求各个质量惯性力的幅值
惯性力：
y1 (t ) Y1 sin t y2 (t ) Y2 sin t
I1 (t ) m1 y1 2m1Y1 sin t I 2 (t ) m2 y2 2m2Y2 sin t
2
k21Y1 (k22 m2 )Y2 F2
2
—— 非齐次方程组， 有确定的非零解。
4.位移幅值
Y1
F1 k11 m 1
2
k12 k12 k22 2m 2 D1 D0
F2 k22 2 m 2 k21
幅值方程的 系数行列式
k11 2 m 1 F1 Y2 k21 k11 m 1
（5）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上， 按静力进行计算
P
1 .6 P
1 .2 P
0 .6 P
1 .2 P
0 .6 P 0 .3 P
1 .2 P
0.15 Ph
0 .3 P
0.45 Ph
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
郑州大学远程教育结构力学在线测试1-9章答案
《结构力学》第01章在线测试第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）1、对结构进行强度计算的目的，是为了保证结构A、既经济又安全B、不致发生过大的变形C、美观实用D、不发生刚体运动2、结构的刚度是指A、结构保持原有平衡形式的能力B、结构抵抗失稳的能力C、结构抵抗变形的能力D、结构抵抗破坏的能力3、杆系结构中的构件的长度A、等于截面的高和宽B、与截面的高和宽是同一量级C、远远小于截面的高和宽D、远远大于截面的高和宽4、对结构进行强度计算目的是为了保证结构A、既经济又安全B、不致发生过大的变形C、美观实用D、不发生刚体运动5、固定铰支座有几个约束反力分量？A、一个B、两个C、三个D、四个第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、下列哪种情况不是平面结构A、所有杆件的轴线都位于同一平面内，荷载也作用在该平面内B、所有杆件的轴线都位于同一平面内，荷载与该平面垂直C、所有杆件的轴线都位于同一平面内，荷载与该平面平行D、所有杆件的轴线都不位于同一平面内E、荷载不作用在结构的平面内2、铰结点的约束特点是A、约束的各杆端不能相对移动B、约束的各杆端可相对转动C、约束的各杆端不能相对转动D、约束的各杆端可沿一个方向相对移动E、约束的各杆端可相对移动3、刚结点的约束特点是A、约束各杆端不能相对移动B、约束各杆端不能相对转动C、约束的各杆端可沿一个方向相对移动D、约束各杆端可相对转动E、约束各杆端可相对移动4、可动铰支座的特点是A、约束杆端不能移动B、允许杆端转动C、只有一个约束力偶D、允许杆端沿一个方向移动E、只有一个反力5、固定端支座的特点是A、不允许杆端移动B、只有一个反力C、允许杆端转动D、不允许杆端转动E、有两个反力和一个反力偶第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、结构是建筑物和构筑物中承受荷载起骨架作用的部分。
正确错误2、板壳结构的厚度远远小于其它两个尺度。
正确错误3、为了保证结构不致发生过大的变形影响了正常使用，要求结构要有足够的强度。
《结构力学》-龙驭球-10-动力学(6)
当 m1 = m2 = m，k1 = k2 = k
Y1
FP
(k
D0
2m)
D0 (2k m 2 )(k m 2 ) k 2
Y2
FP k D0
D0
k2k11k2k22132 mk2m1kmk2222k1m2k22mm 24
2 mD214 FPk1 2k22 2m2 m2D(2mk22 FP32 mkk11 2 2m41)
m1
m2
同作用下的位移。
Y1
Y2
y1(t) m1 y1(t)11 m2 y2 (t)12 1p sin t
y2 (t) m1 y1(t)21 m2 y2 (t)22 2 p sin t
m1 y1(t)11 m2 y2 (t)12 Y1 1p sin t
m1 y1(t)21 m2 y2 (t)22 Y2 2 p sin t
由此可得位移的幅值为
Y1
D1 D0
Y2
D2 D0
D0
(m1
2 11
1)
m1 221
m2
2 12
(m2
2 22
1)
D1
1P 2P
m2
2 12
(m2
2 22
1)
D2
(m1
2 11
1)
m1 221
1P 2P
如图示对称结构在对称荷载作用下。
k11 k22 , k12 k21
l/3 与ω2相应的振型是
Psinθt m
荷载幅值： FP1 = FP , FP2 = 0 。
Y1
D1 D0
FP1
k22 2m2
D0
k12FP2 FP (k2 2m2 )
D0
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
结构力学课后答案第10章结构动力学
对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构力学A下★第10章★10-3★单自由度体系的强迫振动
10-3 Forced-Vibration of SDOF 单自由度体系的强迫振动
Forced-Vibration:强迫振动
强迫振动(受迫振动)： 结构在动荷载作用下的振动。
无阻尼条件下，单自由度体系
y k
强迫振动方程：
m
P t P t m
my ky P t
k m
M max
1 1 ( FP )l 1.552 20 4 31.04kN .m 4 4
例：简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。 I22b 3570cm4 325
