高数习题集(附答案)
高等数学练习题(附答案)
《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。
高等数学考试题库和答案
高等数学考试题库和答案一、选择题1. 极限的定义是（）。
A. 函数在某点的增量B. 函数在某点的导数C. 函数在某点的值D. 函数在某点的无穷小变化答案：D2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4在x = 1处的导数是（）。
A. 6B. 2C. 5D. 4答案：C3. 曲线y = x^3 - 3x + 1在x = 1处的切线斜率是（）。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A4. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是（）。
A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B5. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题6. 函数f(x) = 2x + 3在x = 2处的值是_________。
答案：77. 极限lim(x→0) (1 + x)^(1/x)的值是_________。
答案：e8. 函数f(x) = x^2的二阶导数是_________。
答案：29. 曲线y = e^x在x = 0处的切线方程是_________。
答案：y = x + 110. 定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx的值是_________。
答案：1三、解答题11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5在区间[0, 3]上的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1, 3。
检查二阶导数f''(x) = 6x - 12，f''(1) = -6 < 0，所以x = 1是极大值点；f''(3) = 6 > 0，所以x = 3是极小值点。
12. 求曲线y = ln(x)绕x轴旋转一周所形成的立体的体积。
解：使用圆盘法，体积V = ∫(1 to e) π[ln(x)]^2 dx。
高等数学考试题库及答案
高等数学考试题库及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. 2xD. 2答案：A2. 以下哪个选项是无穷小量：A. 0B. 1C. ∞D. ∃答案：A3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B4. 以下哪个函数是奇函数：A. y=x^2B. y=x^3C. y=xD. y=1/x答案：B5. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A6. 以下哪个选项是二阶导数：A. dy/dxB. d^2y/dx^2C. d^2y/dxD. d^3y/dx^3答案：B7. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. ln(x) + CD. x^2 + C答案：B8. 以下哪个选项是二重积分：A. ∫∫f(x,y) dxdyB. ∫f(x) dxC. ∫∫f(x) dxD. ∫f(x,y) dydx答案：A9. 以下哪个选项是泰勒级数展开：A. Σ(-1)^n x^(2n)B. Σ(-1)^n x^nC. Σx^n / n!D. Σx^(2n+1) / (2n+1)!答案：C10. 以下哪个选项是定积分的性质：A. ∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to b) g(x) dxB. ∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dxC. ∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dxD. ∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to b) f(-x) dx答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数y=x^3的导数是________。
答案：3x^22. 极限lim(x→∞) (1/x)等于________。
高数习题集及答案
高数习题集及答案一、极限1. 求下列极限：- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)- \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \)2. 利用夹逼定理证明：- \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \)答案：1. 对于第一个极限，我们可以使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]对于第二个极限，我们可以使用重要极限：\[ \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \]2. 利用夹逼定理，我们可以找到两个序列 \( a_n \) 和 \( b_n \) 使得：\[ a_n \leq (1 + \frac{1}{n})^n \leq b_n \]并且 \( \lim_{n \to \infty} a_n = e \) 和 \( \lim_{n \to \infty} b_n = e \)，从而证明 \( \lim_{n \to \infty} (1 +\frac{1}{n})^n = e \)。
二、导数与微分1. 求下列函数的导数：- \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)- \( g(x) = \ln(x) \)2. 利用导数求函数的单调区间：- 对于函数 \( h(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求其单调增区间。
答案：1. 对于 \( f(x) \) 的导数，我们有：\[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]对于 \( g(x) \) 的导数，我们有：\[ g'(x) = \frac{1}{x} \]2. 对于函数 \( h(x) \)，我们先求导：\[ h'(x) = 2x - 4 \]令 \( h'(x) > 0 \)，解得 \( x > 2 \)，因此 \( h(x) \) 在\( (2, \infty) \) 上单调增。
高等数学习题集及解答
高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。
2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。
3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。
4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。
5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。
6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。
7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。
