第四章 多自由度体系(自由振动)
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
第四章多自由度系统
j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1
lr
mij
)
u jr usr
lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T
1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U
第四章 多自由度系统
(1)
2 为方程的解，代入（ ），得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解，代入（1），得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根， 当 [ K ] > 0 时，系统有n个大于零的正实根， 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标（见上图）。 系统的广义坐标（见上图）。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知，当简支梁受力作用时， 由材料力学得知，当简支梁受力作用时，其挠度计算公式为 ： Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义， 根据柔度影响系数的定义，我们首先在坐 处作用一单位力，则在坐标y 标y1处作用一单位力，则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移， 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移，即系统第j个坐标上
结构动力学多自由度体系的自由振动
11
21
1
Y 1
1 1
Y
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
三.求多自由度体系频率、振型例题
例1.求图示体系的频率、振型
解
11
22
4 243
l3 EI
12
21
7 486
l3 EI
I 2 m 0
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2
令
1
11m1
2
1 12 / 11 0 21 / 11 1
(I 2 m)Y 0
频率方程
I 2 m 0
6。求振型、频率可列幅值方程.
按振型振动时
y1 y2
Y1 sin( t ) Y2 sin( t )
yy21
Y1 2 Y2 2
sin( t sin( t
) )
FI
1
(t
)
FI 2 (t)
m1Y12 sin( t ) m2Y22 sin( t )
YY1222
s
in(2t
2)
通解
yy12((tt))
A1
YY1211
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
多自由度体系
-6.054
K
32M
=
k 15
5
0
5 -5.027
3
0
3
-10.027
代入式（4-3-4），后两个方程为
-5Y13 5.027Y23 +3Y33 0 3Y23 +10.027Y33 0
令Y33 1，故式（f）的解为
Y (3) = Y13，Y23，Y33 T 2.760, 3.342,1T
M
M
kn1
kn2
L
k1n
k2n
0
M
knn -2mn
（4-3-3b）
n个根12，22， n2
Y (i)表示与频率i相应的主振型：
Y (i)T =（Y1i Y2i Yni )
将i和Y (i)代入式（4-3-2）得
（K i2M）Y (i) 0
（4-3-4）
令，i 1, 2,, n，可得n个向量方程，由此可求的n个主振型向量 Y (1)，Y (2)，，Y (n)
（1）验算正交关系式（4-3-8）
2 0 0 0.924
Y (1)T MY (2) =(0.163, 0.569,1) 0 1 0 1.227 m
0 0 1 1
m0.163 2 (0.924) 0.5691 (1.227) 111
0.0006m 0
同理，
Y (1)T MY (3) 0.002m 0，Y (2)T MY (3) 0.002m 0
3
0
3
1.707
代入式（4-3-4）中并展开，保留后两个方程，得
-5Y11 6.707Y21 3Y31 3Y21 1.707Y31 0
多自由度系统的振动、响应和求解
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为
4多自由度系统的振动解析
A(i)为对应于 pi的特征矢量。它表示系统在以 pi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第 i 阶主振型， 也称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
归一化后，得到三个主振型
A1 . 10000 10000 . . 10000 , A 2 . 10000 0.2808 0.6404 , A1 . 10000 17808 . 0.3904
(i ) 令 An 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i )
(i ) A2
1
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为 1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
Mechanical and Structural Vibration
4.1 固有频率 主振型
4.1.2主振型
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
1 I 2 p
特征矩阵Biblioteka 频率方程M1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
Mechanical and Structural Vibration
于是，得到
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第四章多自由度体系无阻尼自由振动
主要内容
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
2 振型的正交性
3 位移的振型展开和能量的振型展开
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。
因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。
多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。
因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。
结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