在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于有偏心，转动时产 生离心力FP=10kN，FP的竖向分量为FPsinθt。忽略梁的质量， 试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）
FP(t)＝10sinθt
W
1m
1m
2m
1 ⑴ Natural Frequency 60.812 rad s m 3 l 48 EI 2n 2 500 ⑵ Force Frequency 52.36 rad s 60 60 1 ⑶ magnification factor 3.866 2 1
Ql Pl (Q P)l m ax 175.6MPa 4W 4W 4W 149.2 3 3 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 Ql Pl 对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获 max st y st 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 48EI 48EI 得较好的经济效益。 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
Forced-Vibration:强迫振动
强迫振动(受迫振动)： 结构在动荷载作用下的振动。
无阻尼条件下，单自由度体系
y k
强迫振动方程：
m
P t P t m
my ky P t
k m
M max
1 1 ( FP )l 1.552 20 4 31.04kN .m 4 4
例：简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。 I22b 3570cm4 325
在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于有偏心，转动时产 生离心力FP=10kN，FP的竖向分量为FPsinθt。忽略梁的质量， 试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）
FP(t)＝10sinθt
W
1m
1m
2m
1 ⑴ Natural Frequency 60.812 rad s m 3 l 48 EI 2n 2 500 ⑵ Force Frequency 52.36 rad s 60 60 1 ⑶ magnification factor 3.866 2 1
Ql Pl (Q P)l m ax 175.6MPa 4W 4W 4W 149.2 3 3 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 Ql Pl 对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获 max st y st 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 48EI 48EI 得较好的经济效益。 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
【结构动力学】第10章 多自由度体系2020
0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
13
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 14
15
5 DOF with uniform mass and stiffness
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
10
对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
6
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
11
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。
§10-4--阻尼对振动的影响
称为振幅的对数递减率.
ωr 如ξ 0.2 则 1, ω
yk yk 1 ωr 1 ξ ln ln 2π ω yk 1 2π yk 1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
yk 1 ξ ln 2πn yk n
工程中常用此 方法测定阻尼
② =1 原特征根
1, 2 ( 1),
1
第10章 结构动力计算基础 主要内容
§10-1 动力计算的特点和动力自由度 §10-2 单自由度体系的自由振动 §10-3 单自由度体系的强迫振动 §10-4 阻尼对振动的影响 §10-5 多自由度体系的自由振动 ①：有阻尼的自由振动 §10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动
②：有阻尼的强迫振动
无阻尼体系
y- t曲线
(2) 阻尼对振幅的影响 相距一个周期的不同时刻tn和tn+Tr的位移比值为，
7
y (tn ) eξωTr y (tn Tr )
按等比级数递减
由此可知，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
yk 2 T ln e T ln y k 1 r
一般解
y ( t ) B1e
1t
B2 e
25 t
①低阻尼情形 ( <1 )
1, 2 i 1 ,
2
令
r 1 2
y (t ) B1e
( i r ) t
B2e
( i r ) t
e
t
( B1e
i r t
B2e
my
..
