苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程教案理解析版

１．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下关系：（１）曲线上点的坐标都是这个方程的解．（２）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．２．求动点轨迹方程的一般步骤（１）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（２）写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p（M）}；（３）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（４）化方程f（x，y）＝0为最简形式；（５）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．３．曲线的交点设曲线C１的方程为F１（x，y）＝0，曲线C２的方程为F２（x，y）＝0，则C１，C２的交点坐标即为方程组错误!的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．[小题体验]１．已知两定点A（—２,0），B（１,0），如果动点P满足PA＝２PB，则点P的轨迹方程为________．解析：设P点的坐标为（x，y），∵A（—２,0），B（１,0），动点P满足PA＝２PB，∴错误!＝２错误!，平方得（x＋２）２＋y２＝４[（x—１）２＋y２]，化简得（x—２）２＋y２＝４，∴点P的轨迹是以（２,0）为圆心、２为半径的圆，方程为（x—２）２＋y２＝４．答案：（x—２）２＋y２＝４２．已知点P是直线２x—y＋３＝0上的一个动点，定点M（—１,２），Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝M Q，则Q点的轨迹方程是________．解析：设Q（x，y），则P为（—２—x,４—y），代入２x—y＋３＝0，得Q点的轨迹方程为２x—y ＋５＝0．答案：２x—y＋５＝0３．已知F是抛物线y＝错误!x２的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x２＝４y的焦点F（0,１），设线段PF的中点坐标是（x，y），则P（２x,２y—１）在抛物线x２＝４y上，所以（２x）２＝４（２y—１），化简得x２＝２y—１．答案：x２＝２y—１１．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程（包括范围）．２．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[小题纠偏]１．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足错误!·错误!＝0，则P点的轨迹是________．解析：因为错误!·错误!＝0，所以PM⊥PN.所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．答案：以线段MN为直径的圆２．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B错误!，C错误!（a＞0），且满足条件sin C—sin B＝错误!sin A，则动点A的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得错误!—错误!＝错误!×错误!，即AB—AC＝错误!BC，故动点A是以B，C为焦点，错误!为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为错误!—错误!＝１（x＞0且y≠0）．答案：错误!—错误!＝１（x＞0且y≠0）错误!错误![题组练透]１．已知点O（0,0），A（１，—２），动点P满足|PA|＝３|PO|，则P点的轨迹方程是________．解析：设P点的坐标为（x，y），则错误!＝３错误!，整理得8x２＋8y２＋２x—４y—５＝0．答案：8x２＋8y２＋２x—４y—５＝0２．已知M（—２,0），N（２, 0），求以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程．解：设P（x，y），因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，所以MP２＋NP２＝MN２，所以（x＋２）２＋y２＋（x—２）２＋y２＝１6，整理得x２＋y２＝４．因为M，N，P不共线，所以x≠±２，所以轨迹方程为x２＋y２＝４（x≠±２）．３．设F（１,0），点M在x轴上，点P在y轴上，且错误!＝２错误!，错误!⊥错误!，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解：设M（x′，0），P（0，y′），N（x，y），由错误!＝２错误!，得（x—x′，y）＝２（—x′，y′），所以错误!解得错误!因为错误!⊥错误!，错误!＝（x′，—y′），错误!＝（１，—y′），所以（x′，—y′）·（１，—y′）＝0，即x′＋y′２＝0，所以—x＋错误!２＝0，即y２＝４x.因此所求的轨迹方程为y２＝４x.