8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。
9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。
10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。
11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。
12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。
13、设lny =_______________(0)y '''=。
14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
大学高等数学习题及答案
高等数学（A）1习题1-11.求下列函数的自然定义域：(3)y =1-1-x 2x⎧1-x 2≥0⎧-1≤x ≤1解：由⎨，所以函数的定义域为：[-1,0)⋃(0,1]⇒⎨⎩x ≠0⎩x ≠0(7)y =arcsin(x -3)解：由-1≤x -3≤1⇒2≤x ≤4，所以函数的定义域为：[2,4]1(8)y =3-x +arctanx⎧3-x ≥0⎧x ≤3解：由⎨x ≠0⇒⎨x ≠0，所以函数的定义域为：(-∞,0)⋃(0,3]⎩⎩9.求下列函数的反函数：（1）y =3x +1解：由y 3=x +1⇒x =y 3-1，所以反函数为：y =x 3-11-xy =（2）1+x解：由y (1+x )=1-x ⇒x =1-x 1-yy =1+x1+y ，所以反函数为：习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1(2){(-1)n }n 收敛.且极限为0.⎧n -1⎫(4)⎨⎬n +1⎩⎭收敛，且极限为12n -1(6){3n }2n -12n 1n收敛.且因为：3n =(3)-(3)，知极限为0.习题1-3x |x |当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限4.求f (x )=,φ(x )=x x 是否存在.解：x →0lim -f (x )=lim -x →0x →0x x=lim -1=1,lim +f (x )=lim +=lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0∴lim f (x )=1|x |-x |x |x=lim -lim(-1)=-1,lim φ(x )=lim =lim =lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0-x →0+x →0+x x →0+x x →0∴lim φ(x )不存在.lim -φ(x )=lim -x →0习题1-44.求下列极限并说明理由.（1）lim x →∞2x +1x2x +1112x +1=2+,而lim =0,由定理1可知：lim =2.解：x x →∞x →∞x x x 1-x 2(2)lim x →∞1-x1-x 2(1-x )(1+x )1-x 2=1+x ，而lim x =0,由定理1可知：lim =1解：1-x =x →0x →01-x1-x 习题1-51.计算下列极限.x 2-32（2）x lim →3x +1解：lim x →x -3x →30===023x +1lim(x 2+1)4x →32lim(x 2-3)x 2-2x +1（3）lim x →1x 2-1x 2-2x +1(x -1)2x -1lim =lim =lim =0解：x →1x 2-1x →1(x +1)(x -1)x →1x +14x 3-2x 2+x （4）lim x →03x 2+2x 解：lim 4x -2x +x 4x -2x +1=lim =x →0x →03x 2+2x 3x +2322lim(4x 2-2x +1)x →0lim(3x +2)x →0=1=02x 2-1（7）lim x →∞2x 2-x -11)2x -11x →∞x lim =lim ==解：x →∞2x 2-x -1x →∞111122--2lim(2--2)x x x →∞x x 21-1x 2lim(1-x 2-6x +8（9）lim x →4x 2-5x +4x 2-6x +8(x -4)(x -2)(x -2)2lim =lim =lim 解：x →4x 2-5x +4x →4(x -4)(x -1)x →4(x -1)=3习题1-61.计算下列极限：1-cos2x lim （5）x →0x sin x 1-cos2x 2sin 2x sin xlim =lim =2lim =2⋅1=2解：x →0x sin x x →0x sin x x →0x 2.计算下列极限.-x )（1）lim(1x →0-1lim(1-x )=lim[(1+(-x ))]=e 解：x →0x →01x1-x -11x+2x )（2）lim(1x →02lim(1+2x )=lim[(1+2x )]=e 解：x →0x →01x12x 21x习题1-75.利用等价无穷小的性质，求下列极限：tan3xlim （1）x →02x tan3x ~3x ,∴lim 解：当x →0时，（3）lim x →0tan3x 3x 33=lim =lim =x →0x →02x x →022x 2tan x -sin xsin 3x 1x ⋅x 2tan x -sin x tan x (1-cos x )2=lim 1=1lim =lim =lim 333x →0x →0x →0x →02sin xsin x x 2解：1(x →0,tan x ~x ,1-cos x ~x 2,sin 3x ~x 3)2习题1-83.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x 2-1（1）y =x 2-3x +2，x =1,x =2解：在x =1点，lim y =lim x →1(x -1)(x +1)(x +1)=lim =-2x →1(x -1)(x -2)x →1(x -2)故x =1点为第一类中的可去间断点.如果补充f (1)=-2,则f (x )在x =2点连续。
高等数学题库习题集带答案
解
（2）
解
练习2.1.4
1.求函数 在 时函数的增量及微分.
解 ，
2.求下列函数的微分
(1) ；
解
(2) ；
解
(3) .
解
练习2.2.1求下列函数的单调区间
（1） ；
解函数 的定义域为 ，且
所以函数 在 上单调递增．
（2） ；
解函数的定义域为 ， ，令 ，得 （舍负）
当 时， ，所以 为单减区间．
(1) ， ， ；
(2) ， ， ．
解(1) ．
(2) ．
练习3.3.3
1．求函数 在区间 上的平均值．
解 ．
2．有一根长度为 的细棒，其上任意点 处的密度 ，若细棒的一端与坐标原点重合，求细棒的平均密度．
解 ．
高等数学练习题第四章及答案
练习4.1.1
1.试写出下列各微分方程的阶数
（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）二阶.
（1）积分变量与积分区间；
（2）路程S的微元 ；
（3）路程S．
解（1）积分变量为 ，积分区间为 ；
（2） ；
（3）
练习3.3.2
1．求下列由曲线和直线围成的平面图形的面积
(1) ， ， ；
(2) ， ， ；
(3) ， ．
解(1) ．
(2) ．
(2) ．
2．求下列由曲线和直线围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积
2.求微分方程 ， ， 的特解.
解两边积分得 ，
再积分得
代入 ， 得， ， .
所求微分方程的特解为 .
练习4.1.2
1.求解微分方程 .
解分离变量得 ，
两边积分得 .
