【初中数学】初中数学知识点：角平分线的性质
角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？
初中数学之三角形中线高线角平分线知识点
初中数学之三角形中线高线角平分线知识点三角形是初中数学中一个重要的几何图形，它有很多性质与定理，其中三角形的中线、高线和角平分线是十分重要的知识点。
下面将详细介绍一下这三个概念的定义，性质和应用。
一、中线1.定义：三角形的中线是三角形的一个边上的中点与对立顶点连接而成的线段。
2.性质：（1）任意一条中线上的点到两个对立边的距离相等，即中线上各点到两个对立边的距离相等。
（2）三角形中线的三个交点互相连接，可以在三角形的内部形成三条交叉的线段，这三条线段的交点就是三角形的重心。
重心是三角形内部所有中线的交点，它离三个顶点的距离都相等，也就是说重心到三个顶点的距离相等。
（3）三角形的三条中线互相平分对立顶点的内角，即三角形的三条中线互相平分对立顶点的内角。
（4）三角形三条中线的交点离三个顶点等距离，即三角形的中线互相交于一点，且该点到三个顶点的距离相等。
（5）中线的比例定理：在三角形ABC中，如果D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，那么AD∶DF=1∶2，BE∶DE=1∶2，CF∶EF=1∶23.应用：中线在三角形的性质研究和解题中起到重要的作用，特别是在证明几何定理的过程中，常常会用到三角形的中线性质。
同时，中线还可以用来求三角形的面积，当一个三角形ABC的中线EF垂直于BC且EF等于BC的一半时，EF可以作为底边，AC可以作为高，求三角形ABC的面积。
二、高线1.定义：三角形的高线是从三角形的一个顶点引垂线与对立边相交而成的线段。
2.性质：（1）三角形的三条高线交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形的三边的距离互不相等。
（2）垂线和对立的边垂直，即垂线和对立的边成为直角。
（3）垂线平分对立的边。
（4）如果三角形的高线重合、重合的部分等于底边长，则该三角形为等腰直角三角形。
（5）如果三角形是等腰三角形，则该三角形的高线也是中线。
3.应用：高线在三角形的研究和解题中有很多应用。
通过高线的性质，可以判断三角形是否是等腰三角形、直角三角形，还可以求解三角形的面积，等等。
初中数学 角平分线有哪些全等性质
初中数学角平分线有哪些全等性质
角平分线的全等性质指的是，在两个全等的角中，它们的角平分线也是全等的。
下面是关于角平分线的全等性质的详细介绍：
设有两个全等的角AOB和COD，其中∠AOB∠∠COD。
性质一：角平分线的长度相等
两个全等的角中，它们的角平分线的长度相等。
具体来说，如果∠AOB∠∠COD，则角AOB的角平分线AD和角COD的角平分线CE的长度相等，即AD ∠ CE。
性质二：角平分线的夹角相等
两个全等的角中，它们的角平分线之间的夹角也相等。
具体来说，如果∠AOB∠∠COD，则角AOB的角平分线AD和角COD的角平分线CE之间的夹角∠DAE ∠ ∠CED。
性质三：角平分线与角的对应边垂直
两个全等的角中，它们的角平分线与角的对应边垂直。
具体来说，如果∠AOB∠∠COD，则角AOB的角平分线AD与边AB垂直，角COD的角平分线CE与边CD垂直。
性质四：角平分线分割角的对应边成相等的线段
两个全等的角中，它们的角平分线将角的对应边分割成相等的线段。
具体来说，如果∠AOB∠∠COD，则角AOB的角平分线AD将边AB分割成相等的线段，即AD = DB；角COD的角平分线CE将边CD分割成相等的线段，即CE = DE。
需要注意的是，在使用角平分线的全等性质时，要确保已知条件满足两个角全等的要求，并进行合理的推理和比较。
只有在满足两个角全等的条件下，我们才能得出角平分线的全等性质。
角平分线的全等性质在几何证明中经常被用来推导和证明其他角的性质，如垂直角、等腰三角形等。
通过合理运用这些性质，我们可以更好地理解和应用角平分线的概念。
初中数学精品课件： 角平分线的画法及性质
辅 助 线 过角平分线上一点向两 添 加 边作垂线段
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解
随堂演练
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是
E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 60 度，BE= BF .
B
2.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且
BC=8,BD=5,则点D到AB的距是 3
.
A
A E
C D
F
G
C
D
E
B
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC 于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
已尺知规：作平图角：∠过A点OBO.作直线AB的垂线. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点
作这条直线的垂线的方法.
知识点二：角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作
个.
定理的作用： 证明线段相等.
判一判，
∴BD= CD，
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）×
B
B
A
D A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）C .