ω2 y 0 y 2ξωy
特征方程
设解为： y
Be λt
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代入位移幅值方程
I1 m1θ 2Y1 2 I 2 m2θ Y2
(m1θ 2 δ11 1)Y1 m2θ 2 δ12Y2 Δ1P 0 2 2 m1θ δ21Y1 ( m2θ δ22 1)Y2 Δ2 P 0
(δ11 1 ) 0 I δ I Δ 1 12 2 1P m1θ 2 1 ) I 2 Δ2 P 0 δ21 I1 (δ22 2 m2θ
M 1d M 11 I1 M 12 I 2 M 1P 0.33173Pl M 2 d M 21 I1 M 22 I 2 M 2 P 0.2035 Pl
多自由度体系没有统一的动力系数
8
利用对称性可简化计算
①对称荷载
0.5Psinθt
Psinθt
1
m
l/3
11
β=
②：从多自由度体系出
§10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 ①柔度法
(2) 在简谐荷载作用下，荷载频率在 共振区之外，阻尼影响很小；在共 振区之内时，计不计阻尼，虽对振 幅影响很大，但都能反映共振现象。 (忽略阻尼的影响) (1)建立振动微分方程 (1) 各简谐荷载频率\相位相同
Psint Psint
Pl 3 0.01440 EI
D1 Pl 3 Y1 0.02516 D0 EI
D2 Pl 3 Y2 0.02306 D0 EI
D1 Pl 3 0.02516 Y1 D0 EI
D2 Pl 3 0.02306 Y2 D0 EI
0.9519P P I1=0.2934P 0.9519P 0.3415P
2时,Y1和Y2 趋于无穷大。
也有例外情况
当 0.618
k
m
1 和 1.618
k
m
可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。
12
1.618
0.618
1.0
1.0
1.0
m1 m2 m k1 k2 k
振型 第1振型 第2振型
ω
k m
1 0.61803
Y 243 βY2 2 0.02306 14.009 4 y2 st βM 1 βM 2 M 1d 9 0.3173 1.42785 2 M 1st M 2d 9 0.2035 0.91575 2 M 2 st
0.9519P
0.3173Pl
Md 图
0.6104P
4l 3 7l 3 , δ12 δ11 δ11 δ22 243EI 486 EI 3Pl 3 7 Pl 3 Δ1 p , Δ2 P 243EI 486 EI
EI θ 0.6ω1 3.415 ml 3
P1=1
6
M1
2l 9
P2=1
2l 9
3) 计算位移振幅
D0
(m1θ 2 δ11 1)
可得求惯性力幅值的方程 (直接求惯性力幅值)
荷载、位移、惯性力，同频、同相、同时达到最大。位移达到最 大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为 静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠 加公式求：
M t max M 1 I1 M 2 I 2 M P
设平稳振动阶段的位移为： 代入得：
y1 (t ) Y1 sin θ t y2 (t ) Y2 sin θ t
振幅为： Y1
(m1θ 2 δ11 1)Y1 m2θ 2 δ12Y2 Δ1P 0 2 2 m1θ δ21Y1 (m2θ δ22 1)Y2 Δ2 P 0
M2
m1θ 2 δ21
m2θ 2 δ12 0.6247 2 (m2θ δ22 1)
2 3
P
2 Pl 9
Δ1P D1 Δ2 P
D2
m2θ δ12 Pl 0.01572 EI (m2θ 2 δ22 1)
Δ1P Δ2 P
MP
(m1θ 2 δ11 1) m1θ 2 δ21
D0 Pk2 D0
3k 2 k 2 =m (θ θ 2 ) m m 2 k m 2 (θ 2 ω12 )(θ 2 ω2 ) 2 2 ω1 ω2 3 2 2 2 m θ k θ 2 m 2 (1 2 )(1 2 ) 2 k 2 2 m ω1 ω2 ω1 ω2 2
k m
2 1.61803
k m
ω1 ω ω2
观察视频
共振的发生 振型的形状
如图示对称结构在对称荷载作用下。