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第一章 函数与极限
§1 函数
必作习题
P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17
必交习题
一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从
出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。
(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；
(2) 作出函数)(t v v =的图形。
二、 证明函数1
2+=
x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin
)(2= ；
(2)1
212)(+-=x x x f ；
(3))1ln()(2++=x x x f 。
四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数
必作习题
P31－33 1，8，9，10，16，17
必交习题
一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：
(1))(x e f ；
(2))(ln x f ；
(3))(arcsin x f ；
(4))(cos x f 。
二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e
f -；
(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；
(3)设x
x f -=
11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。
)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。
四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,
20,
2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
P42 3 (3) (4)，4，5，6
必交习题
一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =
；
(2)n n n n x n ++++++=
22212111 ；
(3)n
x n x n n n
)1(1211122-=+++=-， 。
二、已知n
x n
n )1(1-+=，用定义证明：0lim =∞→n n x
P50 1 (2) (4)，2(2)，3，4，7，9
必交习题 一、用极限的定义证明：41
22 lim 21=--→x x x 。
二、用极限的定义证明：656 lim =+∞→x
x x 。
三、研究下列函数在0=x 处的左、右极限，并指出是否有极限： (1)x x x f ||)(=
；
(2)⎪⎩
⎪⎨⎧<+=>-=0,10,
00,1)(2x x x x x x f
四、用极限的定义证明：2)106( lim 22
=+-→x x x
§5 无穷大与无穷小 §6 极限运算法则
必作习题
P54-55 3，4，5； P63 1，2，3
必交习题
一、举例说明(当0→x 时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无穷
大量。
二、求下列数列的极限： (1))121( lim 2
22n n n n n -+++∞→ =
(2)n
n n n n 6565 lim 1
1++++∞→=
(3))3
)1(27191311( lim 11
--∞→-++-+-n n n =
三、求下列函数的极限： (1)1
1 lim 1--→x x x =
(2)h
x h x h 3
30)( lim -+→=
(3)))(( lim x a x x x -++∞
→=
(4))1311( lim 31x
x x ---→=
四、设21
2)1( lim 2334-=-++++∞→x x bx x a x ，求b a ,。
§7 极限存在准则 ，两个重要极限 §8 无穷小的比较
必作习题
P 71 1，2，4； P 74 1，2，3，4
必交习题
一、 求下列极限： (1) x
x x 3sin lim ∞→=
(2)a
x a x a x --→22sin sin lim =
(3)114sin lim 0-+→x x x =
(4)114 lim +∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x x x x =
(5)x
x x x 1011 lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+→=
二、用极限存在准则求证下列极限：
(1)设1(0=>i a i ～),m },,m ax {1m a a M =；证明： M a a a n n
m n n n =+++∞→ 21lim
(2)设31>x ，),2,1(3)1(31 =++=+n x x x n
n n 。
证明此数列收敛，并求出它的极限。
三、确定k 的值，使下列函数与k x ，当0→x 时是同阶无穷小： (1)
x x +-+111；
(2)53243x x -；
(3)x x sin 1tg 1--+。
四、已知11 lim 21=-++→x b a x x ，求b a 和. 。
三、用极限定义证明：
(1) 若)(∞→→n a x n ，则对任一自然数k ，也有)(∞→→+n a x k n ；
(2) 若)(∞→→n a x n ，则)(||||∞→→n a x n ，并举例说明反之未必成立；
(3) 若)(0||∞→→n x n ，则)(0∞→→n x n 。
四、 设数列}{n x 有界，又0 lim n =∞→n y ，证明0 lim n =∞
→n n y x 。
§9 函数的连续性与间断点
必作习题
P80 1，2，3
必交习题
一、当0=x 时下列函数)(x f 无定义，试定义)0(f 的值，使)(x f 在0=x 连续： (1)1111)(3-+-+=
x x x f ；
(2)x
x x f 1sin sin )(⋅=。
二、指出下列函数的间断点并判定其类型： (1)311)(x x x f ++=
；
(2))
1(||)(22--=x x x x x f ；
(3)⎪⎩
⎪⎨⎧≤<-+>=-0
1)1ln(0)(1
1x x x e x f x 。
三、确定b a 和，使函数)
1)(()(---=x a x b e x f x 有无穷间断点0=x ；有可去间断点1=x 。
四、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任何21,x x 有
)()()(2121x f x f x x f +=+，
证明：若0)(=x x f 在连续，则),()(+∞-∞在x f 上连续。
§10 连续函数的运算与初等函数的连续性 §11 闭区间上连续函数的性质 必作习题 P85-86 1，2，3；
P91 1，2，3 必交习题
一、 欲使 ⎪⎩⎪⎨⎧->++-=-<+=1
)ln(111)(22x x x b x x x a x f ，，，
在1-=x 处连续，求b a ,。
二、求下列极限：
(1)x a
a x x ln )ln( lim 0-+→=
(2)x
x x e x 1
)( lim 0+→=
(3)x (x-x cos 21)
sin lim 33-→π
π=
(4)x x x 2sin 1
)(cos lim →=
三、证明方程=-x x 351至少有一根介于1和2之间。
四、设函数)(x f 在区间]2,0[a 上连续，)2()0(a f f =，证明在区间],0[a 上至少存在一
点0x 使得)()(00a x f x f +=。