其中[M ]、[K ]为N ×N 阶的质量和刚度矩阵，{u }和{ü}是
N 阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N 阶零向量。
上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u }是什么形式时可以满足此式要求。
[]{}[]{}{}0=+u K u
M
根据前面经验，多自由度体系的振动形式可写为：
{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，
不随时间变化，称为振型。
ω—简谐振动的频率，θ—相位角。
上式对时间求两次导数可得
{}{}{})
sin()(θωφ+==t t u u {}{}{})sin()(2
θωφω+−==t t u u
对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。
对于N 个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N 次方程，由此可以解得N 个根（ω12<ω22<ω32…<ωN 2）。
ωn (n =1, 2, …, N )即为体系的自振频率。
其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T 1=2π/ω1叫基本周期)从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。
按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
0)()(02
11212=++++−−a a a a N N N N ωωω
把相应的自振频率ωn 代入运动方程的特征方程得到振型{φ}n ={φ1n , φ2n , …, φNn }T —体系的n 阶振型。
由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n =1，才能确定其余的值。
¾实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。
虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。
¾所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
[][](){}{}
02
=−n n M K φω
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率分别写成矩阵的形式，
其中，ωn —n 阶自振频率，{φ}n —n 阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
[]{}{}{}[]N φφφ 2
1=Φ[]⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΩN ωωω 00000021
[例1]（p98）如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。
结构模型及各刚度元素：
[例1]
解：（1）结构的质量阵、刚度阵：
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0.10005.10000.2M []⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=600600060018001200012003000333231232221
131211k k k k k k k k k
K
当结构为自由度在2阶及以上时，频率求解方法：
1 因式分解法
2 直接解代数方程
3 若为对称结构，利用对称性降阶。
（3）根据运动方程的特征方程求振型：
设φ3n =1，则
则振型方程为：[][]{}{}0)(2
=−n n M K φω{}⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=121321n n n n n n
φφφφφφ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−0001110
15.13202
2560021n n n n
n B B B φφ
{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−=16066.06790.02φ{}⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=15420.24395.23φ{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=16485.03018.01
φ
从以上给出的振型图看，对层间模型，振型特点为：一阶振型不变符号，二阶振型变一次符号，三阶振型变二次符号。
以上给出的振型的求解公式是解耦的，不用求联立方程组，这只有当结构是层间模型时，即特征方程的系数
[例2](p101)确定由两个梁单元构成的结构的自振频率和自振周期，梁的弯曲刚度均为EI。
忽略轴向变形，采用集中质量法, 梁的质量集中到梁端, 而梁成为无质量梁。
结构模型及自由度：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦
⎤−−0067233212323φφωωEI mL EI mL
0972
[例2]
令φ1n =1，由特征方程的第一式得：
将ω1(λ1=0.5695)代入上式，得到φ21=2.097将ω2(λ2=4.0972)代入上式，得到φ22=-1.431结构的两阶振型为：
3
/)38(12n n n φλφ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡−−−−002333821n n n n
φφλλ{}{}⎭
⎬⎫⎩⎨⎧−=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=431.11,
097.212
1φφ
求解结构体系的自振频率和振型也称为结构的模态分析。
在两个例题中采用的求多自由度体系自振频率和振型的方法，是一种严格的理论分析方法，当体系自由度较低时是可行的。
对工程问题，可涉及成百上千，甚至几万个自由度，此时采用矩阵行列式方法很难实现结构的模态分析。
目前借助于计算机，已发展了多种行之有效的矩阵迭代法，有现成的软件可以使用。
在多自由度体系自由振动分析中发现，与单自由度结构体系相比，两者之间相同的是都存在自振频率，但多自由度体系有多个自振频率，N个自由度，则一般存在N个自振频率，新的内容是出现了振型的概念。
所谓振型就是结构按某一阶自振频率振动时，结构各自由度变化的比例关系，多自由度体系的振型和频率一样，是结构的重要特性。
2 振型的正交性
重频问题
若诸特征值不是完全相异的退化系统，设
对应于重频的系统必有s 个线性无关的模态向量，它们与其余N-s 个模态正交。
因此，只要使对应于重频的模态向量正交即可。
可采用线性代数的Schmidt 方法。
11
p p p s ωωω++−== 2s N
≤≤。