13
k11 k 22 , k12 k 21
与ω2相应的振型是
l/3
Psinθt m
l/3
Psinθt m
l/3
Y12 k12 2 2 =－1 k 22 2 m k 11 2 m k12 k 21 2 Y22 k11 2 m
Y1 1 mk θ2 2 2 θ θ P (1 ω12 )(1 ω22 ) k
Y2 1 2 2 P (1 θ ω12 )(1 θ ω22 ) k
m
1 m k 2 Y1 1 2 2 P (1 2 )(1 2 ) k 1 2
D
11m1
1
2
12m2 22m2
1
21m1
0
2
(3) 动内力幅值的计算
惯性力的幅值为：
m1 y1 m1θ 2Y1 sin θ t m2 y2 m2θ 2Y2 sin θt
y1 (t ) Y1 sin θ t y2 (t ) Y2 sin θ t
Y1
3.0 P 2.0 0.618 1.618 1.0 0 -1.0 -2.0 -3.0
k
Y2 1 2 2 2 P (1 2 )(1 2 ) k 1 2
Y2
3.0 P 2.0 0.618
k
11
k
1.618
m
1.0 0 -1.0 -2.0 -3.0
k m
3.0
3.0
两个质点的 位移动力系 数不同。
例：图示简支梁EI=常数,θ=0.6ω1求动位移幅值和动弯矩幅值。 解：1) 求柔度系数 4l 3 7l 3 δ11 δ22 , δ12 δ21 243EI 486 EI 15ml 3 λ1 (δ11 δ12 )m 486 EI ml 3 λ2 (δ11 δ12 )m 486 EI
2 D1 P k θ m2 k12 P 1 22 2
P sint
m1
k2 k1
D1 D ；Y2 2 D0 D0
2
当m1=m2=m，k1=k2=k
=m θ 3kmθ k
2 4 2 2 4 2
Y1 Y2
2 2 2 D k θ m k θ m k 2 P(k2 θ m2 ) 0
例：质量集中在楼层上m1, m2 ，层间侧移刚度为k1 , k2
荷载幅值：P1=P，P2=0。 k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 ,
D0
Y1
10
k12=－k2
m2
k11 θ m1
2
k21
k12 2 k22 θ 2m2 D2 P k θ m1 k21P 2 11 1
D1 D0 Y2 D2 D0
m2θ 2 δ12 (m2θ 2 δ22 1)
D2 (m1θ 2 δ11 1) m1θ 2 δ21 Δ1P Δ2 P
Δ1P (m1θ 2 δ11 1) m2θ 2 δ12 D1 D0 2 2 Δ2 P m1θ δ21 (m2θ δ22 1)
(2) 动位移的通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动， 由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段 的纯强迫振动。
m1 y1δ11 m2 y2 δ12 y1 Δ1P sin θ t m1 y1δ21 m2 y2 δ22 y2 Δ2 P sin θ t
m
m 0.5Psinθt
l/3
1
l/3
0.5Psinθt
l/3
②反对称荷载
l3 22 486 EI
EI ω2 22.045 ml 3
m
m
1 Pl 3 Pl 3 1.0246 yst 972 EI A 0.00106 EI
l/3
l/6
l/9
9
§10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 ②刚度法 .. m1 y1 k11 y1 k12 y2 P 01 (t ) P y2(t) 1 (t ) P 1 sin θt .. P ( t ) 1 m2 y2 k 21 y1 k 22 y2 P 02 (t ) 如 P (t ) P sin θt 2 2 y1 (t ) Y1 sin θt 在平稳阶段，各质点也作简谐振动： y2 (t ) Y2 sin θt y1(t) P ( t ) 2 Y =D /D (k11 θ 2 m1 )Y1 k12Y2 P 1 1 1 0 2 k21Y1 (k22 θ m2 )Y2 P2 Y2=D2/D0
D0
k11 m1
2
k12 k22 2m2
k12 k22 m2
2
2 D1 P k m2 k12 P2 1 22