[谨记通法]直接法求轨迹方程的２种常见类型及解题策略（１）题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．（２）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．错误!错误![典例引领]１．（２0１7·扬州模拟）△ABC的顶点A（—５,0），B（５,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝３上，则顶点C的轨迹方程是________________．解析：如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝２，CD＝CF，所以CA—CB＝8—２＝6．根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为错误!—错误!＝１（x＞３）．答案：错误!—错误!＝１（x＞３）２．（２0１9·常熟中学检测）已知动圆M与直线y＝２相切，且与定圆C：x２＋（y＋３）２＝１外切，那么动圆圆心M的轨迹方程________．解析：由题意知动圆M与直线y＝２相切，且与定圆C：x２＋（y＋３）２＝１外切，∴动点M到C（0，—３）的距离与到直线y＝３的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是以C（0，—３）为焦点，直线y＝３为准线的抛物线，故所求M的轨迹方程为x２＝—１２y.答案：x２＝—１２y[由题悟法]定义法求曲线方程的２种策略（１）运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．（２）定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[即时应用]１．（２0１9·海门中学检测）已知△ABC的周长为２0，且顶点B（0，—４），C（0,４），则顶点A 的轨迹方程是________．解析：∵△ABC的周长为２0，顶点B（0，—４），C（0,４），∴BC＝8，AB＋AC＝２0—8＝１２，∵１２＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝４，∴b２＝２0，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（x≠0）．答案：错误!＋错误!＝１（x≠0）２．如图，已知△ABC的两顶点坐标A（—１，0），B（１,0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝１，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程．解：由题知CA＋CB＝CP＋C Q＋AP＋B Q＝２CP＋AB＝４＞AB，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为４的椭圆（挖去与x轴的交点）．设曲线M：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0，y≠0），则a２＝４，b２＝a２—１２＝３，所以曲线M：错误!＋错误!＝１（y≠0）为所求．错误!错误![典例引领]如图，已知P是椭圆错误!＋y２＝１上一点，PM⊥x轴于M.若错误!＝λ错误!.（１）求N点的轨迹方程；（２）当N点的轨迹为圆时，求λ的值．解：（１）设点P，点N的坐标分别为P（x１，y１），N（x，y），则M的坐标为（x１,0），且x＝x１，所以错误!＝（x—x１，y—y１）＝（0，y—y１），错误!＝（x１—x，—y）＝（0，—y），由错误!＝λ错误!得（0，y—y１）＝λ（0，—y）．所以y—y１＝—λy，即y１＝（１＋λ）y.因为P（x１，y１）在椭圆错误!＋y２＝１上，则错误!＋y错误!＝１，所以错误!＋（１＋λ）２y２＝１，故错误!＋（１＋λ）２y２＝１即为所求的N点的轨迹方程．（２）要使点N的轨迹为圆，则（１＋λ）２＝错误!，解得λ＝—错误!或λ＝—错误!.所以当λ＝—错误!或λ＝—错误!时，N点的轨迹是圆．[由题悟法]代入法求轨迹方程的４个步骤（１）设出所求动点坐标P（x，y）．（２）寻求所求动点P（x，y）与已知动点Q（x′，y′）的关系．（３）建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′.（４）将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．[即时应用]１．（２0１9·丰县中学检测）定长为３的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，动点P 满足错误!＝２错误!，求点P的轨迹方程．解：设A（x0,0），B（0，y0），P（x，y），由错误!＝２错误!，得（x，y—y0）＝２（x0—x，—y），则错误!即错误!又因为AB的定长为３，所以x错误!＋y错误!＝9，所以错误!２＋（３y）２＝9，化简得错误!＋y２＝１，故点P的轨迹方程为错误!＋y２＝１．２．已知曲线E：ax２＋by２＝１（a＞0，b＞0），经过点M错误!的直线l与曲线E交于点A，B，且错误!＝—２错误!.若点B的坐标为（0,２），求曲线E的方程．解：设A（x0，y0），因为B（0,２），M错误!，故错误!＝错误!，错误!＝错误!.由于错误!＝—２错误!，所以错误!＝—２错误!.所以x0＝错误!，y0＝—１，即A错误!.