∴ BD = CD ,
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ×
人教版初中数学《角的平分线的性质》_完美课件
交OA于点M，交OB于点N
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
分别以点M，N为圆心，大于½MN的长度为半径画
弧，两弧在∠AOB的内部交于点C
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
画射线OC，即为∠AOB的角平分线
思考和交流
• 在你刚才画好的角平分线OC 上任意取一点P，过点P画出 OA和OB的垂线段，分别记 垂足为D，E。PD和PE的长 度有什么关系？
• 在OC上再取几个点试一下， 并和你的伙伴交流结论，你 们发现角平分线有什么性质？
思考和交流
• 经过测量，PD=PE总成立。 • 经过讨论，我们猜想： • 角分线上的点到角两边的距
离相等。
你能用全等三角 形证明吗？
怎样证明几何命题？
• 证明几何命题，先明确已知和求证。
– 已知：一个点在一个角的平分线上。 – 求证：这个点到这个角两边的距离相等。
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
(横版)角平分线的性质和判定教案
教学过程一、复习预习角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
二、知识讲解考点1尺规作图画角平分线（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
（3）、画射线OC。
射线OC即为所求.考点2 角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；考点3 角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 .考点4 关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.三、例题精析【例题1】【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。
如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于。
初中数学《角的平分线的性质(第1课时)》教学设计
教学设计（一）创设情景，提出问题如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课．（二）合作探究，形成知识问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？师生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．小组交流完成教学过程教学环节教学活动评估要点追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．如果学生没有思路，教师可作如下提示：1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能．最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性．问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题：1．操作测量：任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E 为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：此处的思考内容，重在发展学生的发散思维，肯定学生的闪光点2．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________ 3．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，一起猜想出角的平分线的性质．追问1：通过动手实验、观察比较，我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？1．明确命题中的已知和求证．已知：一个点在一个角的平分线上．结论：这个点到这个角两边的距离相等．（如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等）2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD=PE．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)∴在△PDO和△PEO中∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，∴PD=PE．师生活动：教师首先引导学生分析命题的条件和结论．如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件（垂直）．最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？师生活动：师生共同概括证明几何命题的一般步聚：1．明确命题中的已知和求证．2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．追问3：角的平分线的性质的作用是什么？师生活动：学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．【设计意图】让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步聚，发展他们的归纳概括能力．而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷．（三）巩固提高1．下列结论一定成立的是（）A．如图1，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．B．如图2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则PD＝PE ．C．如图3，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．图1 图2 图32．如图4，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．图4师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拨，并板演证明过程．【设计意图】通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力．板书设计性质一：角的平分线上的点到角的内部到角的两边的距离相等∵∠POA=∠POB（OP平分∠AOB）PA⊥OA、PB⊥OB∴PA=PB课后作业如图， OP 为∠AOB 内一条射线， C，D 分别为 OA ，OB 上两点，且∠PCO+∠PDO＝180°， PC＝PD．求证： OP 平分∠A0B．课后反思本课时重在理解掌握性质定理一，并将其灵活应用到具体的几何问题中去，一定要让学生明白应用的前提是“角平分线”，1是角平分线，2是涉及到垂直（或90度），两者缺一不可。
冀教版初中八年级数学上册16-3角的平分线第一课时角平分线的性质定理课件
∴∠ABD=∠DBC,即BD平分∠ABC, 如图,过点D作DE⊥BC于E,
∴DE=AD=2,
∴S△BCD=
1 2
1
BC×DE=2
×4×2=4.
图①
图②
(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是 PC=PD ;
(2)如图②,点C、D在射线OA、OB上滑动,且∠AOB=90°,当 PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.
解析 (1)PC=PD. 理由:∵OM是∠AOB的平分线, ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). (2)成立,理由如下:
△ADF的面积为14,则 1 AF·DF=14,即1 ×7×DF=14,解得DF=4,
2
2
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF=4,∵△ADC
的面积为22,∴ 1 AC×4=22,解得AC=11.
2
5.(新独家原创)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, ∠DBC=45°,AD=2,BC=4,求△BCD的面积.
DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=1,∵AC=2,∴S△ACD= 1 AC·DF=
2
1 ×2×1=1.
2
4.(2024吉林舒兰期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB, 垂足为F,若AF=7,△ADF和△ADC的面积分别为14,22,则AC的 长为 11 .
解析 如图,过点D作DE⊥AC于点E,在直角△ADF中,AF=7,
∴PF=PG,PE=PG,∴PE=PF= 1 EF=2,∴PG=2,即点P到AB的距
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【初中数学】初中数学知识点：角平分线的性质
角平分线：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平方线定理：
①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。
③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
逆定理：
在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。
角平分线作法：
在角AOB中，画角平分线
方法一：
1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然，角平分线的作法有很多种。
下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
方法二：
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
2.连接AN与BM，他们相交于点P；
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。