2 2 11 2 1 21P 1
k21
D P k m k
D
k11 2m1 k21
0
I1 m1θ 2Y1 2 I 2 m2θ Y2
(m1θ 2 δ11 1)Y1 m2θ 2 δ12Y2 Δ1P 0 2 2 m1θ δ21Y1 ( m2θ δ22 1)Y2 Δ2 P 0
(δ11 1 ) 0 I δ I Δ 1 12 2 1P m1θ 2 1 ) I 2 Δ2 P 0 δ21 I1 (δ22 2 m2θ
M 1d M 11 I1 M 12 I 2 M 1P 0.33173Pl M 2 d M 21 I1 M 22 I 2 M 2 P 0.2035 Pl
多自由度体系没有统一的动力系数
8
利用对称性可简化计算
①对称荷载
0.5Psinθt
Psinθt
1
m
l/3
11
β=
②：从多自由度体系出
§10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 ①柔度法
(2) 在简谐荷载作用下，荷载频率在 共振区之外，阻尼影响很小；在共 振区之内时，计不计阻尼，虽对振 幅影响很大，但都能反映共振现象。 (忽略阻尼的影响) (1)建立振动微分方程 (1) 各简谐荷载频率\相位相同
Psint Psint
Pl 3 0.01440 EI
D1 Pl 3 Y1 0.02516 D0 EI
D2 Pl 3 Y2 0.02306 D0 EI
D1 Pl 3 0.02516 Y1 D0 EI
D2 Pl 3 0.02306 Y2 D0 EI
0.9519P P I1=0.2934P 0.9519P 0.3415P
2时,Y1和Y2 趋于无穷大。
也有例外情况
当 0.618
k
m
1 和 1.618
k
m
可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。
12
1.618
0.618
1.0
1.0
1.0
m1 m2 m k1 k2 k
振型 第1振型 第2振型
ω
k m
1 0.61803
Y 243 βY2 2 0.02306 14.009 4 y2 st βM 1 βM 2 M 1d 9 0.3173 1.42785 2 M 1st M 2d 9 0.2035 0.91575 2 M 2 st
0.9519P
0.3173Pl
Md 图
0.6104P
4l 3 7l 3 , δ12 δ11 δ11 δ22 243EI 486 EI 3Pl 3 7 Pl 3 Δ1 p , Δ2 P 243EI 486 EI
EI θ 0.6ω1 3.415 ml 3
P1=1
6
M1
2l 9
P2=1
2l 9
3) 计算位移振幅
D0
(m1θ 2 δ11 1)
可得求惯性力幅值的方程 (直接求惯性力幅值)
荷载、位移、惯性力，同频、同相、同时达到最大。位移达到最 大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为 静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠 加公式求：
M t max M 1 I1 M 2 I 2 M P
设平稳振动阶段的位移为： 代入得：
y1 (t ) Y1 sin θ t y2 (t ) Y2 sin θ t
振幅为： Y1
(m1θ 2 δ11 1)Y1 m2θ 2 δ12Y2 Δ1P 0 2 2 m1θ δ21Y1 (m2θ δ22 1)Y2 Δ2 P 0
M2
m1θ 2 δ21
m2θ 2 δ12 0.6247 2 (m2θ δ22 1)
2 3
P
2 Pl 9
Δ1P D1 Δ2 P
D2
m2θ δ12 Pl 0.01572 EI (m2θ 2 δ22 1)
Δ1P Δ2 P
MP
(m1θ 2 δ11 1) m1θ 2 δ21
D0 Pk2 D0
3k 2 k 2 =m (θ θ 2 ) m m 2 k m 2 (θ 2 ω12 )(θ 2 ω2 ) 2 2 ω1 ω2 3 2 2 2 m θ k θ 2 m 2 (1 2 )(1 2 ) 2 k 2 2 m ω1 ω2 ω1 ω2 2
k m
2 1.61803
k m
ω1 ω ω2
观察视频
共振的发生 振型的形状
如图示对称结构在对称荷载作用下。
13
k11 k 22 , k12 k 21
与ω2相应的振型是
l/3
Psinθt m