因为A，B都在曲线E上，所以错误!解得错误!所以曲线E的方程为x２＋错误!＝１．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．方程（x＋y—１）错误!＝0表示的曲线是______________．解析：由（x＋y—１）错误!＝0，得错误!或错误!＝0，即x＋y—１＝0（x≥１）或x＝１．所以方程表示的曲线是射线x＋y—１＝0（x≥１）和直线x＝１．答案：射线x＋y—１＝0（x≥１）和直线x＝１２．平面上有三个点A（—２，y），B错误!，C（x，y），若错误!⊥错误!，则动点C的轨迹方程为________．解析：由题意得错误!＝错误!，错误!＝错误!，由错误!⊥错误!，得错误!·错误!＝0，即２x＋错误!·错误!＝0，所以动点C的轨迹方程为y２＝8x.答案：y２＝8x３．（２0１8·江苏太湖高级中学检测）若动点P（x，y）满足条件|错误!—错误!|＝6，则点P的轨迹是________．解析：|错误!—错误!|＝6表示点P到（４,0），（—４,0）两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P轨迹是双曲线．答案：双曲线４．设点A为圆（x—１）２＋y２＝１上的动点，PA是圆的切线，且PA＝１，则P点的轨迹方程为________．解析：如图，设P（x，y），圆心为M（１,0）．连结MA，PM，则MA⊥PA，且MA＝１，又因为PA＝１，所以PM＝错误!＝错误!，即PM２＝２，所以（x—１）２＋y２＝２．答案：（x—１）２＋y２＝２５．已知点A（—２,0），B（３,0），动点P（x，y），满足错误!·错误!＝x２—6，则动点P的轨迹方程是________．解析：因为动点P（x，y）满足错误!·错误!＝x２—6，所以（—２—x，—y）·（３—x，—y）＝x２—6，即y２＝x，所以动点P的轨迹方程是y２＝x.答案：y２＝x6．已知定点A（４,0）和圆x２＋y２＝４上的动点B，动点P（x，y）满足错误!＋错误!＝２错误!，则点P的轨迹方程为________．解析：设B（x0，y0），由错误!得错误!代入圆方程得（２x—４）２＋４y２＝４，即（x—２）２＋y２＝１．答案：（x—２）２＋y２＝１二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·盐城一模）设点Q（２,0），圆C：x２＋y２＝１，若动点M到圆C的切线长与M Q长的比等于２，则动点M的轨迹方程是________．解析：如图，设MN切圆于N，则动点M满足MN＝２M Q，∵圆的半径ON＝１，∴MN２＝MO２—ON２＝MO２—１．设点M的坐标为（x，y），则错误!＝２错误!，化简得３x２＋３y２—１6x＋１7＝0．答案：３x２＋３y２—１6x＋１7＝0２．长为３的线段AB的端点A，B分别在x轴，y轴上移动，错误!＝２错误!，则点C的轨迹方程为________________．解析：设C（x，y），A（a,0），B（0，b），则a２＋b２＝9，１又错误!＝２错误!，所以（x—a，y）＝２（—x，b—y），即错误!２代入１式整理可得x２＋错误!＝１．答案：x２＋错误!＝１３．已知A（—１,0），B（１,0）两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若错误!２＝λ错误!·错误!，当λ＜0时，动点M的轨迹为________．解析：设M（x，y），则N（x,0），所以错误!２＝y２，λ错误!·错误!＝λ（x＋１,0）·（１—x,0）＝λ（１—x２），所以y２＝λ（１—x２），即λx２＋y２＝λ，变形为x２＋错误!＝１．又因为λ＜0，所以动点M的轨迹为双曲线．答案：双曲线４．设圆（x＋１）２＋y２＝２５的圆心为C，A（１,0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q的连线交于点M，则M的轨迹方程为________．解析：因为M为A Q垂直平分线上一点，则AM＝M Q，所以MC＋MA＝MC＋M Q＝C Q＝５，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝错误!，c＝１，则b２＝a２—c２＝错误!，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１５．设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若错误!＝２错误!，且错误!·错误!＝１，则点P的轨迹方程是________．解析：设A（a,0），B（0，b），a＞0，b＞0．由错误!＝２错误!，得（x，y—b）＝２（a—x，—y），即a＝错误!x＞0，b＝３y＞0．即错误!＝错误!，点Q（—x，y），故由错误!·错误!＝１，得（—x，y）·错误!＝１，即错误!x２＋３y２＝１．故所求的轨迹方程为错误!x２＋３y２＝１（x＞0，y＞0）．答案：错误!x２＋３y２＝１（x＞0，y＞0）6．（２0１9·扬州一模）如图，已知椭圆错误!＋y２＝１的焦点为F１，F２，点P为椭圆上任意一点，过F２作∠F１PF２的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段Q N的中点为M，则点M的轨迹方程为________．解析：因为点F２关于∠F１PF２的外角平分线P Q的对称点Q′在直线F１P的延长线上，故F１Q′＝PF１＋PF２＝２a＝４，又O Q是△F２F１Q′的中位线，所以O Q＝错误!F１Q′＝２，设M（x，y），则Q（２x，y），所以有４x２＋y２＝４．