l/3
Psinθt m
l/3
Y12 k12 2 2 =－1 k 22 2 m k 11 2 m k12 k 21 2 Y22 k11 2 m
Y1 1 mk θ2 2 2 θ θ P (1 ω12 )(1 ω22 ) k
Y2 1 2 2 P (1 θ ω12 )(1 θ ω22 ) k
m
1 m k 2 Y1 1 2 2 P (1 2 )(1 2 ) k 1 2
D
11m1
1
2
12m2 22m2
1
21m1
0
2
(3) 动内力幅值的计算
惯性力的幅值为：
m1 y1 m1θ 2Y1 sin θ t m2 y2 m2θ 2Y2 sin θt
y1 (t ) Y1 sin θ t y2 (t ) Y2 sin θ t
Y1
3.0 P 2.0 0.618 1.618 1.0 0 -1.0 -2.0 -3.0
k
Y2 1 2 2 2 P (1 2 )(1 2 ) k 1 2
Y2
3.0 P 2.0 0.618
k
11
k
1.618
m
1.0 0 -1.0 -2.0 -3.0
k m
3.0
3.0
两个质点的 位移动力系 数不同。
例：图示简支梁EI=常数,θ=0.6ω1求动位移幅值和动弯矩幅值。 解：1) 求柔度系数 4l 3 7l 3 δ11 δ22 , δ12 δ21 243EI 486 EI 15ml 3 λ1 (δ11 δ12 )m 486 EI ml 3 λ2 (δ11 δ12 )m 486 EI
2 D1 P k θ m2 k12 P 1 22 2
P sint
m1
k2 k1
D1 D ；Y2 2 D0 D0
2
当m1=m2=m，k1=k2=k
=m θ 3kmθ k
2 4 2 2 4 2
Y1 Y2
2 2 2 D k θ m k θ m k 2 P(k2 θ m2 ) 0
例：质量集中在楼层上m1, m2 ，层间侧移刚度为k1 , k2
荷载幅值：P1=P，P2=0。 k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 ,
D0
Y1
10
k12=－k2
m2
k11 θ m1
2
k21
k12 2 k22 θ 2m2 D2 P k θ m1 k21P 2 11 1
D1 D0 Y2 D2 D0
m2θ 2 δ12 (m2θ 2 δ22 1)
D2 (m1θ 2 δ11 1) m1θ 2 δ21 Δ1P Δ2 P
Δ1P (m1θ 2 δ11 1) m2θ 2 δ12 D1 D0 2 2 Δ2 P m1θ δ21 (m2θ δ22 1)
(2) 动位移的通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动， 由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段 的纯强迫振动。
m1 y1δ11 m2 y2 δ12 y1 Δ1P sin θ t m1 y1δ21 m2 y2 δ22 y2 Δ2 P sin θ t
m
m 0.5Psinθt
l/3
1
l/3
0.5Psinθt
l/3
②反对称荷载
l3 22 486 EI
EI ω2 22.045 ml 3
m
m
1 Pl 3 Pl 3 1.0246 yst 972 EI A 0.00106 EI
l/3
l/6
l/9
9
§10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 ②刚度法 .. m1 y1 k11 y1 k12 y2 P 01 (t ) P y2(t) 1 (t ) P 1 sin θt .. P ( t ) 1 m2 y2 k 21 y1 k 22 y2 P 02 (t ) 如 P (t ) P sin θt 2 2 y1 (t ) Y1 sin θt 在平稳阶段，各质点也作简谐振动： y2 (t ) Y2 sin θt y1(t) P ( t ) 2 Y =D /D (k11 θ 2 m1 )Y1 k12Y2 P 1 1 1 0 2 k21Y1 (k22 θ m2 )Y2 P2 Y2=D2/D0
D0
k11 m1
2
k12 k22 2m2
k12 k22 m2
2
2 D1 P k m2 k12 P2 1 22
2 2 11 2 1 21P 1
k21
D P k m k
D
k11 2m1 k21
0