故点M的轨迹方程为错误!＋x２＝１．答案：错误!＋x２＝１7．在平面直角坐标系xOy中，动点P和点M（—２,0），N（２,0）满足|错误!|·|错误!|＋错误!·错误!＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为________．解析：因为|错误!|·|错误!|＋错误!·错误!＝0，所以４错误!＋４（x—２）＝0，化简变形，得y２＝—8x.答案：y２＝—8x8．（２0１9·通州一模）已知⊙C：（x＋１）２＋y２＝３6及点A（１,0），点P为圆上任意一点，AP 的垂直平分线交CP于点M，则点M的轨迹方程为________．解析：由圆的方程可知，圆心C（—１,0），半径等于6，设点M的坐标为（x，y），∵AP的垂直平分线交CP于M，∴MA＝MP，又MP＋MC＝6，∴MC＋MA＝6＞AC＝２，∴点M满足椭圆的定义，且２a＝6,２c＝２，∴a＝３，c＝１，∴b２＝a２—c２＝8，∴点M的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１9．已知长为１＋错误!的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，P是AB上一点，且错误!＝错误!错误!，求点P的轨迹方程．解：设A（x0,0），B（0，y0），P（x，y），由已知知错误!＝错误!错误!，又错误!＝（x—x0，y），错误!＝（—x，y0—y），所以x—x0＝—错误!x，y＝错误!（y0—y），得x0＝错误!x，y0＝（１＋错误!）y.因为AB＝１＋错误!，即x错误!＋y错误!＝（１＋错误!）２，所以错误!２＋[（１＋错误!）y]２＝（１＋错误!）２，化简得错误!＋y２＝１．即点P的轨迹方程为错误!＋y２＝１．１0．已知动圆过定点A（４,0），且在y轴上截得弦MN的长为8．（１）求动圆圆心的轨迹C的方程；（２）已知点B（—１,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PB Q 的角平分线，证明：直线l过定点．解：（１）如图，设动圆圆心为O１（x，y），由题意O１A＝O１M，当O１不在y轴上时，过O１作O１H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．所以O１M＝错误!，又O１A＝错误!，所以错误!＝错误!，化简得y２＝8x（x≠0）．当O１在y轴上时，O１与O重合，点O１的坐标（0,0）也满足方程y２＝8x，所以动圆圆心的轨迹C的方程为y２＝8x.（２）证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），P（x １，y１），Q （x２，y２），将y＝kx＋b代入y２＝8x，得k２x２＋（２kb—8）x＋b２＝0．则Δ＝—３２kb＋6４＞0．且x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!，２因为x轴是∠PB Q的角平分线，所以错误!＝—错误!，即y１（x２＋１）＋y２（x１＋１）＝0，（kx１＋b）（x２＋１）＋（kx２＋b）（x１＋１）＝0，２kx１x２＋（b＋k）（x１＋x２）＋２b＝0，３将１２代入３得２kb２＋（k＋b）（8—２kb）＋２k２b＝0，所以k＝—b，此时Δ＞0，所以直线l的方程为y＝k（x—１），即直线l过定点（１,0）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校在平面直角坐标系xOy中，已知两点M（１，—３），N（５,１），若点C的坐标满足错误!＝t错误!＋（１—t）错误!（t∈R），且点C的轨迹与抛物线y２＝４x交于A，B两点．（１）求证：OA⊥OB；（２）在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：（１）证明：由错误!＝t错误!＋（１—t）错误!（t∈R），可知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，所以点C的轨迹方程为y＋３＝错误!（x—１），即y＝x—４．联立错误!化简得x２—１２x＋１6＝0,设C的轨迹方程与抛物线y２＝４x的交点坐标为A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝１２，x１x２＝１6，y１y２＝（x１—４）（x２—４）＝x１x２—４（x１＋x２）＋１6＝—１6，因为错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝１6—１6＝0,所以OA⊥OB.（２）假设存在这样的P点，并设AB是过抛物线的弦，且A（x１，y１），B（x２，y２），其方程为x ＝ny＋m，代入y２＝４x得y２—４ny—４m＝0,此时y１＋y２＝４n，y１y２＝—４m，所以k OA k OB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—错误!＝—１，所以m＝４（定值），故存在这样的点P（４,0）满足题意．设AB的中点为T（x，y），则y＝错误!（y１＋y２）＝２n，x＝错误!（x１＋x２）＝错误!（ny１＋４＋ny２＋４）＝错误!（y１＋y）＋４＝２n２＋４，消去n得y２＝２x—8．２。